Tarea ITaller de ecuaciones diferenciales y en diferencias

Licenciatura en Economıa

1. Considera la ecuacion diferencialx (t) = x (t) + t (1)

a) Verifica que tanto x (t) = −t− 1 y x (t) = et − t− 1 son soluciones particulares de la ecuacion (1).

b) Encuentra una solucion general para la ecuacion (1) para todo t.

c) ¿Es x (t) = et − 1 una solucion de (1)? justifica tu respuesta.

d) Considera la condicion inicial x (0) = 1, resuelve el problema de valor inicial que surge al considerar (1) yla condicion inicial.

2. Encuentra una solucion a la ecuacion diferencial x (t) + x (t) = et.

3. Verifica que x (t) = Kt2 es una solucion a la ecuacion diferencial tx (t) = 2x (t) para todo K ∈ R.

4. Considera la ecuacion diferencial (1 + tx (t)) x (t) = −x (t)2, ¿cualquier funcion x (t) que satisface x (t) etx(t) = K,

K ∈ R, es una solucion a la ecuacion diferencial? justifica tu respuesta.

5. En cada uno de los siguientes casos verifica si la funcion x (t) que satisface la ecuacion de la izquierda es unasolucion de la correspondiente ecuacion diferencial de la derecha:

x (t)2

= 2at, 2x (t) x (t) = 2tx (t)2

+ a, a ∈ R (2)

et2

2+ e−x(t) (x (t) + 1) + K = 0, x (t) x (t) = tet

2+x(t),K ∈ R (3)

(1− t)x (t)2

= t3, 2t3x (t) = x (t)(x (t)

2+ 3t2

)(4)

6. ¿Es x (t) = Kt − K2, K ∈ R, la solucion general a la ecuacion diferencial x (t)2

= tx (t) − x (t)? justifica turespuesta.

7. Supon que x (t) satisface x (0) = 0 y la ecuacion diferencial x (t) =(

1 + x (t)2)t para todo t. Encuentra un

mınimo para x (t). ¿Es concava o convexa la funcion x (t)? justifica tu respuesta.

8. Supon que x (t) = F (t, x (t)), se dice que esta ecuacion diferencial es separable si F (t, x (t)) puede escribirsecomo el producto de dos funciones, una que depende solo de t y otra que depende solo de x (t). Especıficamentex (t) = f (t) g (x (t)). ¿Cuales de las siguientes ecuaciones diferenciales son separables y cuales no? justifica turespuesta.

a) x (t) = −2tx (t)2

b) x (t) = t2 + x (t)

c) x (t) = x (t)2 − 1

d) x (t) = x (t) t + t

e) x (t) = x (t) + t2

f ) x (t) x (t) = ex(t)+t√

1 + t2

g) x (t) = 4√t2 + x (t)

h) x (t) = F (t) + G (x)

9. Resuelve la ecuacion diferencial x (t) = −2tx (t)2

y grafica la solucion.

10. Resuelve la ecuacion diferencial x (t) = t3

x(t)6+1.

11. Resuelve la ecuacion diferencial x (t) = B (x (t)− a) (x (t)− b) , B ∈ R cuando a 6= b.

12. Resuelve la ecuacion diferencial x (t) = B (x (t)− a) (x (t)− b) cuando B = − 12 , a = −1, b = 2 y grafica la

solucion en este caso.

13. Resuelve la ecuacion x (t)2x (t) = t + 1. Dibuja la solucion que pasa por x (1) = 1.

14. Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales

a) x (t) = t3 − t

b) x (t) = tet − t

c) ex(t)x (t) = t + 1

15. Encuentra la solucion general de x (t) + 2tx (t) = 4t y dibuja la solucion que pasa por x (0) = −2.

16. Encuentra las soluciones generales de las siguientes ecuaciones diferenciales:

a) tx (t) + 2x + t = 0, t 6= 0

b) x (t)− tt2−1x (t) = t, t > 1

c) x (t)− 1tx (t) = t, t > 0

d) x (t)− 2tx (t) + 2a2

t2 = 0, t > 0, a ∈ R.

17. Considera la ecuacionx (t) + a (t)x (t) = b (t) , (5)

verifica que si x (T ) = xT , la solucion a (5) se puede expresar como

x (t) = xT e∫ Tt

a(s)ds −∫ T

t

b (r) e−∫ tra(s)dsdr.