Tarea hector p
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UNIVERSIDAD FERMIN TORO ESCUELA DE INGENIERIA CABUDARE ESTADO LARA
HECTOR PEREZ MATEMATICA II
INTEGRAL DEFINIDA
Consideraremos una funcioacuten real y = f(x) positiva y acotada definida en el intervalo cerrado [a b]
Se llama integral definida de la funcioacuten f(x) 0 entre a y b (los liacutemites de integracioacuten) al aacuterea de la porcioacuten de plano limitada por la graacutefica de la funcioacuten el eje X y las rectas paralelas x = a y x = b
Comenzaremos con las definiciones de suma superior y suma inferior de Darboux de una funcioacuten definida en un intervalo [ab] asociadas a una particioacuten del mismo Estas sumas son aproximaciones al aacuterea que queremos calcular
Veremos algunas de sus propiedades en particular las referentes a la relacioacuten entre ambas sumas y a su comportamiento cuando se consideran particiones cada vez maacutes finas (que corresponderaacuten a aproximaciones del aacuterea cada vez mejores) Estas propiedades nos garantizan la existencia del supremo de las sumas inferiores y del iacutenfimo de las sumas superiores siendo estos valores las integrales inferior y superior respectivamente de Darboux en el intervalo [ab]
Al ser f positiva en [ab] estos valores nos proporcionan estimaciones por debajo y por arriba del aacuterea encerrada por f en [ab] Se diraacute que f es integrable Darboux en [ab] si ambas aproximaciones coinciden La integral de Riemann se define de forma ligeramente diferente a partir de particiones evaluadas La integral de Riemann y la de Darboux son equivalentes Debido a este hecho nos referiremos como Integral de Riemann a todas ellas En este caso se define la integral de f en el intervalo [ab] como el valor comuacuten de las integrales inferior y superior
Daremos el criterio de integrabilidad de Riemann que nos permite estudiar la integrabilidad de una funcioacuten sin necesidad de calcular las integrales superior e inferior Esto nos permite hacer diferentes tipos de aproximacioacuten de la integral
Entre las propiedades fundamentales de la integral veremos la linealidad la monotoniacutea y la aditividad respecto del intervalo
Daremos tambieacuten uno de los resultados centrales de toda la Matemaacutetica el Teorema Fundamental del Caacutelculo que relaciona dos ramas centrales del Anaacutelisis el Caacutelculo Diferencial y el Caacutelculo Integral Asiacute mismo veremos la
regla de Barrow que permite calcular la integral de Riemann de una funcioacuten integrable a partir de una primitiva de la funcioacuten
Algunas de las aplicaciones praacutecticas son el caacutelculo de liacutemites de algunas sucesiones cuyos teacuterminos estaacuten formados por sumas con un nuacutemero creciente de teacuterminos meacutetodos para calcular aacutereas longitudes de arcos de curva aacutereas y voluacutemenes de revolucioacuten
Particioacuten de un intervalo
- Una particioacuten P del intervalo cerrado [a b] es un conjunto finito de puntos P = x0 x1 x2 xn tal que
a = x0 lt x1 lt x2 lt lt xn-1 lt xn = b
- La diferencia maacutexima entre cualesquiera dos puntos consecutivos de la particioacuten se llama norma de la particioacuten y se denota por || P || es decir
|| P || = max xj - xj-1 j = 1 n
- Un refinamiento de la particioacuten P es otra particioacuten P que contiene todos los puntos de P y ademaacutes otros puntos adicionales tambieacuten ordenados en orden de magnitud
Suma de Riemann superior e inferior
Sea P = x0 x1 x2 xn una particioacuten del intervalo cerrado [a b] y f una funcioacuten acotada definida en ese intervalo Entonces
La suma superior de f respecto de la particioacuten P se define asiacute
S(f P) = cj (xj - xj-1) donde cj es el supremo de f(x) en el intervalo [xj-1 xj]
La suma inferior de f respecto de la particioacuten P se define asiacute
I(f P) = dj (xj - xj-1) donde dj es el iacutenfimo de f(x) en el intervalo [xj-1 xj]
Variacioacuten de las sumas de Riemann
Sea P = x0 x1 x2 xn una particioacuten del intervalo cerrado [a b] y f una funcioacuten acotada definida en ese intervalo Entonces
La suma inferior aumenta a medida que se van tomando refinamientos de la particioacuten P porque cada rectaacutengulo se divide en otros de altura igual o superior y el aacuterea siempre aumenta Es decir
I(f P) I(f P) para todo refinamiento P de la particioacuten P
Graacuteficamente se puede ver en color naranja el aacuterea que aumenta
La suma superior disminuye a medida que se van tomando refinamientos de la particioacuten P porque cada rectaacutengulo se divide en otros de altura igual o inferior y el aacuterea siempre disminuye Es decir
S(f P) S(f P) para todo refinamiento P de la particioacuten P
Graacuteficamente se puede ver en color naranja el aacuterea que disminuye
Integral de Riemann superior e inferior Funciones Riemann-Integrables
Sea f una funcioacuten acotada definida en un intervalo cerrado [a b] Se define
o la integral superior I( f ) = inf S(f P) P es particioacuten de [a b]
o la integral inferior I( f ) = sup I(f P) P es particioacuten de [a b]
Entonces si I( f ) = I( f ) la funcioacuten f es Riemann-Integrable y la integral de Riemann de f sobre el intervalo [a b] se denota por
f(x) dx
Hay que destacar que las sumas superior e inferior dependen de la particioacuten particular escogida mientras que las integrales superior e inferior son
independientes de las particiones elegidas Sin embargo esta definicioacuten es difiacutecil para ser aplicada de forma praacutectica pues es necesario conocer el iacutenfimo y el supremo sobre cualquier particioacuten
Caracterizacioacuten de las funciones Riemann-Integrables
Supongamos que f es una funcioacuten acotada definida en el intervalo cerrado [a b] Entonces f es integrable Riemann si y soacutelo si para todo gt 0 existe al
menos una particioacuten P tal que
| S(f P) - I(f P) | lt
donde S(f P) es la suma superior de f respecto de la particioacuten P e I(f P) es la suma inferior de f respecto de la particioacuten P
Sumas de Riemann
- Si P = x0 x1 x2 xn es una particioacuten del intervalo cerrado [a b] y f es una funcioacuten definida en ese intervalo entonces la Suma de Riemann de f respecto de la particioacuten P se define como
R(f P) = f(tj) (xj - xj-1)
donde tj es un nuacutemero arbitrario en el intervalo [xj-1 xj]
la suma de Riemann corresponde geomeacutetricamente con la suma
de las aacutereas de los rectaacutengulos con base xj - xj-1 y altura f(tj)
Tipos de aproximacioacuten de la integral
Por tanto surge la duda de queacute punto tj tomar dentro de cada subintervalo de la particioacuten para evaluar la funcioacuten en ese punto En este sentido hay varias posibilidades para elegir el punto tj en el subintervalo [xj-1 xj] y las maacutes utilizadas son eacutestas
- Punto izquierdo se toma como valor tj el liacutemite inferior del subintervalo es decir xj-1 Graacuteficamente
- Punto derecho se toma como valor tj el liacutemite superior del subintervalo es
decir xj Graacuteficamente
- Punto medio se toma como valor tj el punto medio entre los liacutemites del subintervalo es decir (xj-1 + xj) 2 Graacuteficamente
- Punto aleatorio se toma como valor tj un punto elegido aleatoriamente entre todos los puntos del subintervalo Graacuteficamente
- Punto iacutenfimo se toma como valor tj aquel punto del subintervalo tal que f(tj)
es el iacutenfimo en ese subintervalo Graacuteficamente
- Punto supremo se toma como valor tj aquel punto del subintervalo tal que
f(tj) es el supremo en ese subintervalo Graacuteficamente
Los dos uacuteltimos tipos de aproximacioacuten no son uacutetiles en la praacutectica pues para aplicarlos seriacutea necesario calcular el iacutenfimo o el supremo de f(t j) teniendo que recorrer todo el subintervalo Pero esto no es necesario iquestPor queacute
Si una funcioacuten es Riemann-Integrable podemos aproximar la integral por sumas de Riemann R(fP) tomando tj como queramos
Veamos esto si la funcioacuten es Riemann-Integrable cualquier suma de Riemann R(f P) tiende al valor de la integral porque para cualquier punto t j tenemos que
dj f(tj) cj (siendo dj el iacutenfimo y cj el supremo en ese subintervalo) luego
I(fP) R(fP) S(fP)
Funciones Riemann-Integrables
Toda funcioacuten continua en un intervalo cerrado y acotado es Riemann-Integrable
Toda funcioacuten continua y acotada en un intervalo cerrado y acotado excepto en una cantidad numerable de puntos es Riemann-Integrable
Reciacuteprocamente si una funcioacuten acotada definida en un intervalo cerrado y acotado es Riemann-Integrable entoces es continua en ese intervalo excepto como mucho en una cantidad numerable de puntos
Toda funcioacuten monoacutetona y acotada en un intervalo cerrado y acotado es Riemann-Integrable
Veamos un ejemplo de una funcioacuten Riemann-Integrable no continua Definamos la funcioacuten
La representacioacuten graacutefica de esta funcioacuten es
Esta funcioacuten es Riemann-Integrable porque se pueden calcular las aacutereas de los rectaacutengulos escalonados Y sin embargo no es continua en una cantidad numerable de puntos es decir en 1n siendo n un nuacutemero natural
Teorema Fundamental del Caacutelculo
Sea f una funcioacuten integrable definida en el intervalo cerrado y acotado [a b] se define una nueva funcioacuten
F(x) = f(t) dt Entonces F es continua en [a b] Es maacutes si f es continua en un punto c del intervalo (ab) entonces F es derivable en c y
F (c) = f(c)
Evaluacioacuten de la integral Regla de Barrow
Relaciona el Caacutelculo Integral con el Caacutelculo Diferencial
Sea f una funcioacuten Riemann-Integrable definida en el intervalo cerrado y acotado [a b]
Y sea F una primitiva de f en [a b] es decir F (x) = f (x) para todo x perteneciente a [a b]
Entonces
f(x) dx = F(b) - F(a)
regla de Barrow que permite calcular la integral de Riemann de una funcioacuten integrable a partir de una primitiva de la funcioacuten
Algunas de las aplicaciones praacutecticas son el caacutelculo de liacutemites de algunas sucesiones cuyos teacuterminos estaacuten formados por sumas con un nuacutemero creciente de teacuterminos meacutetodos para calcular aacutereas longitudes de arcos de curva aacutereas y voluacutemenes de revolucioacuten
Particioacuten de un intervalo
- Una particioacuten P del intervalo cerrado [a b] es un conjunto finito de puntos P = x0 x1 x2 xn tal que
a = x0 lt x1 lt x2 lt lt xn-1 lt xn = b
- La diferencia maacutexima entre cualesquiera dos puntos consecutivos de la particioacuten se llama norma de la particioacuten y se denota por || P || es decir
|| P || = max xj - xj-1 j = 1 n
- Un refinamiento de la particioacuten P es otra particioacuten P que contiene todos los puntos de P y ademaacutes otros puntos adicionales tambieacuten ordenados en orden de magnitud
Suma de Riemann superior e inferior
Sea P = x0 x1 x2 xn una particioacuten del intervalo cerrado [a b] y f una funcioacuten acotada definida en ese intervalo Entonces
La suma superior de f respecto de la particioacuten P se define asiacute
S(f P) = cj (xj - xj-1) donde cj es el supremo de f(x) en el intervalo [xj-1 xj]
La suma inferior de f respecto de la particioacuten P se define asiacute
I(f P) = dj (xj - xj-1) donde dj es el iacutenfimo de f(x) en el intervalo [xj-1 xj]
Variacioacuten de las sumas de Riemann
Sea P = x0 x1 x2 xn una particioacuten del intervalo cerrado [a b] y f una funcioacuten acotada definida en ese intervalo Entonces
La suma inferior aumenta a medida que se van tomando refinamientos de la particioacuten P porque cada rectaacutengulo se divide en otros de altura igual o superior y el aacuterea siempre aumenta Es decir
I(f P) I(f P) para todo refinamiento P de la particioacuten P
Graacuteficamente se puede ver en color naranja el aacuterea que aumenta
La suma superior disminuye a medida que se van tomando refinamientos de la particioacuten P porque cada rectaacutengulo se divide en otros de altura igual o inferior y el aacuterea siempre disminuye Es decir
S(f P) S(f P) para todo refinamiento P de la particioacuten P
Graacuteficamente se puede ver en color naranja el aacuterea que disminuye
Integral de Riemann superior e inferior Funciones Riemann-Integrables
Sea f una funcioacuten acotada definida en un intervalo cerrado [a b] Se define
o la integral superior I( f ) = inf S(f P) P es particioacuten de [a b]
o la integral inferior I( f ) = sup I(f P) P es particioacuten de [a b]
Entonces si I( f ) = I( f ) la funcioacuten f es Riemann-Integrable y la integral de Riemann de f sobre el intervalo [a b] se denota por
f(x) dx
Hay que destacar que las sumas superior e inferior dependen de la particioacuten particular escogida mientras que las integrales superior e inferior son
independientes de las particiones elegidas Sin embargo esta definicioacuten es difiacutecil para ser aplicada de forma praacutectica pues es necesario conocer el iacutenfimo y el supremo sobre cualquier particioacuten
Caracterizacioacuten de las funciones Riemann-Integrables
Supongamos que f es una funcioacuten acotada definida en el intervalo cerrado [a b] Entonces f es integrable Riemann si y soacutelo si para todo gt 0 existe al
menos una particioacuten P tal que
| S(f P) - I(f P) | lt
donde S(f P) es la suma superior de f respecto de la particioacuten P e I(f P) es la suma inferior de f respecto de la particioacuten P
Sumas de Riemann
- Si P = x0 x1 x2 xn es una particioacuten del intervalo cerrado [a b] y f es una funcioacuten definida en ese intervalo entonces la Suma de Riemann de f respecto de la particioacuten P se define como
R(f P) = f(tj) (xj - xj-1)
donde tj es un nuacutemero arbitrario en el intervalo [xj-1 xj]
la suma de Riemann corresponde geomeacutetricamente con la suma
de las aacutereas de los rectaacutengulos con base xj - xj-1 y altura f(tj)
Tipos de aproximacioacuten de la integral
Por tanto surge la duda de queacute punto tj tomar dentro de cada subintervalo de la particioacuten para evaluar la funcioacuten en ese punto En este sentido hay varias posibilidades para elegir el punto tj en el subintervalo [xj-1 xj] y las maacutes utilizadas son eacutestas
- Punto izquierdo se toma como valor tj el liacutemite inferior del subintervalo es decir xj-1 Graacuteficamente
- Punto derecho se toma como valor tj el liacutemite superior del subintervalo es
decir xj Graacuteficamente
- Punto medio se toma como valor tj el punto medio entre los liacutemites del subintervalo es decir (xj-1 + xj) 2 Graacuteficamente
- Punto aleatorio se toma como valor tj un punto elegido aleatoriamente entre todos los puntos del subintervalo Graacuteficamente
- Punto iacutenfimo se toma como valor tj aquel punto del subintervalo tal que f(tj)
es el iacutenfimo en ese subintervalo Graacuteficamente
- Punto supremo se toma como valor tj aquel punto del subintervalo tal que
f(tj) es el supremo en ese subintervalo Graacuteficamente
Los dos uacuteltimos tipos de aproximacioacuten no son uacutetiles en la praacutectica pues para aplicarlos seriacutea necesario calcular el iacutenfimo o el supremo de f(t j) teniendo que recorrer todo el subintervalo Pero esto no es necesario iquestPor queacute
Si una funcioacuten es Riemann-Integrable podemos aproximar la integral por sumas de Riemann R(fP) tomando tj como queramos
Veamos esto si la funcioacuten es Riemann-Integrable cualquier suma de Riemann R(f P) tiende al valor de la integral porque para cualquier punto t j tenemos que
dj f(tj) cj (siendo dj el iacutenfimo y cj el supremo en ese subintervalo) luego
I(fP) R(fP) S(fP)
Funciones Riemann-Integrables
Toda funcioacuten continua en un intervalo cerrado y acotado es Riemann-Integrable
Toda funcioacuten continua y acotada en un intervalo cerrado y acotado excepto en una cantidad numerable de puntos es Riemann-Integrable
Reciacuteprocamente si una funcioacuten acotada definida en un intervalo cerrado y acotado es Riemann-Integrable entoces es continua en ese intervalo excepto como mucho en una cantidad numerable de puntos
Toda funcioacuten monoacutetona y acotada en un intervalo cerrado y acotado es Riemann-Integrable
Veamos un ejemplo de una funcioacuten Riemann-Integrable no continua Definamos la funcioacuten
La representacioacuten graacutefica de esta funcioacuten es
Esta funcioacuten es Riemann-Integrable porque se pueden calcular las aacutereas de los rectaacutengulos escalonados Y sin embargo no es continua en una cantidad numerable de puntos es decir en 1n siendo n un nuacutemero natural
Teorema Fundamental del Caacutelculo
Sea f una funcioacuten integrable definida en el intervalo cerrado y acotado [a b] se define una nueva funcioacuten
F(x) = f(t) dt Entonces F es continua en [a b] Es maacutes si f es continua en un punto c del intervalo (ab) entonces F es derivable en c y
F (c) = f(c)
Evaluacioacuten de la integral Regla de Barrow
Relaciona el Caacutelculo Integral con el Caacutelculo Diferencial
Sea f una funcioacuten Riemann-Integrable definida en el intervalo cerrado y acotado [a b]
Y sea F una primitiva de f en [a b] es decir F (x) = f (x) para todo x perteneciente a [a b]
Entonces
f(x) dx = F(b) - F(a)
La suma inferior aumenta a medida que se van tomando refinamientos de la particioacuten P porque cada rectaacutengulo se divide en otros de altura igual o superior y el aacuterea siempre aumenta Es decir
I(f P) I(f P) para todo refinamiento P de la particioacuten P
Graacuteficamente se puede ver en color naranja el aacuterea que aumenta
La suma superior disminuye a medida que se van tomando refinamientos de la particioacuten P porque cada rectaacutengulo se divide en otros de altura igual o inferior y el aacuterea siempre disminuye Es decir
S(f P) S(f P) para todo refinamiento P de la particioacuten P
Graacuteficamente se puede ver en color naranja el aacuterea que disminuye
Integral de Riemann superior e inferior Funciones Riemann-Integrables
Sea f una funcioacuten acotada definida en un intervalo cerrado [a b] Se define
o la integral superior I( f ) = inf S(f P) P es particioacuten de [a b]
o la integral inferior I( f ) = sup I(f P) P es particioacuten de [a b]
Entonces si I( f ) = I( f ) la funcioacuten f es Riemann-Integrable y la integral de Riemann de f sobre el intervalo [a b] se denota por
f(x) dx
Hay que destacar que las sumas superior e inferior dependen de la particioacuten particular escogida mientras que las integrales superior e inferior son
independientes de las particiones elegidas Sin embargo esta definicioacuten es difiacutecil para ser aplicada de forma praacutectica pues es necesario conocer el iacutenfimo y el supremo sobre cualquier particioacuten
Caracterizacioacuten de las funciones Riemann-Integrables
Supongamos que f es una funcioacuten acotada definida en el intervalo cerrado [a b] Entonces f es integrable Riemann si y soacutelo si para todo gt 0 existe al
menos una particioacuten P tal que
| S(f P) - I(f P) | lt
donde S(f P) es la suma superior de f respecto de la particioacuten P e I(f P) es la suma inferior de f respecto de la particioacuten P
Sumas de Riemann
- Si P = x0 x1 x2 xn es una particioacuten del intervalo cerrado [a b] y f es una funcioacuten definida en ese intervalo entonces la Suma de Riemann de f respecto de la particioacuten P se define como
R(f P) = f(tj) (xj - xj-1)
donde tj es un nuacutemero arbitrario en el intervalo [xj-1 xj]
la suma de Riemann corresponde geomeacutetricamente con la suma
de las aacutereas de los rectaacutengulos con base xj - xj-1 y altura f(tj)
Tipos de aproximacioacuten de la integral
Por tanto surge la duda de queacute punto tj tomar dentro de cada subintervalo de la particioacuten para evaluar la funcioacuten en ese punto En este sentido hay varias posibilidades para elegir el punto tj en el subintervalo [xj-1 xj] y las maacutes utilizadas son eacutestas
- Punto izquierdo se toma como valor tj el liacutemite inferior del subintervalo es decir xj-1 Graacuteficamente
- Punto derecho se toma como valor tj el liacutemite superior del subintervalo es
decir xj Graacuteficamente
- Punto medio se toma como valor tj el punto medio entre los liacutemites del subintervalo es decir (xj-1 + xj) 2 Graacuteficamente
- Punto aleatorio se toma como valor tj un punto elegido aleatoriamente entre todos los puntos del subintervalo Graacuteficamente
- Punto iacutenfimo se toma como valor tj aquel punto del subintervalo tal que f(tj)
es el iacutenfimo en ese subintervalo Graacuteficamente
- Punto supremo se toma como valor tj aquel punto del subintervalo tal que
f(tj) es el supremo en ese subintervalo Graacuteficamente
Los dos uacuteltimos tipos de aproximacioacuten no son uacutetiles en la praacutectica pues para aplicarlos seriacutea necesario calcular el iacutenfimo o el supremo de f(t j) teniendo que recorrer todo el subintervalo Pero esto no es necesario iquestPor queacute
Si una funcioacuten es Riemann-Integrable podemos aproximar la integral por sumas de Riemann R(fP) tomando tj como queramos
Veamos esto si la funcioacuten es Riemann-Integrable cualquier suma de Riemann R(f P) tiende al valor de la integral porque para cualquier punto t j tenemos que
dj f(tj) cj (siendo dj el iacutenfimo y cj el supremo en ese subintervalo) luego
I(fP) R(fP) S(fP)
Funciones Riemann-Integrables
Toda funcioacuten continua en un intervalo cerrado y acotado es Riemann-Integrable
Toda funcioacuten continua y acotada en un intervalo cerrado y acotado excepto en una cantidad numerable de puntos es Riemann-Integrable
Reciacuteprocamente si una funcioacuten acotada definida en un intervalo cerrado y acotado es Riemann-Integrable entoces es continua en ese intervalo excepto como mucho en una cantidad numerable de puntos
Toda funcioacuten monoacutetona y acotada en un intervalo cerrado y acotado es Riemann-Integrable
Veamos un ejemplo de una funcioacuten Riemann-Integrable no continua Definamos la funcioacuten
La representacioacuten graacutefica de esta funcioacuten es
Esta funcioacuten es Riemann-Integrable porque se pueden calcular las aacutereas de los rectaacutengulos escalonados Y sin embargo no es continua en una cantidad numerable de puntos es decir en 1n siendo n un nuacutemero natural
Teorema Fundamental del Caacutelculo
Sea f una funcioacuten integrable definida en el intervalo cerrado y acotado [a b] se define una nueva funcioacuten
F(x) = f(t) dt Entonces F es continua en [a b] Es maacutes si f es continua en un punto c del intervalo (ab) entonces F es derivable en c y
F (c) = f(c)
Evaluacioacuten de la integral Regla de Barrow
Relaciona el Caacutelculo Integral con el Caacutelculo Diferencial
Sea f una funcioacuten Riemann-Integrable definida en el intervalo cerrado y acotado [a b]
Y sea F una primitiva de f en [a b] es decir F (x) = f (x) para todo x perteneciente a [a b]
Entonces
f(x) dx = F(b) - F(a)
independientes de las particiones elegidas Sin embargo esta definicioacuten es difiacutecil para ser aplicada de forma praacutectica pues es necesario conocer el iacutenfimo y el supremo sobre cualquier particioacuten
Caracterizacioacuten de las funciones Riemann-Integrables
Supongamos que f es una funcioacuten acotada definida en el intervalo cerrado [a b] Entonces f es integrable Riemann si y soacutelo si para todo gt 0 existe al
menos una particioacuten P tal que
| S(f P) - I(f P) | lt
donde S(f P) es la suma superior de f respecto de la particioacuten P e I(f P) es la suma inferior de f respecto de la particioacuten P
Sumas de Riemann
- Si P = x0 x1 x2 xn es una particioacuten del intervalo cerrado [a b] y f es una funcioacuten definida en ese intervalo entonces la Suma de Riemann de f respecto de la particioacuten P se define como
R(f P) = f(tj) (xj - xj-1)
donde tj es un nuacutemero arbitrario en el intervalo [xj-1 xj]
la suma de Riemann corresponde geomeacutetricamente con la suma
de las aacutereas de los rectaacutengulos con base xj - xj-1 y altura f(tj)
Tipos de aproximacioacuten de la integral
Por tanto surge la duda de queacute punto tj tomar dentro de cada subintervalo de la particioacuten para evaluar la funcioacuten en ese punto En este sentido hay varias posibilidades para elegir el punto tj en el subintervalo [xj-1 xj] y las maacutes utilizadas son eacutestas
- Punto izquierdo se toma como valor tj el liacutemite inferior del subintervalo es decir xj-1 Graacuteficamente
- Punto derecho se toma como valor tj el liacutemite superior del subintervalo es
decir xj Graacuteficamente
- Punto medio se toma como valor tj el punto medio entre los liacutemites del subintervalo es decir (xj-1 + xj) 2 Graacuteficamente
- Punto aleatorio se toma como valor tj un punto elegido aleatoriamente entre todos los puntos del subintervalo Graacuteficamente
- Punto iacutenfimo se toma como valor tj aquel punto del subintervalo tal que f(tj)
es el iacutenfimo en ese subintervalo Graacuteficamente
- Punto supremo se toma como valor tj aquel punto del subintervalo tal que
f(tj) es el supremo en ese subintervalo Graacuteficamente
Los dos uacuteltimos tipos de aproximacioacuten no son uacutetiles en la praacutectica pues para aplicarlos seriacutea necesario calcular el iacutenfimo o el supremo de f(t j) teniendo que recorrer todo el subintervalo Pero esto no es necesario iquestPor queacute
Si una funcioacuten es Riemann-Integrable podemos aproximar la integral por sumas de Riemann R(fP) tomando tj como queramos
Veamos esto si la funcioacuten es Riemann-Integrable cualquier suma de Riemann R(f P) tiende al valor de la integral porque para cualquier punto t j tenemos que
dj f(tj) cj (siendo dj el iacutenfimo y cj el supremo en ese subintervalo) luego
I(fP) R(fP) S(fP)
Funciones Riemann-Integrables
Toda funcioacuten continua en un intervalo cerrado y acotado es Riemann-Integrable
Toda funcioacuten continua y acotada en un intervalo cerrado y acotado excepto en una cantidad numerable de puntos es Riemann-Integrable
Reciacuteprocamente si una funcioacuten acotada definida en un intervalo cerrado y acotado es Riemann-Integrable entoces es continua en ese intervalo excepto como mucho en una cantidad numerable de puntos
Toda funcioacuten monoacutetona y acotada en un intervalo cerrado y acotado es Riemann-Integrable
Veamos un ejemplo de una funcioacuten Riemann-Integrable no continua Definamos la funcioacuten
La representacioacuten graacutefica de esta funcioacuten es
Esta funcioacuten es Riemann-Integrable porque se pueden calcular las aacutereas de los rectaacutengulos escalonados Y sin embargo no es continua en una cantidad numerable de puntos es decir en 1n siendo n un nuacutemero natural
Teorema Fundamental del Caacutelculo
Sea f una funcioacuten integrable definida en el intervalo cerrado y acotado [a b] se define una nueva funcioacuten
F(x) = f(t) dt Entonces F es continua en [a b] Es maacutes si f es continua en un punto c del intervalo (ab) entonces F es derivable en c y
F (c) = f(c)
Evaluacioacuten de la integral Regla de Barrow
Relaciona el Caacutelculo Integral con el Caacutelculo Diferencial
Sea f una funcioacuten Riemann-Integrable definida en el intervalo cerrado y acotado [a b]
Y sea F una primitiva de f en [a b] es decir F (x) = f (x) para todo x perteneciente a [a b]
Entonces
f(x) dx = F(b) - F(a)
- Punto derecho se toma como valor tj el liacutemite superior del subintervalo es
decir xj Graacuteficamente
- Punto medio se toma como valor tj el punto medio entre los liacutemites del subintervalo es decir (xj-1 + xj) 2 Graacuteficamente
- Punto aleatorio se toma como valor tj un punto elegido aleatoriamente entre todos los puntos del subintervalo Graacuteficamente
- Punto iacutenfimo se toma como valor tj aquel punto del subintervalo tal que f(tj)
es el iacutenfimo en ese subintervalo Graacuteficamente
- Punto supremo se toma como valor tj aquel punto del subintervalo tal que
f(tj) es el supremo en ese subintervalo Graacuteficamente
Los dos uacuteltimos tipos de aproximacioacuten no son uacutetiles en la praacutectica pues para aplicarlos seriacutea necesario calcular el iacutenfimo o el supremo de f(t j) teniendo que recorrer todo el subintervalo Pero esto no es necesario iquestPor queacute
Si una funcioacuten es Riemann-Integrable podemos aproximar la integral por sumas de Riemann R(fP) tomando tj como queramos
Veamos esto si la funcioacuten es Riemann-Integrable cualquier suma de Riemann R(f P) tiende al valor de la integral porque para cualquier punto t j tenemos que
dj f(tj) cj (siendo dj el iacutenfimo y cj el supremo en ese subintervalo) luego
I(fP) R(fP) S(fP)
Funciones Riemann-Integrables
Toda funcioacuten continua en un intervalo cerrado y acotado es Riemann-Integrable
Toda funcioacuten continua y acotada en un intervalo cerrado y acotado excepto en una cantidad numerable de puntos es Riemann-Integrable
Reciacuteprocamente si una funcioacuten acotada definida en un intervalo cerrado y acotado es Riemann-Integrable entoces es continua en ese intervalo excepto como mucho en una cantidad numerable de puntos
Toda funcioacuten monoacutetona y acotada en un intervalo cerrado y acotado es Riemann-Integrable
Veamos un ejemplo de una funcioacuten Riemann-Integrable no continua Definamos la funcioacuten
La representacioacuten graacutefica de esta funcioacuten es
Esta funcioacuten es Riemann-Integrable porque se pueden calcular las aacutereas de los rectaacutengulos escalonados Y sin embargo no es continua en una cantidad numerable de puntos es decir en 1n siendo n un nuacutemero natural
Teorema Fundamental del Caacutelculo
Sea f una funcioacuten integrable definida en el intervalo cerrado y acotado [a b] se define una nueva funcioacuten
F(x) = f(t) dt Entonces F es continua en [a b] Es maacutes si f es continua en un punto c del intervalo (ab) entonces F es derivable en c y
F (c) = f(c)
Evaluacioacuten de la integral Regla de Barrow
Relaciona el Caacutelculo Integral con el Caacutelculo Diferencial
Sea f una funcioacuten Riemann-Integrable definida en el intervalo cerrado y acotado [a b]
Y sea F una primitiva de f en [a b] es decir F (x) = f (x) para todo x perteneciente a [a b]
Entonces
f(x) dx = F(b) - F(a)
- Punto supremo se toma como valor tj aquel punto del subintervalo tal que
f(tj) es el supremo en ese subintervalo Graacuteficamente
Los dos uacuteltimos tipos de aproximacioacuten no son uacutetiles en la praacutectica pues para aplicarlos seriacutea necesario calcular el iacutenfimo o el supremo de f(t j) teniendo que recorrer todo el subintervalo Pero esto no es necesario iquestPor queacute
Si una funcioacuten es Riemann-Integrable podemos aproximar la integral por sumas de Riemann R(fP) tomando tj como queramos
Veamos esto si la funcioacuten es Riemann-Integrable cualquier suma de Riemann R(f P) tiende al valor de la integral porque para cualquier punto t j tenemos que
dj f(tj) cj (siendo dj el iacutenfimo y cj el supremo en ese subintervalo) luego
I(fP) R(fP) S(fP)
Funciones Riemann-Integrables
Toda funcioacuten continua en un intervalo cerrado y acotado es Riemann-Integrable
Toda funcioacuten continua y acotada en un intervalo cerrado y acotado excepto en una cantidad numerable de puntos es Riemann-Integrable
Reciacuteprocamente si una funcioacuten acotada definida en un intervalo cerrado y acotado es Riemann-Integrable entoces es continua en ese intervalo excepto como mucho en una cantidad numerable de puntos
Toda funcioacuten monoacutetona y acotada en un intervalo cerrado y acotado es Riemann-Integrable
Veamos un ejemplo de una funcioacuten Riemann-Integrable no continua Definamos la funcioacuten
La representacioacuten graacutefica de esta funcioacuten es
Esta funcioacuten es Riemann-Integrable porque se pueden calcular las aacutereas de los rectaacutengulos escalonados Y sin embargo no es continua en una cantidad numerable de puntos es decir en 1n siendo n un nuacutemero natural
Teorema Fundamental del Caacutelculo
Sea f una funcioacuten integrable definida en el intervalo cerrado y acotado [a b] se define una nueva funcioacuten
F(x) = f(t) dt Entonces F es continua en [a b] Es maacutes si f es continua en un punto c del intervalo (ab) entonces F es derivable en c y
F (c) = f(c)
Evaluacioacuten de la integral Regla de Barrow
Relaciona el Caacutelculo Integral con el Caacutelculo Diferencial
Sea f una funcioacuten Riemann-Integrable definida en el intervalo cerrado y acotado [a b]
Y sea F una primitiva de f en [a b] es decir F (x) = f (x) para todo x perteneciente a [a b]
Entonces
f(x) dx = F(b) - F(a)
Veamos un ejemplo de una funcioacuten Riemann-Integrable no continua Definamos la funcioacuten
La representacioacuten graacutefica de esta funcioacuten es
Esta funcioacuten es Riemann-Integrable porque se pueden calcular las aacutereas de los rectaacutengulos escalonados Y sin embargo no es continua en una cantidad numerable de puntos es decir en 1n siendo n un nuacutemero natural
Teorema Fundamental del Caacutelculo
Sea f una funcioacuten integrable definida en el intervalo cerrado y acotado [a b] se define una nueva funcioacuten
F(x) = f(t) dt Entonces F es continua en [a b] Es maacutes si f es continua en un punto c del intervalo (ab) entonces F es derivable en c y
F (c) = f(c)
Evaluacioacuten de la integral Regla de Barrow
Relaciona el Caacutelculo Integral con el Caacutelculo Diferencial
Sea f una funcioacuten Riemann-Integrable definida en el intervalo cerrado y acotado [a b]
Y sea F una primitiva de f en [a b] es decir F (x) = f (x) para todo x perteneciente a [a b]
Entonces
f(x) dx = F(b) - F(a)
Entonces
f(x) dx = F(b) - F(a)
