7/26/2019 Taller 6 B9-10 Solucion

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Taller 6 Bloque 9-10

MAT-021

Departamento de Matematica

Universidad Tecnica Federico Santa Mara

29 de abril de 2016

1. Demuestre que en un triangulo de vertices A, B y C y lados opuestos a, b y c respectivamente. Elarea del triangulo es igual al producto de sus lados divido por cuatro veces el radio de la circunferenciacircunscrita al triangulo.

Solucion:Consideremos la circunferencia de radior circunscrita al trianguloABC.Podemos suponer que ninguno de los lados del tri angulo pasa por el centro de la circunferencia.Sabemos que, en todo triangulo, el area esta dada porarea= 12 base altura

Consideremos base como el lado c y la altura desde C, llamadahcPor otra parte, trazamos un diaametro desde el vertice B hasta el punto P en la circunferencia.Luego tenemos un trianguloCBP, el cual es rectangulo enC. El angulo en el vertice A del trianguloCBA es igual al angulo del del vertice P en el trianguloCBP.

En el triangulo CBA tenemos que hc = b sin() y en el triangulo ABC tenemos que sin() =

a

2rentonces hc= b

a

2rLuego el area del trianguloABC esta dada por

area=1

2c a

b

2r =

a b c4r

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2. Calcule, en caso que exista, el siguiente lmite

lmx2

3

3 3x3 1 +x6 +x x2

Solucion

lmx2

3

3 3x3 1 +x6 +x x2

= lmx2

3

3 3x3 (1 x)6 +x x2

( 3

3 3x3)2 + (1 x) 3

3 3x3 + (1 x)2

( 3

3 3x3)2 + (1 x) 3

3 3x3 + (1 x)2 =

lmx2

3(1 x3) (1 x)3

(x 3)(x+ 2)

( 3

3 3x3)2 + (1 x) 3

3 3x3 + (1 x)2 =

lmx2

3(1 x)(1 +x+x2) (1 x)3

(x 3)(x+ 2)

( 3

3 3x3)2 + (1 x) 3

3 3x3 + (1 x)2 =

lmx2

(1 x)(2 + 5x+ 2x2)(x 3)(x+ 2)

( 3

3 3x3)2 + (1 x) 3

3 3x3 + (1 x)2 =

lmx2

(1 x)(2 +x)(2x+ 1)(x 3)(x+ 2)

( 3

3 3x3)2 + (1 x) 3

3 3x3 + (1 x)2 =

lmx2

(1 x)(2x+ 1)(x 3)

( 3

3 3x3)2 + (1 x) 3

3 3x3 + (1 x)2 = 1

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3. Calcule, en caso que exista, el siguiente limite

lmx

2

3 + sen(x 2 )1 + cos(x)

Solucion

Seau = x entonces tenemos el lmite en la variable u

lmu0

2

3 + sin(u+/2)

1 + cos(+u) = lm

u0

2

3 + cos(u)

(1

cos(u))

2 +

3 + cos(u)

2 +

3 + cos(u)

=

lmu0

4 (3 + cos(u))(1 cos(u))(2 +

3 + cos(u))

= lmu0

1

2 +

3 + cos(u)=

1

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Control Taller 6 Bloque 9-10

MAT-021

Departamento de Matematica

Universidad Tecnica Federico Santa Mara

Nombre :

Nombre :

Nombre :

Nombre :

1. Desde la ventana de una edificio a 3mt de altura se ve a una persona que se ubica en el suelo, con unangulo de depresion de 15. Luego se observa desde la misma ventana a otra persona, a nivel del suelo,que se encuentra un poco mas cerca de la base del edificio, con un angulo de depresion de 75. Calculela distancia entre las dos personas observadas.

Angulo de depresion: Es el angulo que se forma entre la visual de un observador que mira hacia abajoy la horizontal (a nivel del observador)Solucion

Desde el problema tenemos el siguiente triangulo (10pts)

En el triangulo ABD, tenemos sin(75) =3

a entonces a =

3

sin(75)(10pts)

En el trianguloBCD tenemos sin(60)

x =

sin(15)

a entonces x = a

sin(60)

sin(15) (10pts)

Por lo tanto,

x=3

3

2

1

sin(75) sin(15) (10pts)

Si calcula sin(75) sin(15) =1

4. se tiene que x =

3

3

8

La distancia entre las personas es de 3

3

8 metros (10pts)

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2. Calcular, en caso que exista, el siguiente lmite

lmx0

(1 cos(x+)) tan(3x)x

Solucion

lmx0

(1 cos(x+)) tan(3x)x

= lmx0

1 + cos(x)

x tan(3x) =(10pts) lm

x0

1 + cos(x)

x

sin(3x)

cos(3x)= (20pts)

lmx0

1 + cos(x)

cos(3x)

3 sin(3x)

3x (10pts)= 6 (10pts)