7/22/2019 Tarea 4 Cambios de Base

1/2

ESCUELA SUPERIOR POLITCNICA DEL LITORAL

ALGEBRA LINEAL ING. ROBERTO CASCANTE

TAREA #4

COORDENADAS DE UN VECTOR, MATRIZ CAMBIO DE BASE, SUBESPACIOS ASOCIADOSA UNA MATRIZ, TRANSFORMACIONES LINEALES

1.- Defina:1.1.- Coordenadas de un vector con respecto a una base ordenada.1.2- Matriz de transicin o cambio de base.

2.- Califique cada una de las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas y justifique

apropiadamente su respuesta.

2.1.- Sean y bases para un espacio vectorial V, Ala matriz de cambio de base de 1a 2, entonces se cumple que: vV { [v]2= A[v]1}

2.2- Sean y bases de un espacio vectorial V, Ala matriz de transicin de 1a 2yA21la matriz de transicin de 2a 1, entonces se cumple que: A21 = (A)

-1.2.3.- Sea x un vector de un espacio vectorial V, y bases de V.

Si [x]= [x]2entonces =.2.4.- Sean u, v vectores de un espacio vectorial V y B una base de V.

Si [u]B= [v]Bentonces u=v.

2.5.- Sea B una base de un espacio vectorial (V,,), entonces se cumple:v1,v2V 1, 2R { [1v12v2]B=1[v1]B+2[v2]B}

2.6.- Sean u, v vectores de un espacio vectorial V de dimensin n y B una base de B, entoncesse cumple que: {u,v} es linealmente independiente en V si y solo si {[u]B,[v]B} eslinealmente independiente en Rn.

2.7.- Sea B={v1, v2, v3, v4} una base ordenada del espacio vectorial V. Sean x,w vectores de Vtales que [x]B=(1,2,0,3) y [w]B=(1,0,-2,-1), entonces {x,w} es linealmente independienteen V.

2.8.- Sea V un espacio vectorial de dimensin n y B una base de V, entonces se cumple que

vV { [v]B= nR

0 v=0V}

2.9.- Sean B1, B2, B3bases de un espacio vectorial V, CB1B3la matriz cambio de base de B1aB3, CB2B3la matriz cambio de base de B2a B3y CB1B2 la matriz cambio de base de B1aB2, entonces se cumple que: CB1B3= CB2B3. CB1B2

3.- Considere el espacio vectorial V={(x,y)/xR+, yR} donde se ha definido la suma en V y lamultiplicacin por escalar de la siguiente manera:

21212211 yy,xxy,xy,x )y,x(y,x

Determine, de ser posible, las coordenadas de (8,-3) con respecto a {(2,0),(1,1)}

4.- Sean B1={p(x), q(x), r(x)} y B2={s(x), t(x), u(x)} dos bases del espacio vectorial P2y sean

7/22/2019 Tarea 4 Cambios de Base

2/2

0

1

1

1

2

Bxx ,

0

1

0

11B

x ,

1

1

1

121

2

Bx

[s(x)+t(x)]B1=(3,1,1) , [t(x)+u(x)]B1=(5,2,0) , [u(x)]B1=(3,0,0)Determine:a.-) Los vectores de cada Baseb.-) Las coordenadas de x2+3x+2 con respecto a la base 2

5.- Sea V=S2x2 y B una base de V tal que:

0

1

1

02

21

B

,

2

1

0

01

11

B

,

1

0

0

10

01

B

Determine:a.-) Los vectores de la base B.

b.-) Una base B2de V que contenga a B.c.-) La matriz de cambio de base desde B2hacia la base cannica de V.

6.- Sea

331

432

203

112

101

A , determine (A), (A) y bases para Nu (A), Rec (A), EFA, ECA.

7.- Sea

21111

02122

31111

A

Determinar bases para el ncleo de A, recorrido de A, Espacio de los renglones de A, Espacio delas Columnas de A y las respectivas dimensiones.

8.- Construya una transformacin geomtrica en de tal manera que todo vector se refleje conrespecto al eje y luego rote 90 en sentido antihorario.