TALLER

MATEMATICA FUNDAMENTAL

CONJUNTOS, LOGICA Y CUANTIFICADORES

CONJUNTOS

En los problemas siguientes, suponga que los conjuntos A, B, C, son cualesquiera, U el conjunto

universo y ∅ el conjunto vacio, y simplifique las expresiones dadas.

1. (𝐴 ∩ 𝑈) ∪ ∅

2. ∅𝑈𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐴)

3. 𝐵 ∪ 𝑈 ∩ (𝐴 ∩ 𝑈)

4. 𝑈 ∩ 𝑈

5. 𝐵∆∅

En los problemas siguientes, una de las relaciones siguientes es verdadera 𝐴 ⊂ 𝐵, 𝐴 = 𝐵, 𝐵 ⊂ 𝐴 . Escribir la correcta relación en cada caso. El conjunto universal en los problemas del 1 al 8 es el conjunto de todos los enteros. 𝐴 𝐵

1. 𝑥: 2𝑥 + 4 = 𝑥 − 5 𝑥: 3𝑥 + 5 = 2𝑥 − 4 2. 𝑥:𝑥2 + 4 = −2𝑥 + 2 𝑥:𝑥2 + 2𝑥 = −2 3. 𝑥: 𝑥 + 1 𝑥 − 2 = 0 𝑥: 𝑥 + 1 = 0 4. 𝑥:𝑥 − 2 = 0 𝑥: 𝑥 − 2 𝑥 = 0 5. 𝑥: 𝑥 − 2 𝑥 − 3 = 0 𝑥: 𝑥 − 2 = 0 ∪ 𝑥:𝑥 − 3 = 0 6. 𝑥:𝑥 + 2 = 4 𝑥: 𝑥 + 2 2 = 16 7. 𝑥:𝑥2 = 25 𝑥:𝑥 + 1 = 6

En los problemas siguientes, considere conjuntos A y B cualesquiera y realice las demostraciones propuestas.

1. Demuestre que (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶 = 𝐴𝐶 ∩ 𝐵𝐶

2. Demuestre que 𝐴 ∪ 𝐵 ∩ 𝐵𝐶 = 𝐴 si y solo si 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ 3. Demuestre que si 𝐴 y 𝐵 son subconjuntos de 𝑈 , entonces 𝐴 ∩ 𝐵𝐶 = 𝐴 si y solo si

𝐴 ∩ 𝐵 = ∅. 4. Demuestre que 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 = 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶

En una encuesta entre 100 estudiantes arrojo la siguiente estadística: 32 estudian matemática. 20 estudian física. 45 estudian biología. 15 estudian matemática y biología. 7 estudian matemática y física. 10 estudian física y biología. 30 no estudian ninguna de las tres asignaturas.

a) Encuentre el número de estudiantes que estudian las tres asignaturas. b) Encuentre el número de estudiantes que cursan una y solo una de las tres asignaturas.

LOGICA

Formular simbólicamente los siguientes razonamientos y determinar cuáles son válidos. Tomar: p : Estudio mucho. q : Obtengo 5 como calificación. r : Me hago rico.

a) Si estudio mucho, entonces obtengo 5 como calificación. Estudio mucho. Obtengo 5 como calificación.

b) Si estudio mucho, entonces obtengo 5 como calificación. Si no me hago rico, entonces no obtengo 5 como calificación. Me hago rico.

c) Estudio mucho si y sólo si me hago rico. Me hago rico. Estudio mucho.

d) Si estudio mucho o me hago rico, entonces obtengo 5 como calificación. Obtengo 5 como calificación. Si no estudio mucho, entonces me hago rico.

e) Si estudio mucho, entonces obtengo 5 como calificación o me hago rico. No obtengo 5 como calificación y no me hago rico. No estudio mucho.

2. Expresar verbalmente los razonamientos dados y establecer la validez de los mismos. Tomar: p : 1Gb es mejor que nada. q : Compraremos mayor capacidad de memoria. r : Compraremos un ordenador nuevo. a)

𝑝 1: 𝑝1:𝑝 → 𝑟 𝑝2:𝑝 → 𝑞

__________

𝐶: 𝑝 → (𝑟 ∧ 𝑞)

b)

𝑝1:𝑝 → (𝑟 ∨ 𝑞) 𝑝2:𝑟 →∼ 𝑞

__________

𝐶: 𝑝 → 𝑟

c)

𝑝1:𝑝 → 𝑟 𝑝2:𝑟 → 𝑞

__________

𝐶: 𝑞

d)

𝑝1:𝑝 → 𝑟 𝑝2:𝑟 → 𝑞

𝑝

__________

𝐶: 𝑞

e)

𝑝1: ∼ 𝑟 →∼ 𝑝 𝑝2:𝑟

__________

𝐶:𝑝

CUANTIFICADORES

En los problemas 1 al 10, considere los enunciados abiertos o predicados dados. P(x,y): x es más rápido que y Q(x,y): y es más alto que x R(x): x pesa más de 200 libras Escriba las siguientes expresiones:

1. 𝑃(𝑥, 𝐽𝑜𝑠é) 2. 𝑄(𝑀𝑖𝑔𝑢𝑒𝑙, 𝐿𝑢𝑖𝑠)⋀𝑅(𝐽𝑢𝑎𝑛) 3. 𝑃(𝑥, 𝑦) → 𝑄(𝑥, 𝑦) 4. 𝑄(𝑥, 𝑦) → 𝑅(𝑥) 5. 𝑃 𝑀𝑖𝑔𝑢𝑒𝑙, 𝐽𝑜𝑠é ∨ [𝑄 𝑀𝑖𝑔𝑢𝑒𝑙, 𝐽𝑜𝑠é ∧ 𝑅 𝐽𝑜𝑠é ] 6. ∀𝑥, ∀𝑦 𝑄(𝑥, 𝑦) → 𝑃(𝑥, 𝑦) 7. ∀𝑥, 𝑃(𝑥, 𝐽𝑜𝑠é) ↔ 𝑅(𝑥) 8. ∃𝑥, 𝑅(𝑥) ∧ ∀𝑦 𝑃(𝑥, 𝑦) 9. ∃𝑦, ∀𝑥, 𝑃(𝑥, 𝑦) → 𝑅(𝑥) 10. ∀𝑦, 𝑅(𝑀𝑖𝑔𝑢𝑒𝑙) ∨ 𝑄(𝑀𝑖𝑔𝑢𝑒𝑙, 𝑦)

En los problemas 11 al 15, escriba los predicados siguientes en forma simbólica:

11. “No todas las piedras preciosas son bonitas”. 12. “Existe un numero positivo que es el menor”. 13. “Nadie ama a todo el mundo”. 14. “Existe un único presidente de Colombia”. 15. “Existe un numero que es más grande que cualquier solución conocida para el problema o

no hay solución”.