Taller # 2 - Relaciones y Funciones

Introduccion al Calculo

Departamento de Matematicas

1) En los conjuntos A = {a, b, c}, B = {0, 1, 2, 3} se definen las siguientes relaciones. Decida cuales deellas son funciones.

a) {(a, 1), (b, 1), (c, 3)}b) {(a, 1), (a, 1), (c, 3)}

c) {(a, 1), (b, 1), (b, 1), (a, 0)}d) {(b, 2), (c, 3)}

e) {(a, 3), (b, 3), (c, 0)}f) {(a, 0), (b, 1), (c, 1)}

2) Dados los conjuntos f = {(1, a), (2, b), (2, c), (3, a), (0, e)}, g = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, a), (e, e)}. De-termine si f, g, g f son funciones.

3) En el conjunto de los dgitos D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, determine si las relaciones a seguir sonfunciones y para estas especifique el dominio y el rango.

a) f = {(n, m) : n + m < 4}b) f = {(n, m) : m = n + 1}

c) f = {(n, m) : |nm| = 1}d) f = {(n, m) : n + 1 < m}

e) f = {(n, m) : m = n3}f) f = {(n, m) : m = |n 1|}

4) Determine cuales de las siguientes relaciones son funciones

a) f : [0, 1] R dada por f(x) = xb) f : [1, 1] R dada por f(x) = 1 x2

c) f : [0, 1] R dada por f(x) = |x|d) f : [1, 1] R dada por f(x) =|x|

5) Cuales de las siguientes figuras corresponden a la grafica de una funcion?

0 1 20

1

2

0 1 20

1

2

0 1 20

1

2

6) Dada la funcion f(x) = 3 2x calculea) f(0)

b) f(2)c) f(1

2)

d) f(x + 1)

e) f(32)

f) f(3)

7) Dada la funcion f(x) = 132x2 calcule

a) f(0)

b) f(1)

c) f(1

2

)

d) f(

1x

)e) f(1)

f) f(2)

8) Dada la funcion f(x) =1 x2 calcule

a) f(1)

b) f(

12

)c) f(1)d) f

(1x

) e) f(0)f) f

(12

)

9) Dada la funcion f(x) = x + 1xcalcule

a) f(1)

b) f(12)

c) f(2)

d) f(

1x

) e) f(x)f) f(

x)

1

10) Determine el dominio y el rango de cada una de las siguientes funciones

a) y = x2 + 1;

b) y = 2x + 1;

c) y =|x 2|x 2 ;

d) y =1

x 2;

e) y =1

x2;

f) y = 1 +

x 1;

g) y =1 x2;

h) y =1

x2 1;

i) y =1

1 + x2.

11) Si f(x) = 2x demostrar que

a) f(x+3)f(x1) = f(4)

b) f(x)f(y) = f(x + y)

c) f(x + 3) f(x 1) = 115

f(x)

12) Si f(x) = loga1x, demostrar que

a) f(a3) = 3b) f(a

1

z ) = 1z

c) f(x) + f(y) = f(xy)

13) Dada la funcion

f(x) =x

x 1Determine los siguientes valores dando su respuesta en forma simplificada.

1) f(

1x

)

2) (f f)(x)3) f

(1

f(x)

)

4) f(x + 1)

14) Si f(x) =

x, para a 6= b R+ calculef(b) f(a)

b a

15) Si f(x) = 1 2x, para h 6= 0 calculef(x + h) f(x)

h

16) Si f(x) = 1x, para h 6= 0 calcule

f(x + h) f(x)h

17) Si f(x) = x2, para h 6= 0 calcule

f(x + h) f(x)h

18) Para f(x) = 1x3 , g(x) = x

2, determine cada uno de los valores (si esto es posible)

a)(f g)(1)

b)(g f)(1)

c)(g f)(8)

d)(f g)(3)

19) Calcule f g, g f y sus respectivos dominios

a) Si f(x) = x2, g(x) =

x

b) Si f(x) = 1x1 , g(x) =

1x

c) Si f(x) = x|x| , g(x) =

x

d) Si f(x) =

x, g(x) = x 1

20) Determine la formula para la funcion f y describa el dominio de la funcion

a) f(x) es el permetro de un crculo de radio x

b) f(x) es el area de un crculo de radio x

2

c) f(x) es el area de un triangulo equilatero de lado x

d) f(x) es el volumen de un cubo de lado x

21) Considere la funcion

f(x) =|1 x2| |2x 1|+ 3

|x 1|determine su dominio y exprese f(x) cuando x esta en los intervalos

a) (1,)b) (1, 1

2)

22) Escriba las siguientes funciones como composicion de otras funciones y determine los respectivosdominios.

a) (x2 + 1)4

b) 3

x2 1c) 3

(2x + 3)

d)1|x + 1|

23) Sean f(x) = 2x2 1, g(x) = 4x3 3x. Muestre que (g f) (x) = (f g) (x).

24) Para la funcion f(x) =1

x 1, calcular f f f .

25) Para f(x) = x2, determine todas las funciones polinomiales de grado 1, g(x) = ax + b tales quef g = g f .

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