Tarea 1 Analisis Estructural

Pontificia Universidad Católica de Valparaíso Escuela de Ingeniería Civil

Tarea 1

Gabriela Paredes Vega

Análisis Estructural

Profesor: Luis Della Valle Ayudantes: Felipe Muñoz La Rivera

José Sandoval Gutierrez 23 de Noviembre de 2015

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Índice:

Introducción .................................................................................................................... 3

Pregunta control nº1 ................................................................................................... 4

Pregunta control nº2: .................................................................................................. 7

Pregunta control nº3: ................................................................................................ 12

Preguntas interrogación nº1: ..................................................................................... 16

Pregunta 2.1 e (página 91) ........................................................................................ 25

Pregunta 2.1 f) (página 92) ....................................................................................... 28

Pregunta 2.8 e) (página 96) ...................................................................................... 30

Pregunta 2.9 a) (página 98) ...................................................................................... 33

Pregunta 2.10 b) (página 99) .................................................................................... 36

Pregunta 4.15 (página 218) ....................................................................................... 38

Pregunta 4.16 (página 218) ....................................................................................... 41

Pregunta 4.18 (página 219) ....................................................................................... 44

Pregunta 4.19 c) (página 221) ................................................................................... 46

Pregunta 4.20 (página 221) ....................................................................................... 50

Conclusiones ................................................................................................................. 52

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Introducción En el trabajo que se desarrolla a continuación se pretende estudiar a fondo diferentes tipos de estructuras que son sometidas a diferentes tipos de condiciones, ya sean fuerzas puntuales, cargas distribuidas, momentos u aplicaciones de temperatura, y analizar que ocurre con nuestro sistema, es decir, cómo se deforma luego de la aplicación de estos factores.

Saber de antemano cómo se deformará una estructura es muy importante para un ingeniero civil, ya que esto nos permite anticipar problemas que se pueden producir en una construcción y/o tomar medidas preventivas antes de que se genere un problema mayor.

Para este fin trabajaremos con ejercicios, correspondientes al capítulo 2 y 4 del libro Análisis estructural de Pedro Hidalgo, junto con otro grupo de ejercicios correspondientes a pruebas y controles del curso actual y con un programa computacional llamado SAP 2000 en el cual se nos permite dibujar la estructura deseada y ponerle los factores anteriormente mencionados y las restricciones de grados de libertad que tenga nuestro sistema. El objetivo principal de nuestro trabajo es aprender a asociar el diagrama de momentos con la deformada de la estructura e instruirse en el uso del programa computacional ya mencionado.

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Pregunta control nº1 • Determinar las reacciones en A y D. • El momento en B. • El momento en C. • Los diagramas de momento, corte y normal de la estructura.

Dibujo del problema:

Ilustración 1

Nuestro problema consiste en un pórtico isostático el cual está cargado con una fuerza de 3 [ton] en la dirección de x positivo y por una carga distribuida de 10 [ton/m]. Primero se nos pide determinar las reacciones en los apoyos, las cuales se pueden ver en la ilustración 2.

Reacciones en los apoyos:

Ilustración 2

Los resultados obtenidos por el programa parecen lógicos, ya que es simple comprobarlos usando las ecuaciones de la estática. SAP 2000 nos entrega buenas aproximaciones respecto a las fuerzas verticales, ya que estas también se pueden escribir como fracciones (valor mucho más exacto) para Ay=228/11 [ton] y Dy=212/11 [ton].

Luego debemos dibujar los diagramas de esfuerzos internos, partiendo primero por el de esfuerzo normal o axial, si nos fijamos en la ilustración 3 veremos que sólo hay diagrama en las vigas inclinadas del pórtico, ya que en el tramo B-C las fuerzas en el eje x ya se

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encuentran compensadas, mientras que en las partes inclinadas ejercen fuerzas los apoyos, los cuales generan un esfuerzo normal.

Diagrama de esfuerzo normal:

Ilustración 3

En el caso del diagrama de esfuerzo cortante podemos ver que es constante en las barras inclinadas, en donde ejercen fuerzas los apoyos, mientras que en el tramo B-C el diagrama es lineal, ya que en esta parte de la estructura tenemos una carga distribuida rectangular, lo que hace que el corte varíe linealmente.

Diagrama de esfuerzo cortante:

Ilustración 4

Diagrama de momento flector: Por último tenemos el diagrama de momentos, que como podemos ver en la ilustración 5, es fácil darse cuenta guarda una directa relación con el diagrama de corte, ya que mientras éste último permanece constante, el momento varía linealmente, y mientras el corte sea lineal, el momento es una curva cuadrática.

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Ilustración 5

En la ilustración 6 podemos ver la deformada cualitativa de la estructura y podemos darnos cuenta que guarda una cierta relación con respecto al diagrama de momento, ya que se parecen de forma general. Primero vemos que en el apoyo simple en el punto A sólo hay un giro, ya que este tipo de apoyo le restringe a la estructura los desplazamientos horizontales y verticales, cosa que no ocurre en el punto D, ya que existe tanto giro como un desplazamiento horizontal. Además podemos ver que en primer tramo del pórtico la estructura baja y se desplaza hacia la derecha, debido a la fuerza axial aplicada en el punto B, haciendo que el dibujo de la deformada sea prácticamente lineal al igual que el diagrama de momento, luego en el tramo B-C se trasforma más bien en una curva y el último tramo vuelve a ser de forma lineal, esto nos lleva a concluir que la forma de la deformada es muy similar a la forma del diagrama de momentos. Otra cosa que es importante mencionar es que la deformada mantiene en todo momento una concavidad positiva (recordando ésta era positiva cuando tenía forma de U), esto implica que la curvatura de la deformada es positiva en toda la estructura al igual que el diagrama de momentos, esto implica que la relación se signos se da entre el signo del diagrama y la concavidad de la deformada.

Deformada de la estructura:

Ilustración 6

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Pregunta control nº2: El marco de la figura tiene propiedades EI constantes, determine:

• El desplazamiento máximo vertical entre C y D. • El desplazamiento horizontal del punto C. • El giro en D. • Dibuje la deformada de la viga de forma cualitativa.


Ilustración 7

Cabe mencionar de nuestro problema que en el programa SAP 2000 no se pueden poner fuerzas con letras, así que estas cargar puntuales y unitarias representan las fuerzas P de nuestro problema original, y cada cuadrito de la grilla mide 1 [m] y representa la distancia “a” del problema real.


Ilustración 8

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Ilustración 9


Ilustración 10

Diagrama de momento flector:

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Ilustración 11

Deformada de la estructura: En la ilustración 12 vemos como se deforma nuestra estructura, se puede notar que en la deformada siempre hay cambios de pendiente en todos los puntos donde cambia el diagrama de momentos Además se puede que en la unión en C la deformada mantiene un ángulo recto, es decir que en este punto no hay giros ya que la estructura es rígida en ese punto. Cabe mencionar que la concavidad del tramo A-C no se nota, se ve casi lineal, mientras que en el tramo C-D es evidente una concavidad positiva lo que coincide con el diagrama de momentos, mientras que en el tramo B-C podemos darnos cuenta que como el giro en C hacia la derecha es igual y opuesto en signo que el hacia la izquierda, podemos decir que la curvatura de la deformada en ese tramo es negativa, tal como lo muestra el diagrama de momento. Cabe mencionar que B es un punto libre por ende sufre desplazamientos en ambas ejes y giro.

Ilustración 12

Desplazamiento máximo vertical tramo C-D: El desplazamiento máximo de la estructura se da en el tramo en el que el valor del diagrama de momentos es máximo, Debemos tener en consideración que el valor mostrado en C, a continuación , no corresponde al valor máximo de toda la estructura, sino una aproximación del valor real que sería -12,82* Pa3/3*EI.

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Ilustración 13

Desplazamiento horizontal punto C: Podemos ver que el desplazamiento del punto C es hacia la derecha lo que parecía lógico debido a la fuerza aplicada a la mitad del tramo A-C y considerando que en el punto B tenemos un apoyo simple deslizante, hace que no haya ninguna fuerza ni restricción que haga que disminuya el movimiento del punto C, esto explicaría por qué da un valor tan alto. Cabe mencionar que SAP 2000 sólo nos entrega la magnitud del desplazamiento siendo el valor real de éste ∆x=244*Pa3/3*EI.

Ilustración 14

Giro en el punto D: Podemos ver que el giro en D es negativo el cual su valor exacto es ∆θ=-43 Pa2/3*EI.

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Ilustración 15

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Pregunta control nº3: El marco de la figura tiene propiedades EI constantes, determine:

• Descenso del punto C utilizando la estructura real y la estructura virtual dada.


Ilustración 16

Nuevamente en este ejercicio las fuerzas unitarias representan las fuerzas P del problema original y en el caso del punto A tenemos un apoyo empotrado deslizante, como el SAP 2000 no tiene este tipo de apoyo dentro de las opciones, lo que se hace es restringirle los mismo grados de libertad que un empotrado normal, pero con la opción de que se pueda mover libremente en el eje Z.


Ilustración 17


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Ilustración 18


Ilustración 19

Diagrama de momento flector:

Ilustración 20

Deformada de la estructura: Podemos ver que en el primer tramo de la viga (antes de la aplicación de la primera fuerza) la deformada es continua, sólo se desplazó verticalmente debido a que no tiene restricción en ese eje, lo que se condice con el hecho de que el diagrama de momentos es nulo. Luego podemos ver claramente que la concavidad de la deformada es negativa, es decir en forma de U invertida, lo que coincide con el signo del diagrama de momento, podemos ver que en el último tramo de la viga es recta debido a que el momento es nulo y en la unión se mantiene el ángulo recto.

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Ilustración 21

Descenso del punto C: El programa nos entrega una buena aproximación del valor del desplazamiento de C, ya que el valor real -11*Pa3/3*EI.

Ilustración 22

Otra forma de calcular el desplazamiento vertical en C es utilizando otro tipo de estructura virtual que sea diferente a la estructura real, en donde colocamos una fuerza unitaria en donde queremos conocer el desplazamiento real, para este fin usaremos la siguiente estructura virtual:

Estructura Virtual:

Ilustración 23

Diagrama de momento de estructura virtual:

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Ilustración 24

Pero para poder conocer el desplazamiento del punto C se nos hace necesario conocer el giro en el punto B ya que al cambiar el tipo de apoyo provocamos que éste giro genere trabajo externo en nuestra estructura real, por ende debemos buscar en la deformada de la estructura del problema el ∆θB=0.5Pa2/EI

Ilustración 25

Por ende para conocer el desplazamiento sólo basta con resolver la siguiente igualación de trabajos externos e internos, considerando que estos últimos los calculamos a partir de tablas de integración, donde obtenemos que

𝑊𝐸 = 𝑊𝐼

1 ∗ 𝛿𝑌𝐶 − 2𝑎 ∗0.5𝑃𝑎𝐸𝐼

=5𝑃𝑎3

6

𝛿𝑌𝐶 = 11𝑃𝑎3

6𝐸𝐼

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Preguntas interrogación nº1: 1.1 El marco de la figura tiene propiedades EI constantes salvo el tramo CD que

tiene EI infinito, determine: • El desplazamiento máximo vertical entre D y E. • El desplazamiento horizontal del punto E. • El desplazamiento vertical del punto F. • El giro en G. • Dibuje la deformada de la estructura de forma cualitativa.

Dibujo del problema: debemos tener en cuenta de nuestro dibujo que las cargas puntuales dibujadas representan cargas “P” de nuestro problema real, además en el tramo C-D tenemos una viga infinitamente rígida.

Ilustración 26


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Ilustración 27


Ilustración 28


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Ilustración 29

Diagrama de momento:

Ilustración 30

El valor de arriba es 9,6 Pa

Deformada de la estructura: Podemos ver que en el tramo en donde está la viga infinitamente rígida la deformada es lineal y el giro en la zona rígida es siempre el mismo, esto debido a que este tramo carece de 𝑀

𝐸𝐼 por ser 𝐸𝐼 = ∞. Además se puede notar a

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simple vista que la forma de la deformada es similar en forma al diagrama de momentos y volvemos a observar que la curvatura presenta el mismo signo que el diagrama de momentos y donde no existe momento la deformada se ve prácticamente lineal.

Ilustración 31

Desplazamiento horizontal del punto C:

Ilustración 32

Desplazamiento vertical del punto F:

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Ilustración 33

Giro en el punto G:

Ilustración 34

1.2 Para la viga de la figura que en todo su largo tiene propiedades EI constantes determine la máxima deformación vertical.

Dibujo del problema: Al igual que en ejercicios anteriores las fueras unitarias sólo representan la magnitud de éstas, ya que el ejercicio real están multiplicadas por P.

Ilustración 35


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Ilustración 36


Ilustración 37


Ilustración 38


Ilustración 39

Deformada de la estructura: podemos ver en el primer tramo, entre los dos primeros apoyos, que la concavidad de la curvatura es positiva, al igual que el momento, y en forma también se parecen. En el resto de la estructura la deformada tiene concavidad negativa y se desplaza una gran amplitud en el extremo derecho de la estructura, a pesar de que, si nos fijamos bien en el diagrama anterior en ese tramo el momento es nulo, pero el punto G es un punto donde se acumulan giros anteriores.

Ilustración 40

Máxima deformación vertical:

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Ilustración 41

1.3 Para la viga de la figura que tiene propiedades EI constantes determine: • El desplazamiento máximo entre A y B considerando que ambos momentos extremos son cero. • El momento en A para que el giro en A sea igual a cero, considerando que el momento en B es igual a cero, el giro en B es libre. • Los momentos en A y B para que los respectivos giros sean igual a cero.

Dibujo del problema: Al igual que en el ejercicio anterior la carga real es 9P, pero en el programa se ha colocado sólo la magnitud.

Ilustración 42


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Ilustración 43


Ilustración 44


Ilustración 45

Deformada de la estructura: En este ejercicio es evidente el cambio de curvatura en el caso de la segunda y tercera estructura, en ambos en el primer tramo tenemos una concavidad negativa y en el segundo tramo una concavidad positiva, mientras que en la primera estructura tiene la concavidad completamente positiva. En forma se parece bastante al diagrama de momento y vemos que el giro es cero en donde hay apoyos empotrados.

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Ilustración 46

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Pregunta 2.1 e (página 91) Calcular las reacción vertical en B, esfuerzo normal en B, corte en C, momentos en B y E, además dibujar los diagramas de esfuerzos interno.


Ilustración 47

Esta es nuestra estructura en la cual en el punto C hay una rótula, además hay que acotar que todas las fuerzas están en toneladas y la carga distribuida en su punto máximo vale 3 ton/m.

Reacciones en los apoyos: en la ilustración 48 se muestran las reacciones en todos los apoyos de la estructura, en el punto A hay sólo una fuerza normal positiva al igual que en el punto D, de 5,33 o 16/3 [ton] y 4,5 [ton] respectivamente. En el punto B, que era el que nos pedían, podemos ver que nos da una fuerza positiva en el eje las ordenadas de 2,67 [ton] lo que corresponde con el resultado entregado por el libro, sólo que en éste ponen el resultado en fracciones, siendo By=8/3 [ton], sin embargo el resultado entregado por SAP 2000 es una aproximación bastante exacta. En el caso de Bx nos da un resultado de 3 [ton] positivo, lo que a simple vista podemos ver que es correcto, ya que la única fuerza horizontal que esta aplicada en la estructura es de 3 [ton] hacia la izquierda, en el cacho en D.

Ilustración 48

Diagrama de esfuerzo normal: En el enunciado de la pregunta se nos pide calcular el esfuerzo normal en el punto B, y podemos ver en la ilustración 49 que justo en este punto donde parte el diagrama de esfuerzos normales, ya que en este punto es donde aparece la primera fuerza axial, y luego desaparece en el punto D, en donde se suma la fuerza del

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cacho, quedando que los esfuerzos normales son cero. El resultado coincide con el libro siendo NB=-3 [ton].

Ilustración 49

Diagrama de corte: Se nos pide determinar el esfuerzo cortante en el punto C, podemos ver en la ilustración 50 que en el inicio de la viga hasta el punto B tenemos un diagrama de corte de forma lineal lo que parece lógico ya que tenemos una carga distribuida uniforma o rectangular que hace que los esfuerzos internos con respecto al eje de las ordenadas varíe linealmente, hasta que finalmente en el punto B las fuerzas casi se compensan llegando prácticamente a cero en ese punto. En el tramo B-D no hay diagrama de corte vale -1,6 x 10-5 [ton], lo que se puede considerar prácticamente cero, si realizamos el cálculo a mano podemos que el resultado que debería darnos es exactamente cero, como también podemos ver en los resultados que aparecen en el libro, sin embargo este error se puede producir debido a que el programa no trabaja con decimales, sino que con aproximaciones que generan un error de arrastre.

�𝑀𝑐 = 0 ≡163

[𝑡𝑜𝑛] ∗ 4 [𝑚] +83

[𝑡𝑜𝑛] ∗ 1 [𝑚] − 8[𝑡𝑜𝑛] ∗ 3[𝑚] = 0

En el cacho vemos un esfuerzo cortante constante de -3 [ton], en el tramo D-E vemos que también es prácticamente cero el diagrama y en el tramo final podemos ver un que el diagrama es una curva, lo que parece lógico ya que tenemos una carga distribuida de forma triangular que hace que el esfuerzo en el eje y varíe de forma cuadrática.

Ilustración 50

Diagrama de momento: en la pregunta se nos pide determinar el momento en el punto B y en E, podemos ver que en el primer tramo de la viga tenemos un diagrama de

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momentos de forma curva, y es que con toda carga distribuida rectangular el momento varía de forma cuadrática, vemos que en punto B la gráfica de momento llega a cero (o casi, por las mismos errores de arrastra que comente anteriormente). Luego podemos ver que en el tramo D-E el momento es lineal y vale -4.5 [ton], lo que coincide de manera exacta con el resultado entregado por el libro. En el cacho el momento varía de forma lineal y en el último tramo de la viga tenemos un momento curvo, ya que como tenemos una carga distribuida triangular, el diagrama va a ser una curva cúbica.

Ilustración 51

Deformada de la estructura: podemos ver en la deformada que en forma es muy similar al diagrama de momento, sobre todo en el primer tramo (hasta el apoyo simple), en el resto de la estructura podemos ver con suma claridad la concavidad negativa de la deformada y con la gran amplitud, lo que está en concordancia con el diagrama de momento.

Ilustración 52

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Pregunta 2.1 f) (página 92) Calcular las reacciones en B y D, el corte en E y la normal en D. Además dibujar los diagramas de esfuerzos internos.


Ilustración 53

Cabe mencionar del dibujo que en el punto C hay una rótula y que en el punto A hay una fuerza diagonal de magnitud 5 [ton] y con pendiente ¾, por ende es equivalente a poner dos fuerzas, una horizontal y otra vertical con las magnitudes mostradas en la ilustración 53.

Reacciones en los apoyos: En la ilustración 54 se muestran las respuestas a las reacciones By=6 [ton] y Dy=3.75 [ton]

Ilustración 54

Diagrama de esfuerzo normal: En el siguiente diagrama vemos que el esfuerzo es constante en toda el sistema, por ende ND=4 [ton].

Ilustración 55

Diagrama de esfuerzo cortante: Aquí se muestra la respuesta al esfuerzo de corte en el punto E VE=8,25 [ton].

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Ilustración 56


Ilustración 57

Deformada de la estructura: en el primer tramo de la viga no se logra apreciar casi la curvatura de la deformada, sin embargo después se ve claramente la concavidad positiva, si bien el diagrama de momentos es máximo en este segundo tramo, esto no se puede apreciar bien en la deformada, ya que ésta está obligada a pasar por cero, debido al apoyo simple deslizante.

Ilustración 58

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Pregunta 2.8 e) (página 96) Determinar el corte entre C y E, el esfuerzo normal entre C y E y el momento entre C y B y dibujar los diagramas de esfuerzos internos para la siguiente estructura.


Ilustración 59

Al igual que ejercicios anteriores la fuerza unitaria representa una fuerza P del problema original, además el punto E está a una distancia vertical de L/3 con respecto de A.

Calculo de reacciones en los apoyos:

Ilustración 60

Diagrama de esfuerzo normal: Una de las primeras cosas que nos piden es el esfuerzo normal en el tramo C-E la cual según el programa nos da -3,33*P, lo cual es una buena aproximación, ya que el resultado real según el libro debe ser NCE =-10*P/3.

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Ilustración 61

Diagrama de esfuerzo cortante: Nos piden calcular el esfuerzo cortante entre C-E, el cual nos debería dar según los resultados del libro P positivo, mientras que el resultado arrojado por el programa es -P o -1, esto se debe a los ejes de referencia locales tomados por el programa para el cálculo del esfuerzo cortante, los cuales se pueden ver en la ilustración 63.

Ilustración 62

Ilustración 63

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Diagrama de momento: Por último nos piden el valor del momento en el tramo C-B el cual nos da el mismo valor que el libro, ya que en magnitud el programa muestra que el momento vale -1,33 y el libro muestra como resultado que es MCB =-4*P/3.

Ilustración 64

Deformada de la estructura: en este pórtico podemos ver con claridad la concavidad negativa de la parte superior de la estructura, mientras que en general en las vigas verticales es más complejo notar la curvatura de la deformada, ya que casi siempre tiende a parecer más que nada, lineales en estos tramos. En forma esta deformada no se parece mucho al diagrama de momento, a excepción del tramo C-E donde ambas representaciones son idénticas.

Ilustración 65

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Pregunta 2.9 a) (página 98) Calcular los esfuerzos en todas las barras del siguiente reticulado.


Ilustración 66

Ilustración 67

Ilustración 68

Las consideraciones que se tienen que tomar para dibujar el reticulado es primero que hay que cambiar el tipo de apoyo en A, ya que el del problema original no me restringe el movimiento en Z, sino que lo hace con respecto al eje X. además como estamos trabajando con una armadura debemos considerar que todos sus uniones son rotuladas, como se muestra en la ilustración 68 y debemos considerar una sección que sólo se deforma axialmente.


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Ilustración 69

Diagrama de esfuerzos axiales: En el libro se nos piden los esfuerzos en cada una de las barras los que vienen entregados en el siguiente diagrama de esfuerzos, pero nos entregan valores de TAD=−5√10 [ton] y TEF=6 [ton] y como podemos ver a continuación los resultados arrojados por el programa es exacto con respecto a TEF=6 [ton] y nos da una buena aproximación de TAD=-15,81 [ton].

Ilustración 70

Deformada de la estructura: En este caso no hay diagrama de momento, pues sólo existen fuerzas axiales y como podemos ver a continuación que en la deformada ninguna de las barras se deflecta y esto se corresponde con el hecho de que el diagrama de momentos en la estructura es nulo. Vemos en la deformada representa que la estructura completa baja debido a las cargas aplicadas en el extremo derecho.

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Ilustración 71

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Pregunta 2.10 b) (página 99) Calcular los esfuerzos en las barras numeradas del siguiente reticulado.

Dibujo del problema: Una vez más como estamos trabajando con reticulados debemos de tener consideraciones especiales, es decir seleccionar una sección de viga que sólo se pueda deformar axialmente y que las uniones en la estructura son rotuladas.

Ilustración 72

Ilustración 73


Ilustración 74

Diagrama de esfuerzos axiales: En la ilustración 75 podemos ver la respuesta de la tensión en las secciones que nos pedían, obtenemos que T1=170.88 [ton], T2=-160 [ton],

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T3=0 [ton], T4=-66.67 [ton], T5=-106.67 [ton], T6=-40 [ton], valores que coinciden con los entregados por el libro. Vemos que en este caso la armadura cumple con la regla general de que cordón superior se encuentra comprimido y cordón inferior traccionado, considerando que todas las barras de arriba son las que tienen más esfuerzo debido a que deben soportar las cargas superiores.

Ilustración 75

Deformada de la estructura: En la deformada vemos que la armadura baja considerablemente debido a la acción de las fuerzas superiores, pero en sí ninguna de las barras se deflecta, sino que se deforma axialmente (se alargan o acortan cada barra) provocando la deformación general de la estructura.

Ilustración 76

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Pregunta 4.15 (página 218) Calcular la componente horizontal del desplazamiento del nudo C debido a la carga representada en la figura. Las secciones de las barras (en centímetros cuadrados) figuran entre paréntesis. E=2,1 x 103 ton/cm2.

Dibujo del problema: Para este ejercicio en particular hay que definir nuevas secciones del material, ya que nos piden que el módulo de elasticidad tenga un cierto valor (no como antes que trabajábamos con E=1 ton/m2) y que las barras tengan el área especificada en la ilustración 77, pero como estamos trabajando con un sistema de unidades en metros debemos hacer un cambio de unidades. Además al igual que antes debemos trabajar con uniones reticuladas.

Ilustración 77


Ilustración 78

Diagrama de esfuerzos axiales:

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Ilustración 79

Deformada de la estructura: Una vez más vemos que las barras en los reticulados no se deflectan sino que se, en este caso la mayoría de éstas se alargan y sólo una se comprime

Ilustración 80

Desplazamiento del punto C: En este caso no nos dan los mismos resultados que el libro ya que según éste la respuesta es 𝛿𝐻𝐶=9,37 [mm], sin embargo si comprobamos el resultado arrojado por el SAP 2000, el cual es 𝛿𝐻𝐶=13,9 [mm] nos podemos dar cuenta de que éste es correcto.

Ilustración 81

Esto lo podemos comprobar utilizando trabajos virtuales, ya que el ejercicio está estáticamente determinado, como ya tenemos definido nuestra estructura real con su respectivo diagrama de esfuerzos, sólo nos faltaría

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Estructura virtual:

Ilustración 82

Diagrama de esfuerzos axiales estructura virtual:

Ilustración 83

A partir del diagrama de normal podemos hacer igualación de trabajos internos y externos de la estructura para poder conocer el desplazamiento del punto C. debemos tener en consideración que al definir la sección del material ya le hemos asignado el área y módulo de elasticidad mencionados en el encabezado del ejercicio. Entonces el trabajo interno lo calculamos como:

𝑊𝐼 = �𝑛𝑖𝑁𝑖𝐿𝐴𝐸

=12.5 ∗ 0,53 ∗ 7,5

45 ∗ 2,1𝑥10+

15 ∗ 0,21 ∗ 318 ∗ 2,1𝑥10

−37.5 ∗ 0,53 ∗ 7,5

45 ∗ 2,1𝑥10+

2 ∗ 30,92 ∗ 0,28 ∗ 6,1824 ∗ 2,1𝑥10

= 13,2 [𝑡𝑜𝑛 ∗ 𝑚𝑚]

𝛿𝐶 = 13,2 [mm]

Valor muy parecido al arrojado por el SAP 2000, por ende debemos concluir que el error cometido está en la respuesta entregada por el libro.

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Pregunta 4.16 (página 218) Determinar la deformación relativa entre los puntos B y D. Todas las barras tienen el mismo AE.

Dibujo del problema: Al igual que ejercicios anteriores se trabaja con secciones que sólo se deforman axialmente y con uniones rotuladas.

Ilustración 84

Diagrama de esfuerzos axiales:

Ilustración 85

Deformada de la estructura: Podemos ver en la deformada un evidentemente alargamiento de las barras exteriores y un acortamiento de la barra interior, por ende la deformación relativa entre los puntos B y D es de acercamiento y vale 𝛿𝐵𝐷=10 en magnitud, lo que coincide con el resultado entregado por el libro, el cual es 𝛿𝐵𝐷=10 a/AE

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Ilustración 86 Ilustración 87

Principio de superposición: Para poder corroborar la efectividad del principio de superposición hemos considerado los sistemas mostrados en la ilustración 87, en donde se ve que si sumamos las fuerzas de ambos sistemas obtendremos un sistema equivalente al del problema inicial. Nuestro objetivo es verificar que sumando los desplazamientos relativos entre los nodos B y D de ambos sistemas obtenemos el resultado antes mencionado.

Ilustración 88

Deformada de las estructuras:

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Ilustración 89

Como podemos ver en la ilustración 88 el nodo D se desplaza más a mayor magnitud de fuerza y la dirección del desplazamiento va a depender de la dirección de la carga, para poder comprobar si se cumple el principio de superposición debemos sumar ambos desplazamientos y luego medir el relativo entre los nodos B y D.

𝛿𝐷1 + 𝛿𝐷2 = −20𝑎𝐴𝐸

+ 15𝑎𝐴𝐸

= − 5𝑎𝐴𝐸

𝛿𝐵𝐷 = 2 ∗5𝑎𝐴𝐸

=10𝑎𝐴𝐸

Por ende podemos ver que sí se cumple el principio de superposición, en este ejemplo en particular había que tener cuidado porque no se podía eliminar ninguna fuerza porque se rompía la estática del problema quedándonos un mecanismo, por eso se eligió amplificar las fuerzas cosa que al sumarlas quedaran las 5 [ton] originales.

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Pregunta 4.18 (página 219) Determinar el desplazamiento vertical del nudo D y el horizontal del nudo E si se conocen todos los esfuerzos internos del reticulado. Todas las barras tienen igual AE/L=K.

Dibujo del problema: Si bien en el problema original del libro se nos piden las deformaciones del reticulado a partir de los esfuerzos internos dados, esto no lo podemos hacer con el programa, por lo tanto resolveremos el problema sólo considerando las fuerzas externas aplicadas en la parte superior de la armadura. Debemos tomar las mismas consideraciones que hemos tomado antes al trabajar con estructuras reticuladas, y además que las fuerzas mostradas en la ilustración 87 representan sólo la magnitud, pues en el problema original están multiplicadas por “P”.

Ilustración 90


Ilustración 91

Diagrama de esfuerzos axiales: A simple vista podemos ver que los resultados no son los mismos que los entregados por el libro, ya que según estos el esfuerzo interno en la barra AE es -3,68P mientras que el resultado arrojado por el programa muestra que el esfuerzo interno en este misma barra es -2,56P, sin embargo, si corroboramos los resultados obtenidos vemos que de igual forma cumplen con la estática, por ende no hay motivos para pensar que están erróneos.

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Ilustración 92

Deformada de la estructura: Vemos una vez más que las barras del reticulado o sufren deformaciones por flexión sino que se alargan o acortan, es decir sólo se deforman axialmente, el reticulado baja por acción de las fuerzas superiores y nuevamente se cumple que el cordón superior de la armadura está comprimido y casi todo el inferior traccionado, como se puede ver en la ilustración 91.

Ilustración 93

Desplazamiento vertical del punto D:

Ilustración 94

Desplazamiento horizontal del punto E:

Ilustración 95

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Pregunta 4.19 c) (página 221) Determinar el diagrama de momentos, los desplazamientos del punto C y del punto E en el siguiente pórtico. Además dibuje la deformada, de forma cualitativa, de la estructura indicando los cambios de curvatura y puntos que la caracterizan. Considere solamente deformaciones por flexión y propiedades EI constantes.


Ilustración 96

Consideraciones del dibujo es que en el punto C hay una rótula interna.


Ilustración 97


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Ilustración 98


Ilustración 99


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Ilustración 100

Deformada de la estructura: Lo primero que resulta evidente es que en la unión en el punto C no se mantiene el ángulo recto como había ocurrido en ejercicios anteriores, esto se debe a que en ese punto la estructura no es rígida, sino que hay una rotula interna que permite el giro de ese punto, la deformada en términos generales se parece al diagrama de momentos, sin embargo no se cumple mucho la relación entre los signos de éste diagrama y el signo de la concavidad de la deformada, esto ocurre porque el ejercicio no es una viga simple, sino que es un pórtico donde hay una relación entre los desplazamientos y giros de cada viga, además de mantener la rigidez de la estructura en las uniones.

Ilustración 101

Desplazamientos del punto C: Dieron resultados prácticamente exactos, y más precisos que los que aparecen en el libro, ya que éste dice que ∆VC=-264/EI y ∆HC=552/EI, mientras que SAP 2000 trabaja con más decimales por ende mayor precisión,

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Ilustración 102

Desplazamientos del punto E: Lo descrito anteriormente también se cumple para el caso de los desplazamientos del punto E, los cuales deberían tener un valor de ∆VE=-960/EI y ∆HC=384/EI.

Ilustración 103

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Pregunta 4.20 (página 221) Calcule la deformación horizontal del nudo C cuando la temperatura sube en 20ºC en las barras AD y DE. El coeficiente de dilatación térmica por temperatura es 𝛼 = 11,7𝑥10−6 � 1

º𝐶� .

Dibujo del problema: En este caso no tenemos fuerzas externas sino que una diferencia de temperatura, por lo cual se trabajó con secciones que se deforman axialmente y uniones rotuladas.

Ilustración 104


Ilustración 105

Deformada de la estructura: En este caso no se nota muy bien cómo se deforma la estructura, ya que si analizamos el caso del desplazamiento horizontal del punto C, que es lo que nos pedían, vemos que se mueve 𝛿𝐻𝐶 =-0,914 [mm], lo que coincide con los resultados del libro, y es un valor muy bajo lo que es esperable, ya que el cambio de temperatura ocurre en barras que están alejadas del punto C, por ende no se debería ver tan afectado por tal.

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Ilustración 106

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Conclusiones: A partir del trabajo recién desarrollado podemos inferir que existe una directa relación entre lo que es la deformada de un sistema, en los que existen deformaciones por flexión, con su diagrama de momentos, y esto ocurre debido a que la ecuación de la elástica, mostrada a continuación, nos dice el campo de desplazamientos que sufre el eje de una viga desde su forma recta original a la forma curvada o deflectada final:

𝑑2𝑣𝑑𝑥2

=𝑀(𝑥)𝐸𝐼

Además podemos ver que el uso del método de superposición es efectivo, ya que llegamos al mismo resultado, pero en el caso de usarlo en SAP 2000 es poco eficiente, ya que dibujando sólo la estructura real el programa nos entrega todos los datos que podemos obtener de ella, en cambio al hacer superposición debemos realizar más trabajo (dibujar más veces) para llegar al mismo resultado.

Además hemos aprendido que el programa computacional SAP 2000 es una gran herramienta para la ingeniería, es de fácil uso y con muchas aplicaciones que sirven para ver de manera más real los problemas que desarrollamos a lo largo de éste curso, pero sí requiere ciertos conocimientos de la materia involucrada para poder interpretar si lo que arroja el programa como respuesta tiene alguna lógica.

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Tarea 1 Analisis Estructural

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