TALLER 1. NÚMEROS Y OPERACIONES 1.1 a, b, c, d, e, f, g h ...

1 CÁLCULO DIFERENCIAL: Problemas clásicos en GeoGebra

TALLER 1.

NÚMEROS Y OPERACIONES

Actividad 1.

1.1 Dados los puntos de coordenadas a, b, c, d, e, f, g y h, como se muestra en la Figura 1.

Responde las siguientes preguntas.

Figura 1. Puntos de coordenadas en la recta numérica.

a) ¿Cuál es el punto más próximo al producto de 𝑎 ∙ 𝑔? ¿Cuál punto es más cercano a:

𝑎 ∙ 𝑐, |𝑏|, √𝑓, 1

𝑏 y √𝑔? Explica tu razonamiento.

b) Un grupo de estudiantes al responder las preguntas anteriores realizaron las

siguientes conjeturas. Responde cuáles de ellas son correctas y por qué.

i. Camila comenta a sus compañeros que el punto más cercano a √𝑒 es d, ¿es

verdadera esta afirmación? Justifica tu respuesta.


ii. Andrés asegura que el punto más cercano al producto de 𝑐 ∙ 𝑓 está a la izquierda

de 𝑐 y 𝑓; sin embargo, Camila dice que 𝑐 ∙ 𝑓 está entre 𝑐 y f, y muy cercano a d.

¿Con cuál de los dos argumentos anteriores te identificas y por qué?

1.2 A continuación se plantea algunas relaciones que halló Andrés, responde lo siguiente:

a) Andrés comparó la posición de los puntos g y h, y notó que la raíz cuadrada de

cada uno de ellos es menor que g y h, respectivamente. ¿Se cumple esta relación

para todos los puntos que estén a la derecha de cero? Explica tu respuesta.

b) Andrés está comparando 𝑑 con 1

𝑑, 𝑓 con

1

𝑓 y 𝑔 con

1

𝑔, encontrando una relación

en los últimos tres números, con respecto a la posición de d, f y g. ¿Cuál fue la

relación que encontró Andrés al comparar esos números, respecto a la posición

de los tres primeros?

1.3 Abre el archivo Producto_1.ggb de Geogebra, observa el comportamiento de 𝑎 ∙ 𝑏 al

momento de mover los deslizadores a y b como se indica a continuación, y responde

las siguientes cuestiones.

a) ¿Qué pasa con el valor del producto 𝑎 ∙ 𝑏, si 0 < 𝑎 < 1 y 0 < 𝑏?, ¿y si −1 <𝑎 < 0 y 0 < 𝑏?, En los dos casos anteriores, ¿cuál valor de ab es mayor?


b) ¿Qué pasa con el valor del producto 𝑎 ∙ 𝑏, si 0 < 𝑎 < 1 y 0 < 𝑏 < 1?, ¿y si

−1 < 𝑎 < 0 y −1 < 𝑏 < 0? ¿Qué concluyes de estos productos?, ¿Son iguales

o diferentes?

c) ¿Qué pasa con el valor del producto 𝑎 ∙ 𝑏, si 0 < 𝑎 < 1 y −1 < 𝑏 < 0?, ¿y si

−1 < 𝑎 < 0 y −1 < 𝑏 < 0?

1.4 Camila ha llegado a una serie de conclusiones al trabajar el archivo Producto_1.ggb, di

si son correctas o no tales afirmaciones, y explica con tus palabras porqué.

a) Cada vez que multiplique un número positivo por otro que esté entre cero y

uno, el producto será mayor que cualquiera de los dos números.

b) Al multiplicar dos números que se encuentren entre cero y uno, su resultado

será mayor que alguno de los dos.

c) Al multiplicar dos números que se encuentren entre -1 y 0, su resultado será

menor que los dos números.

d) El signo del producto de dos números negativos es igual al signo del producto

de dos números positivos.

e) Al multiplicar un número negativo por un número que esté entre 0 y 1, su

resultado siempre será mayor que los dos números.


1.5 Abre el archivo Raíz_1.ggb encontrarás un deslizador a, y la recta numérica donde se

ubican a y 𝑠𝑞𝑟𝑡(𝑎) [𝑠𝑞𝑟𝑡(𝑎) = √𝑎]. Al momento de mover el deslizador de a como se

indica a continuación responde las siguientes preguntas.

a) Mueve el deslizador hacia derecha. ¿Qué le sucede a 𝑠𝑞𝑟𝑡(𝑎) si a va creciendo

hasta llegar a 20?, ¿qué colores van tomando a y 𝑠𝑞𝑟𝑡(𝑎)? y ¿en qué casos

cambia?

b) ¿Qué sucede con 𝑠𝑞𝑟𝑡(𝑎) si a va de 0 a 1?, ¿cuál es el color de a y 𝑠𝑞𝑟𝑡(𝑎)?, y

¿quién es mayor?


c) ¿Qué puedes concluir acerca del comportamiento de 𝑠𝑞𝑟𝑡(𝑎), a partir de los

incisos a) y b)?

d) ¿Qué pasaría con 𝑠𝑞𝑟𝑡(𝑎) si 𝑎 < 0?

1.6 Ve nuevamente al archivo Raíz_1.ggb, escribe en la Entrada (a, sqrt(a)) y aparecerá

inmediatamente un punto C. Ubícate encima del punto C, da clic derecho y pica

donde dice Activa Rastro, luego ve al deslizador y empieza a mover a.

a) ¿Cómo se comporta el rastro que deja el punto C, al moverse a?

b) ¿Qué conclusiones obtienes al comparar las respuestas del 1.5 con las obtenidas

al explorar el rastro que deja C?


2. Actividad Extra

2.1 En la Figura 2- parte izquierda- se muestran las gráficas de las funciones:

𝑓(𝑥) = √𝑥, 𝑔(𝑥) = 𝑥3, ℎ(𝑥) = 𝑥2 y 𝑏(𝑥) = 𝑥

Relaciona la función que corresponde a cada gráfica y explica por qué.

2.2 Abre el archivo Gráficas_1.ggb y encontrarás parte de la Figura 2, no olvides lo que

respondiste en 2.1 y asocia nuevamente las gráficas con las funciones. En un lugar

blanco de la pantalla de Geogebra da clic derecho, párate en zoom y da clic en 25%, a

continuación responde las siguientes preguntas.

a) ¿La correspondencia que habías elaborado de las gráficas y las funciones en 2.1

sigue siendo la misma?, ¿qué sucedió con cada función después de disminuir el

zoom?

b) Si continúas disminuyendo el zoom de la pantalla, establece nuevamente la

relación de las gráficas con su respectiva función.

𝑏(𝑥) = 𝑥

ℎ(𝑥) = 𝑥2

𝑔(𝑥) = 𝑥3

𝑓(𝑥) = √𝑥

Figura 2. Gráficas de funciones


TALLER 2.

FUNCIÓN LINEAL

Actividad 1.

1.1 Un automóvil transita por una carretera recta. El automóvil viaja con una velocidad

constante de 40 metros/segundo. Crea una tabla de valores donde encuentre la distancia

recorrida los cinco primeros segundos.

Definimos en esta situación a t como el tiempo y d como la distancia recorrida. Aquí

tomamos el tiempo 0 como el momento en que el automóvil arranca.

a) A partir de la información enunciada en el inciso anterior responde las siguientes

preguntas:

i. ¿Qué elementos varían? ¿Cómo varían?

ii. ¿Qué sucede con la distancia d a medida que varía el tiempo t?

t d

0 0

1

2

3

4

5


b) Con base en lo observado en la tabla, ¿puede predecir la distancia trascurrido 15

segundos? ¿19 segundos? ¿27 segundos?

c) Halla una expresión algebraica que exprese de manera general la distancia d del

automóvil en términos del tiempo t.

d) Utiliza la expresión algebraica del inciso anterior para encontrar la distancia del

automóvil trascurridos 34 segundos. El tiempo cuando el automóvil ha recorrido

350 metros.


e) Dibuja una gráfica que relacione la distancia y el tiempo. Ponle nombre al eje 𝑋 y al

eje 𝑌.

Actividad 2.

2.1 Un automóvil transita por una carretera recta. El automóvil viaja con una velocidad

constante de 40 metros/segundo. Crea una tabla de valores donde se relacione la

distancia recorrida en los cinco primeros segundos.

t d

0 15

1

2

3

4

5

En esta situación definimos a t como el tiempo y a d como la distancia recorrida. Además,

tomamos el tiempo 0 como el momento en que el automóvil se encuentra a 15 metros del

lugar de partida.


a) En base a lo observado en la tabla, Halla la distancia trascurrido a lo 12 segundos, a

17 segundos y a los 25 segundos.

b) Halla una expresión algebraica que enuncie de manera general la distancia d del

automóvil en términos del tiempo t.

c) Utiliza la expresión algebraica hallada en el inciso anterior para encontrar la

distancia del automóvil trascurridos a los 32 segundos. ¿Cuál es el tiempo

transcurrido cuando el automóvil ha recorrido 180 metros?


f) Dibuja una gráfica que relacione la distancia y el tiempo. Ponle nombre al eje 𝑋 y al

eje 𝑌.

Actividad 3

3.1 Abrir el archivo en Geogebra Automóvil.ggb y seguir las siguientes instrucciones:

a) Con la tabla de datos que conseguiste en la actividad 1, traza la gráfica que relacione la

distancia y el tiempo y compara con la gráfica que obtuviste en el inciso e) de la

actividad 1.

b) Encuentra la ecuación de esta recta y compárala con la expresión algebraica que

obtuviste en el inciso c) de la actividad 1.

c) ¿Qué sucede con la recta si modificas m? Justifica tus respuestas.


d) Si b =15, ¿Qué sucede con la recta?, ¿y con la ecuación? Compara tus respuestas con

las obtenidas en 5 y 6 de la actividad 2.

e) ¿Qué sucede con la recta si modificas b? Justifica tus respuestas.


TALLER 3.

ANÁLISIS DE DATOS

Actividad 1

1.1 La siguiente tabla muestra el consumo de gasolina en litros, de un vehículo Toyota

Corolla que recorre la ciudad de Bogotá en las horas pico.

Tabla 1: Rendimiento Toyota Corolla

Recorrido

(Km) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Consumo

(Lt) 0.14 0.21 0.31 0.46 0.55 0.64 0.78 0.83 0.99 1.10 1.20 1.33 1.43 1.52 1.67

Contesta las siguientes preguntas en tu hoja de trabajo. Justifica tu respuesta.

a. ¿Cuánto combustible se esperaría que consuma el vehículo si se dispone a recorrer

17 km en hora pico?

b. ¿Cuánto combustible se esperaría que consuma el vehículo si se dispone a recorrer

20 km en hora pico?

c. Realice un gráfico con la información suministrada en la tabla 1.


d. ¿Cuánto combustible se esperaría que consuma el vehículo si se dispone a recorrer x

km en hora pico?

1.2 Abre el archivo Datos Toyota Corolla.ggb y sigue las instrucciones del docente.

a. Construye la recta que representa a la función del literal d. del punto anterior.

b. Realiza el análisis de regresión de dos variables con la ayuda de GeoGebra.

c. Compara la recta construida y la función de ajuste producida por Geogebra. ¿Cuál

función permite hacer una mejor estimación para responder a la pregunta a. y b. del

punto anterior?

d. A partir de los resultados anteriores, responde nuevamente las preguntas a. y b.


e. Compara tus respuestas con las obtenidas inicialmente.

Actividad 2

2.1. La siguiente tabla muestra las distancias medias (promedio) 𝒅 de los planetas al Sol

(suponiendo que la unidad de medida es la distancia de la tierra al Sol) y sus periodos 𝑻

(tiempo de revolución en años).

Tabla 2: Planetas

Planetas d T

Mercurio 0.387 0.241

Venus 0.723 0.615

Tierra 1 1

Marte 1.523 1.881

Júpiter 5.203 11.861

Saturno 9.541 29.457

Urano 19.190 84.008

Neptuno 30.086 164.784

a) Usando Geogebra responde las siguientes preguntas

i. Abre el archivo Planetas_3.ggb

ii. Grafica los datos presentados en la hoja de cálculo correspondientes a la tabla

2.

iii. Explora con cada una de las opciones de regresión y escoge el modelo que

mejor se ajusta para representar la situación. Explica tu elección.


b) Responde las siguientes preguntas teniendo en cuenta la exploración realizada.

i. ¿Cuál sería el tiempo de revolución en años de Plutón si su distancia promedio

al sol es 40.337?

ii. La tercera ley de Kepler del movimiento planetario establece que: “El

cuadrado de revolución de un planeta es proporcional al cubo de su distancia

media respecto al Sol”

iii. ¿El modelo que formulaste se ajusta al enunciado de la tercera ley de Kepler?

Actividad Extra 3.

3.1 La tabla presenta los datos de la población mundial en el siglo XX e inicios del siglo

XXI.

Tabla 3: Población mundial del siglo XX e inicios del siglo XXI expresada en millones.

N° Dato Año Población

(Millones)

1 1900 1650

2 1910 1750

3 1920 1860

4 1930 2070

5 1940 2300

6 1950 2560

7 1960 3040

8 1970 3710

9 1980 4450

10 1990 5280

11 2000 6080

12 2010 7000


a) Abre el archivo Población del mundo_3.ggb. Usando GeoGebra responde las

siguientes preguntas

i. Representa gráficamente los datos presentados en la tabla 3 en la hoja de

cálculo.

ii. Explora con cada una de las opciones de regresión y escoge el modelo que

mejor se ajusta a los datos presentados. Explica tu elección.

b) Responde las siguientes preguntas teniendo en cuenta la exploración realizada.

i. ¿Qué relación existe entre las variables 𝑃 (𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛) y 𝑡 (𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜)?

ii. Según el modelo elegido ¿Cuál fue la población en el año 1925?

iii. ¿Cuál será la población en el año 2015?


iv. ¿Cuál será la población en el año 2050?


TALLER 4.

TRANSFORMACIONES DE FUNCIONES

Actividad 1.

1.1 Abre el archivo 1 Transformaciones_4.ggb, introduce la función 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) y

continua con las siguientes indicaciones

a) Da clic en la opción de representación gráfica de 𝒄𝟏 ∙ 𝒇(𝒙). Selecciona 𝑐1 ≥ 1,

¿Qué ocurre con la representación gráfica de la función cuando manipulas el

deslizador?

b) Desmarca la selección anterior (para obtener un solo deslizador y una sola

representación gráfica en la pantalla debe elegir una opción solamente), ahora

marca 0 < 𝒄𝟐 < 1. Describe que lo que observas al manipular el deslizador.

c) Elabora y escribe una conjetura de lo que le sucede a la representación de la función

𝑐 ∙ 𝑓(𝑥), cuando 𝑐 ∈ ℝ+ a partir de la gráfica de 𝑓(𝑥).


d) Deselecciona la opción del inciso a), y da clic en la opción de representación a

partir de 𝒇(𝒄𝟑 ∙ 𝒙).

i. Selecciona 𝑐3 ≥ 1, ¿Qué ocurre con la representación gráfica de la función cuando

manipulas el deslizador?

ii. Desmarca la selección anterior, ahora marca 0 < 𝒄𝟒 < 1 . Describe que lo que

observas al manipular el deslizador.

iii. Elabora y escribe una conjetura de lo que le sucede a la representación de la función

𝑓(𝑐 ∙ 𝑥), cuando 𝑐 ∈ ℝ+ a partir de la gráfica de 𝑓(𝑥).

1.2 Abre el archivo 2 Transformaciones_4.ggb, introduce la función 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) y

continua con las siguientes indicaciones

a) Da clic en la opción de representación gráfica de 𝒇(𝒙)+ 𝒄𝟏

i. Selecciona 𝑐1 > 0, ¿Qué ocurre con la representación gráfica de la función cuando



ii. Desmarca la selección anterior, ahora marca 𝒄𝟐 < 𝟎 Describe que lo que observas al

manipular el deslizador.


𝑓(𝑥) + 𝑐, cuando 𝑐 ∈ ℝ a partir de la gráfica de 𝑓(𝑥).

b) Deselecciona la opción del inciso a), y da clic en la opción de representación

gráfica de 𝒇(𝒙 + 𝒄𝟑).

i. Selecciona 𝒄𝟑 > 𝟎, ¿Qué ocurre con la representación gráfica de la función cuando


ii. Desmarca la selección anterior, ahora marca 𝒄𝟒 < 𝟎. Describe que lo que observas

al manipular el deslizador.



𝑓(𝑥 + 𝑐), cuando 𝑐 ∈ ℝ a partir de la gráfica de 𝑓(𝑥).

Actividad 2.

2.1 En el archivo 1 Transformaciones_4.ggb escribe la función 𝑓(𝑥) = sen (𝑥). Da clic en

la vista gráfica 2 y en entrada escribe (𝑝𝑖 2⁄ , 3) (aparecerá el punto en el plano cartesiano).

a) Aplica la(s) transformación(es) pertinente(s) para que la representación gráfica de la

función seno pase por el punto (𝑝𝑖 2⁄ , 3) . Explica las características de la(s)

transformación(es) que aplicaste.

b) Escribe la(s) expresión(es) algebraicas que representan la función con la respectiva

transformación.

c) Verifica que el punto pertenece a la gráfica de la función.


Actividad 3.

3.1 En el archivo 2 Transformaciones_4.ggb escribe la función 𝑓(𝑥) = sen (𝑥). Da clic en

la vista gráfica 2 y en entrada escribe (𝑝𝑖 2⁄ , 3) (aparecerá el punto en el plano cartesiano).


función seno de tal manera que pase por el punto (𝑝𝑖 2⁄ , 3) . Explica las

características de la(s) transformación(es) que aplicaste.


transformación.

c) Verifica que el punto pertenece a la gráfica de la función.

3.2 En el archivo 1 Transformaciones_4.ggb escribe la función 𝑓(𝑥) = 𝑥2. Da clic en la

vista gráfica 2 y en entrada escribe (3,4) (aparecerá el punto en el plano cartesiano).



función seno de tal manera que pase por el punto (3,4).


transformación.

c) Comprueba si con la(s) expresión(es) algebraica(s) del inciso anterior puedes

obtener el punto dado.

3.3 En el archivo 2 Transformaciones_4.ggb escribe la función 𝑓(𝑥) = 𝑥2. Da clic en la

vista gráfica 2 y en entrada escribe (3,4) (aparecerá el punto en el plano cartesiano).


función seno de tal manera que pase por el punto (3,4).



transformación.

c) Compruebe si con la(s) expresión(es) algebraica(s) del inciso anterior puedes

obtener el punto dado.


TALLER 5.

ANÁLISIS DE DATOS

Actividad 1

1.1 Abre el archivo Exponencial inversa_5.ggb. Allí encontrarás los deslizadores 𝑐 y 𝑘, y

también la gráfica, en color azul, de la función 𝑦 = 𝑐𝑒𝑘𝑥. Si mueves los deslizadores

verás cómo varia la representación gráfica de la función de acuerdo a los valores que

toman los deslizadores 𝑐 y 𝑘. Adicionalmente, encontrarás la casilla inversa. Al dar clic

sobre ella aparecerá la representación gráfica de la función inversa de 𝑦 = 𝑐𝑒𝑘𝑥

a) Responde a las siguientes preguntas en tu hoja de trabajo.

i. ¿Qué le sucede a la representación gráfica de la función cuando 𝑐 toma valores

positivos? ¿Por qué le sucede eso a la representación gráfica de la función?

ii. ¿Qué le sucede a la representación gráfica de la función cuando 𝑐 toma valores

negativos? ¿Por qué le sucede eso a la representación gráfica de la función?

iii. ¿Qué le sucede a la representación gráfica de la función cuando 𝑘 toma valores



iv. ¿Qué le sucede a la representación gráfica de la función cuando 𝑘 toma valores


b) Da clic en la casilla “Inversa” y aparecerá una curva en color rojo. Responde a las

siguientes preguntas en tu hoja de trabajo.

i. ¿Qué le sucede a la representación gráfica de la función roja cuando 𝑐 toma valores


ii. ¿Qué le sucede a la representación gráfica de la función roja cuando 𝑐 toma valores


iii. ¿Qué le sucede a la representación gráfica de la función roja cuando 𝑘 toma valores


iv. ¿Qué le sucede a la representación gráfica de la función roja cuando 𝑘 toma valores



v. Bosqueja las dos representaciones gráficas, para distintos valores de c y k, sobre el

mismo plano.

vi. ¿Identificas alguna particularidad entre cada par de gráficas? ¿Muestran alguna

relación geométrica las dos representaciones gráficas? Descríbela.


Actividad 2

Las sustancias radioactivas van perdiendo masa emitiendo radiación. Es decir, podemos

calcular 𝑀(𝑡) como la masa que queda a partir de una masa inicial 𝑀(0) en función del

tiempo transcurrido 𝑡. Teniendo en cuenta que, la relación de decaimiento se expresa en

términos de tiempo de vida media. Este es el tiempo que le toma a una sustancia reducir su

masa a la mitad.

Esto permitió verificar de manera experimental que la rapidez de decaimiento radioactivo

es constante. Es decir:

𝑑𝑀(𝑡)

𝑑𝑡= 𝑘𝑀(𝑡); 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑘 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑

Resolviendo la anterior ecuación diferencial obtenemos:

𝑀(𝑡) = 𝑀(0)𝑒𝑘𝑡

Esto significa que la masa de una sustancia radioactiva decae de manera exponencial.

Basados en este hallazgo los científicos pueden establecer la edad de objetos antiquísimos

usando el método de datación por radiocarbono. Este es la técnica más confiable para

establecer la edad de material orgánico con alrededor de 60000 años de edad.

Las plantas incorporan átomos de carbono C14 (carbono-14, cuyo periodo de vida media es

de 5730 años) mediante la fotosíntesis y los animales los incorporan por medio de la

ingesta del carbono de las plantas y la cadena alimenticia; los seres vivos dejan de

incorporar estos átomos en cuanto mueren. El método de datación consiste en medir la

decreciente concentración del isótopo C14que va transformándose en N14

(Nitrógeno) por

decaimiento radiactivo.

2.1 Se encontraron huesos fósiles de un animal. Se analizaron y se detectó que hueso

contenía una centésima parte de C14 radioactivo.

a) Teniendo en cuenta la información anterior contesta las siguientes preguntas en tu

hoja de trabajo. Justifica tu respuesta.

i. Si la masa inicial es 𝑀(0) = 𝑀0, ¿Cuál será la masa restante pasados 5730 años?

Exprésalo en términos algebraicos.


ii. ¿Cuál será la expresión algebraica correspondiente a la centésima parte de la masa

inicial?

2.2 Abre el archivo Decaimiento exponencial_5.ggb. Allí encontrarás un deslizador que

representa la masa inicial 𝑀0 , en miligramos, con valores entre 0 y 5000. También

encontrarás la siguiente tabla.

El valor que aparece en la celda B2 corresponde al valor del deslizador.

a) Teniendo en cuenta lo que respondiste en el literal i del punto 1.1 llena las casillas

A3 y B3.

b) Realiza el análisis de regresión de dos variables con la ayuda de GeoGebra. Escoge

un modelo de regresión que se ajuste a la situación planteada y cópialo en la vista

gráfica. Justifica tu elección.

c) Con el modelo construido determina el tiempo que tardará la masa en llegar a la

centésima parte de la masa inicial.


d) Desplaza el deslizador hasta 4000mg. Observa que sucede con la representación

gráfica del modelo construido. Describe lo que observaste.

e) Desplaza el deslizador hasta 2500mg. ¿Qué se mantiene constante en el modelo?

¿Por qué se mantiene constante? Justifica tu respuesta.


TALLER 6.

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

Actividad 1

1.1 Abre el archivo FunciónExp.ggb. En la vista gráfica se observa la representación de la

función:

𝑓(𝑥) =𝑒−2𝑥 − 1

𝑥

Además se ubica los puntos 𝑥1 , 𝑥2 (movibles) y su respectiva imagen 𝑓(𝑥1), 𝑓(𝑥2).

Estos valores aparecen en la Hoja de Cálculo.

a) Mueve el punto 𝑥1 de tal manera que 𝑥1 se acerque al punto 𝑥 = 0, observa en la

hoja de cálculo y responde: ¿Qué sucede con los valores de 𝑓(𝑥1) cuando 𝑥1 se

acerca por la derecha al punto 𝑥 = 0?

b) Mueve el punto 𝑥2 de tal manera que 𝑥2 se acerque al punto 𝑥 = 0, observa en la

hoja de cálculo y responde: ¿Qué sucede con los valores de 𝑓(𝑥2) cuando 𝑥2 se

acerca por la izquierda al punto 𝑥 = 0?

c) Con ayuda de la hoja de cálculo, tomando valores cada vez más cercanos a 0 por

derecha y por izquierda, completa las siguientes tablas.

𝑥1 → 0+ 𝑥2 → 0−

𝑥1 𝑓(𝑥1) 𝑥2 𝑓(𝑥2)

0.1 -0.1

0.01 -0.01

0.001 -0.001

0.0001 -0.0001

0.00001 -0.00001

0.000001 -0.000001

0.0000001 -0.0000001


d) ¿La función 𝑓 tiende al mismo valor si se toman valores cada vez más cercanos por

derecha y por izquierda a 𝑥 = 0? Justifica tu respuesta.

e) ¿En algún momento 𝑥1 o 𝑥2 puede tomar el valor de 0 en la función 𝑓? Argumenta

tu respuesta.

Actividad 2

2.1 Abre el archivo FunciónPart.ggb. En la vista gráfica se observa la representación de la

función:

𝑔(𝑥) = {𝑥2 − 2𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 < 2

𝑥2 − 6𝑥 + 8 𝑠𝑖 𝑥 > 2

f) Con ayuda de la calculadora o de la hoja de cálculo, tomando valores cada vez más

cercanos a 2 por derecha y por izquierda, completa las siguientes tablas.

𝑥 → 2+ 𝑥 → 2−

𝑥 𝑔(𝑥) 𝑥 𝑔(𝑥)


g) ¿La función 𝑓 tiende al mismo valor si se toman valores cada vez más cercanos por

derecha y por izquierda a 𝑥 = 2? Justifica tu respuesta.

Actividad 3

3.1 Responde las siguientes preguntas.

a) ¿Cómo escribirías la coordenada de un punto cualquiera del plano?

b) ¿Qué patrón siguen las siguientes coordenadas (−1,1); (0,0); (1,1); (2,4); (3,9)?

c) ¿Cómo escribirías, a manera de coordenada, lo encontrado en el literal anterior?

d) ¿A qué función pertenecen las coordenadas del literal b)?

3.2 Abre el archivo Pendientes.ggb. En el encontrarás, en color rojo, la función que has

encontrado anteriormente y sobre ella dos puntos. El punto fijo 𝑃 con coordenadas

(2,4) y el punto móvil 𝑄, el movimiento de 𝑄 depende de la posición del punto azul y

este se puede mover libremente sobre el eje x.

a) Según lo trabajado anteriormente (3.1 literal b)) ¿Cuáles serían los valores

correspondientes a las componentes de la coordenada del punto 𝑄?


b) Da clic en el cuadro de verificar respuesta, para comprobar si la coordenada que

obtuviste es correcta.

c) Geométricamente, dos puntos determinan una recta. Da clic en el cuadrado que

tiene por título “Recta PQ” Aparecerá entonces la recta que pasa por los puntos

𝑃 y 𝑄.

d) ¿Qué nombre recibe la recta PQ con respecto a las intersecciones con la función

dada?

e) Determine la pendiente de la recta PQ independientemente de la posición del punto

P.

f) Mueva el punto Q de tal manera que se aproxime al punto P. ¿Qué pasa con la recta

PQ?

g) ¿Qué pasa cuando los puntos P y Q tienen la misma coordenada?

h) Justifica analíticamente lo que hallaste en el literal g).

3.3 Cuando P y Q tienen las mismas coordenadas la recta pasa de ser una recta secante a ser

una recta toca a una curva en un punto. Esta se llama recta tangente. Ahora debemos

hallar la ecuación de la recta tangente a la función 𝑓(𝑥) = 𝑥2 en el punto P.


a) Da clic en la casilla recta tangente y aparecerá un conjunto de puntos que demarcan

la posición de la recta tangente a la curva 𝑓(𝑥) = 𝑥2 en el punto P

b) Calcula la pendiente de la recta tangente.

c) Con la pendiente que calculaste y la coordenada del punto P. Determina la ecuación

de la recta tangente en mención.

d) Escribe la ecuación de la recta tangente, que obtuviste en el literal anterior, en la

casilla de entrada llamada ecuación de la recta. Si no cumple con las condiciones

del literal a). no aparecerá nada, de lo contrario aparecerá la recta tangente en color

amarillo.

Actividad Extra

Abre el archivo FunciónExtra.ggb. En la vista gráfica se observa la representación de la

curva:

√𝑥2 + 4 − 2

𝑥2

Analiza que ocurre con la función cuando “x tiende a 0+ ” y cuando “x tiende a 0− ”,

basándote en lo realizado en la actividad 1. Realiza una justificación algebraica al respecto

y una conclusión.


TALLER 7.

ÁNALISIS DE FUNCIONES RACIONALES

Actividad 1

1.2 Abre el archivo FunciónH.ggb. En la vista gráfica se observa la representación de la

curva:

𝑥3 + 1

2𝑥3 − 5𝑥

Además se ubica un punto llamado x (movible) y su imagen F(x).

a) En las dos primeras filas de la hoja de cálculo se muestra la coordenada del punto x

y el valor de su imagen F(x). Mueve el punto x de tal manera que 𝑥 → ∞ , observa

en la hoja de cálculo y responde: ¿Qué sucede con el valor que toma F(x)?

b) Como la pantalla es tan limitada para tomar valores cada vez más grandes para x, en

la hoja de cálculo realiza lo siguiente:

i. En la columna donde aparece “x tiende a +∞” en la fila siguiente al valor de

100 escribe: “=10*A6” y desliza hacia abajo ubicándote en la parte inferior

derecha de la celda hasta la fila 8. Nota: Aparece una cruz para deslizar.

ii. En la columna donde aparece “F(x) en la fila al frente del valor 10, escribe:

“=f(A5)” y desliza hacia abajo ubicándote en la parte inferior derecha de la

celda.

c) ¿Qué concluyes de los valores que toma F(x) al tomar valores cada vez más grandes

para x?


d) ¿Hay algún valor de x para el cuál F(x) es igual a 0,5? Si contestas de manera

afirmativa o negativa justifica tu respuesta.

e) Escribe una justificación algebraica teniendo en cuenta lo que respondiste en c) y d).

f) Realiza el mismo procedimiento descrito en b) pero para cuando “x tiende a -∞” y

escribe una justificación algebraica de los que observas.

g) ¿Cuál es el nombre que recibe la recta 𝑦 = 0,5 respecto a la curva 𝑥3+1

2𝑥3−5𝑥? ¿Por qué recibe tal nombre?


Actividad 2

2.1 Abre el archivo FunciónExtra.ggb. En la vista gráfica se observa la representación de

la curva:

𝑥2

(𝑥 − 2)2

Analiza que ocurre con la función cuando “x tiende a +∞” y cuando “x tiende a −∞”,

basándote en lo realizado en la actividad 1. Realiza una justificación algebraica al

respecto y una conclusión.

Actividad 3

3.1 Abre el archivo FunciónV.ggb. En la vista gráfica se observa la representación de la

curva:

𝑥3 + 1

2𝑥3 − 5𝑥

En el eje 𝑋 están ubicados los puntos 𝐴, 𝐵 y 𝐶 (fijos) y los puntos 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4, 𝑥5 y 𝑥6

(movibles).

a) Ubica el cursor en el punto 𝑥1 y manteniendo la tecla shift oprimida con la tecla de

la flecha hacia la izquierda vamos a mover el punto 𝑥1 hacia el punto 𝐴 (𝑥1+ → 𝐴).

Observa en la hoja de cálculo los valores de 𝐹(𝑥1) y responde.

i. ¿Qué valores obtiene 𝐹(𝑥1) al mover 𝑥1 hacia el punto 𝐴 por la derecha?


ii. Ubica el cursor en el punto 𝑥2 y manteniendo la tecla shift oprimida con la

tecla de la flecha hacia la derecha vamos a mover el punto 𝑥2 hacia el punto

𝐴 (𝑥1− → 𝐴). Observa en la hoja de cálculo los valores de 𝐹(𝑥2)

b) ¿Qué valores obtiene 𝐹(𝑥2) al mover 𝑥2 hacia el punto 𝐴 por la izquierda?

c) ¿En el algún momento 𝑥1 o 𝑥2 es igual a 𝐴? ¿por qué?

d) ¿Cuál es el valor de 𝐴? Justifica algebraicamente tu respuesta.

e) ¿Qué valores obtiene 𝐹(𝑥3) al mover 𝑥3 hacia el punto 𝐵 por la derecha? ¿Cuáles

son los valores que obtiene 𝐹(𝑥4) al mover 𝑥4 hacia el punto 𝐵 por la izquierda?


f) ¿En el algún momento 𝑥3 o 𝑥4 es igual a 𝐵? ¿por qué? ¿Cuál es el valor de 𝐵?

Justifica algebraicamente tu respuesta.

g) ¿Qué valores obtiene 𝐹(𝑥5) al mover 𝑥5 hacia el punto 𝐶 por la derecha? ¿Cuáles

son los valores que obtiene 𝐹(𝑥6) al mover 𝑥6 hacia el punto 𝐶 por la izquierda?

h) ¿En el algún momento 𝑥5 o 𝑥6 es igual a 𝐶? ¿por qué? ¿Cuál es el valor de 𝐶?

Justifica algebraicamente tu respuesta.

i) ¿Cuál es el nombre que reciben las rectas que pasan por 𝐴, 𝐵 y 𝐶 respecto a la curva 𝑥3+1

2𝑥3−5𝑥? ¿Por qué reciben tal nombre?


Actividad 4

4.1 En un archivo en blanco de Geogebra en la parte inferior en entrada escribe las siguientes

funciones y analiza el dominio de las funciones y que ocurre cuando 𝑥 → ±∞ . Escribe tu

análisis y conclusiones.

Función Entrada Análisis Conclusión

1

𝑥 𝑓(𝑥) = (1/𝑥)

2𝑡

𝑡2 + 4 𝑔(𝑡) = (2 ∗ 𝑡)/((𝑡^2) + 4)


TALLER 8.

FUNCIONES POR PARTES

Actividad 1

1.1 Abre el archivo en Geogebra F_Parte01.ggb que muestra la función 𝐹(𝑥) y realiza lo

siguiente:

a) Mueve el punto 𝑥1 de tal manera que 𝑥1 se acerque al punto E, observa en la hoja de

cálculo y responde: ¿Qué sucede con los valores de 𝐹(𝑥1) cuando 𝑥1 se acerca por

la derecha al punto 𝐸?

b) Mueve el punto 𝑥2 de tal manera que 𝑥2 se acerque al punto E, observa en la hoja de


la izquierda al punto 𝐸?

c) ¿Cuál es el lim𝑥1

+→𝐸𝐹(𝑥)? Justifica tu respuesta.

d) ¿Cuál es el lim𝑥2

−→𝐸𝐹(𝑥)? Justifica tu respuesta.


e) ¿Existe el lim𝑥→𝐸

𝐹(𝑥)? Justifica tu respuesta.

f) ¿Qué sucede con el valor de 𝐹(𝑥1) cuando 𝑥1 es igual al punto E? ¿Qué sucede con

el valor de 𝐹(𝑥2) cuando 𝑥2 es igual al punto E? Justifica tu respuesta.

g) Mueve el punto 𝑥2 de tal manera que 𝑥2 se acerque al punto F, observa en la hoja de


la derecha al punto 𝐺?

h) Mueve el punto 𝑥3 de tal manera que 𝑥3 se acerque al punto G, observa en la hoja

de cálculo y responde: ¿Qué sucede con los valores de 𝐹(𝑥3) cuando 𝑥3 se acerca

por la izquierda al punto 𝐺?

i) ¿Cuál es el lim𝑥2

+→𝐺𝐹(𝑥)? Justifica tu respuesta.


j) ¿Cuál es el lim𝑥3

−→𝐺𝐹(𝑥)? Justifica tu respuesta.

k) ¿Existe el lim𝑥→𝐺

𝐹(𝑥)? Justifica tu respuesta.

l) ¿Qué sucede con el valor de 𝐹(𝑥2) cuando 𝑥2 es igual al punto G? ¿Qué sucede con

el valor de 𝐹(𝑥3) cuando 𝑥3 es igual al punto G? Justifica tu respuesta.

m) ¿Es la función 𝐹(𝑥) continua en el punto E y en el punto G? Argumenta tu

respuesta basándote en lo desarrollado en los incisos anteriores.


Actividad 2

2.2 Abre el archivo en geogebra F_Parte02.ggb que muestra la función a trozos

𝑔(𝑥) {𝑎𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥 < 2

𝑎2 − 𝑥2 + 𝑥 𝑠𝑖 2 ≤ 𝑥

Con ayuda del deslizador determina el valor de “a” para que la función 𝑔(𝑥) sea continua

en todos los números reales y responde:

a) ¿Hay un solo valor de “a” para el cual la función 𝑔(𝑥) es continua o hay más de un

valor? Argumente por que la función es continua en el valor o los valores de “a” que

determinaste.

b) Analiza algebraicamente el lim𝑥→2

𝑔(𝑥) y 𝑔(2).


c) Realiza un argumento algebraico para que la función 𝑔(𝑥) sea continua en todos los

números reales.

Actividad 3

3.1 Dada la siguiente función

𝑓(𝑥) {𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 𝑎2𝑥 𝑠𝑖 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏

𝑥 + 2 𝑠𝑖 𝑥 > 𝑏

a) Analiza algebraicamente los siguientes límites: lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) y lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥).


b) ¿Para qué valores de “𝒂” el lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) = lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥)?

c) Analiza algebraicamente los siguientes límites: lim𝑥→𝑏+

𝑓(𝑥) y lim𝑥→𝑏−

𝑓(𝑥).

d) ¿Para qué valores de “𝒃” el lim𝑥→𝑏+

𝑓(𝑥) = lim𝑥→𝑏−

𝑓(𝑥)?

e) ¿Qué condiciones se deben cumplir para que la función 𝑓(𝑥) sea continua en “𝒂” y

“𝒃”?


f) ¿Para qué valores de “𝒂” y “𝒃” la función “𝑓(𝑥) es continua?

3.2.1 Abre el archivo en geogebra F_Parte03.ggb que muestra la función a trozos

𝑓(𝑥) {𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 𝑎2𝑥 𝑠𝑖 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏

𝑥 + 2 𝑠𝑖 𝑥 > 𝑏

Con ayuda del deslizador comprueba los valores de “𝒂” y “𝒃” para que la función 𝑓(𝑥) sea

continua. Investiga sobre las posibles discontinuidades que se producirían dependiendo de

los valores de a y de b.

Actividad 4

4.1 Abre el archivo en geogebra F_Tg.ggb que muestra la función

ℎ(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 (1

𝑥)

a) Mueve el punto A hacia el punto amarillo C. Observa en la vista algebraica que

ocurre con los valores del punto B. Realiza una descripción de lo que observas.

b) Investiga si la función es continua o discontinua. Si es discontinua analiza es que

valor o valores lo es. Realiza una justificación algebraica.


TALLER 9

LA DERIVADA COMO RAZÓN DE CAMBIO

Actividad 1

1.1 ¿Qué significa que la velocidad instantánea se defina como el ritmo o tasa de cambio de

la posición por unidad de tiempo?

1.2 ¿Por qué 𝑑

𝑑𝑥𝑥2 = 2𝑥?

Actividad 2

Una piscina de 10 metros de largo, 4 metros de ancho, 6 metros de profundidad en un

extremo y 2 metros en el otro; se está llenando de agua como se observa en la siguiente

gráfica.

Gráfica 1: Piscina

Abre el archivo Piscina1.ggb y responde las siguientes preguntas.

2.1 Anima el tiempo t hasta un valor de 20, empezando en 0 y describe lo que observas

(supongamos que cada unidad de tiempo está en minutos).


2.2 ¿Cuáles son las magnitudes variables en el problema? ¿Estas magnitudes siempre

varían hasta llenarse la piscina?

2.3 Realiza una tabla determinando el valor de la altura, el largo y el volumen cuando el

tiempo (t) es igual a: 1min., 5min., 9min., 12min., 15min.

Tiempo Altura Largo Volumen

2.4 Abre la hoja de cálculo y registra los datos del tiempo, altura, largo y volumen en las

columnas A, B, C y D respectivamente para 10 t < 18.

2.5 ¿Qué relación existe entre la profundidad (altura) y el largo de la piscina? ¿Esta

relación se mantiene durante todo el tiempo en que dura llenándose la piscina?

2.6 ¿Cuál es el valor de la altura, largo y volumen cuando t = 2.5, 7, 10, 15, 20 minutos?


2.7 ¿Qué sucede con el largo y el volumen cuando t 10?, ¿Cómo interpretas este

hecho?

2.8 Expresa algebraicamente el largo en función de la altura antes de 10 minutos.

2.9 Expresa el volumen (v) en función de la altura (a) para 0 ≤ 𝑎 ≤ 6.

2.10 Expresa el volumen (v) en función de la altura (a) para 6 < 𝑎 ≤ 9.

2.11 Expresa el volumen (v) en función de la altura (a) para 0 ≤ 𝑎 ≤ 9


TALLER 10

LA DERIVADA COMO RAZÓN DE CAMBIO

Actividad 1

Una piscina de 10 metros de largo, 4 metros de ancho, 6 metros de profundidad en un

extremo y 2 metros en el otro; se está llenando de agua como se observa en la siguiente

gráfica.

Gráfica 2: Piscina

Abre el archivo Piscina1.ggb y responde las siguientes preguntas.

1. Analiza la variación del volumen con respecto al tiempo y describe lo que observas.

1.1 Realiza los siguientes cálculos para los intervalos de tiempo dados:

Intervalo de tiempo 𝜟𝑽 𝜟𝑽

𝜟𝒕

(4.95 , 5)

(4.96 , 5)

(4.97 , 5)

(4.98 , 5)

(4.99 , 5)

(5 , 5.01)

(5 , 5.02)

(5 , 5.03)

(5 , 5.04)

(5, 5.05)


1.2 ¿Aproximadamente cuál es la razón de cambio del volumen con respecto al tiempo

alrededor de 5 minutos?

1.3 Realiza los siguientes cálculos para los intervalos de tiempo dados:

Intervalo de tiempo Δ𝑉 Δ𝑉

Δt

(9.995 , 10)

(9.996 , 10)

(9.997 , 10)

(9.998 , 10)

(9.999 , 10)

(10 , 10.001)

(10 , 10.002)

(10 , 10.003)

(10 , 10.004)

(10 , 10.005)

1.4 ¿Aproximadamente cuál es la razón de cambio del volumen con respecto al tiempo

alrededor de 10 minutos?

1.5 Registra en tu hoja de cálculo los datos del punto V (tiempo, volumen) de la vista

algebraica.

1.5.1 Anima con la flecha derecha del teclado el deslizador t (tiempo), hasta 5.01 (Δ𝑡 =

0.001)

1.6 Halla la razón de cambio entre el volumen y el tiempo Δa

Δ𝑡=

𝑎2−𝑎1

𝑡2−𝑡1

, para Δt =

0.001 de la siguiente manera:


1.6.1 En la columna C, ubícate en la celda C2 y escribe =(B3-B2)/0.001. Arrastra la

fórmula hasta t=5.01. ¿Qué significan los valores encontrado en la columna C? ¿El

valor obtenido es igual al obtenido en 1.3?

1.6.2 ¿Cuál es la razón de cambio del volumen con respecto al tiempo alrededor de t = 5?

¿Es igual para cualquier otro tiempo t? ¿Qué pasa cuando Δ𝑡 se hace más pequeño?

Explica tus respuestas.


TALLER 11.

RELACIONES AFINES

Actividad 1

1.1 Se vierte agua en un recipiente de forma cónica. El recipiente en forma de cono de base

horizontal tiene el vértice dirigido hacia abajo; el radio de la base del cono es 𝑎, su altura 𝑏.

+

a) ¿Qué características tiene la figura geométrica presentada? ¿Cómo está dado el

volumen la figura?

b) ¿Qué elementos varían a medida que va llenándose el recipiente con agua?


c) ¿Qué valores podrían tomar los elementos en observación? ¿Por qué?

d) Encuentra una expresión algebraica que represente el volumen del agua vaciada en

el cono.

e) Halla el volumen del agua vaciada en el cono de radio 𝑎 = 4 𝑚, altura 𝑏 = 3 𝑚 y

altura del agua ℎ = 1,5𝑚.

f) ¿En qué unidad de medida está dado el volumen que encontraste en el inciso f?


Actividad 2

2.1 Abre el archivo de Geogebra Cono.ggb y anima el deslizador h. Explora el archivo y

verifica las respuestas dadas en el inciso b) de la Actividad 1.

2.2 Utilizando la hoja de cálculo, halla el volumen del agua vaciada en el cono de radio 𝑎 =4 𝑚 , altura 𝑏 = 3 𝑚 y altura del agua ℎ = 1,5 𝑚 propuesto en el inciso f) de la

Actividad 1. Compara los resultados.

2.3 Situación problema. Cierta cantidad de agua fluye a una tasa de 2 𝑚3/𝑚𝑖𝑛 hacia el

interior del cono de 16 𝑚 de altura y 4 𝑚 de radio. ¿Qué tan rápido sube el nivel del

agua cuando ésta ha alcanzado 5 𝑚 de profundidad?

a) Define cuales son las variables implicadas en la situación.

b) ¿Cómo de notarías el hecho que el agua fluye dentro del tanque a una tasa de

2 𝑚3/𝑚𝑖𝑛? Explica tu notación.

c) ¿Cómo de notarías la rapidez a la cual el nivel del agua sube cuando el agua tiene 5

metros de profundidad? Explica tu notación.


d) ¿Cómo está dado el volumen del agua en el tanque en cualquier tiempo? Expresa

este volumen en función de la profundidad del agua. Recuerda lo realizado en los

incisos d) y e) de la Actividad 1.

e) Explica cómo puedes determinar la rapidez a la cual el nivel del agua sube cuando

el agua tiene 5 𝑚 de profundidad utilizando lo realizado en el inciso d) de esta

Actividad.

f) Expresa la rapidez a la cual el nivel del agua sube cuando el agua tiene 5 𝑚 de

profundidad en 𝑐𝑚/𝑚𝑖𝑛. Realiza una conclusión de la solución al problema.


Actividad 3. Extra

Un canal de agua con extremos verticales en forma de trapezoides isósceles tiene las

dimensiones mostradas en la figura. Si se bombea agua a razón constantes de 1

2 𝑚3/𝑠,

¿Cuál es la rapidez con la que sube el nivel del agua cuando la profundidad del agua es de 1

4 𝑚?


TALLER 12.

CAJA SIN TAPA

Actividad 1

Se quiere construir una caja sin tapa a partir de una hoja rectangular de tamaño 60 cm por

40 cm, cortando cuadrados de igual tamaño en las cuatro esquinas.

1.1 Construcción de una caja sin tapa.

a) Toma una hoja de 6 dm de largo por 4 dm de ancho.

b) Dobla cuadrados en cada una de las esquinas, construye la caja.

c) Toma la medida del largo, ancho y altura de la caja construida.

Largo Ancho Alto

d) ¿Cuál es su volumen?

e) Compara tu caja con los demás compañeros y escribe en la tabla:

Largo Ancho Alto Volumen


f) De las anteriores cajas ¿Cuál es la caja de mayor volumen? ¿Por qué?

g) ¿Cuáles deben ser las dimensiones de la caja si se desea obtener el mayor volumen?

1.2 Análisis

a) ¿Qué elementos varían en la situación planteada?

b) ¿Qué valores pueden tomar la medida del cuadrado a doblar? ¿Por qué?


c) ¿Qué sucede con el largo y el ancho, cuando cambia la longitud del cuadrado? Explica.

d) Expresa de manera algebraica el volumen de la caja en función del lado del cuadrado.

e) Halla el volumen de la caja si el lado del cuadrado recortado mide 2 𝑑𝑚.

f) Discute con tus compañeros y el profesor las soluciones de los anteriores problemas y

escribe una conclusión al respecto.


TALLER 13.

CAJA SIN TAPA. PARTE II

Actividad 1

1.1 Abrir el archivo en Geogebra Caja sin tapa.ggb y anima el punto P. Explora el archivo

y verifica las respuestas dadas los incisos 2 y 3 de la Actividad 1.1.

a) ¿Qué representa el punto P en el problema?

a) ¿Cuáles son las medidas de la caja si la altura es de 5 cm? ¿cuál es su volumen?

b) Usando la expresión algebraica del volumen de la caja, realiza la gráfica en

Geogebra escribiendo en entrada: 𝑥 ∗ (4 − 2𝑥) ∗ (6 − 2𝑥) y responde.

i. De acuerdo a la gráfica, ¿Cuándo el volumen es cero? ¿Cuándo el volumen es

20 𝑐𝑚3? ¿Cuándo el volumen es 90 𝑐𝑚3?

ii. ¿Cuál es el volumen máximo? Justifica tu respuesta.


iii. Halla la medida del lado a recortar para que el volumen sea máximo.

c) Habilita la vista algebraica y da clic al lado izquierdo del punto “X”. Seguido elige

en el cuarto icono de las herramientas de Geogebra la opción “lugar Geométrico”

señale el punto “X” de la vista gráfica y luego el punto P.

i. ¿Qué representa la coordenada del punto “X”? ¿Qué representa la gráfica?

Actividad 2

1.2 Abre el archivo de Geogebra “Cúbica” y mueve el deslizador.

a) ¿Qué ocurre en la gráfica si 𝑎 = 0? ¿Si 𝑎 > 0? ¿Si 𝑎 < 0?

b) ¿Qué ocurre en la gráfica si 𝑏 = 0? ¿Si 𝑏 > 0? ¿Si 𝑏 < 0?


c) ¿Qué ocurre en la gráfica si 𝑐 = 0? ¿Si 𝑐 > 0? ¿Si 𝑐 < 0?

d) ¿Qué ocurre en la gráfica si 𝑑 = 0? ¿Si 𝑑 > 0? ¿Si 𝑑 < 0?

e) ¿Cuáles son las formas gráficas de la función 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 ?

Dibújalas y explica el procedimiento realizado para la obtención de tu respuesta.

Caso 1.

𝑏 = 𝑐 = 𝑑 = 0

𝑎 > 0 𝑎 < 0


Caso 2.

𝑏 = 𝑐 = 0

𝑎 > 0 𝑎 < 0

𝑑 > 0 𝑑 < 0

Caso 3.

𝑎 > 0 y 𝑏 > 0 𝑎 > 0 y 𝑏 < 0


𝑎 < 0 y 𝑏 > 0 𝑎 < 0 y a𝑏 < 0

Caso 4.

𝑏 = 𝑑 = 0

𝑎 > 0 y 𝑐 > 0 o 𝑎 < 0 y 𝑐 < 0 𝑎 > 0 y 𝑐 < 0 o 𝑎 < 0 y 𝑐 > 0

Caso 5. CASO GENERAL

𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑


Actividad 3

3.1 Se producirá una caja, abierta por la parte superior, de una pieza rectangular de cartón

que mide 30 𝑝𝑢𝑙𝑔 de largo por 20 𝑝𝑢𝑙𝑔 de ancho. La caja puede cerrarse al cortar un

cuadrado en cada esquina, al cortar sobre las líneas sólidas interiores y doblar luego el

cartón por las líneas discontinuas. Exprese el volumen de la caja como una función de la

variable indicada x. Encuentre las dimensiones de la caja con que se obtiene el volumen

máximo. ¿Cuál es el volumen máximo?

TALLER 1. NÚMEROS Y OPERACIONES 1.1 a, b, c, d, e, f, g h ...

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