8/19/2019 T2_Examen resuelto

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Cálculo infinitesimal

Prueba 2 (Solución) 27-10-2011 (Grupo A-109)

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1. Sea la funciónf (x) =

  1 − x   si  x ∈ [0, 1)

x   si  x ∈ [1, 2]

Si se define   F (x) =

   x

0

f (t) dt   ¿se puede afirmar que   F   es continua?, ¿como consecuencia

del   Primer teorema fundamental   se puede afirmar que   F   es una primitiva de   f ? Determinaexplı́citamente la expresión de  F (x).

Soluci´ on:

Śı en efecto, se puede afirmar que  F   es continua, pues aunque  f  no es continua (tiene una discon-

tinuidad de  salto, es falso que la discontinuidad sea  evitable ), śı es integrable en [0, 2]. Respecto dela segunda pregunta, no se puede afirmar este extremo, puesto que  f  no es continua y por tanto elPrimer teorema fundamental  no asegura que la función  F   sea derivable y por tanto no asegura queF (x) =  f (x).

x ∈ [0, 1)F (x) =

   x0

(1− t) dt =

t −  12

t2x0

= x(1−  12

x)

x ∈ [1, 2]

F (x) =

   x0

f (t) dt =

   10

(1−t) dt+   x1

t dt =

t −  1

2t210

+1

2

t2x1

 =

1 −  1

2

+

1

2

x2 − 1 =  1

2x2

Por tanto la función  F  es continua en [0, 2]  

2. Si  x > 

π

4, estudia si la función

F (x) =

   x

2

√ π

4

ln (|arc tg(t)|)  dt

es creciente en dicha región.

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Soluci´ on:

Puesto que la función

f (x) = ln (|arctg(x)|) =

  ln (arctg(x)) si arctg(x) >  0  ⇐⇒   x > 0ln (− arc tg(x)) si arc tg(x) <  0  ⇐⇒   x  π4

  entonces por el   Primer teorema fundamental   F   es derivable y de esta

manera se estudia el crecimiento analizando el signo de su derivada:

F (x) = ln

arctg(x2) · 2x > 0   ∀x ∈ (

 π

4,∞)

Por tanto la función  F  es creciente.  

3. Sea  D  el recinto  acotado en el primer cuadrante, limitado por las curvas  y = 1

2x2 y  x =

 1

2y2.

a ) Calcula el volumen del sólido, generado al girar 2 π  alrededor del eje  OX , la región  D

b) Calcula el volumen del sólido, generado al girar 2 π  alrededor del eje  OY , la región  D

Soluci´ on:

Se trata de la región acotada por las dos curvas:  f 1(x) =  1

2x2 y f 2(x) =

√ 2x. Se calcula primero el

punto de intersección de ambas curvas:

√ 2x =

 1

2x2 =⇒ 2x =  1

4x4 =⇒ 8x =  x4 =⇒ x = 2 e y = 2

a ) Eje  O X 

V  ox =  π

   20

(f 2(x))2 − (f 1(x))2 dx

sustituyendo:

V  ox =  π

   20

(√ 

2x)2 dx − π   20

1

2x22

dx =  π

x220− π  1

20

x520

 = 12

5 π

b) Eje  O Y 

V  oy  = 2π

   20

xf 2(x)− 2π   20

xf 1(x) dx

sustituyendo:

V  oy  = 2π

   20

x√ 

2x dx − 2π   20

x1

2x2 dx = 2

√ 2π

2

5

x5/2

20

−  π4

x420

 = 12

5  π

4. Si  a > 0 determina el área del recinto plano acotado por  y =   2a2 x−   1

a3 x

2 y el eje de las abscisas¿Depende del valor de  a?.

Soluci´ on:

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Se trata de una parábola

f (x) =  2

a2x −   1

a3x2 = x

 2

a2 −   x

a3

Los puntos de corte con el eje de las abscisas son  x = 0 y   2a2 −   xa3  = 0, esto es  x = 2a. Ası́ pues elárea pedida es:

A =    2a

0

2

a2

x

−  1

a3

x2 dx =  2

a2  

  2a

0

x dx

−  1

a3  

  2a

0

x2 dx = 4

3

Por tanto es independiente del valor de  a.  

5. Calcula

   +∞

1

dx

x ln x

Soluci´ on:

Se trata de una integral impropia pues se trata de una integral definida sobre un intervalo no acotadoy además la función no está definida para  x  = 1. Ası́ pues,

   +∞1

dx

x ln x dx  = ĺımM →+∞ρ→0+   M 1+ρ

dx

x ln x

La integral es directa:

ĺımM →+∞ρ→0+

[ln(ln x)]M 1+ρ = ĺımM →+∞

ρ→0+ln(ln(M ))− ln(ln(1 + ρ)) = ∞ +∞ = ∞

Bastaŕıa con que uno de los ĺımites fuese infinito, pero en este caso particular, los dos ĺımites soninfinitos, con lo cual la integral es   divergente