5

Tabla de contenido Página

Ecuaciones diferenciales 3

Teoría preliminar 3

Clasificación de las ecuaciones diferenciales 4

Por tipo 4

Por orden 5

Por linealidad 6

Solución de una ecuación diferencial 7

Definición 7

Problema del valor inicial 10

Teorema 11

Separación de variables 12

Ecuaciones homogéneas 20

Solución de ecuaciones diferenciales homogéneas 23

Método de solución de una ecuación

diferencial homogénea 24

Resumen 30

Bibliografía recomendada 30

Párrafo nexo 30

Autoevaluación formativa 31

5

2

Copyright©1999 FUNDACION UNIVERSITARIA SAN MARTIN

Facultad de Ingeniería de Sistemas.

Sistema de Educación Abierta y a Distancia.

Santa Fe de Bogotá, D.C.

Prohibida la reproducción total o parcial sin autorización por

escrito del Presidente de la Fundación.

La redacción de este fascículo estuvo a cargo de

JAIME PRECIADO LOPEZ

Sede Santa Fe de Bogotá, D.C.

Diseño instruccional y orientación a cargo de

MARIANA BAQUERO DE PARRA

Diseño gráfico y diagramación a cargo de

SANTIAGO BECERRA SAENZ

ORLANDO DIAZ CARDENAS

Impreso en: GRAFICAS SAN MARTIN

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Santa Fe de Bogotá, D.C.

5

3

Ecuaciones diferenciales En éste fascículo y en los restantes del curso, dejaremos de lado las

aplicaciones de las funciones de dos o más variables y comenzaremos

el estudio de las ecuaciones diferenciales, un área de las matemáticas

de mucha aplicación a nivel industrial y científico.

Para comenzar, daremos algunas definiciones importantes que nos per-

mitirán el estudio de diferentes tipos y métodos de resolución y aplica-

ción de estas ecuaciones.

Al terminar el estudio del presente fascículo, el estudiante:

Reconoce y distingue una ecuación diferencial.

Clasifica ecuaciones diferenciales de acuerdo con su tipo, orden y

linealidad.

Reconoce la diferencia entre una solución particular y una solución ge-

neral de una ecuación diferencial.

Identifica ecuaciones diferenciales de variables separables y homogé-

neas.

Emplea correctamente el método de solución de variables separables.

Resuelve ecuaciones diferenciales homogéneas de forma correcta.

Teoría preliminar

Una ecuación diferencial es aquella ecuación que contiene algunas de

las derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una

o más variables independientes.

Son ejemplos de ecuaciones diferenciales:

5

4

)()(

tan

'

'''

'

'

xfxxf

xyy

y

v

x

u

ydx

dyx

dx

yd

xy

xy

5

5

025

0

2

2

2

Podemos observar que estos ejemplos satisfacen la definición de ecua-

ción diferencial, ya que son ecuaciones que contienen derivadas de di-

ferente orden y tipo (derivadas ordinarias y parciales); en ellos hemos

utilizado las distintas notaciones de derivada. De manera más informal y

reconociendo estos ejemplos podemos afirmar que una ecuación que

contenga derivadas corresponde a una ecuación diferencial.

Clasificación de las ecuaciones diferenciales

Las ecuaciones diferenciales se pueden clasificar según su tipo, orden y

linealidad.

Por tipo

Como pudimos ver en los ejemplos anteriores, una ecuación diferencial

puede contener derivadas ordinarias o derivadas parciales. Una ecua-

ción diferencial que contiene derivadas ordinarias se conoce como

ecuación diferencial ordinaria y una ecuación que contiene derivadas

parciales se conoce como ecuación diferencial parcial.

Son ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias:

5

5

yy

xdx

yd

yyy

senxydx

dy

'

'''''

cos 02

2

Son ejemplos de ecuaciones diferenciales parciales:

t

z

y

z

x

z

ux

u

x

u

y

vy

x

ux

y

v

x

u

2

0

2

2

2

2

Por orden

La derivada de mayor orden que aparezca en una ecuación diferencial

determina el orden de la ecuación; así, por ejemplo:

xyy tan''' 2

es una ecuación diferencial ordinaria de tercer orden.

03 2

3

x

dx

dy

es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden y,

53

3

4

5

t

u

x

u

es una ecuación diferencial parcial de quinto orden.

5

6

La ecuaciones diferenciales parciales son muy importantes y

útiles; sin embargo, su manejo requiere del conocimiento pro-

fundo de las ecuaciones diferenciales ordinarias, por esta ra-

zón limitamos nuestro estudio a estas últimas. Si después de

este curso deseas profundizar, puedes consultar textos espe-

cíficos de ecuaciones diferenciales parciales.

Por linealidad

Una ecuación diferencial es lineal si satisface las dos condiciones si-

guientes:

i) La potencia de todos los términos de la variable depen-

diente (generalmente llamada y ), es uno.

ii) Los coeficientes que aparezcan en la ecuación depen-

den solamente de la variable independiente (general-

mente llamada x )

En símbolos una ecuación diferencial lineal tiene la forma:

)()()()()( xhdx

ydxa

dx

ydxa

dx

dyxayxa

n

n

nn

n

n

1

1

110

donde )(xa i es función de x

Si una ecuación diferencial no es lineal, se dice no lineal. Son ejemplos

de ecuaciones diferenciales lineales:

02 yy''

(1)

xxydx

dy

dx

ydx 65

3

32

(2)

xesenxxy 35 ''

(3)

5

7

xxsendx

dy 225 cos (4)

Podemos clasificar estos ejemplos como: las ecuaciones (1) y

(3) son ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de segundo

orden, la ecuación (2) es una ecuación diferencial ordinaria lineal

de tercer orden y (4) es una ecuación diferencial ordinaria lineal

de orden uno.

8.1

Las ecuaciones que siguen a continuación son ecuaciones diferen-

ciales no ordinarias, identifica el por qué.

1. senxyyy ''

2. 03

yxy tan''

3. xyy cos' 2

4. 0y

xy

'''

Solución de una ecuación diferencial

Como ya lo dijimos, nuestro objetivo es dar solución a algunas ecuacio-

nes diferenciales, pero ¿qué significa dar solución a una ecuación dife-

rencial?; esta pregunta nos la resuelve la siguiente definición.

Definición

Una función y cualquiera, definida en algún intervalo I, es la solución

de una ecuación diferencial en dicho intervalo, si al sustituir y y sus de-

rivadas en la ecuación la reduce a una identidad. Veamos algunos ejem-

plos.

5

8

Ejemplo

La función cy

y 4

4

es la solución general de la ecuación diferencial.

03 xdx

dy (1)

ya que si derivamos y obtenemos:

3x

dx

dyy '

y al sustituirla en (1), la convierte en la entidad

033 xx

En este ejemplo hemos empleado, para la solución de la

ecuación, una constante C arbitraria; esto significa que C po-

dría tomar cualquier valor, y por cada valor de C tendríamos

una solución, lo que significa, a su vez, que la solución de es-

ta ecuación diferencial no es una sola función, sino todo un

conjunto de funciones que se acostumbra llamar familia de

soluciones.

En el ejemplo que sigue a continuación, la constante arbitraria es A.

Ejemplo

La familia de funciones kt

Aey , con A constante arbitraria, son solu-

ciones de la ecuación diferencial

kydt

dy (1)

veamos, kt

Akedt

dyy '

al sustituir y y '

y en (1) se convierte en la

identidad

ktktAkeAke

5

9

Ejemplo

La función senxy es una solución de la ecuación diferencial lineal

de segundo orden

0 yy''

(1)

si encontramos la segunda derivada de la función solución tenemos:

senxy

xy

senxy

''

'cos

al sustituir y y ''

y en 91) obtenemos la identidad

osenxsenx

Una solución de una ecuación diferencial que no contiene

constantes arbitrarias se llama Solución Particular de la Ecua-

ción Diferencial.

8.2

a. Para los problemas del 1 al 6 establece el orden, el tipo y la lineali-

dad de cada ecuación:

1. 012 yyy'''

2. 0442

2

ydx

dy

dx

yd

3. yy ''

4. 02

'''yy

5. 022

2

dx

dy

dx

ydx

6. 099 yyyy''''''

5

10

b. Para los numerales del 7 al 11 verifica que la función y dada es

una solución de la ecuación diferencial. Considera 1C constante.

7. 8324 yyy ;'

8.

teyy

dt

dy 20

5

6

5

62420 ;

9. 2

2 102

xyxydxdyx ;

10. 13

xyyxyy ;''

11.

11

22

4

12 cxcyyyxyy ;

''

Problema del valor inicial

Llamamos problema de valor inicial al problema de hallar la solución de

una ecuación diferencial sujeta a una condición 00 yxy )( ; a esta

condición se le llama Condición Inicial.

Ejemplo

Resolvamos la ecuación diferencial xdx

dy2 (1), con la condición

52 )(y .

Es fácil observar que la familia de soluciones cxy 2 dan solución

a (1), pero ahora queremos que la solución satisfaga la condición

52 )(y , es decir que cuando 2x se tenga 5y . Si remeplaza-

mos estos valores en la familia de soluciones tenemos:

c 225

de donde c1

Es decir que la solución de la ecuación diferencial (1) con la condición

52 )(y es 12 xy .

5

11

Podemos concluir que la solución de un problema de valor inicial no es

una familia de curvas, sino una única curva, en la figura 8.1 se muestra

la familia de curvas para distintos valores de c = -1,0,1,2,3. la curva so-

lución es la que corresponde a c = 1.

Ahora que hemos solucionado un problema de valor inicial, es natural

preguntarnos si es posible encontrar siempre la solución a este tipo de

problemas; para contestar dicho interrogante podemos hacer uso del

teorema que sigue a continuación, él nos dará las herramientas suficien-

tes.

Teorema

Sea R una región rectangular en el plano xy definida por

dycbxa , que contiene al punto 00 yx , en su interior.

Si yxf , y

y

f

son continuas en R, entonces existe un intervalo I

con centro en 0x y una única función )(xy definida en I que satisface

el problema de valor inicial.

5

12

Este teorema es uno de los teoremas más populares para ecuaciones

diferenciales de primer orden porque los criterios de continuidad de

yxf , y

y

f

son fáciles de verificar. La figura 8.2 ilustra este teore-

ma.

Ejemplo

Sea la ecuación diferencial 23 3yx

dx

dy .

Sea 23 3yxyxf , y su derivada yy

f6

son funciones

continuas en todo el plano xy , por tanto el teorema garantiza que por

cualquier punto 00 yx , pasa una y solo una solución de la ecuación

diferencial.

Hasta el momento hemos dado la teoría preliminar que permite comen-

zar el trabajo con las ecuaciones diferenciales; vamos a trabajar algunos

métodos cuya aplicación lleva a la solución de ecuaciones diferenciales.

Separación de variables

Una ecuación diferencial lineal de primer orden que se puede expresar

de la forma

5

13

La técnica de separación

de variables fue aplicada

por primera vez en 1960

por Jean Bernoullí.

)()( yfxgdx

dy (1)

se llama ecuación separable; el nombre separable se da a la ecuación

por el hecho que su lado derecho se puede “separar” como una función

en la variable y y otra en la variable x .

La ecuación que sigue es equivalente a (1)

)(

)(

yh

xg

dx

dy (2)

si reformulamos (2) en términos de diferenciales tenemos:

dxxgdyyh )()( (3)

Observa que hemos separado todas las y a un lado de la ecuación y

todas las x al otro lado.

Ahora, si integramos ambos lados de (3), obtenemos:

dxxgdyyh )()( (4)

Si llevamos a cabo la integración podemos encontrar y implícitamente

en función de x , es decir, podemos encontrar la función y que satisfa-

ce la ecuación diferencial (1).

Veamos algunos ejemplos de aplicación de separación de variables.

Ejemplo

Resolvamos la ecuación diferencial xdx

dy2cos (1).

Debemos reconocer esta ecuación como una ecuación separable, por

tanto, si hacemos separación de variables obtenemos:

5

14

xdxdy 2cos

integrando ambos lados tenemos:

212

2

2

cxsen

cy

xdxdy

cos

1c y 2c corresponden a las constantes de integración, haciendo trans-

posición tenemos

122

2cc

xseny

Si hacemos 12 ccc tenemos

cxsen

y 2

2

Por tanto la familia de soluciones de la ecuación diferencial (1) es

cxsen

y 2

2, ¡compruébalo!

El trabajo de operar 1c y 2c hasta convertirlo en c , siempre

tendríamos que hacerlo como en el ejemplo anterior; por esta

razón siempre que apliquemos este método podemos colocar

una sola constante; en los ejercicios que restan, siempre lo

haremos utilizando solamente c .

Ejemplo

Resolvamos el problema de valor inicial 22 yy'

sujeto a la condi-

ción

2

1y .

Hagamos separación de variables en la ecuación dada

5

15

dxy

dy

22

ydx

dy22

por tanto

dxy

dy

22

Integrando tenemos

cxy

2

22ln (1)

Si reemplazamos la condición dada

2

1y cuando 4x tenemos

c

4

2

2122ln

c

c

4

40

Si reemplazamos en (1) tenemos

42

22

x

yln

Esta es una solución implícita de la ecuación diferencial dada, es fácil

de despejar y y hacerla explícita, ¡inténtalo!

Ejemplo

Resolvamos la ecuación diferencial

xy

x

dx

dy

1 (1) Si 0x sujeto a

la condición inicial 41 )(y

5

16

Podemos escribir (1) como dxx

xydy

1

Integrando tenemos

cxxy

dxx

xydy

ln2

1

2

de donde

)(ln cxxy 22 (2)

como 0x , no necesitamos valor absoluto, y si reemplazamos la

condición inicial 4y cuando 1x tenemos:

c

c

1216

11242ln

de donde c7

Remplazando c en (2) tenemos

))(ln( 722 xxy (3)

donde (3) es la solución del problema de valor inicial dado.

Ejemplo

Un cultivo de microorganismos crece con una rapidez proporcional a su

tamaño, de tal forma que al comienzo hay 1.000 especímenes y a las 2

horas 2.500; calculemos la cantidad de microorganismos al cabo de 6

horas.

Para resolver este problema consideremos la población de microorga-

nismos como una función del tiempo )(ty , el cambio, es decir, el

crecimiento de la población y con respecto al tiempo corresponde a

5

17

dt

dy; el enunciado del ejercicio nos dice que la cantidad de microorga-

nismos crece proporcional al tamaño, es decir, que

kydt

dy (1)

que además en el tiempo cero (al inicio) hay 1.000 especímenes, esto

es:

00010 .)( y

y a las 2 horas hay 2.500, es decir:

50022 .)( y

por tanto, lo que debemos hacer es resolver la ecuación diferencial

kydt

dy (1)

sujeta a las condiciones

00010 .)( y (2)

50022 .)( y (3)

Podemos resolver (1) haciendo separación de variables

kdty

dy

integrando

ckty

kdty

dy

ln

Como y siempre es positiva podemos prescindir del valor absoluto y

escribir

ckty ln (4)

5

18

podemos aplicar la función exponencial a ambos lados de (4) para

despejar y ckt

ey

de donde, aplicando propiedades de la función exponencial

ckteey

si Aec podemos

ktAey (5)

si reemplazamos la condición inicial (2) en (5), tenemos

A

Aek

0001

0001 0

.

..

Luego (5) se convierte en

ktey 0001. (6)

Si reemplazamos la condición inicial (3) en (6) tenemos

200015002 ...

ke

de donde

2

52 ).ln(k . Por tanto la ecuación (6) se convierte en

t

ey 2

52

0001.ln

. (7)

La ecuación (7) es la solución explícita de (1), sujeta a las condiciones

(2) y (3); ahora si queremos resolver la pregunta del enunciado, la canti-

dad de microorganismos al cabo de 6 horas, basta con remplazar t por

6 en (7) y con ayuda de una calculadora obtenemos:

ismosmicroorgan 625156

000166

2

52

.)(

.)(.

.ln

y

ey

5

19

Observa que la ecuación (7) se puede escribir como

t

ety 2

52

0001.ln

.)(

Esta ecuación representa la población de microorganismos en cualquier

instante del tiempo.

8.3

a. En los ejercicios 1 al 14 encuentra la solución de la ecuación dife-

rencial dada.

1. 13 2 xdx

dy 2.

y

x

dx

dy

2

3. 3

y

x

dx

dy 4.

3y

dt

dy

5. )( ttudt

du322 6. yxy 4'

7.

x

yx

dy

dx

1

22

8.

yxe

dx

dy 23

9.

x

y

dx

dy 1 10.

ysenx

y

dy

dx221

11.

2

54

32

x

y

dx

dy 12. )( PP

dt

dP 1

13. ydyxxdy cotsec

14. 01132

dyeedxee

xxyy

b. En los ejercicios 15 al 20 resuelve el problema de valor inicial dado:

15. 021

3 2

)(,'

yy

xye

y

5

20

16. 4101

)(,. yxxy

x

dx

dy

17. 10 )(, xt

dt

dxxe

t

18. 10012 2 )(, ydyxyxdx

19. 1012

12

)(,

)(u

u

t

dt

du

20. 221

32

)(, y

t

tty

dt

dy

c. Se inicia un cultivo bacteriano con 4.000 gérmenes y la población

se triplica cada media hora.

Deduce la ecuación para calcular la cantidad de bacterias luego

de t horas

Calcula la cantidad de bacterias al cabo de 20 min.

¿Cuándo llegará la población a 20.000 gérmenes?

d. Se inicia un cultivo bacteriano con 500 células y al cabo de 3 horas

hay 8.000 bacterias.

Deduce una ecuación para calcular la cantidad de bacterias

cuando han pasado t horas suponiendo que dicha población cre-

ce proporcional a su tamaño.

Calcula la cantidad de bacterias al cabo de 4 horas.

¿Cuándo llegará la población a 30.000 especímenes?

Ecuaciones homogéneas

Una función ),( yxf es una función homogénea de grado n si para

algún número real n, ),(),( yxfttytxfn .

A continuación daremos algunos ejemplos de funciones homogéneas.

Ejemplo

Veamos si la función xyxyxf 22 ),( es homogénea.

5

21

El grado de un término de

una función se halla su-

mando las potencias de

las variables en dicho tér-

mino.

),(

)(

))(()(),(

yxft

xyxt

xytxt

tytxtxtytxf

2

22

222

2

2

2

2

por tanto ),( yxf es homogénea de grado 2.

Ejemplo

533 xyyxyxf ),( , veamos que ),( yxf no es homogénea.

5

5

5

3434

3333

33

xytyxt

ytxttyxt

tytxtytxtytxf ))(()()(),(

La constante 5 impide factorizar t , por tanto ),( yxf no es una fun-

ción homogénea.

En la mayoría de las ocasiones podemos verificar si una función es ho-

mogénea con sólo examinar el grado de cada término de la función; ob-

serva y comprueba las conclusiones de los ejemplos siguientes.

Ejemplo 1

La función yxyxf ),( . El término x de nuestra función es de

grado 1 y el término y también, por tanto ),( yxf es homogénea de

grado 1. ¡Compruébalo!

Ejemplo 2

Sea 322

yxyyxyxf ),( . La función tiene 3 términos y cada uno

de ellos es de grado 3, por tanto la función es homogénea de grado 3.

5

22

Ejemplo 3

Sea 73 25 yxxyxf ),( . La función ),( yxf tiene 3 términos

que son respectivamente de grado 5, 3 y 0, por tanto ),( yxf no es

una función homogénea.

Para los ejemplos anteriores podemos hacer la siguiente observación:

La función de grado 1 resulta ser homogénea de grado 1 y la podemos

escribir como:

x

yfx

x

yxyxyxf ,),(

'' 11

y

11 ,),(

''

y

xfy

y

xyyxyxf

La función del ejemplo 2 es homogénea de grado 3 y se puede escribir

como

x

yfx

x

y

x

y

x

yx

x

y

x

y

x

yxyxyyxyxf

,

),(

1 3

32

3

3

3

2

23322

y

11

1

3

2

3

2

23322

,

),(

y

xfy

x

y

x

yy

y

x

y

xyyxyyxyxf

5

23

En el ejemplo 3 no es posible realizar una factorización de este estilo, ya

que la función no es homogénea.

De manera general, podemos escribir: si ),( yxf es una función ho-

mogénea de grado n, es posible escribirla.

x

yfxyxf

n,),( 1 y

1,),(

x

yfyyxf

n

Ejemplo

La función 22

xyxyyxf ),( es homogénea de grado 2 y la

podemos escribir como:

x

yfx

x

y

x

yxyxf ,),( 11 2

2

2

y

11 2

2

2,),(

x

yfy

y

x

y

xyyxf

Vamos ahora a describir la forma de solucionar las ecuaciones diferen-

ciales homogéneas.

Solución de ecuaciones diferenciales homogéneas

Si una ecuación diferencial tiene la forma 0 dyyxNdxyxM ),(),( y

satisface la propiedad ),(),( yxMttytxMn y ),(),( yxNttytxN

n

se dice que la ecuación diferencial es homogénea o de coeficientes

homogéneos.

Ejemplo

5

24

011 xduudxuNxdxuMxnn

),(),(

La ecuación diferencial

02333 dyyxxdxyx )()(

es una ecuación diferencial homogénea de grado 3. veamos

),(

)(

)()(),())(,(

yxMt

yxt

tytxtytxMyxyxM

3

333

3333

),(

)(

)()()(),())(,(

yxNt

yxxt

tytxtxtytxNyxxyxN

3

233

2323

La importancia de las ecuaciones homogéneas radica en su posibilidad

de reducirlas con una sustitución apropiada a ecuaciones de variables

separables. A continuación desarrollamos el procedimiento de manera

general.

Método de solución de una ecuación diferencial

homogénea

Una ecuación de la forma 0 dyyxNdxyxM ),(),( (1), donde

M y N tienen el mismo grado de homogeneidad, puede reducirse a

una ecuación de variables separables usando cualquiera de las substi-

tuciones uxy o bien vyx en donde u y v son nuevas variables

dependientes. En particular, si elegimos uxy , entonces

xduudxdy , por tanto la ecuación diferencial (1) se transforma en

0 xduudxuxxNdxuxxM ),(),(

ahora bien, por la homogeneidad de M y N es posible escribir

5

25

o bien

0111 duuxNdxuuNuM ),(),(),(

de donde resulta

011

1

),(),(

),(

uuNuM

duuN

x

dx

la cual es una ecuación de variables separables y por tanto la podemos

resolver como lo hicimos con los ejemplos anteriores; veamos algunas

aplicaciones.

Ejemplo

Resolvamos las ecuación

0 xdydxyx )(

La ecuación dada corresponde a una ecuación diferencial homogénea

de grado 1, ¡compruébalo!.

De acuerdo con la teoría que acabamos de desarrollar, procedemos a

resolverla haciendo la sustitución uxy de donde xduudxdy .

Si reemplazamos en la ecuación obtenemos:

0 xdydxyx )(

duxxdx

duxxdx

xduudxxuxdxxdx

xduudxxdxuxx

2

2

0

0

0

)(

)()(

0x , de lo contrario uxy sería cero y nuestras funciones serían

cero,

dudxx

1

5

26

integrando

cux ln

ahora si uxy entonces

x

yu

por tanto la solución corresponde a:

cxyxx

cx

yx

ln

ln

Ejemplo

Resolvamos la ecuación 332

xydx

dyxy

Podemos escribir la ecuación como

0332 dxxydyxy )(

esta es una ecuación diferencial homogénea de grado 3. ¡Comprueba-

lo!

Para resolverla, sustituimos uxy y xduudxdy en (1)

0332 dxxuxxduudxuxx ))(()()(

aplicando la propiedad distributiva obtenemos:

03334233 dxxdxxuduxudxxu (2)

de donde

0342 dxxduxu

que equivale a

dxxduxu342

como 0x

dxx

duu12

5

27

integrando obtenemos

cxy

ln3

3

(3)

de donde

cxy 333 ln

como uxy entonces

x

yu obtenemos:

333

3

33

33

cxxxy

cxx

y

ln

ln

Esta función que hemos obtenido es la solución a la ecuación diferen-

cial dada; puedes comprobarlo reemplazándola en dicha ecuación.

Ejemplo

Resolvamos la ecuación 01 dyyxxydx )ln(ln sujeta a la

condición ey )(1 .

Esta ecuación corresponde a una ecuación diferencial homogénea de

grado 1, veámoslo:

),(

)ln(ln

ln

ln

)ln(ln),(

)(ln),(

),(),(),(

yxtN

yxtx

y

xtx

ty

txtx

tytxtxtytxN

lxyxxyxN

yxtMtytytxMyyxM

1

1

1

1

1

5

28

Vamos a resolver ahora la ecuación dada haciendo la sustitución

uxy y xduudxdy , entonces

01 dyyxxydx )ln(ln (1)

se convierte en

01 ))()ln((ln xduudxuxxxuxdx

aplicando las propiedades de logaritmo natural podemos escribir

01 ))(lnln(ln xduudxxuxxuxdx

de donde

01 ))(ln( xduudxuxuxdx

aplicando la propiedad distributiva tenemos

022 duxuduxxudxudxxuuxdx lnln

de donde

01

0

2

22

duuxudxxu

duxuduxudxxu

)(lnln

lnln

equivalente a

duuu

udx

x

duuxudxxu

ln

ln

)(lnln

11

12

para integrar, podemos escribir el lado derecho como

duuuu

dxx

ln

111

integrando los dos lados de la ecuación tenemos

cuux lnlnlnln (2)

Como uxy , entonces

x

yu , si sustituimos en (2) obtenemos

cx

y

x

yx

lnlnlnln (3)

5

29

La duuu

ln

1 se desa-

rrolla sustituyendo uw ln

.

remplazando la condición inicial ey )(1 , es decir, ey cuando

1x en (3) obtenemos

c1

así la solución de nuestra ecuación diferencial es:

1

x

y

x

yx lnlnlnln

Observa que podemos aplicar las propiedades de logaritmo natural y re-

ducir más la expresión.

8.4

a. En los problemas del 1 al 5 determina si la función dada es homo-

génea. Si lo es, indica el grado de homogeneidad.

1.

x

yxyxyxf

32 2 ),(

2.

yx

yxyxyxf

8

223

),( 3.

yx

xsenyxf

),(

4. 3

3

y

xyxh

ln

ln),( 5.

21)(),( yxyxf

b. En los problemas del 6 al 15 resuelve la ecuación diferencial dada:

6. 02 dyxyxdx )( 7. dyyxydx )( 2

8. 022 dyxdxyxy )( 9. 022 dyxdxyxy )(

10. 0 dyxyxydx )( 11.

xy

yx

dx

dy

12.

yx

yx

dx

dy

3

3 13. dyyxydxx )(

332 32

14. 02 344 ydyxdxyx )( 15. y

x

yexdy

dxy

2

4

c. En los problemas del 16 al 19 resuelve la ecuación diferencial da-

da, sujeta a la condición inicial que se indica:

5

30

16. 21332 )(, yxydx

dyxy

17. 112 22 )(,)( yxydydxyx

18. 2132 22 )(, yyxydx

dyx

19. 10222 )(, ydyyxydyxxydx

En este fascículo hemos comenzado el estudio de las ecuaciones dife-

renciales, clasificamos las ecuaciones diferenciales según su orden, tipo

y linealidad, además hemos desarrollado y aplicado métodos de solu-

ción para ecuaciones de variables separables y homogéneas.

Rainville, Earl D. y otros. Ecuaciones Diferenciales. Mexico: Ed. Prentice

Hall, octava edición, 1997, capítulos 1 y 2.

Zill, Dennis G. Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelado.

México: Ed. Internacional – Thomson Editores, sexta edición, 2000, capí-

tulos 1 y 2.

En el fascículo siguiente vamos a continuar el estudio de las ecuaciones

diferenciales; trataremos dos tipos de ecuaciones: las exactas y las li-

neales, veremos sus características, su modo de identificación y la ma-

nera de resolver cada una de ellas dando ejemplos y ejercicios para ca-

da caso.

5

31

Autoevaluación formativaAutoevaluación formativaAutoevaluación formativa

Ecuaciones diferenciales - Fascículo No. 8

Nombre_____________________________________________________________________

Apellidos ________________________________________ Fecha ____________________

Ciudad __________________________________________ Semestre _________________

1. Verifica que la función y dada es una solución de la ecuación diferencial.

012

1 xxxyyy ,ln;

'

2. Encuentra la solución de la ecuación diferencial dada.

21

221

2 11 yxdx

dy

x

y

3. En un cultivo bacteriano se contaron 400 microorganismos después de 2 horas y

25.600 luego de 6 horas; suponiendo que el cultivo crece proporcional a su tamaño

2. ¿Cuál fue la población inicial del cultivo?

3. Deduce una ecuación para calcular la población luego de t horas.

4. ¿Cuándo llegará la población a 100.000 individuos?

4. Resuelve la ecuación diferencial dada, sujeta a la condición inicial que se indica.

1123

21

)(,)( yyxyxdx

dyxyx