T2. ESPACIO, TIEMPO Y ESPACIOTIEMPO: DIAGRAMAS DE …

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© www.ugr.es/local/jillana T2. ESPACIO, TIEMPO Y ESPACIOTIEMPO: DIAGRAMAS DE MINKOWSKI 1. Introducción: postulados de la relatividad especial 2. Definición de tiempo 2.1 ¿Qué es medir el tiempo? 2.2 Sistema común de tiempos 2.3 Dilatación temporal 3. Definición de espacio 3.1 ¿Qué es medir una longitud? 3.2 Contracción espacial 4. Resumen: transformaciones de Lorentz .../... Descubre la Relatividad T2. Espacio, tiempo y espaciotiempo: diagramas de Minkowski 1

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T2. ESPACIO, TIEMPO Y ESPACIOTIEMPO:

DIAGRAMAS DE MINKOWSKI

1. Introducción: postulados de la relatividad especial

2. Definición de tiempo

2.1 ¿Qué es medir el tiempo?

2.2 Sistema común de tiempos

2.3 Dilatación temporal

3. Definición de espacio

3.1 ¿Qué es medir una longitud?

3.2 Contracción espacial

4. Resumen: transformaciones de Lorentz

.../...

Descubre la Relatividad T2. Espacio, tiempo y espaciotiempo: diagramas de Minkowski 1

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T2. ESPACIO, TIEMPO Y ESPACIOTIEMPO:

DIAGRAMAS DE MINKOWSKI

.../...

5. El espaciotiempo: diagramas de Minkowski

5.1 Observador en reposo

5.2 Observador en movimiento relativo

5.3 Intervalo invariante y calibración de los ejes de coordenadas

5.4 Orden temporal y causalidad

Descubre la Relatividad T2. Espacio, tiempo y espaciotiempo: diagramas de Minkowski 2

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1. Postulados de la relatividad especial

Descubre la Relatividad T2. Espacio, tiempo y espaciotiempo: diagramas de Minkowski 3

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1. Postulados de la relatividad especial

I. Principio de relatividad

Las leyes de la física son las mismas para cualquier observador inercial

Descubre la Relatividad T2. Espacio, tiempo y espaciotiempo: diagramas de Minkowski 3

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1. Postulados de la relatividad especial

I. Principio de relatividad

Las leyes de la física son las mismas para cualquier observador inercial•

Descubre la Relatividad T2. Espacio, tiempo y espaciotiempo: diagramas de Minkowski 3

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1. Postulados de la relatividad especial

I. Principio de relatividad

Las leyes de la física son las mismas para cualquier observador inercial

• Mismas leyes 6= mismas observaciones

Descubre la Relatividad T2. Espacio, tiempo y espaciotiempo: diagramas de Minkowski 3

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1. Postulados de la relatividad especial

I. Principio de relatividad

Las leyes de la física son las mismas para cualquier observador inercial

• Mismas leyes 6= mismas observaciones

• Imposibilidad de distinguir reposo y movimiento

Descubre la Relatividad T2. Espacio, tiempo y espaciotiempo: diagramas de Minkowski 3

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1. Postulados de la relatividad especial

I. Principio de relatividad

Las leyes de la física son las mismas para cualquier observador inercial

• Mismas leyes 6= mismas observaciones

• Imposibilidad de distinguir reposo y movimiento

• No existe sistema referencia privilegiado

Descubre la Relatividad T2. Espacio, tiempo y espaciotiempo: diagramas de Minkowski 3

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1. Postulados de la relatividad especial

I. Principio de relatividad

Las leyes de la física son las mismas para cualquier observador inercial

• Mismas leyes 6= mismas observaciones

• Imposibilidad de distinguir reposo y movimiento

• No existe sistema referencia privilegiado

• Todas las leyes, no sólo las de la mecánica

Descubre la Relatividad T2. Espacio, tiempo y espaciotiempo: diagramas de Minkowski 3

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1. Postulados de la relatividad especial

I. Principio de relatividad

Las leyes de la física son las mismas para cualquier observador inercial

• Mismas leyes 6= mismas observaciones

• Imposibilidad de distinguir reposo y movimiento

• No existe sistema referencia privilegiado

• Todas las leyes, no sólo las de la mecánica

II. Constancia de la velocidad de la luz

La velocidad de la luz es siempre la misma, independientemente dela velocidad de la fuente respecto al observador

Descubre la Relatividad T2. Espacio, tiempo y espaciotiempo: diagramas de Minkowski 3

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1. Postulados de la relatividad especial

I. Principio de relatividad

Las leyes de la física son las mismas para cualquier observador inercial

• Mismas leyes 6= mismas observaciones

• Imposibilidad de distinguir reposo y movimiento

• No existe sistema referencia privilegiado

• Todas las leyes, no sólo las de la mecánica

II. Constancia de la velocidad de la luz

La velocidad de la luz es siempre la misma, independientemente dela velocidad de la fuente respecto al observador

Descubre la Relatividad T2. Espacio, tiempo y espaciotiempo: diagramas de Minkowski 3

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1. Postulados de la relatividad especial

I. Principio de relatividad

Las leyes de la física son las mismas para cualquier observador inercial

• Mismas leyes 6= mismas observaciones

• Imposibilidad de distinguir reposo y movimiento

• No existe sistema referencia privilegiado

• Todas las leyes, no sólo las de la mecánica

II. Constancia de la velocidad de la luz

La velocidad de la luz es siempre la misma, independientemente dela velocidad de la fuente respecto al observador

Descubre la Relatividad T2. Espacio, tiempo y espaciotiempo: diagramas de Minkowski 3

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1. Postulados de la relatividad especial

I. Principio de relatividad

Las leyes de la física son las mismas para cualquier observador inercial

• Mismas leyes 6= mismas observaciones

• Imposibilidad de distinguir reposo y movimiento

• No existe sistema referencia privilegiado

• Todas las leyes, no sólo las de la mecánica

II. Constancia de la velocidad de la luz

La velocidad de la luz es siempre la misma, independientemente dela velocidad de la fuente respecto al observador

• De acuerdo con ecuaciones de Maxwell

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1. Postulados de la relatividad especial

I. Principio de relatividad

Las leyes de la física son las mismas para cualquier observador inercial

• Mismas leyes 6= mismas observaciones

• Imposibilidad de distinguir reposo y movimiento

• No existe sistema referencia privilegiado

• Todas las leyes, no sólo las de la mecánica

II. Constancia de la velocidad de la luz

La velocidad de la luz es siempre la misma, independientemente dela velocidad de la fuente respecto al observador

• De acuerdo con ecuaciones de Maxwell

• De acuerdo con experimentos de Michelson-Morley y suce-sores

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1. Postulados de la relatividad especial

I. Principio de relatividad

Las leyes de la física son las mismas para cualquier observador inercial

• Mismas leyes 6= mismas observaciones

• Imposibilidad de distinguir reposo y movimiento

• No existe sistema referencia privilegiado

• Todas las leyes, no sólo las de la mecánica

II. Constancia de la velocidad de la luz

La velocidad de la luz es siempre la misma, independientemente dela velocidad de la fuente respecto al observador

• De acuerdo con ecuaciones de Maxwell

• De acuerdo con experimentos de Michelson-Morley y suce-sores

• Primera confirmación directa: π0 → γγ (1964)

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2. Definición de tiempo

Einstein introduce definiciones operacionales: instrucciones para hacer medidas

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2. Definición de tiempo

Einstein introduce definiciones operacionales: instrucciones para hacer medidas

2.1 ¿Qué es medir el tiempo?

Comparar sucesos usando relojes (procesos que se repiten con regularidad)

Problema: observadores distantes (la luz tarda un tiempo en llegar) y observadores móviles

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2. Definición de tiempo

Einstein introduce definiciones operacionales: instrucciones para hacer medidas

2.1 ¿Qué es medir el tiempo?

Comparar sucesos usando relojes (procesos que se repiten con regularidad)

Problema: observadores distantes (la luz tarda un tiempo en llegar) y observadores móviles

2.2 Sistema común de tiemposAsignar un tiempo único y bien determinado a un suceso

Descubre la Relatividad T2. Espacio, tiempo y espaciotiempo: diagramas de Minkowski 4

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Observadores distantes (en reposo relativo)

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Pablo

A B

Espejos

Alicia

(punto medio)

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Observadores distantes (en reposo relativo)

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Pablo

A B

Espejos

Alicia

(punto medio)

Sistema común de tiempos

sincronizar flashes de Pablo y Alicia⇒ relojes sincronizados en cada punto del espacio

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Observadores distantes (en reposo relativo)

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Pablo

A B

Espejos

Alicia

(punto medio)

Sistema común de tiempos

sincronizar flashes de Pablo y Alicia⇒ relojes sincronizados en cada punto del espacio

Tiempo t de un suceso: el que corresponde al sistema común de tiempos, no es el que marca el reloj decualquier observador salvo si el suceso ocurre exactamente frente al observador

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Observadores distantes (en reposo relativo)

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Pablo

A B

Espejos

Alicia

(punto medio)

Sistema común de tiempos

sincronizar flashes de Pablo y Alicia⇒ relojes sincronizados en cada punto del espacio

Tiempo t de un suceso: el que corresponde al sistema común de tiempos, no es el que marca el reloj decualquier observador salvo si el suceso ocurre exactamente frente al observador

Tiempo propio (t): el del reloj de un observador en el mismo punto y el mismo instante en que ocurreun suceso

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Observadores móviles (en movimiento relativo)

A

Pablo Alicia

v

Gertrudis

B

(punto medio)

Relojes de Pablo y Alicia sincronizados (sus flashes me llegan simultáneamente, más tarde)

Descubre la Relatividad T2. Espacio, tiempo y espaciotiempo: diagramas de Minkowski 6

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Observadores móviles (en movimiento relativo)

A

Pablo Alicia

v

Gertrudis

B

(punto medio)

Relojes de Pablo y Alicia sincronizados (sus flashes me llegan simultáneamente, más tarde)

Para Gertrudis los flashes no son simultáneos

La simultaneidad es un concepto relativo al observador

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Observadores móviles (en movimiento relativo)

A

Pablo Alicia

v

Gertrudis

B

(punto medio)

Relojes de Pablo y Alicia sincronizados (sus flashes me llegan simultáneamente, más tarde)

Para Gertrudis los flashes no son simultáneos

La simultaneidad es un concepto relativo al observador

Gertrudis puede acordar un sistema común de tiempos (su tiempo propio) con los pasajeros del trenpero no con Pablo y Alicia

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2.3 Dilatación temporal

Reloj de luz

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vt vt2 2

vL

t0

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2.3 Dilatación temporal

Reloj de luz

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vt vt2 2

vL

t0

c =2Lt0

=2√

L2 + (vt/2)2

t⇒ t =

t0√1− v2/c2

El tiempo es un concepto relativo al observador

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3. Definición de espacio

3.1 ¿Qué es medir una longitud?

Alinear marcas de una regla (patrón) con los extremos de un objeto

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3. Definición de espacio

3.1 ¿Qué es medir una longitud?

Alinear marcas de una regla (patrón) con los extremos de un objeto

Problemas si el objeto se mueve mientras lo medimos: hay que conocer la posición de ambos extremossimultáneamente ...

La longitud es un concepto relativo al observador

Descubre la Relatividad T2. Espacio, tiempo y espaciotiempo: diagramas de Minkowski 8

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3.2 Contracción espacial

v

tunel,

Flashes cuando la cabeza sale del túnel / la cola entra en el túnel

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3.2 Contracción espacial

v

tunel,

Flashes cuando la cabeza sale del túnel / la cola entra en el túnel

Para ti simultáneos: el vagón mide igual que el túnel

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3.2 Contracción espacial

v

tunel,

Flashes cuando la cabeza sale del túnel / la cola entra en el túnel

Para ti simultáneos: el vagón mide igual que el túnel

Para Gertrudis primero el de cabeza y luego el de cola: el vagón es más largo que el túnel

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3.2 Contracción espacial

v

tunel,

Flashes cuando la cabeza sale del túnel / la cola entra en el túnel

Para ti simultáneos: el vagón mide igual que el túnel

Para Gertrudis primero el de cabeza y luego el de cola: el vagón es más largo que el túnel

La longitud del vagón está contraída para ti

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3.2 Contracción espacial

v

tunel,

Flashes cuando la cabeza sale del túnel / la cola entra en el túnel

Para ti simultáneos: el vagón mide igual que el túnel

Para Gertrudis primero el de cabeza y luego el de cola: el vagón es más largo que el túnel

La longitud del vagón está contraída para ti

L = L0/γ , γ =1√

1− v2/c2

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3.2 Contracción espacial

v

tunel,

Flashes cuando la cabeza sale del túnel / la cola entra en el túnel

Para ti simultáneos: el vagón mide igual que el túnel

Para Gertrudis primero el de cabeza y luego el de cola: el vagón es más largo que el túnel

La longitud del vagón está contraída para ti

L = L0/γ , γ =1√

1− v2/c2L0 = longitud propia

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3.2 Contracción espacial

v

tunel,

Flashes cuando la cabeza sale del túnel / la cola entra en el túnel

Para ti simultáneos: el vagón mide igual que el túnel

Para Gertrudis primero el de cabeza y luego el de cola: el vagón es más largo que el túnel

La longitud del vagón está contraída para ti

L = L0/γ , γ =1√

1− v2/c2L0 = longitud propia

La longitud del túnel está contraída para Gertrudis

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4. Resumen: transformaciones de Lorentz

O O′

v

x x′

y y′

(t) (t′)

ct′ = γ ct− γβ x

x′ = −γβ ct + γ xo bien

ct = γ ct′ + γβ x′

x = γβ ct′ + γ x′y = y′

z = z′

β =vc

, γ =1√

1− β2

⇒ Límite no relativista: v� c, γ ≈ 1, se recuperan las transformaciones de Galileo

t′ = t , x′ = x− vt

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5. El espaciotiempo: diagramas de Minkowski

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5. El espaciotiempo: diagramas de Minkowski

Simplificación matemática (espacio y tiempo no son la misma cosa). Ventajas:

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5. El espaciotiempo: diagramas de Minkowski

Simplificación matemática (espacio y tiempo no son la misma cosa). Ventajas:

1. Resolución gráfica sencilla de las transformaciones de Lorentz (diagramas de Minkowski)

2. Representar la película completa de la evolución de un objeto

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5.1 Observador en reposo

x

t

φ

4545ο ο

Α

velocidad uniformede un objeto a gran

rayos de luz

linea de universo,

Sucesos (t es el tiempo propio, x es la distancia al origen). Unidades: c = 1

Líneas de universo (movimiento uniforme: t = 1v x, tan φ = v y movimiento acelerado)

Rayos de luz (siempre a 45◦)

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5.2 Observador en movimiento relativo

x

t

φ

Α

t’

x’

t=x/v

A ocurre eneste instante

Para O’,

A ocurre aqui

Para O’,

t=vx

φ

t′ = γ (t− vx) [c = 1]

x′ = γ (x− vt)

Eje x’: sucesos simultáneos para O′ a t′ = 0⇒ t = vx

Eje t’: sucesos que ocurren en el mismo lugar x′ = 0⇒ t = 1v x

Distintas coordanadas para un mismo suceso

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5.3 Intervalo invariante y calibración de los ejes

x

t

φ

φ

t’

x’

1

1

1

1

No todo es relativo: además de la velocidad de la luz, el intervalo es invariante,

∆s2 ≡ (c∆t)2 − (∆x)2 = (c∆t′)2 − (∆x′)2

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5.3 Intervalo invariante y calibración de los ejes

x

t

φ

φ

t’

x’

1

1

1

1

No todo es relativo: además de la velocidad de la luz, el intervalo es invariante,

∆s2 ≡ (c∆t)2 − (∆x)2 = (c∆t′)2 − (∆x′)2

⇒ Calibración de los ejes intersección de hipérbolas con ejes

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5.3 Intervalo invariante y calibración de los ejes

x

t

φ

φ

t’

x’

1

1

1

1

No todo es relativo: además de la velocidad de la luz, el intervalo es invariante,

∆s2 ≡ (c∆t)2 − (∆x)2 = (c∆t′)2 − (∆x′)2

⇒ Calibración de los ejes intersección de hipérbolas con ejes

Tipos de intervalo: temporal (∆s2 > 0), espacial (∆s2 < 0) y nulo (∆s2 = 0)

Descubre la Relatividad T2. Espacio, tiempo y espaciotiempo: diagramas de Minkowski 14

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5.4 Orden temporal y causalidad¡El orden temporal de los acontecimientos depende del observador!

x

t t’

x’

B

A

C

O

Descubre la Relatividad T2. Espacio, tiempo y espaciotiempo: diagramas de Minkowski 15

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5.4 Orden temporal y causalidad¡El orden temporal de los acontecimientos depende del observador!

x

t t’

x’

B

A

C

O

Causalidad...

Sucesos conectados causalmente: en el mismo orden para todos los observadores⇒ dentro del cono de luz (separados por un intervalo temporal, invariante)

... garantizada

Descubre la Relatividad T2. Espacio, tiempo y espaciotiempo: diagramas de Minkowski 15

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Regiones conectadas causalmente con el origen

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x

t

Futuro

Pasado

Presente

Descubre la Relatividad T2. Espacio, tiempo y espaciotiempo: diagramas de Minkowski 16

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Dilatación temporal

T’T

t t’

x

x’

O

A B

t = γ(t′ + vx′)

x = γ(vt′ + x′);

t′B = T′

x′B = 0

tA = tB = γt′B ⇒ T = γT′

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lana

Contracción de Lorentz

t t’

x

x’t=vx

L’B

AO LMedir es comparar sucesos simultáneos: L = OA, L′ = OB

t = γ(t′ + vx′)

x = γ(vt′ + x′);

tA = 0⇒ t′A = −vx′AL = xA = γ(vt′A + x′A) , L′ = x′B = x′A

⇒ L = L′/γ

Descubre la Relatividad T2. Espacio, tiempo y espaciotiempo: diagramas de Minkowski 18

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Dilatación temporal

B

T’

t t’

x

x’

O

A

T

t′ = γ(t− vx)

x′ = γ(−vt + x);

tA = T

xA = 0

t′B = t′A = γtA ⇒ T′ = γT

Descubre la Relatividad T2. Espacio, tiempo y espaciotiempo: diagramas de Minkowski 19

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Contracción de Lorentz

t t’

x

x’

O

t=vx

L’B

AL

Medir es comparar sucesos simultáneos: L = OA, L′ = OB

t′ = γ(t− vx)

x′ = γ(−vt + x);

tB = vxB = vL

xB = L

t′B = 0

L′ = x′B = γL(1− v2)⇒ L′ = L/γ

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