Tarea de control grupo 4
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República Bolivariana de VenezuelaMinisterio de Educación Superior
Universidad Simón BolívarSistemas de Control II
PS-2316
Tarea Especial:Diseño por realimentación de estados. Método LQR.
PRESENTADO POR: De Jesús, Sergio Sousa, Ronald. Rojas Raúl Diaslara, Ingrid.
Valle de Sartenejas, 8 de diciembre de 2009.
Tenemos las siguientes ecuaciones matriciales que representa nuestra maquina sincrónica:
A= 0 1 0−65.3 −0.6 −37.4−0.2 0 −0.5൩ B= 000.2൩ c=ሾ−0.9 0 0.4ሿ Para que rechace perfectamente perturbaciones estacionarias agregaremos un integrador al final del sistema de manera que mi función de transferencia sea de la siguiente manera: gሺsሻ= 0.08s2+0.048s+11.96s4+1.1s3+65.6s2+25.17s Luego determino mi g(-s) para ver el lugar geométrico de esta función multiplicada por g(s) lo cual debe dar de la siguiente manera:
𝑔ሺ−𝑠ሻ= 0.08s2−0.048s+11.96s4−1.1s3+65.6s2−25.17s
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50Root Locus
Real Axis
Imagin
ary
Axis
Para cumplir las condiciones establecidas por el profesor tuvimos que hallar primero que todo el polo dominante de la siguiente forma:
𝜉= ට ln(𝑚𝑝)2ln(𝑚𝑝)2+π2 =0.6 𝑊𝑛= 4𝜉𝑡𝑠𝑠= 0.6666
𝑝𝑑= −𝜉𝑊𝑛±𝑗𝑊𝑛ඥ1−𝜉2= -0.4 ± j0.5333
Por consiguiente se prosiguió a buscar este punto en LGR de g(s)*g(-s) de manera de conocer la ganancia que aportaba en ese punto y así poder hallar r , lo cual la ganancia era aproximadamente K=3.81, con esto obtuvimos que r=1/3.81=0.2625
Q=C’*C=
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 1
con q con r y con la función lqr hallamos K
Donde K=lqr(g,Q,r)=[ -0.0200 -0.0354 2.7261 1.9519]
Una vez obtenido K buscamos nuestra nueva matriz An=(a-b*k)=
0 1.0000 0 0
-65.3000 -0.6000 -37.4000 0
-0.1935 0.0135 -1.3711 -0.7746
-0.9000 0 0.4000 0
Con esto hallamos nuestra nueva función de transferencia gn(s) a lazo abierto =
0.08 s^2 + 0.048 s + 11.96
---------------------------------------------
s^4 + 1.645 s^3 + 66.35 s^2 + 61.02 s + 23.34
y luego a lazo cerrado:
0.08 s^2 + 0.048 s + 11.96
---------------------------------------------
s^4 + 1.645 s^3 + 66.43 s^2 + 61.06 s + 35.29
Produciendo una respuesta temporal de la siguiente manera:
0 2 4 6 8 10 12 140
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
Step Response
Time (sec)
Am
plit
ude
respuesta temporal a lazo cerrado ante un escalon
Cumpliéndose así las condiciones establecidas en el problema
Ahora por observador de estados:
Primero hallamos el vector observador L a través de la función (place) de matlab:
L’=place(A’,C’,Pd);
Donde Pd=[3,4,5,6]
De esta forma resulta el vector
L’=[-80.1133 -887.4266 5.7701 -19.1]
Luego, fue incluido en el siguiente modelo de simulink: h
tiempo2
h1
tiempo1
t
tiempo
referencia lazo cerrado1
referencia lazo cerrado
x' = Ax+Bu y = Cx+Du
State-Space1
x' = Ax+Bu y = Cx+Du
State-Space
Respuesta vs referencia1
Respuesta vs referencia
K LTI System4
L' LTI System3
C
LTI System2
A
LTI System1
B
LTI System
1s
Integrator
Clock
Arrojando como respuesta:
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
t(seg)
D
con observador y realimentacion
En la comparación de la gráfica obtenida por el controlador y por el controlador más un observador, se verifica que la respuesta es ligeramente más rápida (diferencia menor a un segundo), que el máximo pico disminuye pronunciadamente haciendo la curva más suave y que mejora bastante el error de estado estacionario puesto que para una referencia de 1, el primero entrega una estabilización por debajo de 0,35 y el segundo arroja una estabilización por encima de 0,5.
Comparación:
Característica Realimentación Observador Ganancia 0.3388 0.5122
Máximo pico 7.7922% 2.0695% Margen de Fase ∞ 47.5°
Margen de Ganancia 4.41dB 40.6dB
Como datos analíticos se puede observar que al implementar un observador, la ganancia aumenta acercando más el sistema a la referencia y, por lo tanto, disminuyendo en gran medida el error en estado estacionario. Además disminuye en más de 5% el máximo pico y, como aplicar el observador implica que el controlador pertenece a la realimentación, aumenta más de 10 veces el margen de ganancia pero en detrimento del margen de fase que disminuye a 47,5 grados con el observador.