Fabian Guisao Usuga

Taller de series de tiempo

1) En un modelo AR (1):

𝑦𝑡 = 𝜃0 + 𝜃1𝑦𝑡−1 + 𝜀𝑡

si hacemos la predicción para h periodos adelante

Se puede demostrar que

𝑦𝑡+ℎ =(1 − 𝜃1

ℎ)

(1 − 𝜃1)𝜃0 + 𝜃1

ℎ𝑦𝑡−1 + 𝜀𝑡

2.) Considere un proceso AR(2)

𝑦𝑡 = 1𝑦𝑡−1 − 0.5𝑦𝑡−2 + 𝜀𝑡

Hallar las ecuaciones (de yule Walker) para las cuales los valores del correlograma son

𝑝(1) = 0.666, 𝑝(2) = 0.1666, 𝑝(3) = −0.1666, 𝑝(4) = −0.1666

En Excel extienda esta formulación hasta unos 12 periodos y grafique el correlograma y explique este proceso

3.) Considere la siguiente ecuación

yt=0+1t+ut, ut=𝛼1ut-1+𝛼2ut-2+𝛼3ut-3+t

Cuál sería la ecuación que se debe estimar para probar la existencia de la raíz unitaria,. Argumente su respuesta

4.) Investigue sober los test de Phillips-Perron, Kwiatowski – Phillips - Schmidt -

Shin (KPSS), ADF. Argumente

5.) el sistema de ecuaciones que resulta para realizar la estimación de máximo

verosimilitud condicional es lineal. Para un proceso AR(1) se prueba que la función

de verosimilitud condicional, sería:

L*=f(y2, y3,..., yn/y1)=f(y2/y1)f(y3/y2)...f(yn/yn-1)

Bajo normalidad, se tiene que

f(yt/yt-1)= e σ/2)yαmy(σ2Π

1 22

1tt

halle el logaritmo de la función de verosimilitud

Demuestre que la función que se maximiza está dada por

L= f(y1, y2, y3,..., yn)=f(y1)L*

Fabian Guisao Usuga

De donde

LnL=K-2

nln(2)+1/2ln(1-2)-

2

2

2

1(y1-m/(1-))2-

22

1

n

2t1tt

2

)( yαmy

6.) Analicemos un caso elemental, supongamos que se tiene la serie zt la cual es un

proceso ARIMA(1,1,0).

En este caso zt es tal que

yt=zt-zt-1 es una AR(1) y por lo tanto yt=m+yt-1+t

Se puede probar que

zn+s=zn+s+α1

α1 s

(yn-)+en+s

donde

=m

1-α

en+s=n+s+(1+)n+s-1 + (1++2)n+s-2 + (1++2+...+s-1)n+1

y por lo tanto

z sn = zn+s+α1

α1 s

(yn-)

var(en+s)=[1+(1+)2+(1++2)2 +...+(1++2+...+s-1)2] σ

2ε

Se observa que la varianza del pronóstico se incrementa a medida que s crece, luego para una serie no estacionaria los pronósticos serán más imprecisos a medida que nos alejamos en el horizonte

7.) Descargue una base de datos de una acción o índice financiero,

realice una predicción mediante un modelo ARIMA, donde

aplique todo lo visto en el curso de series de tiempo, utilice (R)

para predecir un horizonte de 2 meses. Realice un análisis

económico de esta acción o índice

Lectura

Fabian Guisao Usuga

EVALUACIÓN DE PRONÓSTICOS Es importante evaluar la capacidad predictiva del modelo. Un importante estadístico es la varianza del error de pronóstico ya que el intervalo de predicción proporciona una medida de la precisión del pronóstico. En el trabajo con datos en el tiempo es común evaluar la capacidad predictiva de un modelo comparando los valores observados con los pronosticados. Para desarrollar estas ideas es usual ajustar el modelo con las ‘’T’’ primeras observaciones y analizar luego como predice el modelo las ‘’h’’ observaciones siguientes, donde n=T+h, siendo n el tamaño de la muestra disponible. Los estadísticos más (entregados por Eviews) empleados son:

Raíz del error cuadrático medio:

RMSE=h

)yy(n

1Tttt

2

Promedio de los valores absolutos de los errores de pronósticos

MAE=h

yyn

1Tttt

Promedio del error porcentual absoluto

MAPE=h

y

yyn

1Ttt

tt

Coeficiente de desigualdad de Theil

TIC=

h

y

h

y

RMSEn

1Tt

2

t

n

1Tt

2

t

El RMSE y MAE dependen de la escala de la variable dependiente y por lo tanto se pueden emplear para comparar pronósticos de la misma serie para modelos diferentes. Los otros dos estadísticos no dependen de la escala.

Se puede probar que 0 TIC 1. TIC=0 indica que las predicciones fueron perfectas. Con base en la desigualdad de Theil se definen la:

Proporción del sesgo

PS=

h

yy

)y-y (n

1Tttt

2

2

)(

Proporción de la varianza

Fabian Guisao Usuga

PV=

h

yy

)s-s (n

1Tttt

2

yy

2

)(

Proporción de la covarianza

PC=

h

yy

ss)r1(2n

1Tttt

2

yy

)(

donde r es el coeficiente de correlación entre yt y y t; s ,s ,y ,y yy son las medias y

desviaciones estándar de yt y y t. Se puede probar que PS+PV+PC=1.

PS es una medida de la desviación del promedio del pronóstico con relación al promedio de la serie observada (medida del error sistemático). Valores grandes de PS (mayores de .1 o 0.2) indican que un sesgo sistemático esta presente y por lo tanto el modelo se debería revisar. La proporción de la varianza nos informa la capacidad que tiene el modelo de replicar la variabilidad de la serie. PC mide el error no sistemático. La situación ideal sería PS=PV=0 y PC=1.