Tarea 4

1. Sea s={-1,0,12

,√2, 2}.Mediante sustitución determine cuál de los elementos de S satisface la desigualdad

dada. a. 𝑥𝑥 + 1 ≥ 0 → Satisfacen todos los elementos de S. b. 𝑥𝑥 − 2 < 0 → Satisfacen todos los elementos de S menos el 2.

c. 1𝑥𝑥≤ 1

2 → Satisfacen el -1 y el 2.

d. |𝑥𝑥 − 1| > 1 → Satisface el -1. 2. Resuelva la desigualdad. Exprese la solución en forma de intervalo e ilustre el conjunto solución en la recta real

a. – 4𝑥𝑥 > 16 −4 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑛𝑛𝑒𝑒𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛������������𝑥𝑥 < 16

−4

b. 3𝑥𝑥 + 11 ≤ 6𝑥𝑥 + 8𝑛𝑛𝑒𝑒𝑡𝑡𝑡𝑡𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑛𝑛𝑡𝑡𝑛𝑛𝑠𝑠𝑛𝑛𝑡𝑡𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑒𝑒��������������������� 11 − 8 ≤ 6𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥

𝑒𝑒𝑛𝑛𝑡𝑡𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛𝑠𝑠𝑛𝑛𝑠𝑠𝑛𝑛�������� 3 ≤ 3𝑥𝑥

𝑑𝑑𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑛𝑛𝑛𝑛𝑡𝑡𝑒𝑒 3����������� 1 ≤ 𝑥𝑥

c. (𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 − 5) > 0 Para que la multiplicación sea positiva (mayor que cero) es necesario que ambos miembros sean del mismo signo (positivo por positivo da positivo y negativo por negativo da positivo también positivo, leyes de los signos). Esto nos genera 2 casos posibles:

i. Caso 1 (Ambos positivos) 𝑥𝑥 − 2 > 0 → 𝑥𝑥 > 2 𝑥𝑥 − 5 > 0 → 𝑥𝑥 > 5

Como se tienen que cumplir ambas condiciones al mismo tiempo intersecamos las soluciones quedando como solución del caso 1 las x mayores que 5.

ii. Caso 2 (Ambos negativos) 𝑥𝑥 − 2 < 0 → 𝑥𝑥 < 2 𝑥𝑥 − 5 < 0 → 𝑥𝑥 < 5

Como se tienen que cumplir ambas condiciones al mismo tiempo intersecamos las soluciones quedando como solución del caso 2 las x menores que 2. Solución general Por último, unimos estas dos soluciones, quedando las x mayores que 5 y las x menores que 2, lo cual podemos escribir como {𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 | 𝑥𝑥 > 5, 𝑥𝑥 < 2} o como (−∞, 2) ∪(5,∞) o como [2,3]c.

d. (3𝑥𝑥 + 1)(𝑥𝑥 − 1) ≥ 0 Para que la multiplicación sea positiva o cero (mayor que cero) es necesario que ambos miembros sean del mismo signo o cero (positivo por positivo da positivo y negativo por negativo da positivo también positivo, leyes de los signos). Esto nos genera 2 casos posibles:

i. Caso 1 (Ambos positivos o cero) 3𝑥𝑥 + 1 ≥ 0 → 𝑥𝑥 ≥ −1/3 𝑥𝑥 − 1 ≥ 0 → 𝑥𝑥 ≥ 1

Como se tienen que cumplir ambas condiciones al mismo tiempo intersecamos las soluciones quedando como solución del caso 1 las x mayores o iguales que 1.

ii. Caso 2 (Ambos negativos o cero) 3𝑥𝑥 + 1 ≤ 0 → 𝑥𝑥 ≤ −1/3 𝑥𝑥 − 1 ≤ 0 → 𝑥𝑥 ≤ 1

Como se tienen que cumplir ambas condiciones al mismo tiempo intersecamos las soluciones quedando como solución del caso 2 las x menores o iguales que -1/3. Solución general Por último, unimos estas dos soluciones, quedando las x mayores que 5 y las x menores que 2, lo cual podemos escribir como {𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 | 𝑥𝑥 ≥ 1, 𝑥𝑥 ≤ −1/3} o como (-∞,-1/3] ∪ [1,∞) o como (-1/3,1)c.

e. 𝑥𝑥2 + 5𝑥𝑥 + 6 > 0𝑠𝑠𝑛𝑛𝑠𝑠𝑛𝑛𝑛𝑛𝑡𝑡𝑛𝑛𝑓𝑓𝑛𝑛𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛����������� (𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 + 3) > 0

Para que la multiplicación sea positiva (mayor que cero) es necesario que ambos miembros sean del

mismo signo (positivo por positivo da positivo y negativo por negativo da positivo también positivo, leyes de los signos). Esto nos genera 2 casos posibles:

i. Caso 1 (Ambos positivos) 𝑥𝑥 + 2 > 0 → 𝑥𝑥 > −2 𝑥𝑥 + 3 > 0 → 𝑥𝑥 > −3

Como se tienen que cumplir ambas condiciones al mismo tiempo intersecamos las soluciones quedando como solución del caso 1 las x mayores que -2.

ii. Caso 2 (Ambos negativos) 𝑥𝑥 + 2 < 0 → 𝑥𝑥 < −2 𝑥𝑥 + 3 < 0 → 𝑥𝑥 < −3

Como se tienen que cumplir ambas condiciones al mismo tiempo intersecamos las soluciones quedando como solución del caso 2 las x menores que -3. Solución general Por último, unimos estas dos soluciones, quedando las x mayores que -2 y las x menores que -3, lo cual podemos escribir como {𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 | 𝑥𝑥 > −2, 𝑥𝑥 < −3} o como (−∞,−3) ∪ (−2,∞) o como [-3,-2]c.

f. (𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 − 3) > 0 Para que la multiplicación sea positiva (mayor que cero) es necesario que todos sean positivos, o que haya a 2 negativos (si solo hay un negativo, la multiplicación de ++ - es negativa, y si todos son negativos también el resultado es negativo). Esto nos genera 4 casos posibles:

i. Caso 1 (Todos positivos) 𝑥𝑥 + 2 > 0 → 𝑥𝑥 > −2 𝑥𝑥 − 1 > 0 → 𝑥𝑥 > 1 𝑥𝑥 − 3 > 0 → 𝑥𝑥 > 3

Como se tienen que cumplir las condiciones al mismo tiempo intersecamos las soluciones, lo que nos deja que x tiene que ser mayor que 3.

ii. Caso 2 (El primero positivo, los demás negativos) 𝑥𝑥 + 2 > 0 → 𝑥𝑥 > −2 𝑥𝑥 − 1 < 0 → 𝑥𝑥 < 1 𝑥𝑥 − 3 < 0 → 𝑥𝑥 < 3

Intersecamos las soluciones quedando como solución los números que están entre -2 y 1. iii. Caso 3 (El segundo positivo, los demás negativos)

𝑥𝑥 + 2 < 0 → 𝑥𝑥 < −2 𝑥𝑥 − 1 > 0 → 𝑥𝑥 > 1 𝑥𝑥 − 3 < 0 → 𝑥𝑥 < 3

Intersecamos las soluciones y observamos que no existen números menores que -2 y mayores que 1. Por lo tanto el caso 3 no tiene solución.

iv. Caso 4 (El tercero positivo, los demás negativos) 𝑥𝑥 + 2 < 0 → 𝑥𝑥 < −2 𝑥𝑥 − 1 < 0 → 𝑥𝑥 < 1 𝑥𝑥 − 3 > 0 → 𝑥𝑥 > 3

Intersecamos las soluciones y observamos que no existen números menores que -2 y mayores que 3. Por lo tanto el caso 4 tampoco tiene solución. Solución general Por último, unimos las 4 soluciones, quedando las x mayores que 3 y las x que están entre -2 y 1, lo cual podemos escribir como {𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 | 𝑥𝑥 > 3 ó (𝑥𝑥 > −2 & 𝑥𝑥 < 1)} o como (−2,1) ∪ (3,∞) .