Taller 2 factorizacion

ESCUELA DE INGENIERIAS Y ADMINISTRACION

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS

Introducción al Cálculo Diferencial PRIMER SEMESTRE 2015

Taller 2

PROFESOR:YOLVI ADRIANA

CORDOBA BUITRAGO

1. FACTOR COMÚN: se emplea para factorizar una expresión en la cual todos los términos tienen

algo en común (puede ser un número, una letra, o la combinación de los dos). Ejemplo:

𝑥3𝑦 + 𝑥2𝑦2 − 2𝑥𝑦 = 𝑥𝑦(𝑥2 + 𝑥𝑦 − 2)

2. FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS: Aquí utilizaremos el caso anterior, adicionando que uniremos los factores que se parezcan, es decir, los que tengan un factor común.

Ejemplo: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑏𝑦 = (𝑎𝑥 + 𝑏𝑥) + (𝑎𝑦 + 𝑏𝑦) = 𝑥(𝑎 + 𝑏) + 𝑦(𝑎 + 𝑏) = (𝑎 + 𝑏)(𝑥 + 𝑦)

3. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO: Este nombre es otorgado a los trinomios que cumplen

con las siguientes características:

El primer y tercer término tienen raíz cuadrada exacta y son positivos.

El segundo término es igual a dos veces el producto de las raíces cuadradas y puede ser positivo o negativo.

Se factoriza como una suma o diferencia, dependiendo del segundo término, elevado al cuadrado, se factoriza así: 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏)2 ó 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏)2

4. TRINOMIO DE LA FORMA 𝐱 𝟐𝐧 + 𝐛𝐱𝐧 + 𝐜

Este trinomio debe cumplir con las siguientes características:

Debe estar organizado de forma correspondiente(es decir, debe coincidir con la

fórmula).

El primer término debe ser positivo y tener raíz cuadrada exacta.

La variable que esta acompañando el segundo término debe ser la raíz cuadrada del término número uno.

Existen dos números que : p + q = b y pq = c

Es decir: 𝑥2𝑛 + 𝑏𝑥𝑛 + 𝑐 = ( 𝑥𝑛 + 𝑝)( 𝑥𝑛 + 𝑞)

5. TRINOMIO DE LA FORMA 𝑎𝑥2𝑛 + 𝑏𝑥𝑛 + 𝑐

Debe cumplir con las siguientes características:

Debe estar organizado de forma correspondiente(es decir, debe coincidir con la formula).

El primer término debe ser positivo, tener un coeficiente 𝑎 DIFERENTE DE 1 y la

parte literal debe tener raíz cuadrada exacta.

La variable que esta acompañando el segundo término debe ser la raíz cuadrada del término número uno.

Para resolverlo se procede a multiplicar y dividir por la variable que acompaña al primer término (esto con el fin de no alterar el ejercicio) de la siguiente forma:

𝑎(𝑎𝑥2𝑛 + 𝑏𝑥𝑛 + 𝑐)

𝑎




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y se opera, dando como resultado:

(𝑎𝑥𝑛)2 + 𝑏(𝑎𝑥𝑛) + 𝑎𝑐

𝑎

6. DIFERENCIA DE CUADRADOS: para esto debemos tener en cuenta que un binomio es una diferencia de cuadrados siempre y cuando los términos que la componen tengan diferentes signos y ambos términos tengan raíz cuadrada exacta, se factoriza así: 𝑥2 − 𝑦2 = (𝑥 + 𝑦)(𝑥 − 𝑦)

7. SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS: Tenemos que tener en cuenta las siguientes reglas para desarrollarlo:

La de sus cubos perfectos se descompone en dos factores: 1. La suma de sus raíces cúbicas 2. El cuadrado de la primera raíz, menos el producto de las dos raíces, más el

cuadrado de la segunda raíz.

La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores: 1. La diferencia de sus raíces cúbicas. 2. El cuadrado de la primera raíz, más el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.

Es decir; 𝑎3 + 𝑏3 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2 ) y 𝑎3 − 𝑏3 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 +

𝑏2 )

8. CUBO PERFECTO DE UN BINOMIO:

Debe tener cuatro términos.

Que tanto el primero como el último término sean cubos perfectos.

Que el segundo término sea aproximadamente el triplo del cuadrado de la raíz cúbica del primer término multiplicado por la raíz cúbica del último término.

Que el tercer término sea más que el triplo de la raíz cúbica del último.

Es decir; 𝑎3 + 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3 = (𝑎 + 𝑏)3 y 𝑎3 − 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎 𝑏2 − 𝑏3 = (𝑎 − 𝑏)3

9. SUMA O DIFERENCIA DE POTENCIAS IGUALES: Debemos tener en cuenta una pequeña recapitulación de:

𝑎𝑛 − 𝑏𝑛 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑟 𝑎 − 𝑏 𝑠𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟 𝑜 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟

𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑟 𝑎 + 𝑏 𝑠𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟

𝑎𝑛 − 𝑏𝑛 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑟 𝑎 + 𝑏 𝑠𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟

𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 𝑛𝑢𝑛𝑐𝑎 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑟 𝑎 − 𝑏 FACTORIZAR:

1. 6x - 12 = 2. 4x - 8y =

3. 24a - 12ab = 4. 10x - 15x2 =

5. 14m2n + 7mn = 6. 4m2 -20 am =

7. 8a3 - 6a2 = 8. ax + bx + cx =

9. b4-b3 = 10. 4a3bx - 4bx =

11. 14a - 21b + 35 = 12. 3ab + 6ac - 9ad =

13. 20x - 12xy + 4xz = 14. 6x4 - 30x3 + 2x2 =

15. 10x2y - 15xy2 + 25xy = 16. 12m2n + 24m3n2 - 36m4n3 =




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17. 2x2 + 6x + 8x3 - 12x4 = 18. 10p2q3 + 14p3q2 - 18p4q3 - 16p5q4

19. m3n2p4 + m4n3p5 - m6n4p4 + m2n4p3 =

20. 22

9

8

4

3xyyx

21. 24524332

16

1

8

1

4

1

2

1babababa

22. babaabba 3322

25

16

15

8

5

12

35

4

23. a(x + 1) + b ( x + 1 ) = 24. m(2a + b ) + p ( 2a + b ) =

25. x2( p + q ) + y2( p + q ) = 26. ( a2 + 1 ) - b (a2 + 1 ) =

27. ( 1 - x ) + 5c( 1 - x ) = 28. a(2 + x ) - ( 2 + x ) =

29. (x + y )(n + 1 ) - 3 (n + 1 ) = 30. (a + 1 )(a - 1 ) - 2 ( a - 1 ) =

31. (a( a + b ) - b ( a + b ) = 32. (2x + 3 )( 3 - r ) - (2x - 5 )( 3 - r )

33. a2 + ab + ax + bx = 34. ab + 3a + 2b + 6 =

35. ab - 2a - 5b + 10 = 36. 2ab + 2a - b - 1 =

37. am - bm + an - bn = 38. 3x3 - 9ax2 - x + 3a =

39. 3x2 - 3bx + xy - by = 40. 6ab + 4a - 15b - 10 =

41. 3a - b2 + 2b2x - 6ax = 42. a3 + a2 + a + 1 =

43. ac - a - bc + b + c2 - c =

44. 6ac - 4ad - 9bc + 6bd + 15c2 - 10cd =

45. ax - ay - bx + by - cx + cy =

46. 3am - 8bp - 2bm + 12 ap =

47. 18x - 12 - 3xy + 2y + 15xz - 10z =

48. zxyzxyxzx 753

143

3

10

4

21

4

15 2

49. bnbmamam5

16

5

4

3

8

3

2

50. x2 + 4x + 3 = 51. a2 + 7a + 10 =

52. b2 + 8b + 15 = 53. x2 - x - 2 =

54. r2 - 12r + 27 = 55. s2 - 14s + 33 =

56. h2 - 27h + 50 = 57. y2 - 3y - 4 =

58. x2 + 14xy + 24y2 = 59. m2 + 19m + 48 =

60. x2 + 5x + 4 = 61. x2 - 12x + 35 =




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62. 5x2 + 11x + 2 = 63. 3a2 + 10ab + 7b2 =

64. 4x2 + 7x + 3 = 65. 4h2 + 5h + 1 =

66. 5 + 7b + 2b2 = 67. 7x2 - 15x + 2 =

68. 5c2 + 11cd + 2d2 = 69. 2x2 + 5x - 12 =

70. 6x2 + 7x - 5 = 71. 6a2 + 23ab - 4b2 =

72. 3m2 - 7m - 20 = 73. 8x2 - 14x + 3 =

74. 5x2 + 3xy - 2y2 = 75. 7p2 + 13p - 2 =

76. 6a2 - 5a - 21 = 77. 2x2 - 17xy + 15y2 =

78. 9a2 - 25b2 = 79. 16x2 - 100 =

80. 4x2 - 1 = 81. 9p2 - 40q2 =

82. 36m2n2 - 25 = 83. 49x2 - 64t2 =

84. 169m2 - 196 n2 = 85. 121 x2 - 144 k2 =

86. 22

36

49

25

9ba 87. 44

16

9

25

1yx

88. 3x2 - 12 = 89. 5 - 180f2 =

90. 8y2 - 18 = 91. 3x2 - 75y2 =

92. 45m3n - 20mn = 93. 2a5 - 162 a3 =

94. b2 - 12b + 36 = 95. 25x2 + 70xy + 49y2 =

96. m2 - 2m + 1 = 97. x2 + 10x + 25 =

98. 16m2 - 40mn + 25n2 = 99. 49x2 - 14x + 1 =

100. 36x2 - 84xy + 49y2 = 101. 4a2 + 4a + 1 =

102. 1 + 6a + 9a2 = 103. 25m2 - 70 mn + 49n2 =

104. 25a2c2 + 20acd + 4d2 = 105. 289a2 + 68abc + 4b2c2 =

106. 2ab + 4a2b - 6ab2 = 107. 2xy2 - 5xy + 10x2y - 5x2y2 =

108. b2 - 3b - 28 = 109. a2 + 6a + 8 =

110. 5a + 25ab = 111. bx - ab + x2 - ax =

112. 6x2 - 4ax - 9bx + 6ab = 113. ax + ay + x + y =

114. 8x2 - 128 = 115. 4 - 12y + 9y2 =




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116. x4 - y2 = 117. x2 + 2x + 1 - y2 =

118. (a + b )2 - ( c + d)2 = 119. a2 + 12ab + 36b2 =

120. 36m2 - 12mn + n2 = 121. x16 - y16 =

122. 64 – x3 = 123. 8a3b3 + 27 =

124. 27m3 + 6n6 = 125. x6 – y6 =

126. 27

8

8

1 3 x = 127. 64

13 x =

APLICACIONES

FRACCIONES ALGEBRAICAS

Una fracción algebraica es una expresión fraccionaria en la que numerador y denominador son

polinomios.

Son fracciones algebraicas:

Las fracciones algebraicas tienen un comportamiento similar a las fracciones numéricas.

El valor de una fracción no se altera si se multiplican o dividen el numerador y denominador por

una misma cantidad. Esta cantidad debe ser distinta de cero.

Por ejemplo:

Si se multiplica por x + 2 en su numerador y denominador resulta:




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Se recomienda hacer las operaciones con calma y mucha concentración ya que son frecuentes los

errores de signos y los errores en el uso incorrecto de paréntesis.

Operaciones con fracciones algebraicas

Simplificar fracciones algebraicas

La simplificación de fracciones algebraicas es objeto de frecuentes errores, pero se simplifican

igual que las fracciones ordinarias: dividiendo el numerador y el denominador por factores

comunes. Entonces, la clave está en el factor común. Para simplificar al máximo habrá que

factorizar los polinomios numerador y denominador.

Por ejemplo, simplificar:

Otro ejemplo, simplificar la fracción

Primero, factorizamos los polinomios del numerador y del denominador, para quedar

Como vemos, simplificar (o reducir) una fracción algebraica consiste en transformarla a otra

equivalente cuya particularidad es ser irreductible (se puede simplificar sólo hasta un cierto nivel).

Suma y resta de fracciones algebraicas

Para sumar y restar procederemos de forma similar a como lo hacemos con fracciones de números

enteros, reduciendo primero a común denominador.

Igual como ocurre con las fracciones de números enteros, la suma y resta de fracciones

algebraicas puede ser con fracciones de igual denominador o de distinto denominador.

Suma y resta de fracciones algebraicas con igual denominador

Veamos el siguiente ejemplo de suma y resta:

Como el denominador es común (x + 1), este se ha unificado en una sola fracción, que ahora tiene

como numerador a todas las cantidades que eran numeradores en las fracciones que estamos

sumando y restando. Nótese que dichas cantidades se anotan entre paréntesis cuando no son

monomios, para no confundir luego los signos.




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Ahora sacamos los paréntesis teniendo cuidado de cambiar el signo interior cuando delante del

paréntesis hay un signo menos (−), y nos queda

Hicimos las operaciones posibles y llegamos al resultado.

Suma y resta de fracciones algebraicas con distinto denominador

Veamos el siguiente ejemplo:

Tal como lo hacíamos al sumar o restar fracciones de números enteros, utilizando el mínimo

común múltiplo (m.c.m.) las fracciones con distintos denominadores se transforman en

fracciones equivalentes con denominador común.

Entonces, que debemos hacer: encontrar el m.c.m. de los denominadores, que llamaremos

mínimo común denominador (m.c.d.).

Para calcular el m.c.m. factorizamos

5ab a2 15b2

a

5b a 15b2

a

5b 1 15b2

b

5 1 15b

b

5 1 15

5

1 1 3

3

1 1 1

Multiplicamos los factores y queda a • a • b • b • 5 • 3 = a2 • b2 • 15 que es lo mismo que 15a2b2 y

es el mínimo común denominador (m.c.d.) de las tres fracciones involucradas.

Conocido el m.c.d. operamos con fracciones con denominador común:

Previamente, dividimos el denominador común (15a2b2) por cada uno de los denominadores

individuales, para conocer la cifra o valor que se multiplica por cada uno de los numeradores, y lo

hacemos así:




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Esta es la forma tradicional de operar cuando hemos hallado el m.c.d. Pero también hay otra, como

la siguiente:

Encontrado el m.c.d. (15a2b2) se multiplica cada fracción (tanto numerador como denominador) por

los términos que faltan por completar dicho m.c.d., del modo siguiente:

Nótese que “los términos que faltan” se obtienen haciendo la misma división del caso anterior.

Un ejemplo más:

Sumar

El m.c.m. de los denominadores, o mínimo común denominador (m.c.d.) es x(x − 3)

Hacemos

¿Qué hicimos? Sumamos los numeradores dejando el mismo denominador y simplificamos el

numerador:

Producto (multiplicación) de fracciones algebraicas

Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual como lo hacemos con fracciones,

multiplicando los numeradores y los denominadores, aunque antes de multiplicar debemos

simplificar, si se puede.




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Veamos qué significa esto:

Sea una fracción algebraica cualquiera que está multiplicada por otra , entonces:

Veamos ahora ejemplos de multiplicación (producto) de fracciones algebraicas

Multiplicar

Anotamos la multiplicación de los numeradores y de los denominadores:

Simplificamos antes de efectuar el producto:

Ahora, podemos multiplicar los factores finales:

Ejemplos desarrollados

a)

Cociente o división de fracciones algebraicas

Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual como lo hacemos con fracciones, haciendo

el producto cruzado de numeradores y denominadores, aunque antes de multiplicar debemos

simplificar, si se puede.

Veamos, ahora qué significa esto:

Sea una fracción algebraica cualquiera que está dividida por otra , entonces:

Veamos ahora ejemplos de división (cociente) de fracciones algebraicas




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Dividir

Anotamos haciendo el producto cruzado:

Simplificamos y finalmente multiplicamos:

Ejemplos desarrollados

EJERCICIOS

I.- Simplificación de fracciones algebraicas

1) ab

a 2

= 2) 224

62

28

21

xnm

xmn = 3)

xy

yx2

=

4) 25

543

21

14

cb

cba = 5)

mca

nca54

32

26

42 = 6)

ba

a28

2 =

7) 432

32

24

9

yxa

yx = 8)

10126

643

34

17

zyx

zyx = 9)

221611

201512

75

15

cba

cba =

10) 32 22

3

axa

ab

= 11)

22 33 xyyx

xy

= 12)

62

652

x

xx =

13) mbanba

bmabna2222

22

3010

4515

= 14)

aax

x

105

42

= 15)

25

1532

2

x

xyyx =

16) 107

202

2

aa

aa = 17)

96

932

23

xx

xx =

II.- Efectuar las siguientes sumas y restas con fracciones algebraicas:

1) x

7

x

5

x

9 2)

222 a

9

a

5

a

4 3)

2x3

4

2x3

x6




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4)

5m2

8m7

5m2

6m5

5m2

m4 5)

x4

5

x3

2

x

1 6)

x

3

x2

5

x5

9

7) x3

5

x2

7

x

62

8)

m5

1m3

m2

2m 9)

x12

5x2

x8

6x

10)

yx

x

yx

yxy22

11)

12mm

m7

4m

m2

12)

x

y

xy2x

xy2

y2x

x2

13)

yx

y

yxy

x

y

x2

22

III.- Efectuar las siguientes multiplicaciones y divisiones con fracciones algebraicas:

1) x9

y4

y2

x3 2

2) by

ax

ax

y

10

25 2

2

2

3)

3x19

ba17

x2

ba3

4)

5

3

6x

3x

3x

2x 5)

316

87

54

43

yx

yx

yx

yx 6)

9x3

2x2

1x

6x5x 2

7)

15x8x

28x3x

14x5x

6xx2

2

2

2

8)

28m3m

32m4m:

21m4m

48m14m2

2

2

2

9) 22

2

ab2

my14:

ab

m7 10)

3x3

15x5:

1x

15x8x2

11)

18x3x

14x5x:

6xx

14x9x2

2

2

2

12)

15m8m

24m11m:

20mm

16m8m2

2

2

2

13) 33

2

mx5

ay15:

mx

y3 14)

14x2

6x3:

5x

10x7x2

15)

30xx

6x5x:

15x8x

3x2x2

2

2

2

16)

8m6m

8m2m:

20m9m

15m8m2

2

2

2

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