Lógica 2 (2015-2)Mtro. Cristian A. Gutiérrez

Tarea 15

Fecha de entrega: viernes 29 de mayo.

Nombre: ___________________________________________________________________________

INSTRUCCIONES: La tarea debe estar completamente resuelta, tiene que ser contestada a computadora (la partede deducción natural puede ser a mano, pero muy limpia y clara), tiene que ser entregada el día que se indica arribay tiene que estar engrapada.

Las reglas de deducción natural lógica cuantificacional (o de primer orden) son las siguientes. Reglas de Introducción Reglas de Eliminación

(x) y(x

y) x (x)

(xt)

(a) x(a

x)x(x)

(xa) hip. …

Descripción de las reglas:Introducción del Cuantificador Universal (I): Donde (x

y) quiere decir, el resultado de sustiuir en (x) todas las apariciones de 'x' libres por una variable 'y', la misma en todos los casos. RESTRICCIONES:

1. Verificar que 'y' no quede cuantificada automáticamente. 2. Esas variables tienen que provenir de la eliminación de un cuantificador universal (en el caso de prueb

as con caja, si la Ise pretende hacer dentro de la caja, entonces las varibles deben provenir de una Eque se haya heho dentro de la caja)Eliminación del Cuantificador Universal (E): Donde (x

t) quiere decir, el resultado de sustiuir en (x) todas las apariciones de 'x' libres por un término 't', el mismo en todos los casos. RESTRICCIÓN: si 't' es una variable verificar que no quede cuantificada automáticamente. Introducción del Cuantificador Existencial (I): Donde (a

x) quiere decir, el resultado de sustiuir en (x) algunas delas apariciones de una constante 'a' por una variable 'x', la misma en todos los casos. RESTRICCIÓN: 1. Verificar que 'y' no quede cuantificada automáticamente.Eliminación del Cuantificador Existencial (E): Donde (x

a) quiere decir, el resultado de sustiuir en (x) todas las apariciones libres de la variable ‘x’ por una constante ‘a’, la misma en todos los casos. RESTRICCIÓN: 1. La constante ‘a’ usada debe ser nueva, es decir, no aparecer en ninguna línea anterior. Además la constante no debe aparecer en .

NOTA: Recuerden que la única forma de introducir supuestos (que es lo mismo que hipótesis) es usando una regla quelo permita, de tal forma que no puedes probar cosas simplemente suponiéndolas, tienen que respetar la forma de laregla. Las reglas de lógica proposicional que requieren de introducir supuestos son la Introducción del Condicional(I), la Eliminación de la Disyunción (E), la Introducción de la Negación (I~) y la Eliminación de la Negación (E~).La única regla específica de lógica cuantificacional que permite introducir supuestos es la Eliminación delCuantificador Existencial (E).

1. Demuestra que los siguientes son argumentos válidos usando deducción natural (puedes usar todas lasreglas) (1 punto cada una, para un total de 12 punto):

a) 1. x(P(x) P'(x))/ ~x(P(x) ~P'(x))

b) 1. x(P(x) ~P'(x))/ ~x(P(x) P'(x))

c) 1. ~x(P(x) P'(x))/ x(P(x) ~P'(x))

d) 1. ~x(P(x) ~P'(x))/ x(P(x) P'(x))

e) 1. x(P(x) P'(x))2. x(P'(x) P''(x))/ ~x(P(x) ~P''(x))

f) 1. x(R2(x,a) R2(x,a'))2. xR2(x,a)/ xR2(x,a')

g) 1. x(R2(x,a) R2(x,a'))/ ~x(R2(x,a) ~R2(x,a'))

h) 1. x(R2(x,a) P(x))/ ~x(R2(x,a) ~P(x))

i) 1. ~x(R2(x,a) P(x))/ x(R2(x,a) ~P(x))

j) 1. ~x(R2(x,a) P(x))2. ~x(R2(x,a) ~P(x))/ x(P(x) ~P(x))

k) 1. xx'(P(x) R2(x,x'))/ x(P(x) x'R2(x,x'))

l) 1. xx'R2(x',x)/ x'xR2(x',x)

2. Bonus para ñoños(0.5 puntos): Existe un libro que en el primer párrafo de la primera página delprimer capítulo dice: Este libro tiene sólo una oración verdadera. Este capítulo sólo tiene unaoración verdadera. Esta página sólo tiene una oración verdadera. Este párrafo sólo tiene unaoración verdadera. Si suponemos que por lo menos una de ellas es verdadera ¿Cuál de ellassería verdadera?a) Esta página sólo tiene una oraciónverdadera.b) Este párrafo tiene sólo una oraciónverdadera.

c) Este libro tiene sólo una oraciónverdadera.d) Este capítulo sólo tiene una oraciónverdadera.

3. Punto extra para el examen 6: Formaliza el siguiente argumento y demuestra que es válidousando deducción natural. (1 punto).

Si los objetos matemáticos no existen, entonces ningún filósofo puede explicar el conocimiento matemático. Pero de hecho hay algunos filósofos que pueden explicar el conocimiento matemático. Por lo tanto, hay objetos matemáticos.Dominio de discurso: los seres humanos y los objetos matemáticos.Diccionario: a: El conocimiento matemático, Px: x es un objeto matemático, P'x: x es unfilósofo, R2xy: x puede explicar y.