Taller investigación de operaciones ii segundo seguimiento (1)

TALLER DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES IICADENAS DE MARKOV

TALLER DE INVESNTIGACIÓN DE OPERACIONES II

“CADENAS DE MARKOV”

ALEXANDER JOSÉ ESCOBAR MURGAS

2011116026

MARIA ALEJANDRA GARCÍA HABEYCH

2010216046

LUIS ALEJANDRO SUÁREZ BURGOS

2011116066

Ing. NESTOR CAICEDO SOLANO

UNIVERIDAD DEL MAGDALENA

FACULTAD DE INGENIERÍA

PROGRAMA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL

INVESNTIGACIÓN DE OPERACIONES II

SANTA MARTA D.T.C.H

2013


TALLER INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II

16.4-3. Dada la siguiente matriz de transición (de un paso), determine las clases de cadena de Markov y si son recurrentes o no.

P=

Estado 0 1 2 3 4

0 1/4

3/4

0 0 0

1 3/4

1/4

0 0 0

2 1/3

1/3

1/3

0 0

30 0 0 3/

4 1/4

40 0 0 1/

4 3/4

RESPUESTA:

En este caso se presentan tres tipos de estados:

El estado 0 y el estado 1 son de tipo recurrente, puesto que la probabilidad de pasar del estado 0 o 1 a los estados 2, 3 o 4 es igual a 0, es decir, transitan entre sí o permanecen en sus estados

originales, por ende, se puede observar que: P00+P01=P10+P11=1→Sonrecíprocas .

Este mismo caso se presenta entre los estados 3 y 4, por lo tanto, son estados recurrentes, entonces, podemos observar que las probabilidades de pasar del estado 3 o 4 a los estados 1, 2 o 3 es nula, es decir, transitan entre ellos o permanecen en sus estados originales, esto quiere decir

que: P33+P34=P43+P44=1→Sonrecíprocas .

Caso contrario ocurre en el estado 2, el cual posee la particularidad de que únicamente se puede llegar al estado 2 partiendo del estado 2.

Por tanto:

{0,1 } = Estados recurrentes.

{2 }=¿ Estado transitorio.

{3,4 }= Estados recurrentes.


16.5-9. Una unidad importante consta de dos componentes colocadas en paralelo. La unidad tiene un desempeño satisfactorio si una de las dos componentes está en operación. Por lo tanto, solo se opera una de ellas a la vez, pero ambas se mantienen operativas (capaces de operar) tanto como sea posible, reparándolas cuando se necesite. Un componente operativo tiene una probabilidad de 0,2 de descomponerse en un periodo dado. Cuando ocurre, el componente en paralelo opera, si está operativo, al comenzar el siguiente periodo. Solo se puede reparar un componente a la vez. Una reparación se inicia al principio del primer periodo disponible y termina al final del siguiente.

Sea X t un vector con dos elementos U y V, donde U es el número de componentes operativos al

final del periodo t y V el número de periodos de reparación que transcurren para componentes que todavía no son operativos. Entonces, V = 0 si U = 2 o si U = 1 y la reparación del componente no operativo se está realizando. Como la reparación toma dos periodos, V = 1 si U = 0 (pues el componente no operativo espera iniciar su reparación mientras la otra entra al segundo periodo) o si U = 1 y el componente no operativo está en su segundo periodo. Así, el espacio de estado contiene cuatro estados (2,0), (1,0), (0,1) y (1,1). Denote estos estados por 0, 1, 2, 3

respectivamente. (X t) (t = 0,1,…) es una cadena de Markov (suponga que X 0 = 0) con matriz de

transición (de un paso).

Estado 0 1 2 3

P=

0 0,8 0,2 0,0 0,01 0,0 0,0 0,2 0,82 0,0 1,0 0,0 0,03 0,8 0,2 0,0 0,0

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la unidad no esté operable después de n periodos (porque ambas componentes estén descompuestas), para n = 2, 5, 10, 20?

b) ¿Cuáles son las probabilidades de estado estable del estado de esta cadena de Markov?

c) Si cuesta 30.000 dólares por periodo que la unidad no opere (ambas componentes descompuestas) y cero en otro caso, ¿cuál es el costo promedio esperado (a la larga) por periodo?

RESPUESTA:

a)

Estados

0 1 2 3

P2

=

0 0,64 0,16 0,04 0,161 0,64 0,36 0 02 0 0 0,2 0,83 0,64 0,16 0,04 0,16


Estados

0 1 2 3

P5

=

0 0,61952 0,19488 0,03712 0,148481 0,59392 0,17408 0,0464 0,18562 0,64 0,232 0,0256 0,10243 0,61952 0,19488 0,03712 0,14848

Estados

0 12 3

P10

=

0 0,61529129

0,19220439

0,03850086

0,15400346

1 0,61601382 0,1929815

0,03820093

0,15280374

2 0,61410509

0,19100467

0,03897805

0,15591219

3 0,61529129

0,19220439

0,03850086

0,15400346

Estados 0 1 2 3

P20

=

0 0,61538449

0,19230756

0,03846159

0,15384635

1 0,61538541

0,19230853

0,03846121

0,15384485

2 0,61538306

0,19230606

0,03846218 0,1538487

3 0,61538449

0,19230756

0,03846159

0,15384635

Las probabilidades de que la unidad no esté operable son:

n (2 ) = 0,04 n (5 ) = 0,037 n (10 ) = 0,039 n (20 ) = 0,038

b) π0=0,8 π0+0,8 π3 (1)π1=0,2 π0+π 2+0,2π3 (2)π2=0,2 π1 (3)π3=0,8 π1 (4)

1=π0+π1+π2+π 3 (5)

Se despeja π0 de la ecuación 1:

π0−0,8 π0=0,8π 3→0,2π0=0,8π 3→π 0=0,8π 30,2

→π0=4 π3 (6)

Se despeja π1 de la ecuación 2:

π1=0,2 (4π 3 )+π 2+0,2π3→π1=0,8 π3+π2+0,2π 3→π 1=π 3+π2 (7)

Se reemplaza 7 en 4 y se despeja π2:


π3=0,8 (π3+π2 )→π3=0,8π3+0,8 π2→π3−0,8π3=0,8π 2→0,2π3=0,8π 2→π2=π34

(8)

Se despeja π3 de la ecuación 5 y se reemplazan los valores obtenidos:

π3 = 1-π0-π1-π2→ π3=1−4 π3−π3−2( π34 )→1=6,5 π3→π3=213

=0,154

Se reemplaza π3 en 8:

π2=

2134→π2=

126

=0,038

Se reemplaza π3 y π2 en 7:

π1=213

+ 126→π1=

526

=0,192

Se reemplaza π3 en 6:

π0=4( 213 )→π 0= 813

=0,615Las probabilidades de estado estable del estado de esta cadena de

Markov son:

π0 = 0,615 π1 = 0,192 π2 = 0,038 π3 = 0,154

c) El costo promedio esperado por periodo de que la unidad no opere se representa de la siguiente manera:

Costo promedio=$30.000 (π2 )=$30.000 (0,038 )=$ 1.140

El costo promedio por periodo de que la unidad no opere equivale a: $1.140

16.8-3. El estado de una cadena de Markov de tiempo continuo está definido como el número de trabajos que hay en el momento actual en cierto centro de trabajo, donde se permite un máximo de dos trabajos, los cuales llegan individualmente. Siempre que hay menos de tres trabajos, el tiempo que transcurre hasta la siguiente llegada tiene una distribución exponencial con media de dos días. Los trabajos se procesan uno a la vez y dejan el centro de inmediato. Los tiempos de procesado tienen una distribución exponencial con media de un día.

a) Construya el diagrama de tasas de esta cadena de Markov.

b) Escriba las ecuaciones de estado estable.

c) Resuelva estas ecuaciones para obtener las probabilidades de estado estable.

RESPUESTA:


a)

b) Las ecuaciones son las siguientes:

π0→12π0=π1

π1→32π1=

12π0+π 2

π2→π2=12π1

π0+π1+π 2=1

c) Despejamos π0 de la primera ecuación, obteniendo:

π0=2 π1

Luego reemplazamos π0 y π2 en la ecuación 4 y tenemos:

2π 1+π1+12π1=1

72π1=1

π1=

172

π1=0,2857


Por ultimo reemplazamos este valor en las diferentes ecuaciones obteniendo:

π0=2 π1

π0=2(0,2857)

π0=0,5714

π2=12π1

π2=12(0,2857)

π2=0,1428

Para finalizar se comprueba que la suma de las probabilidades sea igual a 1:

π0+π1+π 2=1 0,5714+0,2857+0,1428=0,9999≈1

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