TALLER DE TEORÍA CINÉTICA MOLECULAR

Universidad Metropolitana de Ciencias de la EducaciónFacultad de Ciencias BásicasDepartamento de QuímicaFisicoquímica I

Nombre: Fabián Aros

Soledad Stancovich

Fecha: 29/04/2014

Sección 1: Ejercicios

1.- Consideramos que las velocidades de las partículas son iguales entre sí, entonces podemos decir que :

a) v2media = v2

x = v2y = v2

Z

Por lo tanto podemos decir que el valor de la velocidad cuadrática media en un solo eje será del orden de:

b) v2media = 1/3 v2

media

Dejaremos estas igualdades por un momento para definir ahora el movimiento de las partículas. Se dice que una partícula se moverá en el eje x con una velocidad igual a V x en un tiempo dt, por lo que si consideramos que se mueve dentro de un área definida A, tenemos que:

c) Avxdt

Si consideramos todas las partículas N, sobre un volumen definido y sobre una sola trayectoria tenemos que:

d) ½ (N/V)(Avxdt)

Por último si consideramos a las partículas en sus dos trayectorias tenemos que

e) dPx = ½ (N/V)(Avxdt)(2mvx)

Donde Px corresponde a la variación de la cantidad de movimiento de la partícula, se pude seguir simplificando hasta llegar a la siguiente ecuación

f) dPx/dt = (NAv2x m)/V

Por último si consideramos que la velocidad cuadrática media equivale a un tercio de la de un eje se tiene:

g) PV= Nm 1/3 v2

PV= N 2/3 (1/2 mv2)

Consideremos solo una partícula y no todas ellas para poder sacar N de nuestra formula

h) PV=2/3 C

En donde C será la energía cinética o la energía trasnacional, al igualar la ecuación con la de gases ideales tenemos que:

i) C= 3/2 nRT

Por lo tanto para responder la pregunta de la energía traslacional en 1 mol debemos conocer la temperatura, como no la conocemos, asumimos que es para condiciones ideales por lo que sería a 273 K

Por lo tanto la respuesta es:

C= 3/2 * 1mol * 8.314 JKmol-1 * 273K

C= 3404 J

Respuesta: La energía trasnacional para un mol de partícula será 3404 joule.

2.- Si consideramos la ecuación i tenemos:

j) 1/2mv2= 3/2KT

Se incluye la constante de Boltzmann ya que se consideran todas las partículas dentro de una molecula y al considerar N se debe consideran la constante de avogadro por que lo que R/NA es K.

Respuesta: si queremos calcular la velocidad cuadrática media, lo hacemos de la siguiente manera:

K) V2=3KT/m

l) ½ mv2 = 3/2 KT

3.- La probabilidad de encontrar una molécula en el eje x es por definición dnu/N. Ahora bien esta expresión depende de la velocidad en u. Por lo tanto la ecuación queda de la siguiente manera:

a) dGu/N= f(u2)du

f(u2) esta definida como:

b) f(u2)= Aeβu2

Por lo que la ecuación anterior queda como reemplazando en a es:

c) dGu/N= Ae-βu2 du

Decimos entonces que dentro de los tres ejes existen tres velocidades que al sumarlas tenemos que c2= u2 + v2 + w2 por lo que también se deben considerar en A los tres ejes quedando la expresión anterior como:

d) dGv = NA3e-βv2

Por último se debe considerar el número de partículas que están en el volumen de una esfera por todos los ejes que se mueven las partículas, por lo que llegamos a lo siguiente:

e) dGv = 4πNA3e-βc2 v2 dv

Por otra parte se dice que:

f) N=∫v=∞ dnv

N= ∫v=∞ 4πNA3e-βv2 v2 dv

Se divide por N tenemos que:

1=4π A3 ∫v=∞ e-βv2 v2 dv

Empleando los valores de las integrales para valores infinitos tabuladas y reemplazando los valores de A y β se tiene que:

dGv = 4πN(m/2πkT)3/2 v2 e-mv2/2kT dc

4.- La ecuación anterior podemos escribirla en función de la energía ε, sabemos que:

ε= ½ m v2 v= (2/m)1/2ε1/2

Por otra parte al diferenciar obtenemos dv:

Dv= (1/2m)1/2 ε-1/2d ε

v=0

v=0

v=0

Al reemplazar los valores obtenidos anteriormente se obtiene la distribución de energía

dnε = 2πN(1/πkT)3/2 ε1/2 e-ε/kT dε

5.-

Sección 2: Aplicación usando Excel

1.- Considerando los datos que se entregan en la plantilla Excel, hoja 1(Dist_x)

a)

-2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 20000

0.0002

0.0004

0.0006

0.0008

0.001

0.0012

0.0014

0.0016

Distribución de velocidad monodimensional

Series2Series4

𝑢x

eje

y

b) Se sabe que la probabilidad de hallar una particula con una velocidad u, es la misma para una particula a velocidad –u, ya que esta función solo depende de u2. Al aumentar la temperatura la distribucion se hace menor, entonces es menos probable determinar la cantidad de particulas que se mueven a una cierta velocidad, ya que la particulas se estan moviendo más rapido. Además disminuye el número de partículas con velocidad cero, ya que el rango de velocidad que toman las particulas es mayor, el ancho de la gausiana aumenta . En este caso la gausiana es mas plana, no varia mucho la distribución.

c)

-2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 20000

0.00020.00040.00060.0008

0.0010.00120.00140.0016

Distribución de velocidad monodimen-sional

Series2Series4Series6

𝑢x

eje

y

*la serie 3 corresponde a <v2> a 100°C o (373,15 K)

A 373,15 K la distribución de partículas que posee una velocidad cero es mayor que a los 1500,15 k, entonces este grafico si esta en concordancia con la distribución de velocidad, ya que al disminuir la temperatura el ancho de la gausiana en relación con la velocidad disminuye, englobando una menor cantidad de velocidades y una cantidad determinada de partículas a dicha temperatura. En este caso la probabilidad de conocer la distribución de una partícula es mayor.

d) <vz2> es la velocidad cuadrática media en un eje, en este caso en z, y describe la

velocidad que posee una partícula al chocar y devolverse dentro de un recipiente, ya que si va con una velocidad se devuelve con la misma velocidad, pero con signo diferente. En cambio < vz>2, es el promedio de la velocidad de una partícula al cuadrado, sin considerar el choque que produce la partícula dentro de un recipiente, solo es la velocidad al cuadrado.

e)

f)

2.- Considerando los datos que se entregan en la plantilla Excel, hoja 2 (Dist_Max_Boltz):

g)

0 500 1000 1500 2000 2500 30000

0.0005

0.001

0.0015

0.002

0.0025

Distribución de Maxwell -Boltzmann N2

Series2Series4

ux/(m/s)

eje

y

h) Al aumentar la temperatura a 1500,15 k , el rango de velocidades que pueden tomar las partículas es mayor, por eso la gausiana es más ancha. Y La probabilidad de encontrar una molécula que tenga una determinada rapidez es menor. Además no hay una distribución de partículas con velocidad cero. La curva es parabólica cerca del origen, ya que el factor c2 es dominante en esta región.

i)

0 500 1000 1500 2000 2500 30000

0.0005

0.001

0.0015

0.002

0.0025

Distribución de Maxwell -Boltzmann N2

Series2Series4Series6

ux/(m/s)

eje

y

A 373,15 k , la gausiana se hace mucho más angosta, ya que al disminuir la temperatura existe una probabilidad de distribucion mayor, por lo que se hace mas facil determinar el numero de moleculas que poseen una cierta velocidad, ya que el rango de velocidad disminuye. La diferencia con la distribucion de velocidad monodimensional en c, es que acá no existen moleculas que posean velocidad cero. Se expresa el numero de moleculas que tienen una rapidez en particular en funcion de numero total de moleculas presentes.

j)

k)