RANGO DE UNA MATRIZEs e l número de l íneas de esa matr iz ( f i las o co lumnas) que son

l inealmente independientes.

Una l ínea es l inealmente dependiente de ot ra u ot ras cuando se

puede establecer una combinación l ineal ent re e l las.

Una l ínea es l inealmente independiente de ot ra u ot ras cuando no se

puede establecer una combinación l ineal ent re e l las.

El rango de una matr iz A se s imbol iza: rang(A) o r(A ) .

También podemos deci r que e l rango es: el orden de la mayor

submatr iz cuadrada no nula . Ut i l izando esta def in ic ión se puede

calcu lar e l rango usando determinantes.

OPERACIONES ELEMENTALES QUE PUEDEN REALIZARSE CON UNA

MATRIZ PARA CALCULAR SU RANGO SIN QUE ÉSTE VARÍE

1. Intercambiar dos líneas entre sí.

2. Suprimir una línea que tenga todos sus elementos nulos.

3. Suprimir una línea que sea proporcional a otra.

4. Suprimir una línea que sea combinación lineal de otra/s

5. Multiplicar o dividir una línea por un número distinto de cero.

6. Sustituir una línea i de este modo: Li = a·Li + b·Lj

7. Sustituir una línea i de este modo : Li = Li + a·Lj

Las propiedades anteriores NO pueden ser aplicadas en el cálculo de

determinantes, pues alterarían el valor de los mismos, excepto en el caso 7. Sin

embargo, todas ellas pueden utilizarse para averiguar el rango de una matriz sin

que se modifique el valor de éste.

Como mínimo, el rango de una matriz siempre será 1, salvo para la matriz nula,

cuyo rango es cero.

Para poder calcular el rango de una matriz ésta no tiene por qué ser

necesariamente cuadrada.

Una matriz cuadrada de orden "n", como máximo su rango es n.

Una matriz cuadrada de orden "n" es inversible (regular) si el rango es n. Es decir,

cuando las filas (columnas) son linealmente independientes.

Didiremos que dos matrices A y B son equivalentes ( A~B) si tienen el mismo

rango.

Cálculo por el método de Gauss

Podemos descar tar una l ínea s i :

Todos sus coef ic ientes son ceros.

Hay dos l íneas iguales.

Una l ínea es proporc ional a ot ra.

Una l ínea es combinación l ineal de ot ras.

F 3 = 2F 1

F 4 es nula

F 5 = 2F 2 + F 1

r(A) = 2.

En genera l consis te en hacer nulas e l máximo número de l íneas

posib le, y e l rango será e l número de f i las no nulas.

F 2 = F 2 - 3F 1

F 3= F 3 - 2F 1

Por tanto r(A) = 3.

Finalmente, el rango es el número de filas distintas de cero que aparecen en la

matriz.

EJEMPLO:

Cálculo del rango de una matriz por determinantes

1 . Podemos descartar una l ínea si:

Todos sus coeficientes son ceros.

Hay dos l íneas iguales.

Una l ínea es proporcional a otra.

Una l ínea es combinación l ineal de otras.

Suprimimos la tercera columna porque es combinación l ineal de

las dos pr imeras: c 3 = c 1 + c 2

2. Comprobamos si t iene rango 1, para el lo se t iene que

cumplir que al menos un elemento de la matriz no sea cero y

por tanto su determinante no será nulo.

|2|=2≠0

3. Tendrá rango 2 si existe alguna submatriz cuadrada de

orden 2, tal que su determinante no sea nulo.

4. Tendrá rango 3 si existe alguna submatriz cuadrada de

orden 3, tal que su determinante no sea nulo.

Como todos los determinantes de las submatr ices son nulos no

t iene rango 3, por tanto r(B) = 2 .

5. Si t iene rango 3 y existe alguna submatriz de orden 4, cuyo

determinante no sea nulo, tendrá rango 4. De este mismo modo

se trabaja para comprobar s i t iene rango superior a 4.

Valores y Vectores Propios

Sea A una matriz cuadrada, un número real se dice que es un valor propio o un

eigenvalor o un valor característico de A si existe un vector, diferente del vector cero, x tal

que:

Ax = x

Es decir, es un vector que al transformarlo mediante la multiplicación por A el vector

resultante mantiene su dirección, posiblemente solo su longitud y/o sentido se modifique.

El vector x se llama vector propio o eigenvector asociado al valor propio.

Para la matriz A indique cuales vectores son vectores propios.

Solución

Debemos multiplicar cada vector por la matriz A y ver si el vector resultante es un múltiplo

escalar del vector.

V1 sí es vector propio de A asociado al valor propio 3.

V2 no es vector propio de A.

V3 sí es vector propio de A asociado al valor propio -1.

V4 no es vector propio de A.

Si es un valor propio de A y si x es el vector no nulo tal que Ax = x entonces x se dice

vector propio de A correspondiente al valor propio

Ejemplo: Calcular los valores y vectores propios para la matriz

Solución: La ecuación característica queda:

o sea:

factorizando:

con lo cual obtenemos dos valores propios:

buscamos ahora los correspondientes vectores propios:

para = -1:

El sistema obtenido tiene una infinidad de soluciones de la forma x= [x1, x1]t. Así, por

ejemplo x=[1 1]t es un vector propio correspondiente a = -1.

para = 2:

Nuevamente el sistema obtenido tiene una infinidad de soluciones de la forma x[x1,

0.4x1]t. Así, por ejemplo x =[5 2]t es un vector propio correspondiente a = 2.

Como puede verse del ejemplo anterior, a un valor propio en general le corresponden

una infinidad de vectores propios este conjunto infinito es un espacio vectorial y se

denomina el espacio propio correspondiente

a

obsérvese además que para un k dado, su espacio propio correspondiente es el espacio

nulo de la matriz

(A- I).

1. Explique el concepto de demanda y oferta?

Oferta: es la cantidad de bien o servicio que el vendedor pone a la venta pueden ser

bicicletas, horas de clases, caramelos

Demanda: es la cantidad de un bien o servicio que la personas desean adquirir todos los

seres humanos demandan de un bien o servicio agua, educación

2. Cuáles son las variables que determinan la demanda de un producto o servicio en el

mercado?

Variables de la demanda

a) Precio del bien:

La demanda cambia de forma inversa al precio si el precio sube se demanda

menos, mientras que si el precio baja la demanda aumenta

b) Renta:

Al aumentar la renta del consumidor aumenta la demanda ya que tiene la

posibilidad de comprar más, pero también puede disminuir el consumo de un

determinado bien o servicio ya que su poder adquisitivo le da la oportunidad de

comprar otras cosas de mayor valor

c) Precio de los bienes relacionados:

Bien sustitutivo: es aquel que puede satisfacer las necesidades del consumidor

igual que el bien en cuestión

Si sube el precio del bien sustitutivo aumenta la demanda del bien

Bien complementario: es aquel que se consume o utiliza a la par con un bien en

cuestión

Si sube el precio de un bien complementario baja la demanda del bien (y lo

contrario si baja)

d) Los gustos:

si el producto está de moda aumenta la demanda y si va decayendo disminuye la

demanda

e) Las expectativas sobre el futuro:

En función de cómo prevea el consumidor que puede cambiar el escenario influirá

de manera positiva o negativa en la demanda de un bien. Si el consumidor anticipa

cambios de tecnología, subidas o bajadas de precio, aumentos o disminuciones de

sus ingresos, etc., su actual demanda de un bien puede verse afectada.

3. Mediante un ejemplo explique el comportamiento e incidencia de cada variable en la

demanda de un producto o servicio

.

Precio del bien:

a) En una tienda venden chocolates a 1.000 pesos y sus ventas diarias son de 15

unidades, una disminución del precio produce un aumento en sus ventas de 25

unidades diarias

b) Renta:

Un consumidor regularmente compra una bolsa de arroz sabrosón de 3 kilos cada

semana que tiene un valor 12.000 pesos, al el ganar un poco mas de dinero decide

comprar más cantidad de arroz de una mejor marca como la es diana una bolsa de

5 kilos que cuesta 17.000 pesos

c) Precio de los bienes relacionados :

Bien sustitutivo:

Por ejemplo la carne de pollo es un sustituto de la carne de res, cuando el precio de

la carne de res aumenta, muchos consumidores pueden desplazarse a consumir

pollo o lo inverso, entonces el precio del uno aumenta y la demanda del otro

también.

Bien complementario:

. Si la gasolina sube de precio, puede dar lugar a usar menos los automóviles y

como consecuencia, disminuir la demanda de aceite para el motor.

d) Los gustos:

 La moda es un buen ejemplo de lo que ocurre en un mercado cuando atrae a los

consumidores; la lluvia incrementa el número de usuarios de taxi

e) Las expectativas sobre el futuro:

Las expectativas del consumidor en cuanto a un incremento futuro de los precios

puede inducirlos a comprar más ahora, aumentando la demanda corriente. De la

misma manera la expectativa de un ingreso mayor, los motiva a incrementar sus

gastos; también se da cuando se espera disminución en precios o en ingresos,

reduciendo la demanda.

4. Cuáles son las variables que determinan la oferta a de un producto o servicio en el

mercado?

a) Precio del bien:

Cantidad ofertada y precio se mueven en la misma dirección. Si el precio aumenta

los vendedores aumentan su oferta, en cambio si el costo baja la oferta también

bajara. Cuando baja el precio de un bien disminuye la rentabilidad que obtiene el

vendedor lo que le llevará a contemplar otras posibles opciones

b) Precios de los factores:

Recursos utilizados en su fabricación. Si sube el precio de los factores aumenta el

coste de fabricación con lo que la rentabilidad obtenida por el vendedor se reduce.

Por tanto la relación de esta variable con la oferta es inversa: Si sube el precio de los

factores disminuye la cantidad ofertada y si baja el precio aumenta

c) Tecnología:

Tecnología y cantidad ofertada se mueven de forma paralela. Una mejora

tecnológica conllevará una disminución del coste de fabricación, aumentando la

rentabilidad del producto. Esto impulsará al vendedor a aumentar su oferta.

d) Las expectativas:

Su influencia en la oferta es similar a la que se vio al analizar la demanda. Las

expectativas, según cual sean (subida o bajada prevista del precio del bien, cambios

de gustos, tendencia al alza o a la baja del coste de los factores, etc.), pueden

favorecer o perjudicar la cantidad ofertada.

5. Mediante un ejemplo explique el comportamiento e incidencia de cada variable en la

oferta de un producto o servicio

a) Los precios de los factores productivos:

Una reducción en los salarios de los trabajadores de una fábrica de mantequilla

permitirá que las mismas cantidades de mantequillas que antes se fabricaba se

puedan producir a unos precios menores

b) la tecnología:

Una mejora en la fabricación de neumáticos de automóviles puede reducir los costos

de producción .esto permitirá que las empresas puedan ofrecer las mismas cantidades

de neumáticos que antes, a unos precios menores

c) las expectativas:

En un sector determinado como puede ser el de la producción de energía fotovoltaica,

puede impulsar la entrada de empresas en ese sector, lo que se traducirá en un

aumento en la oferta de energía fotovoltaica

6. Que es la curva de la demanda y represéntela gráficamente?

La representación gráfica de la tabla de la demanda. Se puede definir como el

trazado de los diferentes puntos que relacionan los diversos precios de un bien y las

cantidades compradas a cada nivel de precios, por todos y cada uno de los

compradores potenciales del producto.

7. Que es la curva de la oferta y represéntela gráficamente?

Es la representación gráfica que muestra la cantidad total de un producto que los

productores están dispuestos a producir o vender, en un determinado período de tiempo,

a diversos precios del producto, cuando los demás factores de la oferta permanecen

constantes. La curva de la oferta normalmente tiene pendiente positiva que muestra una

relación directa entre los precios y las cantidades.

Un movimiento en esta curva se da solo si hay variación de los precios, si hay cambios en otras variables afectarán toda la curva causando un desplazamiento en la misma.

8. A que se le denomina punto de equilibrio del mercado?

El punto d equilibrio es aquel nivel de actividad en el que la empresa ni gana, ni pierde, su

beneficio es cero

Por debajo de ese nivel de actividad la empresa tendría perdidas, si el nivel de actividad

fuera superior, la empresa obtendría pero beneficios

Para calcular el punto de equilibrio necesitamos conocer la siguiente información

Costos fijos de la empresa

Costos variables por unidad de producto

9. Teniendo en cuenta los siguientes cuestiones ponga en práctica sus conocimientos

a) Si en un momento dado el mercado no está en equilibrio esto se puede deber a?

Explique y grafique

R/Si en un momento dado el mercado no está en equilibrio esto se debe a que el precio sea mejor al del equilibrio en cuyo caso la cantidad demandada será debajo de la ofrecida. O a que el precio sea por debajo al del equilibrio en cuyo caso la cantidad demandada será mejor a la ofrecida.

b) Un aumento y disminución de la demanda de la corresponde a desplazamiento de esta

curva hacia? Explique y grafique

R/Variaciones en el precio del bien producen movimientos a lo largo de la curva esta

hacia abajo, Los aumentos o disminuciones de la cantidad demandada ocurren sobre la

misma curva o consecuencia de decrementos o incrementos en el precio del bien.

C) Un aumento y disminución de la oferta de la corresponde a desplazamiento de esta curva

hacia? Explique y grafique

d) Variaciones en el precio del bien producen en la cuerva de la demanda? Explique y

grafique.

R/Cantidad ofertada y precio se mueven en la misma dirección. Si el precio aumenta los vendedores incrementara su oferta, en cambio si el precio es bajo la oferta igualmente disminuirá.Cuando disminuye el precio de un bien es baja la utilidad que obtiene el vendedor lo encaminara su actividad hacia otros tipos de bienes.

10. Que se conoce como elasticidad de la demanda?

Elasticidad de la demanda es aquella que se utiliza para evaluar la susceptibilidad de

respuestas de un producto al cambiar su precio, la elasticidad de la demanda se define

como el cambio porcentual en la cantidad demandada, dividido por el cambio porcentual

en el precio.

11. Según el valor de la elasticidad se puede hablar de:

a) Demanda perfectamente elástica (elasticidad = infinito)

b) Demanda elástica (elasticidad > 1)

c) Demanda con elasticidad unitaria (elasticidad = 1)

d) Demanda inelástica (elasticidad < 1)

e) Demanda perfectamente inelástica (elasticidad < 0)

12. Especifique que tipo de elasticidad de la demanda representa cada una de las

gráficas relacionadas a continuación y por que ?

a) b)

c) d)

e)

a) Demanda perfectamente elástica (elasticidad = infinito) cuando cambia en un porcentaje infinitamente grande en correspondencia con un cambio minúsculo en el precio, la cantidad precio de la demanda es infinita.

b) Demanda con elasticidad unitaria (elasticidad = 1) Cuando el cambio porcentual en el precio y el cambio porcentual en la cantidad demandada son exactamente iguales.

c) Demanda elástica (elasticidad > 1) Cuando el resultado del coeficiente es superior a 1 se dice que la demanda del bien es elástica respecto al precio del mismo.

d) Demanda perfectamente inelástica (elasticidad < 0) Correspondiente al valor cero: la variación en el precio no produce ninguna variación en la cantidad demandada, que permanece siempre constante.

e) Demanda inelástica (elasticidad < 1) cuando un cambio porcentual en el precio da lugar a un cambio porcentual menor en la cantidad demandada, siendo el resultado del coeficiente menor que uno

13. Cuales son factores que determinan que la elasticidad de la demanda sea elástica o inelástica?

a) Bien necesario versus bien de lujo. Si el bien es de primera necesidad la demanda es inelástica, se obtiene no importando cual sea su precio; en cambio si el bien es de lujo la demanda será elástica ya que si el precio incrementa un poco muchos consumidores podrán descartar del producto.

b) Existencia de bienes sustitutivos. Si existen buenos sustitutos la demanda del bien será más elástica. Por ejemplo, un pequeño incremento en el precio del aceite de oliva puede provocar que un gran número de amas de casa se decida por usar el de girasol. Cuando no hay bienes sustitutivos parecidos la demanda suele ser más inelástica.

c) Horizonte temporal. Para casi todos los bienes, cuanto mayor sea el período de tiempo considerado mayor será la elasticidad de la demanda. Puede ser que al aumentar el precio de la gasolina, su consumo no varíe mucho, pero al pasar mucho tiempo podrá la situación cambia, ya que muchos consumidores a la hora de renovar su vehículo elegirán uno con motor diesel, lo que hará caer la demanda de gasolina. La demanda sólo se nota cuando pasa el tiempo.

14) Que es la elasticidad renta de la demanda?

A medida que aumenta la renta, también lo hacen las oportunidades de compra, y como resultado, aumenta la demanda. De esta forma, la relación entre estas dos variables, cantidad demandada de un bien y renta del consumidor, si es positiva más renta habría más demanda y si es negativa a incremento habría disminución de la demanda de un bien. 

15) Que se conoce como elasticidad precio de la oferta y como se clasifican?

La Elasticidad de la Oferta mide la respuesta (sensibilidad) de la cantidad ofrecida ante cambios en cualquiera de los factores que influyen en ella.

Según su elasticidad, la oferta de un mercado se puede clasificar en:

Oferta perfectamente elástica(elasticidad = infinito)

Oferta elástica (elasticidad > 1)

Oferta con elasticidad unitaria (elasticidad = 1)

Oferta inelástica (elasticidad < 1)

Oferta perfectamente inelástica (elasticidad < 0)

16) Representar gráficamente cada una de los tipos de elasticidades de la oferta.

a) Oferta perfectamente elástica

b) Oferta de Elasticidad Unitaria.

c) Demanda Completamente Inelástica

d) oferta elástica.

e) Oferta Inelástica.

17. explique cómo depende la elasticidad precio de la oferta del horizonte temporal.

El horizonte temporal influye negativa o positivamente en la elasticidad del precio, Si el

tiempo es mayor tendrá más elasticidad la oferta y si el tiempo es menor tendrá menor

elasticidad la oferta.

Esto afecta en que la oferta puede disminuir o aumentar dependiendo del horizonte

temporal que se encuentre.