VACIADO DE TANQUES CON TEOREMA DE TORRICELLI

TECNOLOGICO NACIONAL DE MEXICO

INSTITUTO TECNOLOGICO DE

CELAYA

ECUACIONES DIFERENCIALES

20 DE JULIO DE 2015MINI PROYECTO

PROFESOR. CALDERÓN RAMÍREZ MARIO

INTRODUCCION.

Muchos problemas físicos dependen de alguna manera de la geometría. Uno de

ellos es la salida de líquido de un tanque a través de un orificio situado al fondo del

mismo. La forma geométrica del recipiente determina el comportamiento físico del

agua.

El teorema de Torricelli es una aplicación del principio de Bernoulli y estudia el

flujo de un líquido contenido en un recipiente, a través de un pequeño orificio, bajo

la acción de la gravedad. A partir del teorema de Torricelli se puede calcular el

caudal de salida de un líquido por un orificio. "La velocidad de un líquido en una

vasija abierta, por un orificio, es la que tendría un cuerpo cualquiera, cayendo

libremente en el vacío desde el nivel del líquido hasta el centro de gravedad del

orificio". Donde:

Y a su vez esto da lugar a:

dhdt

+( AB )√2gh( t)=E( t)

Experimentalmente se ha comprobado que la velocidad media de un chorro de un

orificio de pared delgada, es un poco menor que la ideal, debido a la viscosidad

del fluido y otros factores tales como la tensión superficial, de ahí el significado de

este coeficiente de velocidad.

OBJETIVO

Demostrar que el Teorema de Torricelli a partir de la ecuación diferencial del

vaciado de un tanque nos permite conocer función que nos describe la relación

que existe entre la cantidad de agua que contiene el tanque con respecto al

tiempo y el flujo que no permanece constante.

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

Se tiene un tanque cilíndrico A de dimensiones de un litro aproximadamente,

conectado a otro tanque B de menores dimensiones de 335 ml aproximadamente;

el cual tiene una altura desde la conexión hasta la tapa de 15cm. Se dejó llenar el

tanque B hasta 7 cm para considerarlo cilíndrico y esa atura fue tomada como el

eje x, durante el experimento el agua subía 8cm después del eje cada 3 segundos.

Hallar la ecuación del experimento y obtener la gráfica.

METODOLOGÍA

Materiales:

Procedimiento:

1. Una botella de plástico de 1000 ml. se cortó de la parte inferior.2. La tapa de la botella de plástico se perforo y se conectó la manguera.3. La botella de 335 ml fue perforada de la parte inferior y conectada con la

botella de 1000 ml.4. El tanque B fue perforado de la parte inferior para evitar crear un vacío5. El equipo se fijó con silicón6. El tanque A se llenó con agua y se agregó el colorante rosa7. Se realizó la grabación del proceso

Una botella de plástico reciclada (capacidad 335

mL aprox.) Tanque A

Una botella de plástico reciclada (capacidad 1000

mL aprox.)

Colorante

Manguera de plástico Cúter Silicón

RESULTADOS Y DISCUSIÓN

Ecuación del vaciado de un tanque

La ecuación estándar para el vaciado de un tanque es:

dhdt

+( AB )√2gh( t)=E( t)

Dónde: √2gh ( t )=26.56∗( AB )∗√h( t) y AB

= Áreade la perforaciónÁreatransversal del tanque

Entonces el diámetro de la perforación es de 6 mm y el diámetro transversal del tanque es de 4.8 cm, por lo tanto, dejado todo en cm:

6mm∗1cm10mm

=0.6 cm.

Por lo tanto el radio de la perforación es: 0.3 cm y el radio transversal del tanque es de 2.4 cm, por lo tanto:

A=π∗¿ Y B=π∗(2.4 cm)2=18.09 por lo tanto:

AB

=28.27x 10−2

18.09=1.56 x10−2

Entonces:

dhdt

+2656∗(1.56 x10−2)∗√h(t )=dhdt

+41.43∗√h(t)=E (t)

Como tenemos la raíz de una función, elevamos toda la ecuación al cuadrado para eliminar la raíz. Nombraremos a 41.43 como k ya que este es un número constante en la ecuación, por lo que nos da como resultado:

d2hd t2

+k 2∗h ( t )=E( t)2

Donde E ( t )={83 0≤t ≤303≤ t ≤6 } entonces como se elevo al cuadrado, quedara

E( t)2={649 0≤ t ≤303≤ t ≤6 } Sacando la transformada de Laplace de la ecuación completa nos da:

s2H ( s )−sh (0 )−h ' (0 )+k2H (s )= 1

1−e−6 s (∫0

3

e−sT ( 649 )dt+∫3

6

e− sT (0 )dt)Resolviendo las integrales y tomando en cuenta que la segunda integral es cero, entonces:

s2H ( s )−sh (0 )−h ' (0 )+k2H (s )= 64

9 s (1+e−3 s )

Por lo tanto:

H (s ) (s2+k2 )= 64

9 s (1+e−3 s )∴H (s )=(649 )( 1

s ( s2+k 2) )( 1

1+e−3 s )

Entonces:

H (S )=( 649 )( 1s− 1

s2+k2 ) (1−e−3 s+e−4 s−e

−5 s+…seriegeométrica )

Tenemos:

H (s )=(( 649 )( 1s− e−3 s

s+ e−4 s

s− e−5 s

s+…))−(( 649 )( 1

s2+k2− e−3 s

s2+k2+ e−4 s

s2+k2− e5 s

s2+k2+…))

Sacando la transformada inversa de H(s) obtenemos h (t):

h (t )=(( 649 )(1−u(t−3)+u(t−4)−u (t−5)+…))−(( 649 )( sin ktk−sin kt∗u(t−3)

k+sin kt∗u (t−4 )

k−sin kt∗u (t−5)

k+…))

Esta es la ecuación periódica de nuestro fenómeno donde k= 41.43.

Se intentó meter la ecuación en el programa Geogebra sin embargo no reconoce el escalón unitario y no encontramos en la bibliografía como expresarlo así que no tenemos una gráfica resultante de este fenómeno.

En la realización del experimento, se dejó circular agua de un tanque mayor a uno menor, con una razón de salida de 8cm cada 3s.

Nuestro eje de referencia tomado a 7cm de la tapa del segundo tanque, para que nuestro tanque fuera considerado tanque cilíndrico.

GRAFICA 1.1

Se puede observar en la gráfica que la entrada del flujo del tanque es mayor a la salida de flujo del tanque, en los primeros 25 s del video se representa claramente que el aumento es mayor a la perdida de flujo. A partir de los 25 s hasta el final del video la oscilación cambia debido a que la manguera de entrada del flujo con las seguidas repeticiones sufrió una deformación dada que la entrada del flujo fue menor con el tiempo.

GRAFICA 1.2

CONCLUSIÓN

Después del desarrollo de este experimento, se debe comparar la gráfica obtenida

experimentalmente, con la calculada analíticamente mediante la ecuación de

vaciado de un tanque, y estas deberían ser parecidas; con lo cual se demuestra

que es posible realizar y determinar dimensiones de tanque, velocidades de

vaciado, como por ejemplo un tinaco en una casa y sus conexiones de tubería.

Además de que usamos la transformada de Laplace, para poder resolver nuestra

ecuación, lo cual nos ayudó a resolverla de una forma más rápida y fácil. Pero

debido a que nuestra solución analítica es una serie o con escalón unitario no nos

fue posible graficarla y por lo tanto no pudimos comparar las gráficas.

REFERENCIAS

Zill, Dennis G. (2006).

Ecuaciones Diferenciales con problemas con valor en la frontera, Séptima

Edición. Brooks/Cole Publishing Co. ITP.

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/fluidos/dinamica/vaciado/vaciado.htm

http://www.ing.uc.edu.ve/~jpaez/MA3B06/contenidos/

contenido_ma3b06_tema3_5.pdf

http://principio-torricelli.blogspot.mx/