T9. Morfología matemáticaT9. Morfología matemática

35
T9. Morfología matemática T9. Morfología matemática Fundamentos de Visión por Computador Sistemas Informáticos Avanzados 2 T9. Morfología matemática Índice Índice Introducción Conectividad Operaciones matemáticas básicas OR AND NOT XOR Operadores morfológicos Dilatación Erosión Cierre Apertura Thinning Thickening

Transcript of T9. Morfología matemáticaT9. Morfología matemática

T9. Morfología matemáticaT9. Morfología matemáticaT9. Morfología matemática

Fundamentos de Visión por Computador

Sistemas Informáticos Avanzados

2T9. Morfología matemática

ÍndiceÍndice

IntroducciónConectividadOperaciones matemáticas básicas• OR• AND• NOT• XOR

Operadores morfológicos• Dilatación• Erosión• Cierre• Apertura• Thinning• Thickening

3T9. Morfología matemática

IntroducciónIntroducción

Operaciones morfológicas:

• Operaciones que afectan a la forma de los objetos de la imagen.

• Aplicación después de una segmentación previa.

• Habitualmente se trabaja sobre imágenes binarias, aunque también se puede hacer sobre el resto de tipos.

4T9. Morfología matemática

Imágenes binariasImágenes binarias

Un píxel puede tomar dos únicos valores: 1 ó 0.

Las imágenes binarias suelen surgir a partir de un procesamiento previo de otra imagen.

5T9. Morfología matemática

Imágenes binariasImágenes binarias

Imágenes binarias obtenidas a partir de una segmentación de movimiento.

Convenciones:

• Píxeles representando objetos 1 Color negro

• Píxeles representando el fondo 0 Color blanco

6T9. Morfología matemática

Utilización de las operaciones morfológicasUtilización de las operaciones morfológicas

Preprocesamiento de la imagen:

• Filtrado del ruido.

• Simplificación de las formas.

Mejoras en la estructura de los objetos:

• Esqueletización

• Thinning

• Thickening

• Convex hull

7T9. Morfología matemática

ConectividadConectividad

Los píxeles que están conectados deben de pertenecer a una misma entidad.

8T9. Morfología matemática

ConectividadConectividad

Conectividad a 4 Conectividad a 8

Según qué conectividad apliquemos, esto serán 1 ó 4 regiones

9T9. Morfología matemática

ConectividadConectividad

Un caminocamino desde el píxel [i0, j0] hasta el píxel [in, jn] es una secuencia de píxeles en la que se puede llegar desde el píxel 0 hasta el n pasando sólo por píxeles con valor 1.

• 4-caminos.

• 8-caminos.

4-camino

8-camino

10T9. Morfología matemática

ConectividadConectividad

ForegroundForeground: Conjunto de todos los píxeles de una imagen con valor 1. Se denota por S.

BackgroundBackground (fondo): El complemento de S.

Un píxel p∈S se dice que está conectadoconectado a q∈S si hay un camino desde p hasta q que consista sólo de píxeles de S.

Un conjunto de píxeles conectados entre sí se llama un componente conectadocomponente conectado.

FronteraFrontera de S es el conjunto de píxeles de S que tienen un 4-vecino que pertenece al fondofondo. La fronterafrontera se denota por S’.

InteriorInterior es S-S’.

11T9. Morfología matemática

ConectividadConectividad

Componentesconectados

Frontera

12T9. Morfología matemática

Etiquetado de componentes conexasEtiquetado de componentes conexas

Cada componente conectado es un firme candidato a ser un objeto.

Si hay más de un componente conectado en la imagen binaria es necesario llevar a cabo un etiquetadoetiquetado.

Etiquetar consiste en poner una etiqueta diferente a los píxeles de cada componente conectado.

Esto permite saber cuántos objetos existen en la imagen y qué píxeles pertenecen a cada uno de ellos.

Después del etiquetado se pueden calcular características de los objetos, tales como el tamaño, posición, etc.

13T9. Morfología matemática

Etiquetado de componentes conectadosEtiquetado de componentes conectados

14T9. Morfología matemática

Algoritmo recursivo de etiquetadoAlgoritmo recursivo de etiquetado

1. Buscar en la imagen un píxel con valor 1 y que no esté etiquetado y asignarle la nueva etiqueta L.

2. Recursivamente asignar la etiqueta L a sus vecinos con valor 1.

3. Parar cuando todos los vecinos de los píxeles con etiqueta L sean 0 o ya estén etiquetados.

4. Si quedan píxeles con valor 1 sin etiqueta saltar al paso 1.

15T9. Morfología matemática

Algoritmo secuencial de etiquetadoAlgoritmo secuencial de etiquetado

1. Recorrer la imagen de arriba a abajo y de izquierda a derecha.

Si un píxel vale 1 entonces:

a) Si su vecino superior o izquierdo tienen etiqueta, pero sólo uno de ellos, asignar esa etiqueta.

b) Si ambos tienen etiqueta:

a) Si es la misma, asignar esa etiqueta.

b) Si es distinta, asignar la del conjunto más pequeño, y apuntar en la tabla que ambas etiquetas son equivalentes.

c) Si ninguno tiene etiqueta, asignar una nueva.

2. Recorrer de nuevo la imagen reemplazando etiquetas equivalentes.

16T9. Morfología matemática

Etiquetado de componentes conectadosEtiquetado de componentes conectados

17T9. Morfología matemática

Filtro de tamañoFiltro de tamaño

Los píxeles ruido suelen segmentarse debido a que son distintos de los de su entorno.

Normalmente forman grupos pequeños y aislados.

Un filtro de tamañofiltro de tamaño consiste en eliminar aquellos componentes conectados con un número de miembros inferior a cierta holgura TT00.

18T9. Morfología matemática

Operadores morfológicosOperadores morfológicos

La morfología matemática opera sobre la forma.

Las operaciones típicas se realizan sobre imágenes binarias, pero también pueden actuar sobre otro tipo de imágenes.

Operadores:

• -Básicos: not, and, or, xor, etc.

• Dilatación.

• Erosión.

• Apertura.

• Cierre.

19T9. Morfología matemática

Operador NOTOperador NOT

Produce una imagen a partir de otra donde a cada píxel se le aplica el operador NOT.

En imágenes de niveles de gris:

),(255)),(( jiIjiINOT −=

20T9. Morfología matemática

Operador NOTOperador NOT

NOT

21T9. Morfología matemática

OR y NOROR y NOR

Se toman dos imágenes de entrada binarias o de niveles de gris y se produce una tercera imagen cuyos valores son los de hacer un OR/NOROR/NOR entre cada par de píxeles correspondientes de la primera y segunda imágenes.

Cuando la imagen no es binaria las operaciones entre píxeles se realizan bit a bit.

Una variación sería realizar la operación entre una imagen y un valor. En ese caso el valor se operaría con cada píxel de la imagen.

22T9. Morfología matemática

Operador OROperador OR

Usando las inversas

23T9. Morfología matemática

Operador OR sobre imágenes de grisesOperador OR sobre imágenes de grises

OR

24T9. Morfología matemática

Operadores AND y NANDOperadores AND y NAND

Se toman dos imágenes de entrada y se produce una tercera imagen cuyos valores son los de hacer un AND/NANDAND/NAND entre cada par de píxeles correspondientes de las dos imágenes.Cuando la imagen no es binaria las operaciones entre píxeles se realizan bit a bit.Una variación sería realizar la operación entre una imagen y un valor. En ese caso el valor se operaría con cada píxel de la imagen.

25T9. Morfología matemática

Operador ANDOperador AND

=AND

= NOTAND

26T9. Morfología matemática

Operadores AND y OROperadores AND y OR

=

=

Escalado y bril

lo

AND

OR

27T9. Morfología matemática

Operadores XOR y XNOROperadores XOR y XNOR

Se toman dos imágenes de entrada y se produce una tercera imagen cuyos valores son los de hacer un XOR/XNORXOR/XNOR entre cada par de píxeles correspondientes de las dos imágenes.Cuando la imagen no es binaria las operaciones entre píxeles se realizan bit a bit.Una variación sería realizar la operación entre una imagen y un valor. En ese caso el valor se operaría con cada píxel de la imagen.

28T9. Morfología matemática

Operador XOROperador XOR

XOR =

29T9. Morfología matemática

Operador XOROperador XOR

=XOR

=XOR

30T9. Morfología matemática

Operaciones matemáticas básicasOperaciones matemáticas básicas

a) Imagen 1

b) Imagen 2

c) NOT (I1)

d) OR (I1, I2 )

a) b) c) d)

e) f) g)

e) AND (I1, I2 )

f) XOR (I1, I2 )

g) SUB (I1, I2 )

31T9. Morfología matemática

Operaciones no básicasOperaciones no básicas

Dilatación

Erosión

Apertura

Cierre

Thinning

Thickering

32T9. Morfología matemática

Definiciones fundamentalesDefiniciones fundamentales

Traslacion – Dado un vector x y un conjunto A, la traslación, A + x, se define como:

El conjunto básico de operaciones de Minkowski –suma y resta – se definen a partir de la traslación.

Dados A y B, donde B no se compone de píxeles, sino de vectores cuyas coordenadas se definen con respecto a [0,0], se definen la adición y substracción de Minkowskicomo:

33T9. Morfología matemática

DilataciónDilatación

Dilatación. La dilatación A⊕B es el conjunto de puntos de todas las posibles sumas de pares de elementos, uno de cada conjunto A y B.

Por ejemplo:

{ }{ }

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⊕

==

)1,4(),1,3(),3,2(),2,2(),2,1(),2,0(

),0,4(),0,3(),2,2(),1,2(),1,1(),1,0(

)1,0(),0,0(

)0,4(),0,3(),2,2(),1,2(),1,1(),1,0(

BA

B

A

A B=elementoestructurante

A⊕B

34T9. Morfología matemática

DilataciónDilatación

La operación de dilatación hace que los objetos se expandan.La cantidad y la forma en que crezcan depende del elemento estructurante que se elija.Un elemento estructurante con forma simétrica hará que la expansión sea igual en todas las direcciones.Los dos elementos estructurantes más comunes son:

35T9. Morfología matemática

DilataciónDilatación

Dilatación usando un elemento estructurante de tamaño 3x3:

Dilatación

36T9. Morfología matemática

DilataciónDilatación

37T9. Morfología matemática

DilataciónDilatación

Dilatación y substracción

38T9. Morfología matemática

Dilatación en imágenes de grisesDilatación en imágenes de grises

Al aplicar la dilatación a las imágenes de niveles de gris se aplica el elemento estructurante (que también es de niveles de gris) a cada píxel para definir una vecindad y se escoge el valor máximo de la suma de los correspondientes píxeles.

Habitualmente se simplifica como:

Intensidad Intensidad

Coordenada X Coordenada X

39T9. Morfología matemática

Dilatación en imágenes de niveles de grisDilatación en imágenes de niveles de gris

40T9. Morfología matemática

Dilatación en imágenes de niveles de grisDilatación en imágenes de niveles de gris

Dilatación

41T9. Morfología matemática

ErosiónErosión

La operación de Erosión combina dos conjuntos usando la resta vectorial y es el dual de la dilatación.

El resultado de la erosión son aquellos puntos de Apara los cuales todas las posibles traslaciones definidas por B también están en A.

A B=elementoestructurante

A�B

42T9. Morfología matemática

ErosiónErosión

Al igual que en la dilatación, lo normal es que el elemento estructurante sea simétrico.

43T9. Morfología matemática

ErosiónErosión

Erosión

44T9. Morfología matemática

ErosiónErosión

45T9. Morfología matemática

Erosión en imágenes de niveles de grisErosión en imágenes de niveles de gris

Al aplicar la erosión a las imágenes de niveles de gris se aplica el elemento estructurante (que también es de niveles de gris) a cada píxel para definir una vecindad y se escoge el valor mínimo de la suma de los correspondientes píxeles.

Habitualmente se simplifica como

Intensidad Intensidad

Coordenada X Coordenada X

46T9. Morfología matemática

Erosión en imágenes de niveles de grisErosión en imágenes de niveles de gris

47T9. Morfología matemática

Erosión en imágenes de niveles de grisErosión en imágenes de niveles de gris

×2

×5

48T9. Morfología matemática

Erosión y dilataciónErosión y dilatación

Erosión Dilatación

49T9. Morfología matemática

AperturaApertura

Consiste en realizar primero una erosión y luego una dilatación, ambas con el mismo elemento estructurante.

El efecto de la apertura es suavizar el contorno de los objetos. Se tiende a eliminar los salientes que puedan haber en el contorno.

Se eliminan pequeños elementos.

50T9. Morfología matemática

AperturaApertura

Diámetro = 11

3x9

51T9. Morfología matemática

AperturaApertura

5x5

52T9. Morfología matemática

AperturaApertura

3x3

53T9. Morfología matemática

AperturaApertura

3x3

54T9. Morfología matemática

Apertura como filtro de tamañoApertura como filtro de tamaño

D = 7

D = 11

55T9. Morfología matemática

CierreCierre

Un cierre consiste en realizar una dilatación seguida de una erosión, utilizando en ambas operaciones el mismo elemento estructurante.

Se tiene a rellenar los agujeros que pueda tener el objeto.

Se tiene a unir objetos cercanos.

56T9. Morfología matemática

CierreCierre

D = 22

57T9. Morfología matemática

CierreCierre

D=2

0

58T9. Morfología matemática

CierreCierre

5x5

59T9. Morfología matemática

CierreCierre

3x3

60T9. Morfología matemática

Transformada HitTransformada Hit--andand--MissMiss

Es una operación sobre imágenes binarias que permite buscar determinados patrones de fondo y objeto.El elemento estructurante puede contener unos y ceros.El siguiente elemento estructurante permite buscar puntos de un objeto que sean esquinas inferior-derechas.

61T9. Morfología matemática

Transformada HitTransformada Hit--andand--MissMiss

Al recorrer la imagen con el elemento estructurante se marcan aquellos puntos que coinciden exactamente con el patrón dado por el elemento.

Para poder localizar todas las esquinas de la imagen serían necesarios cuatro elementos, uno por cada tipo de esquina.

Se aplicaría cada uno de los elementos, obteniendo cuatro imágenes resultantes que se deberían combinar con el operador OR.

62T9. Morfología matemática

Transformada HitTransformada Hit--andand--MissMiss

63T9. Morfología matemática

Transformada HitTransformada Hit--andand--MissMiss

Cuatro elementos estructurantes

Imagen original Puntos detectados usando 2

Puntos detectados usando 3

64T9. Morfología matemática

ThinningThinning

Esta operación permite eliminar píxeles del objeto.

Su objetivo es ir estrechando los objetos hasta dejarlos como un camino de píxeles conexos.

El thinning se aplica reiteradas veces de manera que se vaya limando la figura del objeto.

Su principal utilidad es reducir el grosor de los bordes que se obtienen después de aplicar un detector.

Los elementos estructurantes están formados por unos y ceros.

Se puede expresar el thinningthinning como:

donde la resta se define como:

65T9. Morfología matemática

ThinningThinning

Mediante los 4 giros de 90º de los siguientes dos elementos se puede obtener el skeleton de una figura.

66T9. Morfología matemática

ThinningThinning

Imagen originalDespués de aplicar el

detector de bordes Sobel

Holgura = 60 Thinning

67T9. Morfología matemática

ThickeningThickening

Se usa para hacer crecer regiones de píxeles.

La operación de thickening se expresa como:

Se traslada el elemento estructurante sobre cada píxel de la imagen. Aquellos que coinciden con el patrón se ponen a 1.

La operación se suele aplicar reiteradas veces.

Esta operación se puede usar para calcular el convexconvexhullhull de una región.

El convexconvex hullhull de una región es otra región que engloba a todos los píxeles de la primera pero que no tiene concavidades en su contorno.

68T9. Morfología matemática

ThickeningThickening

Aplicando las cuatro orientaciones (90º) de los siguientes elementos

obtenemos el convexconvex hullhull de la siguiente imagen:

69T9. Morfología matemática

BibliografíaBibliografía

Image processing learning resources. http://homepages.inf.ed.ac.uk/rbf/HIPR2/hipr_top.htm