TANGENCIAS

1. Definiciones y propiedades fundamentales.

1.1 Recta tangente a una curva.

Una recta es tangente a una curva cuando tiene con ella un único punto en común. A dicho punto se le llama punto detangencia y se le suele nombrar con la letra T.

Si la curva es una circunferencia, la recta tangente en un punto T de la misma es perpendicular al radio que pasa por dichopunto .

A una circunferencia se le pueden trazar infinitas rectas tangentes siempre perpendiculares a los radios que pasan por lospuntos de tangencia.A una recta se le pueden trazar infinitas circunferencias tangentes, todas ellas con centro en las perpendiculares trazadasdesde los puntos de tangencia.

Se puede distinguir entre recta tangente de primera y de segunda especie:

1.2 Curvas tangentes.

Dos curvas son tangentes entre si, si tienen un único punto en común T. La recta tangente a las dos curvas en el punto detangencia es coincidente :

La recta tangente a una curva en un punto de la mismapuede entenderse como la posición límite de una cuerdaTA que gira alrededor de su extremo T hasta que el otroextremo se confunde con T.Si T es un punto impropio, la recta tangente se llamaasíntota.

Esto se puede entender imaginando el desplazamientoparalelo de una secante AB hasta que la recta es tangen-te a la circunferencia.

Si la recta tangente a cada una de las curvas en un mismopunto es distinta, las curvas no son tangentes entre si:

La rectas tangentes de segunda especie sólo surgencuando en las curvas existen puntos singulares ( P') en losque se produce un cambio de curvatura. Las rectas tangen-tes en dichos puntos son infinitas, frente a lo que sucedeen los puntos ordinarios.

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Si dos circunferencias son tangentes entre si, el punto de tangencia se encuentra en la línea que une los centros:

Posiciones relativas de dos circunferencias:

1.3 Normal a una curva.

La normal a una curva en un punto T de la misma es la perpendicular a la recta tangente en ese punto.

En una circunferencia, la normal coincide con el radio quepasa por el punto de tangencia:

2. Trazado de rectas tangentes.

2.1 Recta tangente a una circunferencia.

a) Por un punto de la misma.

La recta tangente a una circunferencia en un punto T de la misma es la perpendicular al radio que pasa por dichopunto:

b) Por un punto exterior.

Siempre existen dos rectas tangentes a una circunferencia dada que pasan por un punto P exterior a la misma.Dichas rectas son ortogonales a los radios que pasan por los puntos de tangencia de manera que el triángulo POT

es rectángulo y T puede ser determinado mediante el arco capaz de 90º del segmento PO:

El arco capaz de 90º del segmento PO determina lospuntos de tangencia T y T' de las rectas tangentes a c quepasan por P. Dichos puntos y los radios que pasan porellos han de dibujarse siempre.

La longitud del segmento PT está en relación directa con elvalor de la potencia en P con respecto a la circunferencia c,

ya que PT=ÖK

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c) Por un punto impropio (rectas tangentes a una circunferencia según una dirección dada).

Las rectas tangentes t y t' se cortan en un punto del infinitosegún la dirección d dada. Los radios que pasan por lospuntos de tangencia serán perpendiculares a dichadirección.

d) Tangente a un arco circular de radio inaccesible.

Se trata de encontrar la recta tangente al arco de circunferencia a en el punto T, estando el centro del arco fuera dealcance. Veremos dos maneras:

Método 1Se realiza un arco con centro T y el mayor radio posiblesiempre que corte al arco inicial. Se dibuja la cuerda quedefinen los puntos de corte obtenidos (cuerda AB). Latangente buscada es la recta t paralela a dicha cuerda porel punto T.

Método 2Se realizan dos arcos sucesivos de igual amplitud, elprimero con centro en T y el segundo con centro en A,punto de corte del primero con la curva inicial, obteniendoel punto B. Realizando un tercer arco de centro T y radioTB se obtiene el punto C en la intersección con elsegundo arco . La tangente buscada es la recta que pasapor los puntos T y C.

2.2 Rectas tangentes a dos circunferencias.

El número de rectas que se pueden trazar a dos circunferencias coplanarias depende de que éstas sean exteriores, tangentes o secantes:

a) Tangentes exteriores a dos circunferencias.

Resolveremos este problema por dos métodos: dilatación y homotecia. Es importante conocer ambos.Solución por dilatación:

Dadas dos circunferencias de centros O1 y O2 y radios respectivos r1 y r2, se desea obtener sus rectas tangentesexteriores t y q. Si partiendo de la solución, disminuimos gradualmente y en la misma medida los radios de las doscircunferencias, las rectas tangentes se mantienen paralelas. Esta disminución puede seguir hasta convertir a lamenor en un punto y a la mayor en una circunferencia disminuida de radio r1-r2 Las rectas t' y q', paralelas a lassoluciones, son, en este momento, las rectas tangentes exteriores a la circunferencia r1-r2 desde el punto O2.

Los pasos son los siguientes:1) Se dibuja la circunferencia de centro O1 (siendo O1 elcentro de la mayor) y radio r1-r2 .2) Se hallan, aplicando lo visto en el punto 2.1.b, lasrectas t' y q' tangentes exteriores a la circunferenciadisminuida desde el punto O2 . Dichas rectas son paralelasa las soluciones.3) Se dibujan los puntos T y Q de tangencia de las rectassolución. Como conocemos la dirección de las rectassolución, conocemos la dirección de los radios que pasanpor los puntos de tangencia (perpendicular a t' y q').4) Por último se dibujan las rectas solución t y q uniendolos puntos de tangencia y comprobando el paralelismo cont' y q'.

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Solución por homotecia:

Las rectas tangentes exteriores a dos circunferencias se cortan en el centro de la homotecia directa que transformauna en otra. Si hallamos ese centro, el problema queda simplificado al de dibujar las rectas tangentes a unacircunferencia que pasan por un punto exterior a la misma (2.1.b)

Los pasos son los siguientes:1) Se dibuja la línea que une los centros de lascircunferencias: el centro de homotecia estaráobligatoriamente en ella.2) Se elige un punto cualquiera A de una de lascircunferencias (en el dibujo en O1). En una homotecia seconserva el paralelismo, de manera que podemos obtenerel punto A', homotético de A, copiando la dirección O1A. Elcentro de homotecia O estará en el punto de corte de laslínea AA' con la que une los centros.3) Una vez conocido el centro O de la homotecia directaque transforma una circunferencia en otra y sabiendo queen él se cortan las rectas tangentes exteriores buscadas,podemos obtener los puntos de tangencia y dibujar lasrectas aplicando el procedimiento visto en el punto 2.1.b(preferiblemente con la circunferencia mayor paraaumentar la precisión).

b) Tangentes interiores a dos circunferencias.

Resolveremos igualmente este problema por los métodos de dilatación y homotecia.Solución por dilatación:

En el caso de las tangentes interiores se considera un incremento del radio de la circunferencia mayor en la mismamedida que disminuye el radio de la menor hasta convertirse en un punto. En esta situación, las rectas tangentesexteriores a la circunferencia mayor incrementada desde el centro de la menor son paralelas a las soluciones.

Solución por homotecia:Las rectas tangentes interiores a dos circunferencias se cortan en el centro de la homotecia inversa que transformauna en otra. Si hallamos ese centro, el problema queda reducido al de dibujar las rectas tangentes a unacircunferencia que pasan por un punto exterior a la misma (2.1.b)

Los pasos son los siguientes:1) Se dibuja dilatada la circunferencia mayor (centro O1

y radio r1+r2).2) Desde el centro O2 de la menor se dibujan las rectastangentes t' y q' exteriores a la circunferencia dilatada.Las rectas solución son paralelas a ellas.3) Conocida la dirección que tienen las dos rectastangentes interiores buscadas, se pueden dibujar lospuntos de tangencia T y Q sabiendo que los radios quepasan por ellos serán perpendiculares a las tangentes.4) Por último se dibujan las rectas solución t y q uniendolos puntos de tangencia y comprobando el paralelismo cont' y q'.

Los pasos son los siguientes:1) El centro de homotecia O estará en la línea que une loscentros de las dos circunferencias y situado entre ellas, alser homotecia inversa. Dibujamos dicha línea.2) Se elige un punto cualquiera A de una de lascircunferencias. El homotético A' se sitúa en la otracircunferencia de manera que los segmentos O1A y O2A'

sean paralelos pero con signos opuestos. El centro dehomotecia O estará en el punto de corte de las línea AA'

con la que une los centros.3) Una vez conocido el centro O de la homotecia inversaque transforma una circunferencia en otra y sabiendo queen él se cortan las rectas tangentes interiores buscadas,podemos obtener los puntos de tangencia y dibujar lasrectas aplicando el procedimiento visto en el punto 2.1.b.

El lugar geométrico de los centros de todas lascircunferencias tangentes a una recta en un punto de lamisma es una perpendicular a la recta en dicho punto.

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3. Trazado de circunferencias tangentes conocido el radio.

3.1 Circunferencias de radio dado R que pasan por un punto P y son tangentes a una recta r .

a) Si el punto está en la recta.

b) Si el punto es exterior.

El lugar geométrico de los centros de todas lascircunferencias de radio R tangentes a la recta r son dosrectas paralelas a r a distancia R.El lugar geométrico de los centros de las circunferncias deradio R que pasan por P es una circunferencia de centro P yradio R.Los puntos que pertenezcan a ambos l.g. son centros de lascircunferencias solución (sólo una posible).

[ RPr ]

3.2 Circunferencias de radio dado R que pasan por un punto P que son tangentes a una circunferencia c.

a) Si el punto está en la circunferencia.

b) Si el punto es exterior.

[ RPc ]

El lugar geométrico de los centros de todas las circunferen-cias tangentes a la circunferencia c en un punto P de lamisma es la línea que une dicho punto y el centro de lacircunferencia.El lugar geométrico de los centros de todas las circunferen-cias de radio R que pasan por P es una circunferencia decentro P y radio R.Los puntos que pertenezcan a ambos l.g. son centros de lascircunferencias solución.

El lugar geométrico de los centros de todas las circunferen-cias de radio dado R tangentes por el exterior a una circun-ferencia c de radio r, es una circunferencia concéntricacuyo radio es R + r:

El lugar geométrico de los centros de todas las circunferen-cias de radio dado R tangentes por el interior a una circun-ferencia c de radio r, es una circunferencia concéntricacuyo radio es R - r:

Los puntos que pertenezcan a ambos l.g. son centros de lascircunferencias solución.Una vez hallados dichos centros, y antes de dibujar lascircunferencias, hay que determinar los puntos de tangenciasabiendo que estarán siempre en la línea que une loscentros.

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3.3 Circunferencias de radio dado R tangentes a dos rectas que se cortan. [ Rrr ]

3.4 Circunferencias de radio dado R tangentes a una recta r y a una circunferncia c. [ Rrc ]

Nota:Hasta aquí lo visto correspondea Dibujo Técnico I

3.4 Circunferencias de radio dado R tangentes a dos circunferencias c y d. [ Rcc ]

Nota:Ver libro DTI pág. 70

Nota:Ver libro DTI pág. 71A continuación conviene repasarenlaces (págs. 72,73,74)

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4. Trazado de circunferencias tangentes.A continuación veremos problemas en los que las soluciones han de ser circunferencias tangentes a otros elementos. Para acotarlos distintos casos nos limitaremos al estudio de los que se corresponden con el enunciado del llamado "problema de Apolonio".

4.1 El problema de Apolonio.

En geometría plana euclidiana, el problema de Apolonio consiste en encontrar las circunferencias tangentes a trescircunferencias dadas. Considerando el punto como una circunferencia de radio cero y la recta como una circunferencia deradio infinito, cada una de estas tres circunferencias pueden ser un punto (P), una recta (r), o una circunferencia (c), y sepresentan diez casos posibles que son los que estudiaremos:

1) P,P,P 2) r,r,r 3) P,P,r 4) P,P,c 5) P,r,r 6) P,r,c 7) P,c,c 8) r,r,c 9) c,c,r 10) c,c,c

4.2 Circunferencia que pasa por tres puntos. [P,P,P]

Una única solución centro del circuncentro del triánguloformado por los tres puntos.Si los puntos están alineados, la circunferencia solucióntiene radio infinito, siendo por tanto una recta:

4.3 Circunferencia que es tangente a tres rectas. [r,r,r]

a) Dos rectas son paralelas:

b) Las tres rectas se cortan:

Existen dos soluciones si dos de las rectas son paralelas.Sus centros se encuentran en los puntos de corte de lasbisectrices.El radio de las circunferencias solución es la mitad de ladistancia que separa a las rectas paralelas.

Existen cuatro soluciones si las rectas forman un triángulo.Sus centros son el incentro y el exincentro del triángulo quese forma:

Nota:Antes de continuar es necesariorepasar:1) Homotecia.2) Potencia de la circunferencia.3) Inversión.

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4.4 Circunferencia que pasa por dos puntos y es tangente a una recta. [P,P,r]

a) Caso general:

Vamos a resolver este problema aplicando los conocimientos sobre potencia de la circunferencia. Considerandoresuelto el ejercicio:

Por lo tanto, los pasos para resolver el problema por potencia son los siguientes:

Este ejercicio puede resolverse también por homotecia (antes de ver este ejercicio es conveniente estudiar el x.xx ):

b) Si AB es paralelo a r:

Existen dos circunferencias solución que pasan por lospuntos A y B y son tangentes a la recta r. El fundamentode la resolución del ejercicio consiste en hallar un punto Pde la recta r cuya potencia con respecto a dichascircunferencias sea igual. Dicho punto pertenecerá al ejeradical es de las circunferencias solución (la prolongacióndel segmento AB) y su potencia será: KPs1s2 = PT1 = PT2

Conociendo el valor de KPs1s2 tendremos localizados lospuntos de tangencia T1 y T2 y podremos dibujar lascircunferencias solución. Para ello se emplea unacircunferencia auxiliar a cualquiera que pase por A y por B,

y que tenga, por tanto, el mismo eje radical con respecto alas soluciones. La potencia del punto P con respecto a lacircunferencia a será la misma que con respecto a lassoluciones (Ka=KPs1s2), y por ello PTa = PT1 = PT2 , siendoPTa el segmento tangente a a desde P.

1) Se dibuja una circunferencia auxiliar a cualquiera quepase por A y B. Su centro estará en la mediatriz de AB, aligual que el de las circunferencias solución.2) El eje radical eas de las circunferencias solución y de laauxiliar es la recta que por A y B. En su intersección con rse encuentra el punto P, que tiene igual potencia conrespecto a las tres circunferencias.3) Desde P se dibuja uno de los segmentos tangentes a lacircunferencia auxiliar (PTa). Si desde P la potencia Kas alas tres circunferencias es la misma, entonces PTa = PT1 =PT2 y podemos localizar T1 y T2.

4) Las circunferencias solución tienen centros en los puntosde intersección de la mediatriz de AB y las perpendiculares ar por los puntos T1 y T2.

1) Se prolonga la mediatriz de AB hasta cortar a r en O.2) Se dibuja una circunferencia auxiliar cualquiera a concentro en dicha mediatriz y tangente a r.3) Si dicha circunferencia a cambia de escala según unahomotecia de centro O puede transformarse en lascircunferencias solución puesto que se mantendrátangente a r y su centro estará siempre en AB.Uniendo O y A localizamos los puntos A' y A'' de a que setransformarán en el punto A.4) Realizando paralelas en A a los segmentos OaA' y OaA''se halla la posición de los centros de las soluciones Os1 yOs2. Para dibujar las circunferencias s1 y s2 es preciso hallarpreviamente los puntos de tangencia T1r y T2r.

Se trata de una simplificación del caso anterior que puederesolverse de una manera más sencilla:1) Como AB es paralelo a r, la mediatriz de AB esperpendicular a r y debe pasar por el centro de la solución,luego T es obligatoriamente el punto de tangencia.2) La circunferencia solución es la que pasa por A, B y T.

4.5 Circunferencia que pasa por dos puntos y es tangente a una circunferencia. [P,P,c]

a) Caso general:

Se resuelve por potencia, como el caso anterior, a partir de una circunferencia auxiliar a que pasa por los puntos A yB y corta a la circunferencia c dada:

b) Si A y B se encuentran a la misma distancia de Oc :

Se trata de una simplificación del caso anterior que puederesolverse de una manera más sencilla:1) Como A y B están en un arco concéntrico con lacircunferencia c, en la mediatriz de la cuerda AB está debenestar los centros de las soluciones perpendicular a r y debepasar por el centro de la solución, luego T esobligatoriamente el punto de tangencia.2) La circunferencia solución es la que pasa por A, B y T.

La solución más sencilla es la estudiada aplicando potencia,pero este ejercicio podría resolverse también por inversión(se verá más adelante), tomando uno de los puntos dados

como centro de inversión y ÖK el segmento que los une,para que el otro punto sea doble.

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c) Si uno de los puntos está en la recta:

Es, de nuevo, un caso simplificado:1) El centro de la circunferencia está obligado a situarse enla perpendicular a r por el punto B (B es el punto detangencia de la circunferencia solución en r).2) AB es una cuerda de la circunferencia buscada, luego elcentro de la misma está en su mediatriz.

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4.6 Circunferencia que pasa por un punto y es tangente a dos rectas. [P,r,r]

a) Caso general:

Se puede resolver por potencia:

Aunque quizás sea más sencillo por homotecia:

b) Si el punto está en una de las rectas:

1) Si las circunferencias solución son tangentes a r y s,sus centros estarán obligatoriamente en la bisectriz b dedichas rectas.2) Si las circunferencias solución pasan por B y su centroestá en la bisectriz, pasarán obligatoriamente por C,simétrico de B con respecto a b.3) El eje radical de las circunferencias solución, eas, es larecta que pasa por B y C (son los puntos del plano quetienen la misma potencia con respecto a cualquiercircunferencia que pase por B y C). El punto P, intersecciónde eas con una de las rectas (en este caso con s), tiene, porlo tanto, igual potencia con respecto a las doscircunferencias solución. Esto implica que la longitud de lossegmentos tangentes trazados desde P a ambas

circunferencias es la misma (y vale ÖK).4) Para conocer el tamaño de dicho segmentos tangentestrazamos una circunferencia auxiliar cualquiera que pase porB y C de manera que P tenga también igual potencia conrespecto a ella. Hallando la longitud del segmento tangentedesde P a la circunferencia a, se obtiene la posición de lospuntos de tangencia de las circunferencias solución en s,pues: PTa= PTs1 = PTs2

5) Una vez conocidos los puntos de tangencia de lassoluciones se hallan sus centros por intersección con labisectriz b de las perpendiculares trazadas a s por dichospuntos. Antes de dibujar las circunferencias es precisodeterminar los puntos de tangencia en r.

1) Si las circunferencias solución son tangentes a r y s,sus centros estarán obligatoriamente en la bisectriz b dedichas rectas.2) Si las circunferencias solución pasan por B y su centroestá en la bisectriz, pasarán obligatoriamente por C,simétrico de B con respecto a b.3) Se dibuja una circunferencia a cualquiera que tenga sucentro en b y sea tangente a r y s. Las circunferenciassolución serán homotéticas de la circunferencia a con centrode homotecia en vértice O de las rectas r y s.4) La recta que pasa por B y por O determina en a lospuntos B' y B'' homotéticos de B, de manera que lossegmentos B'Oa y B''Oa son paralelos respectivamente delos segmentos BOs1 y BOs2, siendo Os1 y Os2 los centros delas circunferencias solución.5) Una vez conocidos los centros de las soluciones espreciso determinar los puntos de tangencia en las rectasantes de dibujar las circunferencias.

El problema es mucho más sencillo si el punto está en unade las rectas. Se resuelve por lugares geométricos (este hade ser siempre el primer paso en todo problema detangencias ):1) Si las circunferencias solución son tangentes a r y s,sus centros estarán obligatoriamente en las bisectrices b yw de dichas rectas.2) Si las circunferencias han de ser tangentes a s en B,sus centros estarán en la perpendicular a s por el punto B.3) De la superposición de ambos lugares geométricos seobtienen los centros Os1 y Os2 (fuera del papel) de lascircunferencias solución. Antes de dibujarlas es necesariohallar los puntos de tangencia.

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c) Si el punto está en la bisectriz

Este ejercicio se puede resolver por potencia de unamanera similar al caso general pero sin necesidad dedibujar una circunferencia auxiliar:1) En el punto P la potencia con respecto a lascircunferncias solución s1 y s2 es la misma. Como B es elpunto de tangencia de un segmento tangente a las doscircunferencias trazado desde P, entonces:KP = PB = PT1 = PT2 ;PB= PT1 = PT2

2) Como la distancia PB es igual a la distancia desde P alos puntos de tangencia de las soluciones, podemosdibujar dichos puntos de tangencia y las circunferenciassolución quedan determinadas.

2 2 2

Por homotecia también se puede resolver de una maneramuy sencilla:1) Se dibuja una circunferencia auxiliar cualquieratangente a las rectas r y s.2) Los puntos B y B' son homólogos de B en unahomotecia de centro O. Los segmentos B'Tar y B''Tar sonparalelos a los segmentos BT1r y BT2r

3) Una vez obtenidos los puntos de tangencia T1r y T2r lascircunferencias solución quedan determinadas.

c) Si las rectas son paralelas:

Por homotecia también se puede resolver de una maneramuy sencilla:1) Se dibuja una circunferencia auxiliar cualquieratangente a las rectas r y s.2) Los puntos B y B' son homólogos de B en unahomotecia de centro O. Los segmentos B'Tar y B''Tar sonparalelos a los segmentos BT1r y BT2r

3) Una vez obtenidos los puntos de tangencia T1r y T2r lascircunferencias solución quedan determinadas.

4.7 Circunferencias que pasan por un punto dado y son tangentes a una recta y a una circunferencia. [P,r,c]

a) Caso general:

Este problema debe resolverse aplicando inversión de centro en el punto dado. No es posible hallar las solucionespor potencia u homotecia:

La solución de problemas de tangencias por inversión sebasa en la propiedad de que si dos figuras a y b sontangentes en un punto T, sus inversas a' y b' serántangentes en T' inverso de TEn el problema planteado queremos hallar las circunferen-cias (hay un máximo de cuatro soluciones posibles) quepasando por A son tangentes a r y c. Estas circunferen-cias quedarán determinadas si conocemos los puntos detangencia en r y c.Si planteamos una inversión de centro A, las figuras inversasde las circunferencias solución serán rectas tangentes a r' yc' en puntos T' inversos de los puntos de tangenciabuscados (la inversa de una circunferencia que pasa por elcentro de inversión es una recta que no pasa por él). Lapotencia de inversión puede ser cualquiera, aunque lo mejores elegir aquella que simplifique la contrucción de las figurasinversas c' y r' dejando, por ejemplo, c autoinversa (cºc').

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Los pasos que resuelven el problema son:

1) Elegimos A como centro de inversión y como potencia de

inversión ÖK = AT de manera que c sea autoinversa.2) Invertimos las figuras r y c. Como c es autoinversa cºc'. La inversa de r es una circunferencia r' que pasa por elcentro de inversión.3) Cualquier recta s' tangente a r' y c' es inversa de unacircunferencia s solución, y los puntos de tangencia T' soninversos de los puntos T de tangencia de la circunferencia scon r y c.En el caso del dibujo los puntos T1 y T2 tienen por inversosT1' y T2', que se hallan sabiendo que deben estar alineadoscon el centro de inversión.4) Una vez determinados los puntos de tangencia de unacircunferencia solución es inmediato el dibujo de la misma:se puede emplear el procedimiento para dibujar la circun-ferencia que pasa por tres puntos (T1 ,T2 , A), o lugaresgeométricos (Oc y Os deben estar alineados y Os estar en laperpendicular a r por T2).

b) Si el punto se encuentra en la circunferencia:El ejercicio queda en este caso simplificado y se puederesolver por lugares geométricos:1) El centro de la circunferencia solución está en la líneaque une Oc y A.2) La circunferencia solución ha de ser tangente a r y a larecta t, tangente a c en A. El centro de la misma estará enlas bisectrices de t y r.3) La suma de los dos l.g. permite obtener el punto Os,centro de la circunferencia solución.

Este problema también podría resolverse por potencia:1) La recta t es el eje radical de las circunferenciassolución y P tiene igual potencia con respecto a ambas,luego PA = PT1 = PT2

2) Conocidos los puntos de tangencia en r, es inmediatohallar los centros de las circunferencias solución.

4.8 Circunferencias que pasan por un punto dado y son tangentes a otras dos circunferencias. [P,c,c]

a) Caso general:

Máximo cuatro soluciones. Es el ejercicio base para resolver por inversión.

Se quiere hallar una circunferencia que pase por el puntoA y sea tangente a las circunferencias c y d dadas . Lospasos son los siguientes:1) Se establece una inversión de centro A y potencia talque una de las circunferencias sea autoinversa (cºc')

2) Se hallan c' y d' inversas de c y d.3) Toda recta tangente a c' y d' es inversa de una circunfe-rencia solución. Elegimos la recta s'.4) Los puntos de tangencia de s' con c' y d' son inversosde los puntos de tangencia de la circunferencia solución(alineados con A). Una vez obtenidaos el dibujo de lacircunferencia solución es inmediato.

Cada una de las cuatro rectas tangentes se invierte en unacircunferencia solución:

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b) Si el punto se encuentra en una de las circunferencias:

Este ejercicio puede resolverse sin necesidad de recurrir ainversión.Suponiendo el problema resuelto, la circunferencia s' es laconcéntrica de la solución s que pasa por Od. El segmentoA'Od será una cuerda de dicha circunferencia s' y permitirádeterminar la posición del centro de la solución Os.Paso a paso:1) El centro de las circunferencias solución estará en lalínea que une Oc y A.2) Dibujamos un punto A' en dicha línea a distancia rd

(radio de la circunferencia d) de A.3) Como se ha explicado, la mediatriz del segmento A'Od

permite situar el centro Os de la solución. Sólo quedahallar el punto de tangencia T y dibujar la circunferencia.

Existen dos soluciones a este problema. La que falta seobtendría situando A' en el lado opuesto con respecto a A.

4.9 Circunferencias tangentes a dos rectas y a otra circunferencia. [r,r,c]

a) Caso general:

Máximo cuatro soluciones. Se aplica una dilatación negativa para reducir la circunferencia a un punto. Queda transformado en el caso P,r,r que se resuelve preferentemente por homotecia:

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b) Si las rectas son paralelas:

4.10 Circunferencias tangentes a una recta y a otras dos circunferencias. [r,c,c]

Máximo cuatro soluciones. Si se aplica una dilatación negativa para reducir la circunferencia a un punto, quedatransformado en el caso P,r,c. Si las dos circunferencias son iguales, se transforma en el caso P,P,r.

Nota:No es necesario estudiarestos últimos casos.

4.11 Circunferencias tangentes a otras tres dadas. [c,c,c]

Máximo ocho soluciones. Si se aplica una dilatación negativa para reducir la circunferencia a un punto, quedatransformado en el caso p,c,c. Si dos circunferencias tienen igual radio queda transformado en el caso p,p,c. Si lastres circunferencias son iguales, se transforma en el caso p,p,p.

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