FS-0515. Mecanica teorica. Tarea no. 930 de mayo del 2014

La tarea debe ser entregada durante la leccion del 6 de junio. Todos los problemasvalen 20 puntos.

Recordatorio: El segundo examen parcial quedo reprogramado para el viernes13 de junio, de 3:00 a 5:50 p.m. Las instrucciones sobre a donde presentarse estanindicadas en la pagina del curso.

1. Trayectoria de escape

Una nave espacial de masa m se mueve en una orbita circular de radio R alrededorde un planeta de masa M . Un cohete le da un impulso instantaneo a la nave,multiplicando su rapidez por un factor e. Si el proposito de esto es que la orbita sevuelva parabolica,

(a) (3 puntos) cual debe ser el valor de e si el cohete apunta en direccion tan-gencial?

(b) (3 puntos) Dibuje la orbita que resulta de (a), indicando el punto en que seacciona el cohete.

(c) (3 puntos) Si el cohere apunta en direccion radial, cual es el valor de e?

(d) (5 puntos) Encuentre la distancia de maximo acercamiento entre la nave y elplaneta que resulta de (c).

(e) (3 puntos) Cual debe ser el valor de e si el cohete apunta en una direccionarbitraria dada por un angulo respecto a la tangente de la trayectoria circular,para el punto en que se acciona el cohete?

(f) (3 puntos) Dibuje la forma de la orbita resultante para la parte (e), indicandoel punto de accion del cohete.

2. Pozos potencialesUna partcula de masa m se mueve unidimensionalmente bajo la accion de un

potencial no lineal

V (x) =E0a4(x4 + 4ax3 8a2x2

).

(a) (6 puntos) Encuentre las posiciones de equilibrio.

1

(b) (8 puntos) Encuentre la frecuencia angular de las oscilaciones pequenas entorno a cada equilibrio estable.

(c) (6 puntos) Para cada equilibrio, exprese la condicion que se debe cumplir parapoder considerar que las oscilaciones son pequenas (de manera que la aprox-imacion de la parte (b) sea valida).

3. Exponenciales complejosUsando la formula de Euler y el teorema del binomio, encuentre expresiones para:

(a) (4 puntos) cos 7 en terminos de cos y sin

(b) (4 puntos) sin 5 en terminos de cos y sin

(c) (4 puntos) sin(1 + 2 + 3) en terminos de los senos y cosenos de los angulosindividuales

(d) (4 puntos) Demuestre que

cos5

5=

10

16cos

5+

5

16cos

3

5+

1

16cos

(e) (4 puntos) Demuestre que

sin 6 = sin (32 cos5 32 cos3 + 6 cos

).

4. Trabajo sobre osciladorUn oscilador lineal forzado tiene la ecuacion de movimiento

x+ x+ 20x =F (t)

m. (1)

El trabajo neto que la fuerza externa F (t) hace sobre el oscilador, al completar unperodo completo , es

Wnet =

0

dt x(t)F (t) . (2)

Considere una fuerza externa periodica, de la forma

F (t) = F0 cos (dt) .

2

(a) (6 puntos) Exprese Wnet en terminos de la fase relativa entre la fuerza ex-terna y la oscilacion uniforme x(t) = A cos(dt ). Deje su respuesta enterminos de A y .

(b) (6 puntos) Demuestre que si > 0, entonces la oscilacion uniforme se puedemantener solo si 0 < < .

(c) (8 puntos) Encuentre A y en terminos de los parametros de la ec. (1). Useesos resultados para re-expresar el Wnet de la parte (a).

5. Resonador sin amortiguamientoConsidere el oscilador forzado de la ec. (1), en la ausencia de amortiguamiento

( = 0).

(a) (2 puntos) Exprese la amplitud A como funcion de la energa total E deloscilador.

(b) (3 puntos) Usando el resultado de (a), exprese A en terminos de E.

(c) (6 puntos) Encuentre el valor promedio de E durante un perodo completo dela oscilacion.Consejo: Puede usar la ec. (2), asumiendo que |A/A| d, de manera quepuede tomar A como si fuera constante en el intervalo de integracion.

(d) (5 puntos) A partir del resultado de la parte (b), demuestre que la amplitudA aumenta linealmente con el tiempo.Consejo: No es necesario encontrar el valor de la fase relativa . Basta saberque no depende de A.

(e) (4 puntos) Explique en palabras como cambiara el analisis si tuvieramos > 0.

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