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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE VALPARASOESCUELA DE INGENIERIA CIVILCIV 543 -1 HIDROLOGAFECHA: 26 MAYO 2016

TAREA 6

Fecha de Entrega: Jueves 9 de Junio 2016 hasta las 13 hrs. Todo el informe debe ser elaborado en

*.doc o *.pdf. Se debe presentar como un informe tcnico. Estudie el material de clases y la

bibliografa para resolver los problemas de esta tarea. Presente sus desarrollos, resultados, tablas y

grficos en forma clara y ordenada. El uso de herramientas computacionales le facilitar

enormemente el trabajo. Adems del informe, entregue una planilla excell con todos sus datos

organizados, donde se pueda ver los clculos ue realizaron.

Problema 1 (30%)

Utilice el registro de caudales mximos anuales disponibles en la carpeta de tareas de la pgina web

del curso.

a) Grafique los caudales vs. el tiempo. Determine la media, la varianza, los valores mximo y

mnimo, la desviacin estndar, el coeficiente de varianza y el coeficiente de asimetra.

Comente sus resultados. Observa tendencias, cambios en la media u otro signo de

estacionaridad? Considera que el registro puede ser considerado como una muestra de

observaciones independientes idnticamente distribuidas? Aplique un estadgrafo para

comprobar la independencia, consulte sus notas de clase o busque en libros de estad stica.

b) De los datos calcule y grafique (1) el histograma, (2) el histograma de frecuencia relativa, (3) el

histograma de frecuencia relativa acumulada y (4) la funcin de densidad de probabilidad

emprica. Realice estos clculos considerando 7 y 12 rangos para agrupar los valores. Compare

y comente las diferencias que observe segn el nmero de intervalos considerado.

c) Haga un anlisis de frecuencia emprico utilizando la posicin de ploteo de Weibull, Gringorten,

y Cunnane y grafique la funcin de probabilidad acumulada. Compare este resultado con el

histograma de frecuencia relativa acumulada. La grafica serCaudal (abscisa) vs F(x). La F(x)

sern las empricas con las expresiones, y las obtenidas con los datos del histograma. haga esto

para los dos rangos especificados.

d) Ajuste los siguientes modelos probabilsticos a las observaciones: Log-Normal 2 parmetros,

Gamma 2 parmetros, Gumbel y Log-Pearson III. Para cada ajuste identifique los parmetros

del modelo segn el mtodo de los momentos, comente y compare grficamente la funcin de

densidad de probabilidad y la funcin de probabilidad acumulada del modelo y la emprica. Le

sugiero que estime con la v.a variando cada 20 m3/s. La funccin Gamma esta e excel como

Gamma.Ln, asque aplique EXP para encontrar la funcin Gamma que es la que necesita.e) Utilice el test de Kolmogorov-Smirlov para determinar la bondad de ajuste de cada modelo.

Comente sus resultados. En este caso el F(x) emprico hgalo con i/n, y con Weibull. Comente

los resultados.

f) Utilice el test Chi-Cuadrado para determinar la bondad de ajuste de cada modelo. Comente sus

resultados.

(Las pruebas de bondad de ajuste hgalas con 7 y 12 intervalos)

g) Utilice el coeficiente de correlacin Graficada para determinar la bondad de ajuste del modelo.

Comente sus resultados.

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h) Para cada uno de los modelos calcule la probabilidad !" xSxXP + , donde x es el promedio y

xS es la desviacin estndar de los datos. Compare los resultados con los que se obtienen

directamente de los datos (use las probabilidades empricas que estimo en el punto c).

i) Usando cada uno de los modelos calcule las crecidas de 2, 5, 10, 25, 50 y 100 aos de periodo

de retorno. Comente sus resultados

j) Les hago entrega de un programa que hace de forma automtica el anlisis de frecuencia,

usando diferentes mtodos de ajuste y probabilidades empricas. Compare sus resultados con losobtenidos con este software.

Problema 2 (15%)

La funcin de probabilidad acumulada de Gumbel estdada por:

( )( )[ ]uxaxF = expexp!"

con ay uparmetros dados por las siguientes relaciones cuando el tamao de la muestra tiende a

infinito:

a

#,$%%&',

(xu

S

a

x

==

a) Demuestre que el factor de frecuencia KTestdado por:

)lnln$%%&.#

(

+=

T

TK

T

Recuerde que KTpermite obtener el valor de la variable aleatoria para un periodo de retorno Tsegnla siguiente expresin:

xTT SKxx +=

b) Los estimadores de los parmetros ay use pueden calcular con las siguientes expresiones que

consideran el tamao de la muestra n:

',n

n

x

x

n

S

ySxu

S

Sa ==

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n n Sn

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Calcule el valor corregido del factor de frecuencia correspondiente a cada uno de los tamaos de

muestra definidos en la tabla anterior, para 2, 5, 10, 20, 50 y 100 aos de periodo de retorno.

Problema 3 (20%)

Para este problema utilice el registro de precipitaciones mximas para distintas duracionesdisponibles en la carpeta de tareas del curso.

A partir del registro, obtenga las curvas IDF para duraciones de 15, 30, 60 y 120 minutos y periodos

de retorno de 2, 5, 10, 20, 50 y 100 aos. Utilice los factores de frecuencia del modelo de

distribucin Gumbel en sus clculos. Grafique sus curvas.

Problema 4 (20%)

a) Genere las curvas IDF para 2, 5, 10, 20, 50, 100 y 200 aos para la ciudad de Curic. Las

curvas IDF deben estar hechas de manera de poder ser utilizadas para obtener lasintensidades para duraciones que van desde los 15 minutos hasta las 24 horas.

b) A partir de su anlisis conteste las siguientes preguntas.

' Cul es la intensidad promedio de un evento de 150 minutos y 25 aos de periodo de

retorno?

' Cul es la magnitud (mm) de los eventos de 4 horas de duracin con periodos de retorno de

2, 5 y 50 aos?

' Ques ms probable: Que lluevan 80 mm en 10 horas o 100 mm en 15 horas?

c) Wenzel (1982) propuso la siguiente parameterizacin de la curvas IDF para un cierto

periodo de retorno:

ft

c

I ed +

=

donde Ies la intensidad (mm/h) y td(min) es la duracin de la precipitacin. Determine valores

apropiados de las constantes c, ey fpara la curva IDF asociada a un periodo de retorno de 10

aos en la ciudad de Curic. Repita sus clculos para un periodo de retorno de 100 aos.

Comente y compare grficamente estas curvas y las correspondientes obtenidas en la parte a.

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PRO!LEMA 5 "15#$

5.1. Cul es la probabilidad de que ocurra una crecida de 5 aos de periodo de retorno

(a) en el prximo ao, (b) al menos una vez los prximos 5 aos

5.2. En cierto lugar del sur de Chile durante un ao (8760 horas) ocurren 110 tormentas

independientes. La duracin promedio de un evento es 5.3 horas. (a) Estime el tiempo

promedio entre tormentas y ajuste un modelo probabilstico exponencial; (b) Cul es laprobabilidad de que transcurran al menos 4 das entre tormentas? (c) Cul es la

probabilidad de que transcurran exactamente 12 horas entre dos tormentas?; (d)Cul es la

probabilidad de que el tiempo entre tormentas sea igual o menos que 12 horas?

5.3. El promedio y la desviacin estndar de la precipitacin anual en un cierto lugar son

de 152 cm y 30 cm respectivamente. Estime y compare la magnitud de la precipitacin anual

de 10 y 100 aos de periodo de retorno asumiendo una distribucin normal y una

distribucin Log-normal.

5.4. Un registro de caudales mximos anuales tiene una media de 480 m3/s, una

desviacin estndar de 320 m3/s y un coeficiente de asimetra de 0.87. Asumiendo que los

caudales distribuyen segn un modelo Pearson tipo III, y utlizando los factores de

frecuencia, estime los caudales mximos anuales con periodos de retorno de 50 y 100 aos.