7/24/2019 taller Multivariado

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FUNDACION UNIVERSIDAD AUTONOMA DE COLOMBIA

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICASCalculo Multivariado

TALLER 5

Nombre: Nota:Nombre:Nombre:

1. Demuestre que

x0

t0

F(u) d u

d t=

x0

(x u)F(u) d u

2. Cambie el orden de integracion de las siguientes integrales:

a)1

0

x(1x)

0

x(1x)

0

f(x,y,z) d z d y d xal orden d x d y d z

b)1

1

1|x|0

1x2+y2

f(x,y,z) d z d y d xal orden d x d z d y

c)20

1+2zz2

12zz2

4yy

f(x,y,z) d x d y d z al orden d z d y d x

3. Use el teorema de cambio de variable para calcular las siguientes integrales

a) La integral de la funcionf(x,y,z) = sin(

x2 + y2 + z2) en el solido encerrado entre las esferas de radios

uno y dos y sobre el conoz =

x2 + y2

b) El volumen del solido encerrado por la interseccion de los cilindrosx2 + y2 = 1,x2 + z2 = 1 yy2 + z2 = 1

c

) El volumen del paralelepipedo acotado por los planos x+ y + z = 1, x+y + z = 3, 2x+y + z = 2,2x + y+ z = 4,x + 2y+ z= 1 y x + 2y+ z = 4

4. La funcionT(u, v) = (u2 v2 , 2uv) transforma el rectangulo 1u2, 1v3 del planouv en una regionR del plano xy . Encuentre el area deR usando cambio de variable.

5. Una placa de oro grabada D esta definida por 0x2 y 0y (centmetros) y tiene una densidadde masa (x, y) = y2 sin2(4x) + 2(gramos por centmetro cuadrado). Si el oro cuesta 7 dolares por gramo,Cuanto vale la placa?

6. Sea (u, v) = (u v, u + v, uv) y seaD el disco unitario en el plano uv .a) Describa la superficie que se obtiene mediante dicha parametrizacion y realice su grafica

b) Grafgue el vector normal a la superficie en el punto u = 3/10, v = 2/5

c) Encuentre el area de (D).

7. Evaluar

xyzdS, donde es el triangulo con vertices (1, 0, 0), (0, 2, 0) y (0, 1, 1, )

8. Una superficie metalicaStiene la forma de un hemisferio z =

R2 x2 y2, 0x2 + y2 R2. La densidadde la masa en (x,y,z)Sesta dada por m(x,y,z) = x2 + y2. Hallar la masa total de S.

Calcule la integral doble de la funcionf(x, y) = sgn(x y), sobre el cuadrado|x| + |y| 1. Calcule la integraldoble de la funcionf(x, y) = sgn(x2 y), sobre el rectangulo [1, 1] [0, 1]

Se da una (o una suma de) integral(es) iterada(s) de la funcion f(x, y) sobre la region R (o sobre subregionesdeR, respectivamente). Haga un dibujo que muestre la region de integracionR y escriba la expresion de la integraliterada correspondiente, si se intercambiara el orden de integracion.

7/24/2019 taller Multivariado

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1.

10

x

x2

f(x, y) dy

dx

2.

02

(x+2)20

f(x, y) dy dx +

20

(x2)20

f(x, y) dy dx

3.

x0

t0

F(u) d u

d t

R

x2y sen(x + y) dxdy, donde R es la region limitada por las rectasx = 0, x = y, y = 1

Se dan regiones R en el plano cartesiano. Describa cada una de estas regiones en el sistema de coordenadaspolares

1. R=

{(x, y)

|x2 + (y

2)2

4

}2. R es la region en el primer cuadrante limitada por los crculos x2 +y2 = 2, x2 +y2 = 3, y las rectas y = x,

y= 2x

3. R es el triangulo con vertices en (0, 0), (1, 0) y (0, 1).

Calcule la integral doble indicada, efectuando un cambio de variables adecuado

1.

R

xdxdy, donde R es la region limitada por el paralelogramo cuyos vertices son A = (0, 0), B = (6, 2),

C= (10, 5) y D = (4, 3)

2.

R

arctan y

x

dxdy, donde R es la region en el primer cuadrante, limitada por los crculos x2 + y2 =

1,x2 + y2 = 4,y las rectas y = x , y = 3x3.

R

(x y) dxdy, donde R es la region limitada la elipse 2x2 + 3y2 = 1