Presentado por:

Gustavo Valle Tamayo. Cód.2090688

David García Coronado. Cód. 2090653

Jaime Castañeda Barbosa. Cód. 2093033

Universidad Industrial de Santander

2013

TALLER

INVESTIGATIVO DE ESTADISTICA

Presentado a:

Docente. Luz Marina Rueda Rueda

TALLER INVESTIGATIVO DE ESTADISTICA

1. TÉCNICAS DE CONTEO

El principio fundamental en el proceso de contar ofrece un método general para contar el número de posibles arreglos de objetos dentro de un solo conjunto o entre carios conjuntos. Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar.

Si un evento A puede ocurrir de n1 maneras y una vez que este ha ocurrido, otro evento B puede n2 maneras diferentes entonces, el número total de formas diferentes en que ambos eventos pueden ocurrir en el orden indicado, es igual a n1 x n2.

¿De cuántas maneras pueden repartirse 3 premios a un conjunto de 10 personas, suponiendo que cada persona no puede obtener más de un premio?

Aplicando el principio fundamental del conteo, tenemos 10 personas que pueden recibir el primer premio. Una vez que éste ha sido entregado, restan 9 personas para recibir el segundo, y posteriormente quedarán 8 personas para el tercer premio. De ahí que el número de maneras distintas de repartir los tres premios.

n

10 x 9 x 8 = 720

¿Cuántas placas de automóvil se pueden hacer utilizando dos letras seguidas de tres cifras? No se admiten repeticiones.

26 x 25 x 10 x 9 x 8 = 468000

n un número entero positivo, el producto n (n-1) (n-2)...3 x 2 x 1 se llama factorial de n.

El símbolo ! se lee factorial y es el producto resultante de todos los enteros positivos de 1 a n; es decir, sea

n

5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

Por definición 0! = 1

Si el número de posibles resultados de un experimento es pequeño, es relativamente fácil listar y contar todos los posibles resultados. Al tirar un dado, por ejemplo, hay seis posibles resultados.

Si, sin embargo, hay un gran número de posibles resultados tales como el número de niños y niñas por familias con cinco hijos, sería tedioso listar y contar todas las posibilidades. Las posibilidades serían, 5 niños, 4 niños y 1 niña, 3 niños y 2 niñas, 2 niños y 3 niñas, etc.

Para facilitar el conteo examinaremos tres técnicas:

* La técnica de la multiplicación

* La técnica aditiva

* La técnica de la suma o Adición

* La técnica de la permutación

* La técnica de la combinación.

2. PRINCIPIO MULTIPLICATIVO O REGLA M-N

Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde el primer paso de la actividad a realizar puede ser llevado a cabo de N1 maneras o formas, el segundo paso de N2 maneras o formas y el r-ésimo paso de Nr maneras o formas, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de. El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad deben ser llevados a efecto, uno tras otro. Si un evento E1 puede suceder de n1 maneras diferentes, el evento E2 puede ocurrir de n2 maneras diferentes, y así sucesivamente hasta el evento Ep el cual puede ocurrir de np maneras diferentes, entonces el total de maneras distintas en que puede suceder el evento “ocurren E1 y E2…..y Ep” es igual a producto.

N1 x N2 x..........x Nr maneras o formas

Ejemplo:

Se dispone de 3 vías para viajar de C1 a C2 y de 4 vías para viajar de C2 a C1. ¿De cuántas formas se puede organizar el viaje de ida y vuelta de C1 a C2.Respuesta: (3)(4)=12

3. PRINCIPIO ADITIVO

Si se desea llevar a efecto una actividad, la cual tiene formas alternativas para ser realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras o formas, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o formas..... Y la última de las alternativas puede ser realizada de W maneras o formas, entonces esa actividad puede ser llevada a cabo de,

M + N +.........+ W maneras o formas

Ejemplos:1) Una persona desea comprar una lavadora de ropa, para lo cual ha pensado que puede seleccionar de entre las marcas Whirpool, Easy y General Electric, cuando acude a hacer la compra se encuentra que la lavadora de la marca W se presenta en dos tipos de carga ( 8 u 11 kilogramos), en cuatro colores diferentes y puede ser automática o semiautomática, mientras que la lavadora de la marca E, se presenta en tres tipos de carga (8, 11 o 15 kilogramos), en dos colores diferentes y puede ser automática o semiautomática y la lavadora de la marca GE, se presenta en solo un tipo de carga, que es de 11 kilogramos, dos colores diferentes y solo hay semiautomática. ¿Cuántas maneras tiene esta persona de comprar una lavadora?

Solución:

M = Número de maneras de seleccionar una lavadora WhirpoolN = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca EasyW = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca General Electric

M = 2 x 4 x 2 = 16 maneras

N = 3 x 2 x 2 = 12 maneras

W = 1 x 2 x 1 = 2 maneras

M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 maneras de seleccionar una lavadora

4. PERMUTACIÓN: PERMUTACIONES CON REPETICIÓN, PRUEBAS ORDENADAS

A diferencia de la fórmula de la multiplicación, se la utiliza para determinar el número de posibles arreglos cuando solo hay un solo grupo de objetos. Permutación: un arreglos o posición de r objetos seleccionados de un solo grupo de n objetos posibles. Si nos damos cuenta los arreglos a, b, c y b, a, c son permutaciones diferentes, la fórmula que se utiliza para contar el número total de permutaciones distintas es: FÓRMULA: n P r = n! (n - r)

Ejemplo: ¿Cómo se puede designar los cuatro primeros lugares de un concurso, donde existen 15 participantes? Aplicando la fórmula de la permutación tenemos:

n P r = n! (n - r)! = 15! = 15*14*13*12 *11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 (15-4)! 11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 32760

Dónde: n= número total de objetos; r= número de objetos seleccionados;!= factorial, producto de los números naturales entre 1 y n.NOTA: se puede cancelar números cuando se tiene las mismas cifras en numerador y denominador.

4.1. PERMUTACIONES CON REPETICIÓN

En los casos anteriores se han obtenido permutaciones en donde todos los elementos utilizados para hacer los arreglos son diferentes. A continuación se obtendrá una fórmula que nos permite obtener las permutaciones de n objetos, cuando entre esos objetos hay algunos que son iguales. Ejemplo:Obtenga todas las permutaciones posibles a obtener con las letras de la palabra OSO.Solución: Para obtener la fórmula, es necesario primero suponer que todas las letras de la palabra OSO son diferentes y para diferenciarlas pondremos subíndices a

las letras O, por lo que quedaría, O1SO2, y las permutaciones a obtener serían:

3P3 = 3! = 6 Definiendo las permutaciones tenemos que estas serían,

O1SO2, O2SO1, SO1O2, SO2O1, O1O2S, O2O1S ¿Pero realmente podemos hacer diferentes a las letras O?, eso no es posible, luego entonces ¿cuántos arreglos reales se tienen? Como: Arreglos realesO1SO2 = O2SO1 OSOSO1O2 = SO2O1 SOOO1O2S= O2O1S OOS Entonces se observa que en realidad sólo es posible obtener tres permutaciones con las letras de la palabra OSO debido a que las letras O son idénticas, ¿pero qué es lo que nos hizo pensar en seis arreglos en lugar de tres?, el cambio que hicimos entre las letras O cuando las consideramos diferentes, cuando en realidad son iguales. Para obtener los arreglos reales es necesario partir de la siguiente expresión:

El número de arreglosreales= No . de permutaciones considerando a todos los objetos como diferent esLos cambios entre objetos iguales

El número de arreglos reales = 3! / 2! = 3 x 2! / 2! = 3 Por tanto la fórmula a utilizar sería;

nP x1 , x2… … xk ,=n !

x1 !, x2 !… … xk !,

Dónde: nPx1,x2,......, xk = Número total de permutaciones que es posible obtener con n objetos, entre los que hay una cantidad x1 de objetos de cierto tipo, una cantidad x2 de objetos de un segundo tipo,...... y una cantidad xk de objetos del tipo k.

n = x1 + x2 +...... + xk

Ejemplos: 1) Obtenga todas las señales posibles que se pueden diseñar con seis banderines, dos de los cuales son rojos, tres son verdes y uno morado. Solución:n = 6 banderinesx1 = 2 banderines rojosx2 = 3 banderines verdesx3 = 1 banderín morado 6P2,3,1 = 6! / 2!3!1! = 60 señales diferentes

4.2. PERMUTACIONES CON REPETICIÓN

Se le llama prueba ordenada al hecho de seleccionar r objetos de entre n objetos contenidos en una urna uno tras otro. Una prueba ordenada puede ser llevada a efecto de dos maneras: 1) Con sustitución (con reemplazo).- En este caso se procede a seleccionar el primer objeto de entre los n que hay, se observa de qué tipo es y se procede a regresarlo a la urna, luego se selecciona el siguiente objeto, lo anterior se repite hasta que se han extraído los r objetos de la prueba, por tanto el número de pruebas ordenadas de con sustitución se obtiene: Número total de pruebas ordenadas con sustitución = n x n x n x .........x n = nr Hay n maneras de seleccionar el primer objeto, luego al seleccionar el segundo objeto, dado que se ha regresado a la urna el primer objeto, también se tendrán n objetos y así sucesivamente. 2) Sin sustitución (sin reemplazo).- En este caso se procede a seleccionar el primer objeto, el cual no es regresado a la urna, luego se selecciona el segundo objeto, lo anterior se repite hasta completar los r objetos de la prueba, por lo que el número total de pruebas ordenadas sin sustitución se obtiene:

Número total de pruebas ordenadas sin sustitución = n(n-1)(n-2).........(n-r +1) = nPr Hay n maneras de seleccionar el primer objeto, luego al seleccionar el segundo objeto, hay n –1 maneras, dado que el primer objeto no se regresa a la urna, luego cuando se extrae el r-ésimo objeto, hay (n –r +1) de que sea seleccionado. Ejemplos: 1) ¿Cuántas maneras hay de que se asignen tres premios de un sorteo en donde el primer premio es una departamento, el segundo premio es un auto y el tercer premio es un centro de cómputo, si los participantes en este sorteo son 120 personas, a.sí la asignación se puede hacer con sustitución, b.sí la asignación se puede hacer sin sustitución. Solución: a. Por principio multiplicativo: 120 x 120 x 120 = 1,728,000 maneras de asignar los premios Por fórmula: n =120, r = 120 nr = 1203 = 1,728,000 maneras de asignar los tres premios Hay que considerar que en este caso, al regresar cada boleto que es extraído de la urna, las personas que participan en el sorteo tienen la posibilidad de no ganar uno solo de los premios, de ganar un premio, dos de los premios o los tres premios. Cosa que generalmente no ocurre. b. Por principio multiplicativo: 120 x 119 x 118 = 1,685,040 maneras de asignar los premios Por fórmula: n = 120, r = 3

120P3 = 120! / (120 – 3)! = 120! / 117! = 120 x 119 x 118 = 1,685,040 maneras de asignar los premios Hay que hacer notar que en este caso, como los boletos que son seleccionados ya no regresan a la urna de donde fueron extraídos, los participantes solo pueden recibir un premio en caso de que fueran de los afortunados. Esta es la forma en que generalmente se efectúa un sorteo.

5. COMBINACIÓN

Es un arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición que ocupan los mismos dentro del arreglo. En una combinación nos interesa formar grupos y el contenido de los mismos.

La fórmula para determinar el número de combinaciones es:

n C r=n !

(n−r )! r !

nCr = Combinaciones de r objetos tomados de entre n objetos

Donde se observa que,

n C r=n Pr !

r !

La expresión anterior nos explica como las combinaciones de r objetos tomados de entre n objetos pueden ser obtenidas a partir de las permutaciones de r objetos tomados de entre n objetos, esto se debe a que como en las combinaciones no nos importa el orden de los objetos, entonces si tenemos las permutaciones de esos objetos al dividirlas entre r!, les estamos quitando el orden y por tanto transformándolas en combinaciones, de otra forma, también si deseamos calcular permutaciones y tenemos las combinaciones, simplemente con multiplicar estas por el r! obtendremos las permutaciones requeridas.

COMENTARIO: Es el número de conjuntos diferentes, con elementos cada uno que puede formarse de un conjunto de números de elementos y en esta importa mucho el orden.

5.1. PARTICIÓN ORDENADA

Se le llama partición ordenada al hecho de repartir n objetos en células de una cantidad de x1 objetos, x2 objetos,......y xk objetos.

Para deducir la fórmula de particiones ordenadas partiremos de un ejemplo.

¿Cuántas maneras hay de repartir 10 libros diferentes entre tres alumnos, si al primero le daremos 2, al segundo 3 y el resto al tercer alumno?

Ejemplos de esta partición serían las siguientes si se numeran los libros del 1 al 10;

Solución:

Lo primero que debemos hacer es seleccionar 2 libros de los 10 que se tienen para el primer alumno, esto es;

10C2 = 10! / (10 – 2)!2! = 10! / 8!2! = 45 maneras de seleccionar los libros

Luego se seleccionan 3 libros de los 8 que quedan para el segundo alumno;

8C3 = 8! / (8 – 3)!3! = 8! / 5!3! = 56 maneras

Y por último se procederá a seleccionar cinco libros de los cinco que quedan para el tercer alumno, lo que se muestra a continuación;

5C5 = 5! / (5 –5)!5! = 5! / 0!5! = 1 manera

Por tanto el número total de particiones ordenadas en células de 2, 3 y 5 elementos se determina:

10C2*8C3*5C5 = (10! / (10 – 2)!2!)*(8! / (8 – 3)!3!)*(5! / (5 – 5)!5!) = 10! /2!3!5!

La expresión anterior nos recuerda a la fórmula utilizada para encontrar las permutaciones de n objetos, entre los cuales hay algunos objetos que son iguales, por lo que usaremos la misma fórmula para encontrar las particiones ordenadas.

Por tanto la fórmula para las particiones ordenadas sería:

nP x1 , x2… … xk ,=n !

x1 !, x2 !… … xk !,

Esta fórmula sólo puede ser utilizada cuando se reparten todos los objetos, no parte de ellos, en ese caso se usarán combinaciones.

Dónde:

nPx1,x2,.....,xk = Total de particiones ordenadas o reparticiones que es posible hacer cuando los n objetos son repartidos en grupos de x1 objetos, x2 objetos y xk objetos.

n = x1 + x2 +......+ xk

Ejemplos:

1) ¿Cuántas maneras hay de repartir 9 juguetes entre tres niños, si se desea que al primer niño le toquen 4 juguetes, al segundo 2 y al tercero 3 juguetes?

Solución:

Por combinaciones,

9C4*5C2*3C3 = 126*10*1= 1260 maneras de repartir los juguetes

Por fórmula,

n = 9

x1 = 4

x2 = 2

x3 =3

9P4,2,3 = 9! / 4!2!3! = 1,260 maneras de repartir los juguetes

6 . DIAGRAMA DE ÁRBOL

Un diagrama de árbol es una representación gráfica de un experimento que consta de r pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo.

Ejemplos:

1. Un médico general clasifica a sus pacientes de acuerdo a: su sexo (masculino o femenino), tipo de sangre (A, B, AB u O) y en cuanto a la presión sanguínea (Normal, Alta o Baja). Mediante un diagrama de árbol diga en cuantas clasificaciones, ¿pueden estar los pacientes de este médico?

Si contamos todas las ramas terminales, nos damos cuenta que el número de clasificaciones son 2 x 4 x 3 = 24 mismas que podemos enumerar;

MAN, MAA, MAB, MBN, MBA, MBB, etc, etc.

7. UNIÓN DE EVENTOS

La unión entre dos conjuntos A y B, de define como los elementos que están en A, o están en B, se representa por (AUB).

8. INTERSECCIÓN DE EVENTOS Dados dos sucesos A y B, el suceso intersección, A ∩ B, está formado por todos los sucesos elementales comunes a A y a B. Si dos sucesos A y B no tienen ningún suceso elemental común, es decir, A ∩ B = Ø, entonces los

sucesos A y B son incompatibles. Si dos suceso A y B tienen algún suceso elemental en común, A ∩ B ≠ Ø, entonces los sucesos Ay B son compatibles.

Ejemplo:

Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par" y B = "sacar múltiplo de 3". Calcular A intersección B.

A = {2, 4, 6}

B = {3, 6}

Intersección = {6}

9. COMPLEMENTO DE EVENTOS

El complemento en estadística está dado en función de un evento (o probabilidad), digamos el evento (probabilidad) A, entonces el complemento A (o el complemento de la probabilidad de A), se entendería como "los elementos que NO están en A" ("la probabilidad de no estar en A"), además debe cumplir que: evento A UNION complemento de A es igual a todo el espacio muestral (A u A´ = U), en términos de probabilidad sería: Prob (A) + Prob (A´) = 1

Ejemplo: Si nuestro evento es ganar un parcial, el complemento seria no ganar el parcial

10. EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS: Un evento mutuamente excluyente es uno en el que la aceptación de una alternativa automáticamente excluye otras posibles alternativas. Un ejemplo común de esto es lanzar una moneda. La moneda caerá de cara o cruz. Debido a que la moneda que caiga de cara significa que no caerá de cruz, lanzar una moneda es un evento mutuamente excluyente. Es o de un lado o del otro, no pueden ser ambos.

11. PROBABILIDAD DE UN EVENTO SIMPLE La probabilidad de un evento es una razón que compara el número de resultados favorables con el número de resultados posibles. El resultado siempre será de 0 a 1 ya que 1 siempre será el caso de mayor probabilidad

P(a)= numero de resultados favorablesnumero de rasultado s posibles

12. PROBABILIDAD DE UN EVENTO COMPUESTO

Se llaman eventos compuestos los que se forman combinando varios eventos simples. ej. al tirar un dado cual es la probabilidad de obtener un número par o un número mayor que 4.

En general, si A y B son eventos incompatibles, la probabilidad del evento “A o B” se calcula mediante la suma de sus probabilidades. Se supone que puede ocurrir A o puede ocurrir B, pero la intersección es vacía, pues no hay elementos compatibles.

Por tanto: P(A U B) = P(A) + P(B)

13. PROBABILIDAD DE UN COMPLEMENTO DE EVENTOS

Si P(A) es la probabilidad de que ocurra un evento A, entonces la probabilidad de que NO ocurra A es

P (a' )=1−P(a)

Ejemplo:

Probabilidad de A es sacar un trébol, al extraer una carta de un naipe de 52 cartas P(A) = 13/52 = 1/4P( A' )

Probabilidad de no sacar un trébol = 1 - P(A) = 1 - 13/52 = 1 - 1/4 = ¾

14. PROBABILIDAD DE LA UNIÓN DE EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS.

Si se considera que A es un evento y que B es otro evento totalmente diferente, y ambos son mutuamente excluyentes entre sí, entonces la probabilidad de que cualquiera de los dos pueda ocurrir en una misma jugada excluyendo la ocurrencia del otro se expresa como P(A,B), que se lee como «la probabilidad de que A o B ocurran en un solo ensayo», fórmula que se resuelve mediante una simple sumatoria entre las probabilidades individuales de ocurrencia de cada evento analizado: P(A,B) = P(A)+P(B).

Ejemplo:

Si un solo dado es lanzado al aire y el jugador puede ganar si obtiene el punto 1 o si obtiene el punto 6, entonces en tal caso estamos hablando de dos sucesos que son «mutuamente excluyentes entre sí», porque en un solo lanzamiento del dado no pueden aparecer los dos eventos al mismo tiempo (o cae 1, o cae 6, o cae cualquier otro resultado del dado). Por consiguiente, si el jugador quiere

calcular la probabilidad de ganar en el lanzamiento del dado puede asumir que el evento A es la aparición del punto 1 del dado que tiene una probabilidad de ocurrencia de 1/6, mientras que el evento B es la aparición del punto 6 del dado que tiene una probabilidad de ocurrencia de 1/6, y por lo tanto la probabilidad de ganar se calcula mediante la sumatoria ya indicada: P(A,B) = P(A)+P(B) = 1/6+1/6 = 2/6, o lo que es lo mismo, el jugador para ganar en el lanzamiento del dado tiene 2 eventos a su favor sobre 6 eventos posibles.

15. PROBABILIDAD DE LA UNIÓN DE EVENTOS QUE NO SON MUTUAMENTE EXCLUSIVOS.

Dos sucesos que no son mutuamente excluyentes, se pueden representar en la óptica conjuntista como:

Para el caso de sucesos No incompatibles o NO mutuamente excluyentes, la probabilidad de que ocurra uno de los dos sucesos es el sema de las probabilidades de ocurrencia de cada uno de los sucesos en cuestión MENOS la probabilidad de la intersección (de que ocurran ambos).

16. ESPACIOS FINITOS DE PROBABILIDAD.

Sea  del espacio muestra, que contiene n elementos {a1, a2, a3,.....,an}, si a cada uno de los elementos de d le asignamos una probabilidad pi ³ 0, entonces estamos transformando este espacio muestra en un espacio finito de probabilidad; el que debe cumplir con las siguientes características: 1)    Las probabilidades asociadas a cada uno de los elementos de d deben ser mayores o iguales a cero, pi³0.2)    La sumatoria de las probabilidades asociadas a cada uno de los elementos de d debe de ser igual a 1.

Spi = 1 En caso de que no se cumpla con las características antes mencionadas, entonces  no se trata de un espacio finito de probabilidad. Ejemplos:1. Se lanza al aire un dado normal, si la probabilidad de que aparezca una de sus caras es proporcional al número que ostenta, a) ¿cuál es la probabilidad de que aparezca un número par?, b) ¿cuál es la probabilidad de que aparezca un número primo? Solución:                         d = {1, 2, 3, 4, 5, 6} En este caso asignaremos las probabilidades como sigue; p (aparezca el número 1) = p,  p(aparezca el número 2) = 2p, .....,p (aparezca el número 5) = 5p, p(aparezca el número 6) = 6pY por ser d un espacio finito de probabilidad, entonces, p (d) = p + 2p +  3p + 4p + 5p + 6p =1 Por tanto,   21p = 1, luego,  p = 1/21 

a.       Luego; A = evento de que aparezca un número par = {2, 4, 6} 

P (A) =p (2) +p (4) + p (6) = 2p + 4p + 6p = 12p = 12(1/21) = 12/21= 0.5714

b.      B = es el evento de que aparezca un número primo = {1, 2, 3, 5}

p (B)=p(1) + p(2) + p(3) + p(5) = p + 2p + 3p + 5p = 11p = 11(1/21) = 11/21 = 0.5238.

17. PROBABILIDAD CONDICIONAL.

Es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe P (A|B), y se lee «la probabilidad de A dado B».

No tiene por qué haber una relación causal o temporal entre A y B. A puede preceder en el tiempo a B, sucederlo o pueden ocurrir simultáneamente. A puede causar B, viceversa o pueden no tener relación

causal. Las relaciones causales o temporales son nociones que no pertenecen al ámbito de la probabilidad. Pueden desempeñar un papel o no dependiendo de la interpretación que se le dé a los eventos.

DEFINICION.

Dado un espacio de probabilidad   y dos eventos (o

sucesos)   con , la probabilidad condicional de A dado B está definida como:

INTERPRETACION.

 Se puede interpretar como, tomando los mundos en los que B se cumple, la fracción en los que también se cumple A. Si el evento B es, por

ejemplo, tener la gripe, y el evento A es tener dolor de cabeza,   sería la probabilidad de tener dolor de cabeza cuando se está enfermo de gripe.

Gráficamente, si se interpreta el espacio de la ilustración como el espacio de todos los mundos posibles, A serían los mundos en los que se tiene dolor de cabeza y B el espacio en el que se tiene gripe. La zona verde de la intersección representaría los mundos en los que se tiene gripe y dolor de cabeza

. En este caso , es decir, la probabilidad de que alguien tenga dolor de cabeza sabiendo que tiene gripe, sería la proporción de mundos con gripe y dolor de cabeza (color verde) de todos los mundos con gripe: El

área verde dividida por el área de B. Como el área verde representa   

y el área de B representa a , formalmente se tiene que:

PROPIEDADES.

Es decir, si todos los que tienen gripe siempre tienen dolor de cabeza, entonces la probabilidad de tener dolor de cabeza dado que tengo gripe es 1.

.

18. EVENTOS INDEPENDIENTES.

Cuando A y B son dos eventos con probabilidades positivas, hemos visto que en general la probabilidad condicional del evento B dado el evento A es diferente de la probabilidad del evento B. Sin embargo, cuando se tiene la igualdad: P (B/A) = P (B) es de especial importancia porque esto quiere decir que el evento B no depende o es independiente del evento A. Es decir, no importa si ocurrió o no el evento A puesto que la ocurrencia o no de A no afecta al evento B.

Proposición: Si B es independiente de A, entonces A es independiente de B.

Demostración: De la definición de probabilidad condicional se tiene

y 

Despejando   [3.3]

Como B es independiente de A, se tiene: P (B/A) = P (B) y sustituyendo en [3.3]

nos conduce a la expresión 

Por lo tanto, , de donde  , lo que nos indica que A es independiente de B.

 

Proposición 3.7: A y B son independientes si y sólo si 

Demostración: Si A y B son independientes, entonces

P (B/A) = P (B) y P(A/B) = P(A) [3.4]

De la definición de probabilidad condicional se derivó la ecuación [3.5]

 [3.5]

Sustituyendo [3.4] en [3.5] se tiene:

Por otra parte, si , entonces

Y 

De donde A es independiente de B y B es independiente de A.

Ejemplo: En una escuela el 20% de los alumnos tiene problemas visuales, el 8% tiene problemas auditivos y el 4% tienen tanto problemas visuales como auditivos, Sean: V los que tienen problemas visuales y VC los que no lo tienen. A los que tienen problemas auditivos y AC los que no los tienen.

a. ¿Son los dos eventos de tener problemas visuales y auditivos, eventos independientes?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que un niño tenga problemas auditivos si sabemos que tiene problemas visuales?

c. Complete la siguiente tabla

d. ¿Cuál es la probabilidad de que un niño no tenga problemas auditivos si tiene problemas visuales?

Solución:

a. P (V) P(A) = (0.2)(0.08) = 0.016 y P(VÇ A) = 0.04. Como P (VÇ A) ¹ P (V) P(A), se concluye que V y A no son independientes.

b.c. Por diferencias podemos completar la tabla, ya que P (VC) = 1 – 0.20 = 0.80 y P(AC) = 1 – 0.08 = 0.92, por lo tanto.

d.

e.

19. EVENTOS DEPENDIENTES.

Dos o más eventos serán dependientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de uno de ellos afecta la probabilidad de ocurrencia del otro (o otros). Cuando tenemos este caso, empleamos entonces, el concepto de probabilidad condicional para denominar la probabilidad del evento relacionado. La expresión P (AB) indica la probabilidad de ocurrencia del evento A si el evento B ya ocurrió. Se debe tener claro que AB no es una fracción. P (AB) = P(A y B)/P(B) o P(BA) = P(A y B)/P(A).

Ejemplo:

Suponga que tenemos 5 canicas azules y 5 canicas rojas en una bolsa. Sacamos una canica, que puede ser azul o roja. Ahora quedan 9 en la bolsa. Cuál es la probabilidad de que la segunda canica será roja?

Depende. Si la primera canica fue roja, entonces en la bolsa quedan 4 canicas rojas de 9 así que la probabilidad de sacar una canica roja en la segunda oportunidad es de 4/9.  Pero si la primera canica que sacamos es azul, entonces todavía hay 5 canicas rojas en la bolsa y la probabilidad de sacar una canica roja de la bolsa es de 5/9.

La segunda oportunidad es un evento dependiente. Depende de lo que paso en la primera oportunidad.

20. PROBABILIDAD DE LA INTERSECCIÓN DE EVENTOS INDEPENDIENTES.

En teoría de probabilidades, se dice que dos sucesos aleatorios son independientes entre sí cuando la probabilidad de cada uno de ellos no está influida porque el otro suceso ocurra o no, es decir, cuando ambos sucesos no están relacionados.

DEFINICION.

Dos sucesos son independientes si la probabilidad de que ocurran ambos simultáneamente es igual al producto de las probabilidades de que ocurra cada uno de ellos, es decir, si

MOTIVACIÓN DE LA DEFINICIÓN.

Sean   y   dos sucesos tales que  , intuitivamente A es independiente de B si la

probabilidad de A condicionada por B es igual a la probabilidad de A. Es decir si:

De la propia definición de probabilidad condicionada:

Se deduce que   y dado que   

deducimos trivialmente que  .

Si el suceso A es independiente del suceso B, automáticamente el suceso B es independiente

de A.

PROPIEDADES.

La independencia de sucesos es algo muy importante para la estadística y es condición en multitud de teoremas. Por ejemplo, una de las primeras propiedades que se deriva de la definición de sucesos independientes es que si dos sucesos son independientes entre sí, la probabilidad de la intersección es igual al producto de las probabilidades.

21. PROBABILIDAD DE LA INTERSECCIÓN DE EVENTOS DEPENDIENTES.

p(A   B) = p(A) · p(B/A)

22. TEOREMA DE BAYES

El teorema de Bayes es un resultado enunciado por Thomas Bayes en 17631 que expresa la probabilidad condicional de un evento aleatorio A dado B en términos de la distribución de probabilidad condicional del evento B dado A y la distribución de probabilidad marginal de sólo A.

En términos más generales y menos matemáticos, el teorema de Bayes es de enorme relevancia puesto que vincula la probabilidad de A dado B con la probabilidad de B dado A. Es decir que sabiendo la probabilidad de tener un dolor de cabeza dado que se tiene gripe, se podría saber (si se tiene algún dato más), la probabilidad de tener gripe si se tiene un dolor de cabeza, muestra este sencillo ejemplo la alta relevancia del teorema en cuestión para la ciencia en todas sus ramas, puesto que tiene vinculación íntima con la comprensión de la probabilidad de aspectos causales dados los efectos observados.

El teorema de Bayes es válido en todas las aplicaciones de la teoría de la probabilidad. Sin embargo, hay una controversia sobre el tipo de probabilidades que emplea. En esencia, los seguidores de la estadística tradicional sólo admiten probabilidades basadas en experimentos repetibles y que tengan una confirmación empírica mientras que los llamados estadísticos bayesianos permiten probabilidades subjetivas. El teorema puede servir entonces para indicar cómo debemos modificar nuestras probabilidades subjetivas cuando recibimos información adicional de un experimento. La estadística bayesiana está demostrando su utilidad en ciertas estimaciones basadas en el conocimiento subjetivo a priori y el hecho de permitir revisar esas estimaciones en función de la evidencia empírica es lo que está abriendo nuevas formas de

hacer conocimiento. Una aplicación de esto son los clasificadores bayesianos que son frecuentemente usados en implementaciones de filtros de correo basura o spam, que se adaptan con el uso.

WEBGRAFÍA

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