INDICE

INTRODUCCION……………………………………………………………………….

LIMITE DE FACTORIZACION………………………………………………………

LIMITE RACIONAL……………………………………………………………………

LIMITES DIRECTOS………………………………………………………………….

LIMITES DE FUNCION TRIGONOMETRICA…………………………………..

LIMITES INDETERMINADOS……………………………………………………..

LIMITE INVERSO…………………………………………………………………….

LIMITE INFINITO MENOS INFINITO………………………………………….

LIMITE DE UNA RAIZ……………………………………………………………….

LIMITE MAS MENOS INFINITO……………………..................................

CONCLUCIONES………………………………………………………………………

INTRODUCCION

El presente tema tiene un interés eminentemente práctico, pues su principal finalidad

es aportar los ejemplos que se echaban de menos en el tema anterior.

Empezaremos estableciendo las reglas básicas para el estudio de límites y

divergencia para sumas, productos o cocientes de funciones reales de variable real.

Se trata de trasladar, de forma bastante mecánica, las reglas ya conocidas para

sucesiones y, lógicamente, se reproducen las indeterminaciones que ya teníamos.

Precisamente para salvar esas indeterminaciones, presentamos algunos métodos

nuevos para estudiar el carácter de ciertas sucesiones, entre los que destaca el

criterio de Stolz con sus muchas aplicaciones. También estudiamos sucesiones de

potencias, prestando especial atención a algunos límites relacionados con el número

e, tanto límites de sucesiones como de funciones.

En particular tendremos un estudio, más amplio que el hecho hasta ahora, de la

principales funciones conocidas: racionales, exponenciales, logarítmicas y funciones

potencia.

En resumen, tendremos una amplia gama de ejemplos para ilustrar las nociones de

límite y divergencia, junto con una serie de métodos prácticos para resolver

indeterminaciones.

Límite de factorización

En muchas situaciones nos encontramos que al sustituir el valor correspondiente para

la variable dentro de un límite, el resultado es cero partido cero (0/0), ésto

fundamentalmente en funciones racionales, para resolver ésta situación y determinar

el límite real de la función establecida, debemos echar mano de la factorización para

resolver el problema.

Debemos tener en cuenta, por lo tanto, los casos de factorización, de ésta manera

podemos resolver estos ejercicios; el objetivó fundamentalmente es eliminar algunos

factores del numerador y del denominador para destruir la indeterminación al

sustituir en el límite.

Límite de una función racional

Para estudiar el límite de una función racional, se distinguirán dos casos: 

 Puesto que una función racional es el cociente de dos polinomios, para calcular su límite puede aplicarse la regla para el cálculo del límite de un cociente de dos funciones: 

                                          Tanto el límite del numerador como el del denominador son límites de funciones polinómicas, cuyo cálculo se explicó en el apartado anterior. Al efectuar estos límites pueden darse varias situaciones.  

Se calculan en este caso los límites de P(x) y Q(x) como funciones polinómicas y se halla su cociente. 

Si el denominador se anula en x0, puede ocurrir que el numerador también se anule en x0, o que el numerador no se anule en x0. 

 

 

Para resolver esto basta con tener en cuenta que si Q(x0) = 0 y P(x0) = 0, x0 es

raíz  Una vez hecha la simplificación, bien dividiendo P(x) y Q(x) entre x - x0 ó bien aplicando la regla de Ruffini, se vuelven a calcular los límites de los polinomios ya simplificados. A.2.2. El límite del numerador no es cero.  

 Para resolver esta indeterminación es necesario estudiar los límites laterales de la  Si ambos límites laterales son iguales, la función tiene por límite su valor. Si no son iguales, la función no tiene límite.

Ejercicio:

 Resolución: 

 

 Resolución: 

 

Esta indeterminación se resuelve simplificando el cociente. Aplicando la regla de Ruffini, se obtiene la descomposición de los polinomios P(x) = x3 - 2x2 - 6x +12 yQ(x) = x2 + 3x -10.  Descomposición factorial de P(x):

    Descomposición factorial de Q(x): 

   El límite del cociente P(x)/Q(x) es: 

 

 Resolución: 

  Se simplifican numerador y denominador: 

Límite directo 

En matemática, un límite directo (también llamado límite inductivo) es un colímite de una "familia directa de objetos". De manera general, se expondrá primero la definición para estructuras algebraicas como grupos y módulos, y luego la definición general, la cual puede ser usada en cualquier categoría.

Funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas en el plano cartesiano

se describen como relaciones entre los lados de

un triángulo rectángulo (triángulo en el cual uno de

sus ángulos es recto).

W1w

Ejercicio

Límites IndeterminadosEn muchas ocasiones se presenta el cálculo de límites de cocientes, diferencias y productos de funciones en los que al reemplazar la variable por el valor al cual tiende se generan indeterminaciones del tipo.

El resultado de estos límites no puede anticiparse y el mismo puede ser cero,  ,  , un número finito diferente de cero, o bien puede no existir. Para resolverlos, se realizan procedimientos algebraicos adecuados que permitan salvar la indeterminación.

Se llaman límites indeterminados a los que presentan alguna de estas formas:

                            Contra lo que se pudiera pensar, un límite de la forma  -  no da, en general, como resultado cero, tampoco un límite de la forma 1 da siempre como resultado uno. Por esta razón se les llama límites indeterminados y se requiere hacer un estudio particular para cada caso. Obsérvese que ya se han estudiado varios casos de indeterminaciones de

la -apasando por todos los valores intermedios.  Ejemplo:

 Resolución: Este límite es de la forma . Indeterminado. Este límite se resuelve multiplicando y dividiendo por el conjugado, es decir, por  

                            Por tanto el límite se reduce a calcular  

                                       

 Resolución:

  El primer factor tiene por límite cero ya que el grado del numerador es menor que el del denominador.  El segundo factor tiene por límite  pues el grado del numerador es mayor que el del denominador.  El límite es por tanto de la forma 0·. Indeterminado.  Multiplicando las dos fracciones:

  Al ser un cociente de polinomios de igual grado,

                                  

 Resolución: 

 

 

 

                                     

  

 Resolución: 

 Se saca factor común n2 en la expresión n2 + 3n -2: 

                     

 

 

 

Límite inverso 

En matemáticas, el límite inverso (también llamado límite proyectivo) es una construcción que permite "pegar" varios objetos relacionados, la manera precisa del proceso de pegado es especificada mediante morfismos entre los objetos. Se pueden definir límites inversos en cualquier categoría, pero inicialmente consideraremos solo límites inversos de grupos.

LIMITE DE UNA RAIZlim √(x² + 3x) - x = x→+∞ el límite es de la forma +∞ - ∞; multipliquemos y dividamos por √(x² + 3x) - x (obteniendo en el numerador una diferencia de dos cuadrados): 

lim { {[√(x² + 3x) + x][√(x² + 3x) - x]} /[√(x² + 3x) + x]} = x→+∞ 

lim { {[√(x² + 3x)]² - x²} /[√(x² + 3x) + x]} = x→+∞ 

lim {(x² + 3x - x²) /[√(x² + 3x) + x]} = x→+∞ 

lim {3x /[√(x² + 3x) + x]} = x→+∞ 

ahora el límite es de la forma ∞/∞; multipliquemos y dividamos el radicando por x²: 

lim {3x /{√{x² [(x²/x²) + (3/x²)]} + x} } = x→+∞ 

lim {3x /{√{x² [1 + (3/x²)]} + x} } = x→+∞ 

(sacando x² de la raíz) 

lim {3x /{| x | √{[1 + (3/x²)]} + x} } = x→+∞ 

puesto que x tiende a +∞, y luego x es positivo, podemos quitar el valor absoluto: 

lim {3x /{x √{[1 + (3/x²)]} + x} } = x→+∞ simplifiquemos dividendo numerador y denominador por x: 

lim {3 /{√{[1 + (3/x²)]} + 1} } = x→+∞ 

lim {3 /{√{1 + [3/(→+∞)²]} + 1} } = x→+∞ 

lim {3 /{√{1 + (→0)]} + 1} } = x→+∞ 

3 /[(√1) + 1] = 

3 /(1 + 1) = 

3/2 (resultado).

CONCLIUSION