T.6 Diseño de Filtros Definitivo

8/17/2019 T.6 Diseño de Filtros Definitivo

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DISEÑO DEFILTROSSeñales y sistemas

digitales

ENC310

Ing. Cristina Vilardell


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ÍNDICE Introducción a los fltros digitalesAplicaciones: sínteisis de cuerda pulsada, reer!eradores,

e"ectos#lasifcación, #aracteri$ación, %ar&'etrosFiltros FIR (Respuesta al i'pulso fnita)Filtros IIR (Respuesta al i'pulso infnita o

recursios)Respuesta en "ase

Filtros #*e!+s*eEe'plos: Filtros peine, fltros pasatodo


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FILTROS

¿Que es un fltro

#ual-uier 'edio -ue atraiesa la

se.al puede ser consideradoun fltro/

0o pensa'os en algo co'o fltrosi la se.al no es 'odifcada/

1 !"en you t"in# a$out it% e&eryt"ing is a

flter'()ulius Smit")


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*I+,- DI/I,+

2n fltro digital, es un fltro -ue

oera so!re se.ales digitales/

Es una oera2in matem4ti2a -ue to'a una secuencia de n3'eros (la

se.al de entrada) + la modif2a

produciendo otra secuencia de

n3'eros (la se.al de salida) con el

o!etio de resaltar o atenuar ciertas características/

5ro2eso 2omuta2ional -ue genera una secuencia discretaa partir de otra, seg3n una regla preesta!lecida.


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Seara2in de señales -ue "ueron co'!inadasdesa"ortunada'ente (ruido, inter"erencias proenientes deotros siste'as)

-e2uera2in de señales distorsionadas de alguna"or'a (por ee'plo, al ser tras'itidas)

S6ntesis de sonido : creación o 'odifcación de se.ales

para 'oldear espectros o "or'as de onda + lograr el e"ectoauditio !uscado/

E7e2tos de audio: c*orus, 4anger, p*aser, reer!

5+ICCINES


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Seara2in de señales -ue "ueron co'!inadasdesa"ortunada'ente (ruido, inter"erencias proenientes deotros siste'as)

5+ICCINES


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-e2uera2in de señales distorsionadas de alguna"or'a (por ee'plo, al ser tras'itidas)

5+ICCINES


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S6ntesis de sonido : creación o 'odifcación de se.alespara 'oldear espectros o "or'as de onda + lograr el e"ectoauditio !uscado/ creación de se.ales con espectrosco'pleos a partir del ftrado de se.ales si'ples con fltros

si'ples

5+ICCINES


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S6ntesis de sonido : síntesis de cuerda pulsada a partir deun fltro peine/

5+ICCINES

En el procesa'iento de se.ales,un fltro 2om$ (o eine) se

produce al su'arle a la se.aloriginal una ersión retrasadaen el tie'po de sí 'is'a,causando así inter"erenciaconstructia + destructia /

La respuesta en "recuencia deun fltro comb consiste en unaserie de picos regular'enteespaciados, cu+a fgura se

ase'ea a n peine


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E7e2tos de audio: c*orus, 4anger, p*aser, reer!

5+ICCINES


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-EVE-8La reer!eración es un

"enó'eno ac3stico natural -ue

se produce en recintos '&s o

'enos cerrados por el cual ala señal original se le &an sumando las

di7erentes ondas re9e:adas en las aredesdel re2into 2on un retardo o ;delay'generado !&sica'ente por la distancia "ísicaentre la "uente de sonido original + las paredesdel recinto/

5+ICCINES


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C


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*+N/E- Es un e"ecto típico de las guitarras el6ctricas/

Se logra e"ectuando una 2om$ina2in deretardo y os2ilador de $a:a 7re2uen2ia/

Los alores de ese retardo oscilan entre 7 + 78's + la !aa "recuencia entre 9,9 + 7 *$/ %ara o!tener el e"ecto, una parte de la se.al

de !aa "recuencia se ingresa en el circuito deretardo su'&ndose a la se.al directa/ Su"unciona'iento se !asa en un ligero retardo

-ue se alterna constante'ente con la'odulación producida por el LFO,consiguiendo un ca'!io de "ase de la se.alprocesada con la original/

5+ICCINES

Es necesario -uea'!os nieles de salidao de 'e$cla, original +procesado, seansi'ilares + se consigue

una 'a+ore;presiidad cuanto'a+or sea el espectrode "recuencias tratado/


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5


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*iltros digitales &s. *iltros analgi2osEl dese'pe.o de los fltros digitales es a'plia'ente

superior a los fltros analógicos/ En 'uc*as ocasiones, la'otiación para 'uestrear una se.al es e'plear un fltro

digital/

+, DESEA5EB DE*I+,-S DI/I,+ES


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=anancia en !anda pasante: 7 >?@ 9/999 (Bariación del 9/9C)

5anda de transición: 9/7 a 9/997 (Anc*o de 9/999,


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C-C,E-ICIN DE =N*I+,-


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-esuesta al imulso

#onociendo la respuestaal i'pulso, se puedecalcular la respuesta delfltro a cual-uier

entrada ( principiode superposición )


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-esuesta en 7re2uen2ia

La respuesta en "recuencia es la Trans"or'ada de Fourier de Tie'poDiscreto de la respuesta al i'pulso

Las trans"or'adas de Fourier de la entrada

+ la salida del siste'a se relacionan por



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$ser&a2ionesEn el caso general, es una "unción -ue to'aalores 2omle:os/

Es periódica de período G/Se puede representar en notación cartesianaco'o la parte real + la parte i'aginaria o ennotación polar co'o la 'agnitud + la "ase/

La representación en notación polar es 'as 3tilpor-ue 'uestra directa'ente las propiedades delsiste'a

C-C,E-ICIN DE =N *I+,-


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Si la 'agnitud + "ase del fltro para cierta "recuencia es

Entrada

Salida



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-esuesta al es2aln

E-uialencia entre respuesta al i'pulso + respuesta alescalón/

El escalón se o!tiene 'ediante la integración discreta deli'pulso



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-esuesta al es2aln

El i'pulso se o!tiene 'ediante la deriación discreta delescalón



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-esuesta al es2alnE-uialencia entre respuesta al i'pulso + respuesta al

escalón: el escalón se o!tiene 'ediante la integracióndiscreta del i'pulso



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Con&olu2in#onolución de la se.al de

entrada con la respuesta ali'pulso del fltro/

En este caso, la salida del fltro

en cada instante es unpro'edio ponderado de la'uestra actual 'uestraspasadas de la entrada/

-esuesta al imulso fnita(*I-

IH%LEHE0TA#I0 DE 20 FILTRO

E2ua2in en re2urren2iaHediante la ecuación en

recurrencia/ En este caso, el fltro se defne

por los coefcientes de recursión La salida en cada instante

inolucra ade'&s de 'uestrasde la entrada, 'uestras preiasde la salida/

-esuesta al imulso infnita

(II-


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(aretarda'os ligera'ente unacopia de la se.al de entrada (deuno o arios períodos de'uestreo) + co'!ina'os la se.alde entrada retrasada con la nuea

se.al de entrada/ Los fltrosdigitales !asados en este"unciona'iento se dice -ue son derespuesta i'pulsional fnita o *I-(*inite Imulse -esonse)


($retarda'os una copia de lase.al de salida, la cu&lco'!ina'oscon la nuea se.al de entrada/ Los fltros digitales !asados eneste "unciona'iento se dice -ueson de respuesta i'pulsionalinfnita o II- (Infnite Imulse-esonse)/ Ta'!i6n se lesdeno'ina fltros re2ursi&os o2on7eed$a2#.


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%ode'os descri!ir los fltros 'ediante una ecuación -uerelaciona una se.al de entrada con una se.al de salida en eldo'inio digital/

De 6sta 'anera, la salida del fltro se especifca co'o unaresultado de su'as, restas + 'ultiplicaciones de 'uestras deentrada actuales + anteriores/

Dic*as ecuaciones se deno'inan e2ua2iones lineales endi7eren2ias.

+ineales signifca -ue si la entrada de un fltro es la su'a de dos"unciones escaladas, la salida del fltro es igual a la sumaes2alada de las salidas del fltro para cada una de dic*as"unciones/



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En el caso de un fltro con resuesta imulsional fnita(FIR), una 'uestra de la salida se puede defnir co'o unaco'!inación linear de 'uestras de la entrada presentes +pasadas/

%ode'os e;presar esta relación con una ecuación del tipo:

+JnK a9 ;JnK > a7 ;Jn M 7K >a ;Jn M K > /// > a0 ;Jn M 0K

FILTRO FIR


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Esta ecuación e;presa -ue la 'uestra actual de la salida+JnK es igual a la su'a de las 'uestras de la entradaactual ;JnK 'ultiplicada por el "actor a9 + de la 'uestraanterior ;Jn M 7K 'ultiplicada por el "actor a7, + de todas

las 'uestras anteriores *asta el instante Jn M HK'ultiplicadas por su respectio "actor/Los "actores ai son los 2oef2ientes del fltro/Hodifcando estos coefcientes podre'os ariar de "or'a

dr&stica las características del fltro/

FILTRO FIR


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La serie de coefcientes a9, a7, /// constitu+e larespuesta i'pulsional del fltro/

De *ec*o, pode'os erifcar -ue la respuesta delfltro a la se.al i'pulso (digital):

; N7, 9, 9, 9, 9, 9, 9, ///es la se.al de salida:

+ Na9, a7, a, a, ///, a0, 9, 9, 9, ///

lo cual e;plica la deno'inación de fltro a

resuestaimulsional fnita.

FILTRO FIR


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Los fltros con resuesta imulsional infnita (II- sedistinguen de los fltros FIR por la presencia de unarecursiidad: la se.al de salida del fltro se rein+ecta a laentrada del 'is'o, constitu+endo un circuito recursio o con

7eed$a2#.

Este '6todo per'ite i'ple'entar fltros con resuesta m4s2omle:a y 2on menos datos.

#o'o in+ecta'os constante'ente energía en el circuito, larespuesta i'pulsional tiene una dura2in oten2ialinfnita, + de a*í le iene el no'!re/

FILTRO IIR


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La ecuación típica de un fltro IIR se e;presa de lasiguiente 'anera:

+JnK a9 ;JnK > a7 ;Jn M 7K > a ;Jn M K > ///> a0 ;Jn M 0K>M!7 +Jn M 7K M ! +Jn M K M! +Jn M K M /// M !H +Jn MHK

Esta ecuación e;presa -ue la salida es "unción deNF1 muestras de la entrada (actual + 0anteriores), así co'o de A muestras anteriores desalida/

FILTRO IIR


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/ Los fltros *I- o"recen en general una respuesta de "ase m4slineal + no entran :am4s en os2ila2in (es decir, no seuelen inesta!les), +a -ue no poseen reali'entación/

%or otro lado, re>uieren un gran nGmero de t@rminos ensus ecuaciones + eso les *ace '&s 2ostosos en cuanto ac&lculo o carga co'putacional/

2n fltro *I- con un corte 'u+ a!rupto (es decir, -ue tengauna !anda de transición 'u+ corta) puede re-uerir *asta

2entenas de retardos/

En cuanto a los fltros II-, son 'u+ ef2a2es + puedenproporcionar pendientes de corte 'u+ pronunciadas/ %or otrolado, al poseer características de reali'entación (o "eed!acP),tienen tenden2ia a entrar en os2ila2in y en resonan2ia.

FILTRO FIR BS IIR


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El n3'ero de 'uestras anteriores a la actual -uese utili$an en un fltro para generar una 'uestra desalida corresponde al orden del fltro/

2n fltro de pri'er orden utili$a una sola 'uestraprecedente/De esta "or'a, un fltro recursio de segundo orden

se e;presaría con la ecuación siguiente:

+JnK a9 ;JnK > a7 ;Jn M 7K > a ;Jn M KM !7 +Jn M 7K M ! +Jn M K

ORDE0 DE 20 FILTRO


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ORDE0 DE 20 FILTRO


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Este fltro utili$a dos 'uestras anteriores deentrada + dos 'uestras anteriores de la salida/

Es la "or'a -ue tendría un fltro paso de !anda -uese utili$a !astante, deno'inado $i>uad (de!icuadr&tico)/

Hientras mayor sea el orden de un fltro (cuantas'&s retardos se utilicen en el circuito), el 2ortedel fltro ser4 m4s a$ruto/

ORDE0 DE 20 FILTRO


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ORDE0 DE 20 FILTRO


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TI%OS DE FILTROS

Los fltros '&s corrientesson los fltros paso !ao(+oH 5ass% +5), paso alto(


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Los fltros aso $a:o (+5) dean pasar las "recuencias-ue est&n por de!ao de una deter'inada "recuencia/

Los fltros aso alto (


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Los fltros aso $anda (85 dean pasar las "recuencias -ueest&n situadas en una "recuencias/

Los fltros re2"a?o de $anda (8- dean pasar todas las

"recuencias e;cepto las -ue est&n situadas en unadeter'inada !anda de "recuencia, es decir, entre dosdeter'inadas "recuencias "7 + "/

Estas "recuencias son las "recuencias a las -ue la a'plitud dela se.al se reduce a 9/Q9Q ( 7 ? ) de su alor '&;i'o, esdecir, su"re d5 de atenuación/

Estos dos tipos de fltros est&n defnidos por su 7re2uen2ia2entral y su an2"o de $anda, -ue sería la di"erencia entrelas 7re2uen2ias de 2orte in7erior y suerior.

TI%OS DE FILTROS

A0#


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En un fltro idealtoda co'ponente espectral -ue se sit3e'&s all& de la "recuenciade corte de!ería, en

principio, ser eli'inadaco'pleta'ente/

En realidad, no pode'os i'ple'entar este tipo de fltros con los'6todos -ue ere'os/

%or lo tanto, tene'os -ue esta!lecer la rigide$ o rapide$ delcorte, e;presado en d5 por octaa/

El 7a2tor de 2alidad Q de un fltro 5% o 5R ermite regular laraide? o la endiente de la 2amana -ue se representa en lafgura

A0#


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El "actor de calidad corresponde a un cociente entre la"recuencia central del fltro + el anc*o de !anda a los puntoscon d5 de atenuación:

Q M 7 2entralJ (7 CL 7 C1

La fgura representa un fltro 5% en el -ue *ace'os ariar el"actor de calidad 'anteniendo fa la "recuencia central/

La a'plitud m4Oima o ganan2ia de un fltro 5% o 5R

ta'!i6n es i'portante/El control de !andas '3ltiples, por ee'plo, + la ganancia de

cada una de ellas, per'itir& "a!ricar 'ódulos e2uali?adoreso fltros gr4f2os/


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*iltro aso $a:o de rimer orden%ara construir un fltro paso !ao FIR si'ple (-ue atenuar& las

"recuencias altas de una se.al de entrada), sólo *ace "altae"ectuar la 'edia de los alores la 'uestra actual + la

'uestra precedente, co'o ilustra el diagra'a de !lo-ues

EUEH%LOS


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El "unciona'iento de este fltro se puede e;presar'ediante la ecuación siguiente:

+JnK 9,8 ;JnK > 9,8 ;Jn M 7K

Se puede entender intuitia'ente el e"ecto paso!ao de esta operación, +a -ue al e"ectuar la 'ediaatenua'os las ariaciones !ruscas de la se.al, lo-ue origina un suai$ado de la se.al de entrada/

Este fltro es un ee'plo del fltro de tipo ('oingaerage) (pro'edio 'óil)/

EUEH%LOS


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Bea'os cu&l sería la respuesta de este fltro a di"erentesse.ales de entrada/

#onsidere'os pri'ero una se.al constante:

O M P1% 1% 1% 1% 1% 1% 1% 1% 1% 1% ...

De la ecuación, deduci'os -ue la se.al de salida sería: y M P0%R% 1% 1% 1% 1% 1% 1% 1% 1% 1% ...%or lo tanto, despu6s de un transitorio corto (la pri'era

'uestra -ue ale 9/8), la se.al de salida es igual a la se.al

de entrada: una se.al constante de a'plitud 7/%ara una se.al constante, -ue tiene una "recuencia nula,erifca'os -ue las !aas "recuencias no se aten3an en elfltrado/

EUEH%LOS


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#onsidere'os a*ora una se.al -ue oscila entre M7 + >7 a la "recuenciade 0+-uist (la "recuencia '&;i'a):

O M PF1% 1% F1% 1% F1% 1% F1% 1% F1% 1% ... En este caso, la se.al de salida se aten3a 'u+ r&pida'ente co'o

podría'os preeer:

y M P0%R% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% ... %ode'os o!serar la respuesta en "recuencia del fltro en la fgura / La ganancia, en "unciónde la "recuencia, iene dada por:

La "recuencia de corte ale "s?(un cuarto de la "recuencia de 'uestreo)/ La

si'plicidad del fltro se paga con una !anda de transición anc*a/

EUEH%LOS


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Filtro paso alto FIR de pri'er ordenLa estructura de un fltro paso alto FIR ele'ental es 'u+

si'ilar a la del fltro paso !ao FIR -ue aca!a'os de er, peroen e$ de su'ar dos 'uestras consecutias, las resta'os:

ynT M 0%R U OnT 0%R U On 1TEl e"ecto paso alto se e;plica "&cil'ente: al restar dos

'uestras sucesias atenua'os la se.al en los puntos en los-ue aría lenta'ente (!aas "recuencias) + acentua'os allídonde la se.al aría r&pida'ente (altas "recuencias)/

EUEH%LOS


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La ganancia en "unción de la "recuencia iene dada por:

A(") sin(G " ?"s) El diagra'a de !lo-ues de este fltro est& representado

en la fgura , así co'o su "unción de trans"erencia en lafgura

EUEH%LOS


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*iltro aso de $anda *I- de segundo ordenLa ecuación de un de un fltro paso de !anda (5%) si'ple no

recursio de segundo orden es la siguiente:

+JnK 9,8 ;JnK M 9,8 ;Jn M K (78)Este fltro es de segundo orden, +a -ue utili$a un retardo de

dos períodos de 'uestreo co'o '&;i'o (para o!tener ;Jn MK)/

La ganancia del fltro

en "unción de la "recuencia

iene dada por la siguiente

ecuación:

EUEH%LOS


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Lo cual corresponde a unfltro paso de !anda de"recuencia central "s?

Si en e$ de restarsu'&ra'os las 'uestras;JnK + ;JnMK,o!tendría'os un fltrorec*a$o de !anda de"recuencia central "s ?

EUEH%LOS


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*iltro aso $a:o II- de rimer orden2n fltro L% recursio de pri'er orden si'ple e"ect3a la 'edia

de la 'uestra actual de entrada + de la 'uestra de salidaanterior, co'o ilustra el diagra'a de la fgura + la "ór'ula

siguiente: +JnK 9,8 ;JnK > 9,8 +Jn M 7K (7Q)

EUEH%LOS


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La respuesta en "recuencia tiene una "or'a di"erente a la delfltro L% no recursio/ Este fltro se deno'ina ETA (E;ponential

Ti'e Aerage)/

%ara erifcar el concepto de respuesta i'pulsional infnita,ree'pla$e'os+Jn M 7K por su e;presión deducida de la 'is'a ecuación:

+JnK 9,8 ;JnK > 9,8 (9,8 ;Jn M 7K > 9,8 +Jn M K) +JnK 9,8 ;JnK > 9,8 (9,8 ;Jn M 7K > 9,8 (9,8 ;Jn M K

> 9,8 +Jn M K)) +JnK 9,8 ;JnK > 9,8 (9,8 ;Jn M 7K > 9,8 (9,8 ;Jn M K

> 9,8 (9,8 ;Jn M K > 9,8 +Jn M K)))

///

EUEH%LOS


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Final'ente pode'os o!serar -ue este fltro es una ersión delfltro FIR (no recursio) siguiente:

+JnK 9,8 ;JnK > 9,8 ;Jn M 7K > 9,78 ;Jn M K >

9,9V8 ;Jn M K >////

La ecuación co'prende teórica'ente un n3'ero infnito det6r'inos/ La respuesta i'pulsional es, por tanto, teórica'enteinfnita, lo -ue e;plica el no'!re -ue se le da a este tipo defltros/

La "or'a general de un fltro IIR de pri'er orden es: +JnK a ;JnK > ! +Jn M 7K2na ariación de los coefcientes de rein+ección (coefciente ! en

este ee'plo) per'itir& controlar la "recuencia de corte del fltro/ #uando ! crece, la "recuencia de corte !aa/

EUEH%LOS


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+os 2om$ flters o fltros en eineLos fltros en peine (co'! flters) son un tipo particular de

fltros -ue crean una serie de picos + de alles en el espectrode la se.al/ Estos picos + alles se sit3an a una distancia

"recuencial igual/ Los fltros en peine pueden ser de tipo FIR oIIR/La estructura del fltro en peine FIR, -ue se representa en el

es-ue'a de !lo-ues de la fgura, es si'ilar al fltro 5% FIR/Su ecuación es:

+JnK ;JnK > ;Jn M DK

EUEH%LOS


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D indica un 'u+ pe-ue.os, el e"ecto del fltro esdesprecia!le (a W X


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donde D es el retardo en'uestras + "s la "recuenciade 'uestreo/

Los picos sucesios seencuentran en las

"recuencias "9, "9, ////La fgura 'uestra la

respuesta "recuencial de unfltro co'! con un retardo de79 'uestras, e-uialente a9,Q 's a 799


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La ecuación siguiente:

+JnK ;JnK M ;Jn M DKdescri!e un fltro co'! sustractio/

Los fltros co'! IIR inclu+en una recursión, -ue see;presa en la ecuación siguiente:

+JnK a ;JnK > ! +Jn M DK

#on una i'plantación de este tipo pode'oso!tener curas de atenuación 'uc*o '&s fnas/

EUEH%LOS


58/63

*iltros asatodo (allass flters2n fltro pasa todo es un procesador peculiar, +a

-ue dea pasar todas las "recuencias sin ca'!io

alguno de a'plitud, tal + co'o su no'!re indica/%or tanto, tiene una respuesta "recuencial de

a'plitud constante en todo el rango de "recuenciasaudio/

Respecto a la respuesta de "ase, dic*o fltro aplicaun ca'!io de "ase a la se.al de entrada/

EUEH%LOS


59/63

Es decir, retrasa di"erentes regiones de "recuenciacon di"erentes alores de retardo/

Yste tipo de retardo dependiente de la "recuenciase deno'ina dispersión/

Los e"ectos audi!les de un fltro pasa todo se

'anifestan so!re todo en los períodos detransición co'o son el ata>ue y de2aimiento,cuando la se.al se colorea 'ediante un ca'!io de"ase -ue depende de la "recuencia/

EUEH%LOS


60/63

La ecuación siguiente descri!e un fltro pasa todosi'ple con una respuesta "recuencial constante(desde 9 a "s ? ) -ue retrasa arias "recuencias condi"erentes alores de retardo/

#uando el retardo en 'uestras D es grande, el fltrogenera una serie de ecos -ue decaen, un e"ecto-ue se utili$a en los allass re&er$erators.

ynT M (g U OnT F On DT F (g U yn DT

EUEH%LOS


61/63

Yste fltro pasa todo corresponde a un fltro co'! IIR conreali'entación (controlada por la constante g) en uncircuito -ue ta'!i6n ali'enta parte de la se.al deentrada *acia la salida con una ganancia Mg/

Dic*a sustracción cancela el e"ecto espectral del fltroco'! 'ientras -ue presera el ec*o + lascaracterísticas de retardo/

Los usos 'usicales de 6ste tipo de fltros son ariados/

El uso '&s aplicado sería utili$ar 6stos fltros paracontrarrestar el e"ecto de "ase de otros fltros/


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%or ee'plo, algunas e'presas de audio "a!rica!anfltros pasa todo -ue co'pensa!an la distorsión de "asein*erente a los gra!adores digitales pri'itios

Otra aplicación se encuentra en algunos sinteti$adores,

donde un fltro pasa todos puede crear un retardo de"ase aria!le en el tie'po + en la "recuencia paraenri-uecer sonidos est&ticos

2n ee'plo sería el e"ecto Z*orus[, una co'!inación deretardo + ca'!io de "ase/

La aplicación '&s i'portante de 6ste tipo de fltros seencuentra en los e"ectos de reer!eración,

EUEH%LOS


63/63

Gracias

alguna

pregunta?

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