Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Ingeniería Mecánica

Transferencia de calor

Tarea 1: Convección IWM 175-Profesor Mauricio Osses

Francisco Mora

13/11/2014

1. Problema a) Realice una investigación respecto a los requerimientos de la convección natural, sus

condiciones, capa límite, números adimensionales, entre otros. Además describa brevemente

las simplificaciones y suposiciones que se deben realizar en cada ejercicio, y las correlaciones

a usar. Apóyese con gráficos y diagramas.(30 ptos)

En la convección natural se estudia la transferencia de calor de una superficie en contacto con un

fluido en reposo. Existirá siempre un cuerpo caliente que transferirá el calor y uno frío que lo

recibirá, y puede suceder desde la superficie al fluido o viceversa. Sin embargo si se transmite calor

desde la superficie al fluido se generará un cambio de densidad en el fluido, lo que se manifiesta

normalmente como movimientos de éste a bajas velocidades. Así, en la convección natural el fluido

se mueve debido a cambios de densidad por el calentamiento o enfriamiento del fluido, y no por

acción de fuerzas externas

En este caso se puede representar lo que sucede con una placa plana vertical, en la cual se pueden

superponer para graficar las capas límites de velocidad y de temperatura. Para la capa límite se

observa que ésta va en aumento en la dirección del flujo.

Se observa en la imagen que al desplazarse en el eje x perpendicularmente a la pared, la capa límite

de velocidad parte desde cero, alcanza un máximo y luego vuelve a cero en la capa límite. Esto

sucede porque el fluido más allá de la capa límite está estático. Por su parte, la temperatura del

fluido en la superficie es igual a la de la placa, y al irse alejando va disminuyendo hasta alcanzar la

temperatura del medio al terminar la capa límite. Si la superficie fuese fría, los perfiles de velocidad

y temperatura serían igual a los antes descritos pero con la dirección invertida.

Aquí las tasas de transferencias de calor son menores porque la velocidad de los flujos en

convección natural son mucho menores. En comparación con la convección forzada, para la

convección natural los flujos no se definirán como turbulentos o laminares en función del número

de Reynolds, sino que ahora se usa el número adimensional de Grasshof GR, cuya expresión está

definida como:

𝐺𝑅𝑙 =𝑔𝛽(𝑇𝑠 − 𝑇∞)𝐿𝑐

3

𝑣2

Donde:

g : Aceleración de gravedad 𝑚

𝑠2

𝛽: Coeficiente de expansión volumétrica1

𝐾

𝑇𝑠: Temperatura de la superficie °𝐶

𝑇∞: Temperatura del fluido alejado de la superficie °𝐶

𝐿𝑐: Longitud característica del cuerpo m

v : Viscosidad cinemática del fluido 𝑚2

𝑠

El número de grasshof representa la razón entre la fuerza boyante debido a la convección natural y

la fuerza viscosa. Se requiere un indicador para saber si el flujo está gobernada por convección

forzada, natural o si ambas tienen influencia importante. Para esto se emplea la relación 𝐺𝑅

𝑅𝐸2:

𝐺𝑅

𝑅𝐸2 ≪ 1: El efecto predominante es el de la convección forzada 𝐺𝑅

𝑅𝐸2 ≫ 1: El efecto predominante es el de la convección natural 𝐺𝑅

𝑅𝐸2 ≈ 1: Ambas convecciones deben considerarse

También se define el número de Rayleigh RA:

𝑅𝐴 = 𝐺𝑅 ∙ 𝑃𝑅 =𝑔𝛽(𝑇𝑠 − 𝑇∞)𝐿𝑐

3

𝑣𝛼

Este número conceptualmente representa la razón entre la convección natural y el transporte de

calor difusivo. Los grupos adimensionales relevantes son entonces GR y PR, donde GR se

caracteriza por ser el cuociente de las fuerzas de empuje sobre las fuerzas viscosas. En cada

geometría debe ser especificado la longitud significativa para formar los números de Grasshof y

Nusselt y Rayleigh. Para analizar el paso de flujo laminar a turbulento, se analiza el intervalo de

valores obtenidos del número de Rayleigh según la geometría:

A) Placa vertical:

A.1 Temperatura de pared uniforme:

𝑁𝑢𝑚 = 𝐶(𝑅𝑎)𝑛

Con 𝑁𝑢𝑚 =ℎ𝑚𝑙

𝑘 y con propiedades fijadas a 𝑇𝑓𝑖𝑙𝑚 =

1

2(𝑇𝑠 + 𝑇∞)

Tipo de flujo Rango de Ra c n

Laminar 104 𝑎 109 0,59 0,25

Turbulento 109 𝑎 1013 0,10 1/3

A.2 Flujo de calor uniforme:

𝑁𝑢𝑚 = 0,75(𝑅𝑎)15, 𝑝𝑎𝑟𝑎 105 < 𝑅𝑎 < 1011, 𝑅𝑎 𝑙𝑎𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟

𝑁𝑢𝑚 = 0,645(𝑅𝑎)0,22, 𝑝𝑎𝑟𝑎 2 ∙ 1013 < 𝑅𝑎 < 1016, 𝑅𝑎 𝑡𝑢𝑟𝑏𝑢𝑙𝑒𝑛𝑡𝑜

Para este caso Ra se calcula como:

𝑅𝑎 =𝑔𝛽𝑞𝑠𝑙4

𝑘𝑣2

B) Placa Horizontal:

B.1 Temperatura de pared uniforme

𝑁𝑢𝑚 = 𝐶(𝑅𝑎)𝑛

Orientación

placa

Rango de Ra c n Tipo de flujo

Superficie

caliente hacia

arriba o fría

mirando hacia

abajo

105 𝑎 2 ∙ 1013

2 ∙ 107 𝑎 3 ∙ 1010

0,54

0,14

1

4

1

3

L

T

Superficie

caliente mirando

hacia abajo o

fría mirando

hacia arriba

3 ∙ 105 𝑎 3 ∙ 1010 0,27 1

4

L

B.1 Flujo de calor constante:

Correlaciones de Fuji e Imura:

- Superficie caliente orientada hacia arriba:

𝑁𝑢𝑚 = 0,13(𝑅𝑎)13, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑅𝑎 ∙ 𝑃𝑟 < 2 ∙ 108

𝑁𝑢𝑚 = 0,16(𝑅𝑎)13, 𝑝𝑎𝑟𝑎 5 ∙ 108 < 𝑅𝑎 ∙ 𝑃𝑟 < 1011

- Superficie caliente orientada hacia abajo:

𝑁𝑢𝑚 = 0,58(𝑅𝑎)15, 𝑝𝑎𝑟𝑎 106 < 𝑅𝑎 ∙ 𝑃𝑟 < 1011

𝑅𝑎 =𝑔𝛽(𝑇𝑠 − 𝑇∞)𝐿𝑐

3

𝑣2

𝑁𝑢𝑚 =ℎ𝑚𝑙

𝑘= 𝑁𝑢𝑚 =

𝑞𝑠𝑙

(𝑇𝑠 − 𝑇∞)𝑘 , 𝑐𝑜𝑛 𝑖𝑡𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠

C) Placas inclinadas a temperatura constante:

C.1 Superficie caliente orientada hacia arriba:

𝑁𝑢𝑚 = 0,145 ((𝐺𝑟𝑙𝑃𝑟)13 − (𝐺𝑟𝑐𝑃𝑟)

13) + 0,56(𝐺𝑟𝑐 Pr 𝑐𝑜𝑠𝜃)

13

En que se debe considerar:

𝐺𝑟𝑙𝑃𝑟 < 1011

𝐺𝑟𝑙 > 𝐺𝑟𝑐 𝑦 𝜃 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 − 15° 𝑦 − 75°

𝜽 𝑮𝒓𝒄

-15 5 ∙ 109

-30 109

-60 108

-75 106

C.2 Superficie caliente orientada hacia abajo:

𝑁𝑢𝑚 = 0,56(𝐺𝑟𝑐 Pr 𝑐𝑜𝑠𝜃)13

En que se debe considerar:

105 < 𝐺𝑟𝑙𝑃𝑟 < 1011

𝜃 < 88° Para los ejercicios:

- Se debe trabajar con la temperatura promedio 𝑇𝑓𝑖𝑙𝑚 , que corresponde a un valor

estimado de temperatura en la capa límite térmica.

- Temperatura de la superficie es constante

- Aire se considera gas ideal

- Identificar la geometría del cuerpo a estudiar

- En el análisis de flujo o balance energético, no hay generación de calor

- Sin radiación (a menos que se mencionen valores de emisividad u otra especificación)

- Al momento de calcular 𝛽 debe tenerse en cuenta que:

Si el fluido circundante es aire:

𝛽 =1

𝑇𝑓, 𝑐𝑜𝑛 𝑇𝑓 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝐾𝑒𝑙𝑣𝑖𝑛

Si el fluido circundante es agua: Utilizar valores tabulados

B) Una placa cuadrada de aluminio puro de 0,5 m por lado y 16 mm de espesor, está

inicialmente a 300 ◦ C y suspendida en una cámara grande. La temperatura del ambiente es

igual y constante a 27 ◦ C. Cuál es la velocidad de enfriamiento inicial? Es razonable suponer

una temperatura de la placa uniforme durante el proceso de enfriamiento? Realice un cálculo

”Aproximado” del valor del enfriamiento a lo largo del tiempo, con la temperatura de la

superficie de la placa NO uniforme en función del tiempo.(40 ptos).

Supuestos: - No hay radiación

- Temperatura de la placa uniforme para el cálculo de velocidad de enfriamiento

inicial

- El aire de la cámara está estático (v = 0)

- Se desprecia el espesor para efectos de la transferencia de calor. Por lo que será

modelada como una placa plana

Los datos son: 𝑇𝑖 = 300 °𝐶, 𝑙 = 0,5, 𝐴𝑠 = 0,25 𝑚2, 𝑇∞ = 27°𝐶, 𝑒 = 0,016 𝑚. Además, para el

aluminio a 300°C se tienen los siguientes datos: 𝜌 = 2702𝑘𝑔

𝑚3 𝑐𝑝 = 1022𝐽 𝑘𝑔

𝐾 y 𝑘 = 232

𝑊

𝑚 𝐾

Como la placa está a temperatura mayor que el ambiente, se enfriará y la variación de temperatura

respecto al tiempo será negativa. Por tanto, considerando sólo el efecto de convección se tendrá la

siguiente ecuación:

−𝑑𝑄

𝑑𝑡= −𝐴𝑠ℎ(𝑇 − 𝑇∞) = 𝑚𝑐𝑝

𝑑𝑇

𝑑𝑡

De donde despejando la velocidad de enfriamiento vamos a obtener:

𝑑𝑇

𝑑𝑡=

−ℎ(𝑇 − 𝑇∞)

𝜌𝑒𝑐𝑝

Y para obtener la tasa de enfriamiento inicial, debemos reemplazar T por 𝑇𝑖 = 300 °𝐶, y determinar

el valor del coeficiente de convección h, el cual dependerá de la geometría de la figura y su

orientación especial. En este caso se modela como una placa plana dispuesta horizontalmente.

Además se debe especificar que en la placa estudiada presentará el perfil de corrientes por

convección natural para una placa más caliente que el medio exterior, pero caliente en ambas caras:

Considerando sólo convección natural, procedemos a calcular el coeficiente:

𝑙𝑐 =𝑎

4=

0,5

4= 0,125 𝑚

𝐴 = 0,5 ∗ 0,5 = 0,25 𝑚2

𝑇𝑓 =300 + 27

2= 163,5 °𝐶 = 436,65 𝐾

Propiedades termofísicas interpoladas para T@163,5 °𝐶: 𝑘 = 232𝑊

𝑚 𝐾, 𝑣 = 3,016 ∙ 10−5, 𝑃𝑟 =

0,701. Con estos valores calculamos el número de Grasshof:

𝐺𝑟 =𝑔𝛽(𝑇𝑠 − 𝑇∞)𝐿𝑐

3

𝑣2=

9,81 ∙1

436,65∙ (300 − 27) ∙ 0,1253

(3,016 ∙ 10−5)2

𝐺𝑟 = 13169386,83

Luego calculamos el número de Rayleigh:

𝑅𝑎 = 𝐺𝑟 ∙ 𝑃𝑟 = 9231740,167

Como la placa es más caliente que el ambiente, la fuerza resultante actúa hacia arriba forzando al

fluido a ascender, generando corrientes en ascenso tanto en la cara de arriba de la placa como en la

de abajo. Sin embargo, las corrientes más fuertes están en la cara superior puesto que la placa no

estorba en su ascenso, como sucede en las capas inferiores. Por tanto, se espera una menor

convección abajo (porque las capas de fluido permanecen más tiempo en contacto con la placa) y

por tanto una tasa de enfriamiento más lenta también. Así para cada cara de la placa se tienen los

siguientes valores de convección natural:

Arriba: El número de Rayleigh obtenido se encuentra dentro del intervalo [105 𝑎 2 ∙ 109], por tanto

la placa presenta flujo laminar, siendo C=0,54 y n=0,25:

𝑁𝑢 = 0,54𝑅𝑎0,25 = 29,7656

ℎ =𝑁𝑢 ∙ 𝑘

𝑙𝑐=

29,7656 ∙ 35,5 ∙ 10−3

0,125= 8,4534

𝑊

𝑚2°𝐶

Abajo: El número de Rayleigh obtenido se encuentra dentro del intervalo [3 ∙ 105 𝑎 3 ∙ 1010], por

tanto la placa presenta flujo laminar, siendo C=0,27 y n=0,25:

𝑁𝑢 = 0,27𝑅𝑎0,25 = 14,8828

ℎ =𝑁𝑢 ∙ 𝑘

𝑙𝑐=

14,8828 ∙ 35,5 ∙ 10−3

0,125= 4,2267

𝑊

𝑚2°𝐶

Ahora podemos determinar la velocidad de enfriamiento inicial para ambas caras de la placa:

Arriba: 𝑑𝑇

𝑑𝑡=

−8,4534 ∙ (300 − 27)

2702 ∙ 0,016 ∙ 1022= −0,05223

°𝐶

𝑠

Abajo: 𝑑𝑇

𝑑𝑡=

−4,2267 ∙ (300 − 27)

2702 ∙ 0,016 ∙ 1022= −0,02612

°𝐶

𝑠

Es razonable suponer una T° de placa uniforme durante el proceso de enfriamiento? Para esto es

necesario conocer si es que la placa en estas circunstancias puede modelarse como un cuerpo

concentrado (es decir, con una despreciable resistencia a la conducción). Para ello, se comparará la

resistencia a la conducción con la resistencia a la convección por medio del número de Biot Bi:

Arriba:

𝐵𝑖 = ℎ𝑙𝑐

𝑘=

8,4534 ∙ 0,125

232= 0,004555

Abajo:

𝐵𝑖 = ℎ𝑙𝑐

𝑘=

4,2267 ∙ 0,125

232= 0,002277

Para ambos casos se obtuvo que 𝐵𝑖 < 0,1, por tanto el cuerpo puede considerarse como

concentrado (Cambio de temperatura uniforme), por tanto los gradientes de temperatura a causa del

espesor son despreciables.

B) Realice el mismo ejercicio anterior asumiendo una velocidad del fluido igual a 10 m/s

(Solo la parte de temperatura de placa constante). Comente los resultados, y contra

ejemple con una aplicación de ingeniería, donde sea más útil la convección natural

frente a convección forzada externa. (30 ptos)

Supuestos: - Condiciones operativas estacionarias (del flujo de aire)

- Propiedades termofísicas constantes

- T° superficial es constante

- Aire es gas ideal

- Tdc por radiación es despreciable

Para ponderar la influencia de las convecciones forzada y natural, analizamos los números de

Reynolds y de Grasshof:

𝑅𝑒 = 𝑉𝑙𝑐

𝑣=

10 ∙ 0,125

3,016 ∙ 10−5= 41445,62

Ahora calcularemos el número de Grasshof:

𝑇𝑓 =300 + 27

2= 163,5 °𝐶 = 436,65 𝐾

Propiedades termofísicas interpoladas para T@163,5 °𝐶: 𝑘 = 232𝑊

𝑚 𝐾, 𝑣 = 3,016 ∙ 10−5, 𝑃𝑟 =

0,701. Con estos valores calculamos el número de Grasshof:

𝐺𝑟 =𝑔𝛽(𝑇𝑠 − 𝑇∞)𝐿𝑐

3

𝑣2=

9,81 ∙1

436,65∙ (300 − 27) ∙ 0,1253

(3,016 ∙ 10−5)2

𝐺𝑟 = 13169386,83

A continuación emplearemos la relación: 𝐺𝑟

𝑅𝑒2=

13169386,83

41445,622= 7,667 ∙ 10−3 ≪ 1

Por tanto el flujo es dominado por convección forzada. Por ende, emplearemos las correlaciones de

convección forzada para placa plana y flujo laminar, dado que:

𝑅𝑒 = 41445,62 < 5 ∙ 10−5

Se calculará el número de Nusselt:

𝑁𝑢 = 0,664(𝑅𝑒)0,5(Pr )13

= 0,664(41445,62)0,5(0,701)13

= 120,08 Luego:

ℎ =𝑁𝑢 ∙ 𝑘

𝑙𝑐=

120,08 ∙ 35,35 ∙ 10−3

0,125= 33,959

𝑊

𝑚2°𝐶

Finalmente:

𝑑𝑇

𝑑𝑡=

−ℎ(𝑇 − 𝑇∞)

𝜌𝑒𝑐𝑝

=−33,969 ∙ (300 − 27)

2702 ∙ 0,016 ∙ 1022= −0,2098

°𝐶

𝑠

Esta es la tasa general de enfriamiento de la placa, y no importa el sentido de circulación del flujo

de aire porque ya sea que esté a favor o en oposición al flujo natural inducido por flotabilidad, el

efecto del último no es considerable, por tanto si se sumara la contribución de ese flujo, se tendrían

valores de Nusselt muy poco variables, por ende coeficientes de tdc poco variables, y finalmente

tasas de enfriamiento poco variables.

La convección natural presenta variadas aplicaciones y utilidad tanto en flujos externos e internos

como en el medioambiente. Algunas de ellas son:

- Externos: Pérdidas o ganancias térmicas desde equipos, calefacción de ambientes por

medio de radiadores, y aletas de enfriamiento

- Internos: Ventanas dobles Termopanel, enfriamiento de componentes electrónicos,

colectores solares y pérdidas o ganancias de calor en frigoríficos

- En el medioambiente: Es importante y considerable en las corrientes térmicas

generadas en el suelo, y para flujos geofísicos

Instrucciones: • La tarea debe ser entregada impresa en formato PDF en el buzón de secretaria mecánica el d´ ıa Mi´ ercoles 24 de Junio, con hora l´ ımite 17:00 • Pueden trabajar en grupo, pero deben entregar informes individuales. • No se aceptarán tareas atrasadas, el atraso implicará nota 0 (cero) • Tareas en las que se detecte copia, implicará nota 0 (cero) • Los datos de propiedades termo f´ ısicas de los materiales y fluidos deben ser buscadas por usted. • Para obtener cálculos mas exactos, DEBE interpolar todos los valores que sean necesarios interpolar.