Tarea 1: Conversión de señales analógicas en digitales.

5/9/2018 Tarea 1: Conversión de señales analógicas en digitales. - slidepdf.com

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Misael Hernández; Ricardo AlejosFundamentos de Sistemas de Comunicación

1

TAREA 01

Conversión de señales analógicas en digitales

EJERCICIO 1

Enunciado

1. Calcule cuántos bits se requieren para

representar:

y

niveles de cuantificación.

2. Si la frecuencia de muestreo ,

calcule la tasa de bit () de un sistema con

y otro con niveles de

cuantificación.

3. ¿Qué conviene hacer, en general, cuando

la cantidad de bits que se obtiene con la

fórmula no es un entero?

Solución

Parte 1Para una señal con niveles de cuantificación

en bits se sigue la siguiente regla:

Siendo la función de redondeo

hacia arriba de un número con decimales . Demodo que para los casos expuestos en el

enunciado del ejercicio tendremos:

niveles decuantificación

bits necesarios pararepresentarlos

Parte 2Una frecuencia de muestreo nos indica

cuántas muestras se están tomando por

segundo de la señal en cuestión. Si cada

muestra está codificada con bits, entonces la

taza de bits por segundo a la que debe

transmitirse es . Para los casos

específicos a los que se hace referencia en el

enunciado:

(niveles decuantificación)

(bitsnecesariospararepresentarlos)

(taza deenvío de bitsen )

Parte 3Se tiene que hacer un redondeo hacia arriba

como se indicó en la respuesta de la parte 1.

Esto porque no existen las fracciones de bit.

EJERCICIO 2

Enunciado

Calcule cuántos niveles de cuantificación se

tienen si tenemos , , , o bits para

representar los niveles.

Solución

Si con bits se logran representar

niveles de cuantificación, entonces para cada




2

uno de los casos mencionados en el enunciado

del ejercicio se necesitan:

bits a nuestradisposición

niveles decuantificaciónrepresentables

EJERCICIO 3

Enunciado

Calcule cuál sería el SNR si en un disco

compacto se utilizaran , , , , , o bits

por muestra.

Solución

El (Signal-Noise Ratio ) es una medida del

ruido en una señal. En el caso del ruido

inducido por conversión de análogo a digital

(donde el intervalo de cuantificación de las

muestras es el mismo para todos los niveles) el

para bits por muestra es:

()

De modo que para cada caso expuesto en el

enunciado del ejercicio:

(bits por muestra) (Relación Señal aRuido en decibeles)

EJERCICIO 4

Enunciado

Calcule la tasa de bit requerida para producir

audio en tiempo real utilizando un discocompacto. Calcule la tasa de bit si se utilizaran

, , bits por muestra.

Solución

La frecuencia típica de muestreo utilizado en un

disco compacto es . Y tal como

hicimos en la parte 2 del ejercicio 1, recordando

que la taza de bits es , la taza de

bits que le corresponde a cada relación de bits

por muestra del enunciado son:

(bits por muestra) (Taza detransmisión en bitspor segundo)

EJERCICIO 5

Enunciado

En un disco compacto se pueden almacenar

minutos de música. Calcule la capacidad del

disco en bits.

Solución

El disco compacto estándar tiene canales de

audio (es estéreo); cada canal está codificado

en a una frecuencia de muestreo es de y puede almacenar hasta minutos

(es decir, ); lo anterior definido por los

estándares mundialmente definidos para los

CD. Por lo tanto, la capacidad total del disco

compacto es:




3

EJERCICIO 6

Enunciado

Construya una señal analógica sinusoidal de

para después muestrearla, cuantificarla y

medir el error de cuantificación (todo lo anterior

debe mostrarse en gráficas). Cambie el valor

de a , , , , y observe cómo

cambia la resta de las señales PAM con y sincuantificación. Cambie la amplitud de la señal a

, , y observe el efecto sobre la resta de

PAM con y sin cuantificación.

Solución

Para interpretar el caso que corresponde a

cada gráfico considere como el valor de la

amplitud de la señal y como la cantidad de

niveles de cuantificación.

Primero se han colocado todas las gráficas que

corresponden a la amplitud , después

y finalmente . Todas con los

diferentes niveles de cuantificación solicitados

en el enunciado.

0 0.5 1

-5

0

5

Señal Analógica (A=5,M=2)

tiempo (seg)

x ( t )

0 0.5 1

-4

-2

0

2

4

Muestreo y Retención (A=5,M=2)

tiempo (seg)

x s

( t )

0 0.5 1

-2

0

2

Señal Cuantificada (A=5,M=2)

tiempo (seg)

x q

( t )

0 0.5 1

-2

-1

0

1

2

Diferencia xs-x

q(A=5,M=2)

tiempo (seg)

x d

( t )

0 0.5 1

-4

-2

0

2

4


tiempo (seg)

x s

( t )




4

0 0.5 1

-2

0

2

4


tiempo (seg)

xq

( t

)

0 0.5 1

-1

-0.50

0.5

1

Diferencia xs-x

q(A=5,M=4)

tiempo (seg)

xd (

t )

0 0.5 1

-4

-2

0

2

4


tiempo (seg)

xs

( t )

0 0.5 1

-4

-2

0

2

4


tiempo (seg)

xq

( t

)

0 0.5 1

-0.2

0

0.2

Diferencia xs-x

q(A=5,M=16)

tiempo (seg)

x

d ( t )

0 0.5 1

-4

-2

0

2

4


tiempo (seg)

x s

( t )

0 0.5 1

-4

-2

0

2

4


tiempo (seg)

x q

( t )

0 0.5 1

-0.1

0

0.1

Diferencia xs-x

q(A=5,M=32)

tiempo (seg)

x d

( t )




5

0 0.5 1

-4

-2

0

2

4


tiempo (seg)

xs

( t

)

0 0.5 1

-4

-2

0

2

4


tiempo (seg)

xq

( t

)

0 0.5 1-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

Diferencia xs-x

q(A=5,M=128)

tiempo (seg)

xd

( t )

0 0.5 1

-4

-2

0

2

4


tiempo (seg)

xs

( t

)

0 0.5 1

-4

-2

0

2

4


tiempo (seg)

x q

( t )

0 0.5 1-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

Diferencia xs-x

q(A=5,M=256)

tiempo (seg)

x d (

t )

0 0.5 1

-10

-5

0

5

10


tiempo (seg)

x ( t )

0 0.5 1

-5

0

5

10


tiempo (seg)

x s

( t )




6

0 0.5 1

-4

-20

2

4

6


tiempo (seg)

xq

( t

)

0 0.5 1

-5

0

5

Diferencia xs-x

q(A=10,M=2)

tiempo (seg)

xd (

t )

0 0.5 1

-5

0

5

10


tiempo (seg)

xs

( t )

0 0.5 1

-5

0

5


tiempo (seg)

xq

( t

)

0 0.5 1

-2

-1

0

1

2

Diferencia xs-x

q(A=10,M=4)

tiempo (seg)

x

d ( t )

0 0.5 1

-5

0

5

10


tiempo (seg)

x s

( t )

0 0.5 1

-5

0

5

10


tiempo (seg)

x q

( t )

0 0.5 1

-0.5

0

0.5

Diferencia xs-x

q(A=10,M=16)

tiempo (seg)

x d

( t )




7

0 0.5 1

-5

0

5

10


tiempo (seg)

xs

( t

)

0 0.5 1

-5

0

5

10


tiempo (seg)

xq

( t

)

0 0.5 1

-0.2

0

0.2

Diferencia xs-x

q(A=10,M=32)

tiempo (seg)

xd

( t )

0 0.5 1

-5

0

5

10


tiempo (seg)

xs

( t

)

0 0.5 1

-5

0

5

10


tiempo (seg)

x q

( t )

0 0.5 1

-0.05

0

0.05

Diferencia xs-x

q(A=10,M=128)

tiempo (seg)

x d (

t )

0 0.5 1

-5

0

5

10


tiempo (seg)

x s

( t )

0 0.5 1

-5

0

5

10


tiempo (seg)

x q

( t )




8

0 0.5 1-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

Diferencia xs-x

q(A=10,M=256)

tiempo (seg)

x

d ( t

)

0 0.5 1

-20

-10

0

10

20


tiempo (seg)

x (

t )

0 0.5 1

-10

0

10

20


tiempo (seg)

xs

( t )

0 0.5 1

-5

0

5

10


tiempo (seg)

xq

( t

)

0 0.5 1

-10

-5

0

5

10

Diferencia xs-x

q(A=20,M=2)

tiempo (seg)

x

d ( t )

0 0.5 1

-10

0

10

20


tiempo (seg)

x s

( t )

0 0.5 1

-10

0

10


tiempo (seg)

x q

( t )

0 0.5 1

-5

0

5

Diferencia xs-x

q(A=20,M=4)

tiempo (seg)

x d

( t )




9

0 0.5 1

-10

0

10

20


tiempo (seg)

xs

( t

)

0 0.5 1

-10

0

10

20


tiempo (seg)

xq

( t

)

0 0.5 1

-1

-0.5

0

0.5

1

Diferencia xs-x

q(A=20,M=16)

tiempo (seg)

xd

( t )

0 0.5 1

-10

0

10

20


tiempo (seg)

xs

( t

)

0 0.5 1

-10

0

10

20


tiempo (seg)

x q

( t )

0 0.5 1

-0.5

0

0.5

Diferencia xs-x

q(A=20,M=32)

tiempo (seg)

x d (

t )

0 0.5 1

-10

0

10

20


tiempo (seg)

x s

( t )

0 0.5 1

-10

0

10

20


tiempo (seg)

x q

( t )




10

EJERCICIO 7

Enunciado

Calcule ahora el en niveles para , , ,

y bits por muestra, utilizando MatLab.

Compare en una tabla el valor obtenido en

simulación con el valor teórico.

Solución

bits pormuestra

calculado()

medid()

Note que existe una ligera diferencia provocada

por el método utilizado para aproximar la

cantidad de potencia en el código (integración

numérica por trapecios).

0 0.5 1

-0.1

0

0.1

Diferencia xs-x

q(A=20,M=128)

tiempo (seg)

x

d ( t

)

0 0.5 1

-10

0

10

20


tiempo (seg)

xs

( t

)

0 0.5 1

-10

0

10

20


tiempo (seg)

xq

( t )

0 0.5 1

-0.05

0

0.05

Diferencia xs-x

q(A=20,M=256)

tiempo (seg)

x

d ( t )




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ANEXOS

Programa utilizado para ejercicios 6 y 7

El siguiente script está escrito en lenguaje MatLab/Octave. Para utilizarlo hay que pegarlo en unarchivo con extensión “.m” y ejecutarlo.

%% Restablecer variables y cerrar gráficos clear all;close all;

%% Inicialización de variables fs=1000; % Frecuencia de muestreo A=[5]; % Amplitudes de la señal M=2.^[4,8,10,12,16]; % Niveles de cuantificación (5) SNR=zeros(length(M),length(A)); % SNR

%% Ciclo de ejecución for j=1:length(A)

for k=1:length(M) t = 0:1/fs:1; x = A(j)*cos(2*pi*t*10); tm = t(1:20:end); % Tiempos de muestreo lento xm = A(j)*cos(2*pi*tm*10); %Muestreo lento % Señal muestreada con Sample&Hold ts = 20; xs = zeros(1,length(t)); for i=1:length(t)

if(rem(i,ts)==1) tmp=x(i); % Tomar muestra

end xs(i)=tmp; % Tomar valor de la última muestra end % Cuantificación int = (max(xs)-min(xs))/M(k); % Tamaño del paso m = (min(xs)+int/2):int:...

(max(xs)-int/2); % Valores de cuantificación xq = zeros(1,length(t)); for i=1:length(t)

[tmp n] = min(abs(xs(i)-m)); % Tomar el valor más % cercano a algún valor de cuantificación

xq(i) = m(n); % Asignar dicho valor end % Diferencia xd = xs - xq;

% Gráficas % reportPlot(t,[],[],'tiempo (seg)',... % x,[],[],'x(t)',['Señal Analógica (A=',... % num2str(A(j)),',M=',num2str(M(k)),')']); % reportPlot(t,[],[],'tiempo (seg)',... % xs,[],[],'x_{s}(t)',['Muestreo y Retención (A=',... % num2str(A(j)),',M=',num2str(M(k)),')']);




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% reportPlot(t,[],[],'tiempo (seg)',... % xq,[],[],'x_{q}(t)',['Señal Cuantificada (A=',... % num2str(A(j)),',M=',num2str(M(k)),')']); % reportPlot(t,[],[],'tiempo (seg)',... % xd,[],[],'x_{d}(t)',['Diferencia x_s-x_q (A=',... % num2str(A(j)),',M=',num2str(M(k)),')']);

% Cálculo del SNR Px=trapz(t,x.^2); %Potencia de la señal R=2*max(x); Pq=(R^2)/(12*M(k)^2); %Potencia del ruido de cuantificación SNR(k,j)=10*log10(Px/Pq); % SNR

end end

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