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EDUCACIÓN SECUNDARIA PARA PERSONAS ADULTAS NIVEL IIÁMBITO CIENTÍFICO TECNOLÓGICO

BLOQUE IX TEMA 3: Las matemáticas en el arte

a

3.- Las m atem áticas en el arte

¿Tienen algo en común los siguientes objetos?

,una flor, una concha m arina

,

una foto de un edificio antiguo admirado e imitado (conocido como el Partenón)

, una reproducción de un retrato conocido como La Gionconda o Mona Lisa

y un instrumento musical, violín

La respuesta esta en las M atem áticas.



Cada una de estas figuras contiene en su estructura una m isteriosa relaciónm atem ática . Al dividir entre sí ciertas medidas clave de sus elementos obtenemossiempre el m ism o núm ero:

1,618...

y esto sin tener en cuenta la escala de la imagen, ni el patrón elegido.

Este número "mágico" también se puede escribir de esta forma:

Se denominaba núm ero de oro, razón áurea y hasta divina proporción .

3.1.- El origen de phi

Otro nombre para definir esta proporción era phi (φ o ϕ), enhonor a un gran escultor y arquitecto griego de laantigüedad llamado Fidias (principal exponente de la épocamás gloriosa de la Atenas clásica).

Para saber más . ..

Si quieres conocer un poco más la vida y obrade Fidias, puedes pulsar en este enlace:

Fidias, su vida y su obra

Pero, ¡qué casualidad!, también se ajustaba al nombre de un granmatemático italiano de comienzos del siglo XIII, conocido como Fibonacci(¿te suena de algo este nombre?, piensa, piensa que quizá ya lo hayas vistoa lo largo del tema de otra forma...) (su verdadero nombre eraLeonardo de Pisa), famoso por la conocida sucesión de Fibonacci,surgida como consecuencia del estudio del crecimiento de laspoblaciones de conejos.



Esta sucesión está íntimamente ligada al número áureo.....

Una sucesión no es mas que una lista de números relacionados entre sí de talforma que cada uno de ellos se obtiene haciendo una operación con algunode los anteriores.... pero siempre la m isma operación.

Los ocho primeros términos de la sucesión de Fibonacci son:1, 1, 2, 3, 5, 8,13, 21, ...

AutoevaluaciónPon a prueba tu lógica. ¿Podríasdecir cuáles son los dos siguientestérminos de esta sucesión, de lasucesión de Fibonacci?

25 y 4734 y 5537 y 52

Para saber más . . .Si quieres saber algo más sobre la sucesión deFibonacci, pincha en éste enlace:

Fibonacci



3.2.- ¿Que es phi?

En la imagen de la izquierda se han señalado algunos segmentosde distinto color(verde, violeta, rojo y amarillo) para que lo aprecies mejor.

Si dividimos la medida correspondiente al segmento verdeentre la correspondiente al segmento violeta dará comoresultado 1,618.....

Igualmente si dividimos la medida del segmento rojo entre elamarillo volverá a dar como resultado 1,618...

Este resultado no dependerá de si el pentágono es mayoro menor, si la unidad de medida que tomemos (en todocaso siempre la misma) sean milímetros, centímetros,pulgadas o kilómetros. Es una proporción estable yque siem pre dará com o resultado 1,618......, es decir,φ .

Podemos verlo más gráficamente en esta nueva representación:

Autoevaluación

¿Estarían la diagonal AD y el lado ABde un pentágono regular en proporciónáurea?

Si, siem pre.NoDepende del tam año del pentágono.



Seguimos con el segundo objeto: La concha m arina conocidatambién como Nautilus:

Esta preciosa pieza nacarada, equivaldría a una de las figurasmatemáticas más bella, la espiral logarítm ica .

Esa figura geométrica recibe el nombre de Espiral de Durero

Está formada por sucesivos rectángulosen proporción aurea. Por ejemplo elrectángulo ABCD es áureo, es decir:

El rectángulo EFCD es igualmente áureo

3.3.- La fam osa historia de conejos de Fibonacci

Supongamos que . . .Supongamos que tenemos una pareja de conejos recién nacidos,deberán esperar un mes para poder reproducirse, teniendo unanueva pareja de conejitos. Así, al cabo de dos meses, serán doslas parejas: la inicial y la pequeñita. En el tercer mes la primerapareja se vuelve a reproducir, teniendo una nueva parejita, los

pequeños no se reproducen porque aún deben madurar. En el cuarto mes yahay dos parejas reproductivas y una inmadura, en total cinco.



Seguimos la m isma pauta, aparecerán los números que conforman la serie de Fibonacci,observa la siguiente imagen y la tabla donde recogemos los datos de más meses:

Jugando con los términos de la sucesión de Fibonacci (que coinciden, como puedes observar con eltotal de pares de conejos) se obtendría una curiosa propiedad:

Propiedad:Al dividir cada término de la sucesión de Fibonacci entre el términoanterior, se va obteniendo un cociente que cada vez se aproxima másy más al valor del número de oro.

Jam ás podremos escribir con cifras el valor exacto de phi, al ser un núm eroirracional, es decir, un número con infinitas cifras decim ales no periódicas.



AutoevaluaciónCuál es el valor del cociente, con diez cifras decimales,entre los términos vigésimo primero y vigésimo de lasucesión de Fibonacci? ¿A cuántas cifras decimales de phinos aproximaremos?

10946 : 6765 = 1,6180339985 ( aproximación a 7 cifras decimales de phi

10477 : 6475 = 1,6180694980 ( aproxim ación a 4 cifras decim ales de phi)

10477 : 6475 = 1,6180694980 (aproximación a 5 cifras decimales de phi)

Para saber más . . .En esta presentación tienes otros ejemplos de cómo, en muchos casos, laNaturaleza se comporta como un perfecto geómetra:

Armonía natural

3.4.- La im portancia de phi en el arte

Este dibujo es a menudo considerado como un símbolo dela simetría básica del cuerpo humano y, por extensión, delUniverso en su conjunto.

Se trata de un estudio de las proporciones del cuerpohumano, realizado a partir de los textos del arquitecto de laantigua Roma, Vitrubio, del que el dibujo toma sunombre.

De acuerdo con las notas del propio Leonardo en el Hombrede Vitrubio se dan otras relaciones:

Proporciones humanas



Lo mismo ocurre con muchos de los diseños de los objetos creados por elhombre, desde la forma de un coche, de una ventana, de un libro, de unpupitre, la clásica calculadora, de cómo se ha construir una habitación paraque el sonido sea perfecto en ella, un Ipod... Los objetos con esasproporciones tienen aspectos agradables a la vista pues proporciona armonia.

Arte áureo

Como crear un rectángulo aúreo

Crear rectángulo aúreo

3.5.- ¿Que es eso del "teorema de Pitágoras"?Nosotros usamos el Teorema de Pitágoras, cuando queremos saber la longitudrestante del lado de un triángulo rectángulo para los que ya sabemos doslongitudes.

Sabemos que la palabratriángulo significa que tiene tresángulos y por tanto tres lados. Sihablamos de triángulorectángulo, es que tiene unángulo recto.

En este caso sus tres ladostienen nombre.

Lado mayor = Hipotenusa,

Lados menores = Catetos



Teorema de Pitágoras.- En un triángulo rectángulo, el cuadrado dela hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

x2 + y2 = h2

Para saber más . . .

Demostración del Teorema de Pitágoras

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