1. El estudio de osciladores armonicos es una importante aplicacion de la mecanica. Consiste en es-tudiar el movimiento de una masa unida a un resorte elastico. A continuacion obtendremos unmodelo de este problema regido por una ecuacion diferencial de segundo orden y la resolveremospara luego discutir sus distintas soluciones, o sea distintos tipos de movimiento. El sistema que setratara esta compuesto por una masa que esta unida a un resorte y se desliza sobre una superficiesin friccion.

Figura 1: Un sistema masa-resorte

Consideramos un resorte comun y corriente, que resista compresiones y extensiones y que se sus-penda verticalmente de un soporte fijo. En en extremo inferior del resorte se sujeta un cuerpo demasa m. Se supone que m es lo suficientemente grande que se puede despreciar la masa del resorte.Si el cuerpo se tira hacia abajo cierta distancia, y luego se suelta, experimenta un movimiento. Sesupone que el cuerpo se mueve unicamente en sentido vertical.

Se elige la direccion hacia abajo como la positiva, y en consecuencia, las fuerzas dirigidas haciaabajo se consideran positivas y negativas las fuerzas en la direccion contraria. La atraccion de lagravedad F = mg es una fuerza que actua sobre el cuerpo donde m es la masa del cuerpo y g es laacaleracion de la gravedad.

Ahora consideramos la fuerza restauradora del resorte que actua sobre el cuerpo. Se asume que lamagnitud de esta fuerza es proporcional al cambio en la longitud del resorte. Su direccion es haciaarriba si el resorte esta estirado y hacia abajo si esta comprimido. Por tanto Fs = −ks (ley deHooke) donde s es el desplazamiento vertical del cuerpo. A la constante de proporcionalidad k sele llama modulo del resorte y el signo menos hace Fs negativa (hacia arriba) para un valor posi-tivo de s (estiramiento del resorte) y positiva (hacia abajo) para s negativa (compresion del resorte).

Cuando el cuerpo esta en reposo, la fuerza gravitacional y la fuerza del resorte estan en equilibrio,siendo su resultante la fuerza cero: mg− ks0 = 0, donde s0 es el estiramiento del resorte que corres-ponde a esta posicion, la cual recibe el nombre de la posicion de equilibrio estatico.

Sistema no amortiguado

Si el amortiguamiento del sistema es tan pequeno que puede despreciarse, entonces la suma de lasfuerzas presentes que actuan sobre el cuerpo es −ky. La ecuacion diferencial se obtendra entonces

1

mediante la aplicacion de la segunda ley de Newton: masa × aceleracion=Fuerza, donde la fuerzasignifica la resultante de las fuerzas que actuan sobre el cuerpo en cualquier instante. En el casopresente, la aceleracion es y′′ = d2y/dt2 y se obtiene la ecuacion

my′′ = −ky.

Por tanto el movimiento de este sistema esta gobernado por la ecuacuon diferencial lineal de segundoorden con coeficientes constantes

my′′ + ky = 0.

La solucion general es

y(t) = Acos(ω0t+Bsen(ω0t)) ω0 =√k/m.

Al movimiento correspondiente se le llama oscilacion armonica.

Ejemplo.Una bola de hierro de peso W = 89[N ] estira 10[cm] un resorte, ¿cual sera su movimiento si el pesose jala hacia abajo otros 15[cm]?

Directamente se obtiene que k = 890[N/metro]. La masa es m = W/g = 0,082[kg]. Luego al obtenerω y considerando las condiciones iniciales y(0) = 0,15, y′(0) = 0, el movimiento viene dado por

y(t) = 0,15cos(9,899t).

1 2 3 4 5t

-0.15

-0.10

-0.05

0.05

0.10

0.15

yHtL

Figura 2: Movimiento para un oscilador simple

La masa oscila a partir de t = 0 de forma sinusoidal. Debido a que no hay amortiguamiento, el mo-vimiento se mantiene en el tiempo. A continuacion el modelo cambiara ya que incluira otra fuerzasobre el cuerpo.

Sistema amortiguado

Si la masa se conecta a un amortiguador, entonces es necesario tomar en consideracion el medioviscoso de amortiguamiento correspondiente. La fuerza de amortiguamiento correspondiente tie-ne direccion opuesta al movimiento instantaneo y se supone que es proporcional a la velocidad

2

y′ = dy/dt del cuerpo. Esta es generalmente una buena aproximacion, al menos para velocidadespequenas. Por tanto, la fuerza de amortiguamiento es de la forma Fa = −cy′. Por la segunda ley deNewton

my′′ = −cy′ − ky

y se ve que el movimiento del sistema mecanico amortiguado esta gobernado por la ecuacion dife-rencial lineal con coeficientes constantes

my′′ + cy′ + ky = 0.

La ecuacion caracterıstica correspondiente es

s2 +c

ms+

k

m= 0.

Entonces hay tres posibilidades para las raıces del polinomio caracterıstico.

c2 − 4km > 0: hay dos raıces reales. En este caso se dice que el oscilador es sobreamortiguado.

c2 − 4km = 0: se tiene una raız real doble. El oscilador es crıticamente amortiguado.

c2 − 4km < 0: las raıces son complejas. Este caso es llamado oscilador subamortiguado.

Caso 1. Oscilador sobreamortiguado

Si la constante de amortiguamiento c es grande, entonces la solucion general es

y(t) = c1es1t + c2e

s2t

donde s1, s2 son las raıces del polinomio caracterıstico. Se ve que en este caso el cuerpo no oscila.Para t positivo ambos exponentes son negativos, por tanto las soluciones tienden a cero cuando ttiende a infinito. Esto tiene sentido ya que el amortiguamiento disipa energıa del sistema y no hayfuerzas externas que mantengan el movimiento.

Ejemplo.Veamos como cambia el movimiento del primer ejemplo si el sistema tiene amortiguamiento c =200[kg/s]. El problema es

9,082y′′ + 200y′ + 890y = 0

con condiciones iniciales y(0) = 0,15, y′(0) = 0. La ecuacion caracterıstica tiene raıces s = −11,01±4,822, o sea s1 = −6,190 y s2 = −15,83. Luego, considerando las condiciones iniciales se obtiene quela solucion es

y(t) = 0,2463e−6,190t − 0,0963e−15,83t.

La solucion tiende al punto de equilibrio y = 0, o sea el cuerpo luego de unos segundos esta enreposo debido al amortiguamiento que disipa la energıa del sistema.

Caso 2. Amortiguamiento crıtico

3

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7t

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5yHtL

Figura 3: Movimiento para un oscilador armonico sobreamortiguado.

Si c2 = 4mk, entonces la solucion general es

y(t) = (c1 + c2t)e−qt

donde q es la raız del polinomio caracterıstico.

Puesto que la funcion exponencial nunca es cero y c1 + c2t puede tener a lo sumo un cero positivo,se sigue que el movimiento puede pasar a lo sumo una vez por la posicion de equilibrio y = 0.

Ejemplo.

Veamos ahora como cambia el movimiento del primer ejemplo si el sistema tiene amortiguamien-to c = 179,8[kg/s]. La raız de la ecuacion caracterıstica es q = −9,899. Luego considerando lascondiciones iniciales y(0) = 0,15, y’(0)=0 se obtiene que c1 = 0,15, c2 = 1,485 y la solucion es

y(t) = (0,15 + 1,485t)e−9,899t.

La solucion tiende rapidamente hasta cero.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5yHtL

Figura 4: Posicion para el oscilador armonico crıticamente amortiguado

Se observa en este caso particular que la masa no alzanza a oscilar debido al amortiguamiento pre-sente en su movimiento. Alcanza la posicion de equilibrio y = 0 de forma asintotica.

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Oscilador subamortiguado

Este caso es interesante. Si la constante c es pequena, entonces las raıces son imaginarias. La soluciongeneral es

y(t) = e−at(Acos(ω0t) +Bsen(ω0t)),

donde a y ω0 son la parte real e imaginaria de la raız del polinomio caracterıstico.

Esta solucion representa oscilaciones amortiguadas.

Ejemplo.

Veamos ahora como cambia el movimiento del primer ejemplo si el sistema tiene amortiguamientoc = 100[kg/s]. La raıces de la ecuacion caracterıstica son −5,506 ± 8,227i. Luego considerando lascondiciones iniciales y(0) = 0,15, y’(0)=0 se obtiene que A = 0,15, B = 0,1004 y la solucion es

y(t) = e−5,506t(0,15cos(8,227t) + 0,1004sen(8,227t)).

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t

-0.10

-0.05

0.05

0.10

0.15

0.20yHtL

Figura 5: Posicion del oscilador subamortiguado.

Se observa que el resorte presenta oscilaciones. Sin embargo, la curva solucion rapidamente tiendea y = 0.

Observacion

Con los cuatro casos descritos anteriormente, se tiene un analisis completo del comportamiento delsistema masa-resorte. El comportamiento de las soluciones depende de las raıces del polinomio ca-racterısrico, o sea depende de las condiciones fısicas del problema.

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2. Los fenomenos de la naturaleza impulsiva, tales como la accion de fuerzas muy grandes en interva-los de tiempo muy cortos, son de gran interes practico, ya que ocurren en varias aplicaciones. Elobjetivo es entonces indicar la manera de resolver problemas en los que intervienen impulsos cortosutilizando transformadas de Laplace.

En mecanica, el impulso de una fuerza f(t) durante un intervalo de tiempo, por ejemplo a ≤ t ≤ a+kse define como la integral de f(t) de a a a+ k. De particular interes practico es el caso cuando k esmuy breve, o sea cuando k → 0, es decir, el impulso de una fuerza que actua solo por un instante.Para manejar el caso, se considera la funcion

fk(t) =

{1/k , si a ≤ t < a+ k

0 , en caso contrario

Figura 6: Funcion fk(t).

Su impulso Ik es 1 (integral de rectangulo de area 1). Se puede representar fk(t) en terminos de dosfunciones escalon unitario:

fk(t) =1

k[u(t− a)− u(t− (a+ k))].

Si sacamos transformada de Laplace se obtiene

L[fk(t)] =1

ks[e−as − e−(a+k)s] = e−as

1− e−ks

ks

El lımite de fk(t) cuando k → 0 se denota δ(t − a) y se llama funcion delta de Dirac. El lımite seresuelve mediante la regla de L’Hopital. Por tanto,

L[δ(t− a)] = e−as

Se observa que δ(t − a) no es una funcion en el sentido ordinario usado en el calculo sino que setrata de una llamada funcion generalizada ya que si k → 0 implica

δ(t− a) =

{∞ , si t = a

0 , en caso contrario

y ∫ ∞0

δ(t− a)dt = 1

pero una funcion ordinaria que es cero excepto en un solo punto debe tener la integral cero. Sinembargo, en problemas de impulsos resulta conveniente operar con esta funcion como si se tratara

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de una funcion ordinaria.

Ahora se procede a resolver las ecuaciones diferenciales con valores iniciales.

(a)

y′′ + y = δπ(x)

y(0) = 0

y′(0) = 0

Aplicando la transformada de Laplace a la ecuacion , se obtiene

s2y(s)− sy(0)− y′(0) + y(s) = e−πs.

Reemplazando las condiciones iniciales se obtiene

y(s) =e−πs

s2 + 1

La Transformada de Laplace de sen(x) es 1/(s2 + 1). Entonces aplicando propiedad de desplaza-miento a la funcion seno, y aplicando Laplace inversa, se obtiene

y(x) = uπ(x)sen(x− π).

-10 -5 5 10 15 20x

-1.0

-0.5

0.5

1.0

yHxL

Figura 7: Despues de la fuerza aplicada la masa oscila como un oscilador armonico simple.

El resorte parte en su posicion de reposo sin velocidad, o sea no se mueve. Luego, debido a la fuerzatipo pulso ejercida, la masa adquiere velocidad y oscila sin parar debido a que no hay amortigua-miento.

(b)

y′′ + y =∞∑k=1

δkπ(x)

y(0) = 0

y′(0) = 0

7

Aplicando la transformada de Laplace a la ecuacion se obtiene

s2y(s)− sy(0)− y′(0) + y(s) =

∞∑k=1

e−kπs

Reemplazando las condiciones iniciales y despejando y(s) se obtiene

y(s) =1

s2 + 1

∞∑k=1

e−kπs

Razonando de igual manera, la transformada de Laplace inversa incluye a la funcion seno desplazada:

y(x) =∞∑k=1

ukπ(x)sen(x− kπ).

-5 5 10 15 20 25x

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

yHxL

Figura 8: Movimiento de la masa. El resorte no se comprime.

Se observa que la perturbacion es periodica e impide que y(t) < 0, o sea el resorte no se comprimepara t > 0.

(c)

y′′ + y =

∞∑k=1

δk2π(x)

y(0) = 0

y′(0) = 0

Aplicando la transformada de Laplace a la ecuacion se obtiene

s2y(s)− sy(0)− y′(0) + y(s) =∞∑k=1

e−k2πs.

Reemplazando las condiciones iniciales y despejando y(s) se obtiene

y(s) =1

s2 + 1

∞∑k=1

e−k2πs

8

Razonando de igual manera la solucion es

y(x) =

∞∑k=1

u2kπ(x)sen(x− 2kπ).

-5 5 10 15 20 25x

-6

-4

-2

2

4

6

yHxL

Figura 9: La masa es acelerada cada vez mas.

La amplitud aumenta debido a que el cuerpo adquiere mayor velocidad y aceleracion.

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3. (a) La operacion es conmutativa. Calculo de (f ∗ g)(t):

f ∗ g =

∫ ∞−∞

f(x)g(t− x)dx.

Sea y = t− x, o sea dy = −dx. Sustituyendo en la ecuacion anterior se ontiene

f ∗ g = −∫ −∞∞

f(t− y)g(y)dy =

∫ ∞−∞

g(y)f(t− y)dy = g ∗ f

(b) La operacion es asociativa. Calculo de f ∗ (g ∗ h):

f ∗ (g ∗ h) =

∫ ∞−∞

f(x)[(g ∗ h)(t− x)]dx =

∫ ∞−∞

f(x)

[∫ ∞−∞

g(z)h(t− x− z)dz]dx

Si se efectua el cambio de variable u = x + z ⇒ du = dz y si se reemplaza en la ecuacion anteriorse obtiene

∫ ∞−∞

f(x)

[∫ ∞−∞

g(u− x)h(t− u)du

]dx =

∫ ∞−∞

[∫ ∞−∞

f(x)g(u− x)dx

]h(t− u)du = (f ∗ g) ∗ h.

(c) Calculo de F (s)G(s):

F (s)G(s) =

[∫ ∞0

f(τ)e−sτdτ

] [∫ ∞0

g(u)e−sudu

]La primera integral no contiene la variable u, y es posible llevarla dentro de la segunda integral,obteniendo

F (s)G(s) =

∫ ∞0

[∫ ∞0

f(τ)e−sτdτ

]g(u)e−sudu

La ultima expresion se puede expresar como una integral doble

F (s)G(s) =

∫ ∞0

∫ ∞0

f(τ)g(u)e−s(τ+u)dτdu

Efectuando el cambio de variables t = τ + u. Entonces se tiene que dt = du y dado que 0 < τ <∞⇒ u < t <∞, se tiene

F (s)G(s) =

∫ ∞0

∫ ∞u

f(t− u)g(u)e−stdtdu.

Se puede cambiar el orden en la integral doble. Efectuando el cambio se obtiene

F (s)G(s) =

∫ ∞0

∫ t

uf(t− u)g(u)e−stdudt.

que es lo mismo que

F (s)G(s) =

∫ ∞0

[∫ t

uf(t− u)g(u)du

]e−stdt = L[f ∗ g].

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