LEYES DE LOS EXPONENTES Y RADICALES

Sean x e y variables independientes, mientras que m y n son números enteros positivos, entonces:

0 1x = ( )n n nxy x y= 1 1x

x− = ( )mn m nx x ⋅=

1nnx

x− = m n m nx x x +⋅ =

n n

n

x xy y

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠

mm n

n

x xx

−=

1/ nn x x= nn nx y x y⋅ = ⋅ /n m m nx x= ( )m n m mnn x y x y⋅ = ⋅

1/1 nn

xx

−= n

nn

x xy y=

/1 m n

n mx

x−=

m n mn

mn

x xy y

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

Sean n , x e y variables independientes y a la base del logaritmo, entonces:

lnloglna

xxa

=

log ( ) log loga a axy x y= +

log log loga a ax x yy

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠

log logna ax n x=

1log loga a xx

⎛ ⎞ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

Elaboraron: I. Q. Susana Alicia Flores Almazán M. en C. Gerardo Omar Hernández Segura

REGLAS BÁSICAS DE ÁLGEBRA

Desarrollo de las expresiones algebraicas más comunes:

( )1a c a cc c a ab b b b

⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ) ( ) ( )c a b c a b c b a⋅ = ⋅ = ⋅ ( )c a b c a c b+ = ⋅ + ⋅

( )( )a b c d a c a d b c b d+ + = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ 2 2( ) ( )( )a b a b a b− = + − 3 3 2 2( ) ( )( )a b a b a ab b− = − + +

2 2 2( ) 2a b a ab b+ = + + 2 2 2( ) 2a b a ab b− = − + 3 3 2 2 3( ) 3 3a b a a b ab b+ = + + + 3 3 2 2 3( ) 3 3 3a b a a b ab b− = − + −

Solución para una ecuación cuadrática de segundo grado: Sea la ecuación de la forma 2 0ax bx c+ + = , donde a , b y c son coeficientes reales. Las soluciones para este tipo de ecuaciones es:

2 42

b b acxa

− ± −=

Si 2 4 0b ac− > , entonces las dos las raíces serán reales Si 2 4 0b ac− = , entonces las dos raíces tendrán multiplicidad de dos y serán reales Si 2 4 0b ac− < , entonces las dos raíces serán complejas conjugadas

Elaboraron: I. Q. Susana Alicia Flores Almazán M. en C. Gerardo Omar Hernández Segura

FÓRMULAS BÁSICAS DE DIFENCIACIÓN DE FUNCIONES DE UNA VARIBLE INDEPENDIENTE

Sean u , v y w funciones que dependen la variable independiente x , y c .una constante. Entonces:

( ) 0d c = ( )d u du= ( )d c u c du⋅ = ⋅ ( )d u du− = − ( )d u v w du dv dw+ − = + − ( )d uv vdu udv= +

2

u vdu udvdv v

−⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES DE DOS VARIBLES INDEPENDIENTES

Sea f una función que depende de las variables independientes x e y , es decir ( , )f f x y= . Entonces, al diferenciar f se obtiene que:

y x

f fdf dx dyx y

⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ la cual representa una ecuación diferencial.

TEOREMA DE EULER: CONDICIÓN PARA QUE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL SEA EXACTA

Si la función ( , )f f x y= es continua y diferenciable, entonces:

y x

f fdf dx dyx y

⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ hacemos:

y

fMx∂⎛ ⎞= ⎜ ⎟∂⎝ ⎠

y x

fNy

⎛ ⎞∂= ⎜ ⎟∂⎝ ⎠

entonces

df Mdx Ndy= +

La ecuación diferencial será exacta cuando se cumple que: yx

M Ny x

⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠

o bien y x yx

f fy x x y

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ que es equivalente a

2 2f fy x x y

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂=⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Elaboraron: I. Q. Susana Alicia Flores Almazán M. en C. Gerardo Omar Hernández Segura

FÓRMULAS DE DERIVACIÓN BÁSICAS

Sean u , v y w funciones que dependen de x (variable independiente), n un número racional, y c una constante, entonces:

0d cdx

=

1d xdx

=

[ ]d dc x c x cdx dx

⋅ = =

[ ]d dc u c udx dx

⋅ =

[ ]d du udx dx

− = −

1n nd x n xdx

−= ⋅

1n nd du n u udx dx

−= ⋅ ⋅

[ ]d d d du v w u v wdx dx dx dx

+ − = + −

[ ]d d du v u v v udx dx dx

⋅ = +

2

d dv u u vd u dx dxdx v v

−⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦

Regla de la cadena:

Si ( )u f v= , y ( )v f x= , entonces: d d du u vdx dv dx

= ⋅

Por ejemplo: si 2(2 1)u x= − esto quiere decir que 2( )u v v= y que ( ) 2 1v x x= − . Entonces:

( )22 1d du xdx dx

= − ; por consiguiente,

2 2d v vdu

= y (2 1) 2d dv xdx dx

= − = ; y al final

2(2 1)(2) 4(2 1) 8 4d u x x xdx

= − = − = −

Elaboraron: I. Q. Susana Alicia Flores Almazán M. en C. Gerardo Omar Hernández Segura

FÓRMULAS DE INTEGRACIÓN BÁSICAS

Sea ( )F x la función antiderivada o primitiva de ( )f x , esto es: ( ) ( )f x dx F x c= +∫

Integrales indefinidas: Sean f , u , v y w funciones que dependen de x (variable independiente), n un número racional, k es una constante y c la constante de integración, entonces:

dx x c= +∫

k dx k dx kx c⋅ = = +∫ ∫ 1

1

nn xx dx c

n

+

= ++∫ ; cuando 1n ≠ −

1 lndx x dx x cx

−= = +∫ ∫ ; cuando 0x >

[ ]( ) ( )f x dx f x dx− = −∫ ∫

( ) ( )k f x dx k f x dx⋅ =∫ ∫

[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )u x v x w x dx u x dx v x dx w x dx+ − = + −∫ ∫ ∫ ∫ Integrales definidas: Sea ( )F x la función antiderivada o primitiva de ( )f x , a , b y c números reales, entonces:

( ) ( ) ( ) ( )bb

a af x dx F x F b F a= = −∫

( ) ( )b a

a bf x dx f x dx= −∫ ∫

( ) ( ) ( )b c c

a b af x dx f x dx f x dx+ =∫ ∫ ∫

Elaboraron: I. Q. Susana Alicia Flores Almazán M. en C. Gerardo Omar Hernández Segura