T E S I S - Instituto Politécnico Nacionaltesis.ipn.mx/jspui/bitstream/123456789/11544/1/58.pdf ·...

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE ECONOMIA

SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSTGRADO E IVESTIGACIÓN

APLICACIÓN DE UN VAR PARA UN PORTAFOLIO EN ESCENARIO EXTREMO.

T E S I S

QUE PARA OBTENER EL GRADO DE:

MAESTRO EN CIENCIAS ECONÓMICAS (ECONOMÍA FINANCIERA)

P R E S E N T A :

ADRIANA RAMÍREZ GONZÁLEZ.

MÉXICO, D.F., NOVIEMBRE DE 2012.

ÍNDICE GENERAL

RESUMEN ii

ABSTRACT iii

INTRODUCCIÓN iv

CAPÍTULO 1. VaR Y MOTIVACIÓN DE USO CON CÓPULAS. 11.1 Historia y definición de VaR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Utilidad del Valor en Riesgo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Origen del Valor en Riesgo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Valor en riesgo por Simulación Histórica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5 Simulación Montecarlo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.6 Medidas de dependencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.7 Cópulas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

CAPÍTULO 2. CÓPULAS 132.1 Valores Extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Cópulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3 Teorema de Sklar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4 Cotas de Fréchet-Hoeffding para funciones de distribución conjuntas. . . 212.5 Cópulas Arquimideanas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.5.1 Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.5.2 Tipos de cópulas Arquimideana (las más usuales) . . . . . . . . . . . . . . . . 24

CAPÍTULO 3. CÓPULAS CON EL PAQUETE ESTADÍSTICO R. 273.1 Calculos de Cópulas Arquimideana mediante R . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2 Calculos de Cópulas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.3 Valor en Riesgo Histórico con R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

CONCLUSIONES 46

ÍNDICE ALFABÉTICO 48

BIBLIOGRAFÍA 50

i

RESUMEN.

A lo largo de este trabajo, el lector se encontrará con motivaciones respecto aluso de VaR (valor en riesgo) con cópulas. Se desarrollará una breve introducción aalgunas de las técnicas que existen para el cálculo de VaR como son: VaR Histórico,VaR Paramétrico, VaR Monte Carlo y VaR con Cópulas. Después se explicará ám-pliamente todo lo referente a cópulas así como sus diferentes teoremas relacionados.Finalmente se explicará cómo es que el VaR Monte Carlo y VaR con cópulas se pro-graman en el paquete de distribución libre R de el cual también se dará una pequeñareseña.

Debido a que en los mercados financieros siempre se buscan los mejores cálculospara la medición de riesgos, particularmente los referentes a el calculo de valor enriesgo. Se han implementado diversas metodologías como son: valor en riesgo porsimulación histórica; por simulación Montecarlo; o incluso el paramétirico. Pero seha observado que este valor en escenarios de alta volatilidad no refleja tan acerta-damente la realidad. Es por tal motivo que en este trabajo se presenta el métodoestadístico multivariado que lleva por nombre: Cópula, el cual ofrece (en teoría) unmayor acercamiento al cálculo de la peor pérdida esperada en un intervalo de tiempodeterminado ante un nivel de confianza dado. Por lo tanto en el último capítulo secompararan el VaR histórico con el el VaR Montecarlo con cópula usando valoresextremos y se procederá a ver cual ha dado el mejor resultado.

ii

ABSTRACT.

Throughout this work, the reader will find motivations for use of VaR (value atrisk) with copula. Will develop a brief introduction to some of the techniques that existfor the calculating of VaR as: Historical, Parametric, Montecarlo VaR and VaR withCopulas. Then will explain everything about widely and different copula’s theorems.Finally, will explain how the Montecarlo VaR and VaR with Copulas are programmedin the distribution of the free softwere R which also give a short review.

Because financial markets are always looking for the best estimates for the riskmeasurement , particularly those relating to the calculation of value at risk. We haveimplemented some methodologies such as: value at risk by historical simulation, forMonte Carlo simulation, or even parametiric. But it has been observed that this valueof high volatility scenarios don’t reflects reality. For this reason that in this tesis, themultivariate statistical method that is called: Copula, which provides (in theory) abetter approach to the calculation of the worst expected loss over a range of timebefore a given confidence level . So in the last chapter comparing historical VaR withMonte Carlo VaR with Copula using extreme values and proceed to see which has thebest result.

iii

INTRODUCCIÓN.

Esta tesis pretende dar una alternativa para el cálculo de Valor en Riesgo de lasinstituciones financieras, por lo que el título inicial fué propuesto como: “Aplicaciónde un VaR para un portafolio en escenario extremo” pero un título más próximo a estepropósito debió ser “Aplicación de valor en riesgo con cópulas para escenarios de crisisen México”. En los últimos años la medición del riesgo ha sido poco analizada en lapráctica ya que sólo se cuentan con metodologías que únicamente funcionan cuandolas condiciones de los mercados son relativamente estables, es decir, “normales” sinembargo en condiciones de alta volatilidad estos cálculos pierden credibilidad puessolo contemplan un 95% de los casos, dejando de lado un importante 5%.

Esta metodología de cálculo de VaR resuelve en gran medida la incertidumbre encasos extremos como el que se vio en este último periodo de muy alta volatilidad quecomprende del 2008 a inicios del 2010. Anteriormente los cálculos eran simplementeparamétricos y suponían siempre normalidad en los datos, pero al suponer esto enalgunas ocasiones se abusaba de ello y aún así se daba un dato, pero para un periododiferente a un escenario normal se caía en cálculos muy alejados de la realidad. Loanterior se debe no a que el método esté mal aplicado, sino a que en estos casos noes el mejor pues un escenario extremo no es en muchos casos un escenario normal.

Con este modelo se pretende llegar a una predicción mucho más real del cálculodel VaR usando VaRes es escenarios extremos. Estos métodos se basan mucho másen ese 5% que no ve el calculo paramétrico y da como resultado por lo tanto menorincertidumbre de lo que se puede perder en porcentaje de una determinada carte-ra sobre lo que contiene instrumentos variados como son Derivados, instrumentosgubernamentales, acciones y privados.

iv

CAPÍTULO 1.

VaR Y MOTIVACIÓN DE USO CON CÓPULAS.

Las cópulas tienen multiples aplicaciones en el área de la administración de ries-gos como por ejemplo 1, en un trabajo demonimado Applying copula function to riskmanagement 2, intenta mostrar el uso de una función cópula que es como la gaus-siana que capta a los eventos extremos de forma más eficiente. Se probó que cópulaselípticas son fácilmente implementables modelos de simulación Montecarlo las cualesse usan como estimadores de riesgo. Por otro lado también se demostró que para lasdiez acciones italianas más bursátiles e importantes, se demostró que asumiendo unafunción de acumulación normal multivariada para los rendimientos subestima el VaRy la pérdida esperada de un portafolio, en tanto que con una cópula t-student estabanca obtuvo una estimación más adecuada de las medidas de riesgo.

Caso similar en la Universidad Humboldt34, en su análisis llamado Risk mana-gement with copula5, utilizó tres distintas cópulas (Gumbel-Hougaard, Clayton yGaussian) para el valor en riesgo estimado de un portafolio 2�dimensional. Ahí sevalidó que la estructura de dependencia de los activos de mayor riesgo formaban unportafolio se compartaba similarmente en esas tres cópulas. Pero, que cuando se hizola estimación por Cópulas Clayton y Gaussiana sobre-estimaba el VaR6, mientras

1Romano (2002)2Aplicación de la función cópula para la adminstración de riesgos.3 En Berlín4Giacomini (2005)5Administración de riesgos con copulas6Valor en riesgo por sus siglas en inglés

1

CAPÍTULO 1. VaR Y MOTIVACIÓN DE USO CON CÓPULAS.

que por Gumbel-Hougaard daba mejores resultados y más próximos a los que se bus-caban, ya que daba con mayor exactitud la relacion de dependencia entre cada unade las variables de uso. Debido a estos árduos estudios las cópulas aplicadas son muyimportantes para obtener resultados reales y que son útiles, pero es importante unabuena eleccion de cópulas para que se determine de mejor manera la estructura dedependencia de los activos que son de riesgo en un determinado portafolio, ya que deello dependerá si los requerimientos de capital para las empresas están sub-estimadoso sobre-estimados.

En la Universidad de Cagliari, en Italia, en el trabajo que llevó por nombre Back-testing value-at-risk estimation with non gaussian marginals7, utilizaron cópulas paramodelar la estructura de dependencia entre los retornos de los activos, pero no serealizó supuesto alguno de normalidad sobre la distribución conjunta, ni en sus mar-ginales. Con la idea de calcular la probabilidad de perdida del portafolio, se usaronlas cópulas Arquimideana y t�student en tres activos muy riesgosos que lo formaban,aunque después se aplió la muestra a 22 de los más riesgosos. Después se comparóeste resultado con el de simulación Montecarlo y concluyeron que los rendimientosde los activos riesgosos tienen colas pesadas que impliden tener supuestos de norma-lidad en sus funciones de distribución marginales. Por tal motivo, el Montecarlo fuéun poco más adecuado para modelar distribuciones leptocúrticas , y las t�studentpor su parte ajustan mejor los cuantiles altos de la distribución de los rendimientos

En este capítulo se dará una explicación de tres tipos de valor en riesgo. Ellos sonlos que en la práctica se usan más inclusive para algunos reportes que exigen algunasinstituciones son obligatorios, y al final se explicará mucho más detalladamente elmétodo de VaR con cópulas que pretende dar mayor certeza a las pérdidas esperadasen un determinado periodo de tiempo.

1.1. Historia y definición de VaR

Debido a la necesidad de cuantificar la exposición a los riesgos de mercado losbancos y empresas financieras, están utilizando el Valor en Riesgos (VaR por sussiglas en inglés) un método para calcular y controlar el riesgo de mercado, fácil de

7(Micocci y Masala ,2004)

2


entender. El VaR es un método utilizado para medir el riesgo, en el se utilizan técni-cas estadísticas estándar que se usan comunmente en otros campos técnicos. El VaRmide la peor pérdida esperada en un intervalo de tiempo determinado bajo condi-ciones normales del mercado ante un nivel de confianza dado. El VaR proporcionaa los usuarios una medida resumida del riesgo mercado. Un caso de esto podría serque en una determinada institucion bancaria el VAR diario de un determinado por-tafolio es de $X millones con un nivel de confianza del 99 por ciento, por ejemplo,sólo hay una probabilidad en 100, bajo condiciones normales del mercado, de queocurra una pérdida mayor de $X millones. Esta cantidad resume la exposición del lainstitucion al riesgo de mercado, así como la probabilidad de un movimiento adverso.Igualmente importante, mide el riesgo utilizando las mismas unidades que la línea deresultados del banco: dólares. Accionistas y administradores pueden entonces decidirsi se sienten cómodos con este nivel de riesgo. Si la respuesta es no, el proceso quecondujo a obtener el VaR puede utilizarse para decidir dónde reducir el riesgo. Porlo anterior la International Swaps and Derivatives Association (ISDA) estableció losiguiente: “La medición del riesgo de mercado es significativa para los analistas deestados financieros. La medida que comúnmente consideran apropiada la mayoría delos profesionales líderes es alguna modalidad de Valor en Riesgo”.

1.2. Utilidad del Valor en Riesgo.

El VaR es útil para una serie de propósitos:

Presentación de información: el Valor en Riesgo podría ayudar a la alta direccióna evaluar riesgos ante las operaciones de un determinado mercado financiero ode inversión financiera. Es también útil en dar información a los accionistas deposibles riesgos en los que la empresa está.Es decir el VaR revela de maneramás clara lo que sucede en un tiempo específico.

Asignación de recursos: el VaR es util para asignar límites de posicion a losque operan en las mesas y para tomar decisiones de donde colocar los recursosque estan limitados de capital. una virtud del VaR es que establece un comúndenominador con el cual comparar los diferentes mercados en las actividades

3


riesgosas. Por otro lado, el riesgo total de la empresa puede separarce en valoresen riesgo “incrementales” que permiten a los usuarios descubrir que activoscontribuyen en mayor medida al riesgo total.

Evaluación de desempeño: el VaR puede utilizarse para ajustar el desempeño porriesgo. En el entorno operativo en muy importante, ya que los operadores tiendena excederse en riesgos. Los cargos de capital de riesgo basados en medidas deVaR proporcionan incentivos corregidos a los operadores.

El VaR es una medida que actualmente se está adquiriendo por muchas insti-tuciones financieras y por muchos usuarios finales como el caso de derivados,aunque tal vez esto se deba a que también forma parte regulatoria. En general,el VaR puede dar beneficios a cualquier institución financiera que cuente conexposición al riesgo financiero:

1. Instituciones financieras. Los intermediarios con grandes portafolios han es-tado a la vanguardia de la administración del riesgo. Las instituciones quetienen que ver con numerosas fuentes de riesgo financiero e instrumentoscomplicados están implementando ahora sistemas centralizados de adminis-tración del riesgo. Aquellas que no lo hacen, se exponen a costosos errores.

2. Expertos en regulación. La regulación prudencial de las instituciones fi-nancieras requiere el mantenimiento de niveles mínimos de capital comoreservas contra el riesgo financiero. El comité de Basilea para la Super-visión Bancaria, el Banco de la Reserva Federal de Estados Unidos y losreguladores en la Unión Europea han coincidido en aceptar el VaR comouna medida aceptable del riesgo. En diciembre de 1995, la Securities andExchange Commission (SEC) emitió una propuesta para mejorar la reve-lación del riesgo de mercado; se exhortaba a las empresas estadounidensescotizadas de manera pública que revelaran información acerca de la acti-vidad con derivados utilizando una medida del VaR como uno de los tresmétodos posibles.

3. Empresas no financieras.La administración centralizada del riesgo es útilpara cualquier empresa con exposición al riesgo financiero. Las multinacio-

4


nales, por ejemplo, tienen flujos de efectivo denominados en muchas divi-sas y padecen por las oscilaciones cambiarias adversas.El VaR también esapropiado para las empresas que requieren un flujo estable de ingresos pa-ra invertir en investigación y desarrollo; el análisis de flujo de efectivo enriesgo puede utilizarse para establecer la probabilidad de que una empresaenfrente una caída crítica de sus fondos. El VaR permite a dichas empresasdescubrir su exposición al riesgo financiero, lo cual construye el primer pasohacia una política informada de cobertura.

Administradores activos: Los inversionistas institucionales están recurriendoahora al VaR para controlar mejor los riesgos financieros.

Para los que llevan el proceso de cálculo de VaR se ven forzados a comprobar suexposición al riesgo de los activos y en la mayoría de las instituciones que usan estecálculo se establece la administración de riesgos que supervise el “front” y el “backoffice”. Obviamente todo esto ayudaría a minimizar los riesgos financieros y así evitarcaos financieros.

1.3. Origen del Valor en Riesgo.

El VaR fue desarrollado por RiskMetric de JP Morgan en 1994. Otra medida com-plementaria del VaR es denominada Pérdida Esperada en la Cola o ETL (ExpectedTale lost). Cuando se calcula el VaR para un índice de confianza determiando, porejemplo, el 95 % se divide la distribución de pérdidas y ganancias en dos conjuntos:uno que contiene el 5 % y tiene las pérdidas superiores al VaR y otro del 95 % conlas pérdidas inferiores al VaR.

En varias fuentes se han encontrado que para la medición del VaR se han hechocuatro modelos. El primero se refiere a la modelación por simulación como la simu-lación histórica y simulación Montecarlo, muy utilizado en instituciones bancarias;en el segundo se encuentran los modelos analíticos de formas paramétricas con co-rrelaciones que se basan en análisis de Varianzas y Covarianzas, son los modelos demezcla de Normales y Delta Gamma8; en el tercer grupo se encuentran los modelos

8Mas adelante se tratará este tema

5


de duración y convexidades los cuales son mayormente usados en calculos de Bonosen lugar de activos como acciones; en el cuarto lo constituyen los modelos de Peorescenario (Max VaR), sin embargo esta tesis no los contemplará.

La repartición de pérdidas y ganancias del portafolio se pueden validar. Las pérdi-das en éste son debidas a las caídas simultáneas en sus activos riesgosos, por lo tanto,esta asignación depende de la distribución conjunta de los activos y es porlo tanto sucálculo se hará conjuntando su valor en riesgo. Sin embargo los métodos que clásica-mente modelan la distribución conjunta de los rendimientos financieros que suponenque se distribuyen con funciones de densidad normal, implican que existe una de-pendencia previamente determinada que usa los supuestos básicos de la distribuciónnormal así como la simetría de la distribución de los rendimeintos o retornos, colasligeras en la distribución y dependencia lineal de rendimientos que puede medirse através de la correlación, así mismo la inferencia sobre los rendimientos puede basarseen análisis de media y varianza.

Sin embargo cuando se hace un supuesto de normalidad en los rendimientos noes algo muy real y es por tal motivo que es necesaria una herramienta más flexiblepara modelar la distribución marginal de los activos riesgosos, a través de las cualesobtener la distribución conjunta de el portafolio.

1.4. Valor en riesgo por Simulación Histórica.

La simulación histórica es un ejercicio que analiza los posibles valores de un por-tafolio de activos financieros y sus correspondientes pérdidas y ganancias respecto asu valor actual, suponiendo la repetición de escenarios observados en algún momen-to anterior. Consiste en valuar los activos de un portafolio de instrumentos, en losescenarios de factores de riesgo.

Las pérdidas9 vinculadas con cada escenario son la diferencia entre el valor actualde la cartera y el de la cartera valuada con los niveles de riesgo del escenario en cues-tión. Con esto se define una distribución de probabilidades de pérdidas y gananciasdel valor del portafolio, de la que se puede obtener el VaR que, como ya se explicó,corresponde al cuantil de dicha distribución, escogido por el analista.

9 O ganancias

6


El método de simulación histórica tiene buena aceptación, porque no se basa ensupuestos de correlaciones y volatilidades que en situaciones de movimientos extre-mos en los mercados pudieran no cumplirse. Tampoco descansa en el supuesto denormalidad y es aplicable a instrumentos no lineales. Este método no supone ningu-na función de distribución para las pérdidas y ganancias, se apoya únicamente en elcomportamiento histórico observado.

Supongamos que se cuenta con información diaria y que se define un precio repre-sentativo de cada día (por ejemplo, el precio de cierre). A continuación, se calculanlos retornos diarios de la muestra seleccionada.

Con una muestra de N observaciones de precios, se tiene N–1 retornos R1, R2, . . . ,

Rt, . . . , Rn�1, Rn, con n = N–1. Nuestra posición actual tiene un valor de mercadoV . Sea Lt la rentabilidad, medida en dinero, sobre V en la fecha t:

Lt = V ·Rt (1.4.1)

A continuación, ordenamos los valores calculados de menor a mayor:

L1:nL2:n...Lj:n...Ln:n

donde L1:n es la pérdida mayor observada en la muestra de tamaño n L2:n esentonces la seguda mayor pérdida, y así sucesivamente.

Un estimador del VaR por simulación histórica (SH), en valor absoluto, para unnivel de confianza p, viene dado por:

V aR SH(p) = −Lj⇤ : n (1.4.2)

donde j⇤ es el número entero que satisfacej ⇤ �1

n< 1� p <

j⇤n

.Si se generaliza para k activosSe calculan las series de retornos históricos para cada uno de los activos:

7


2

6

6

6

6

4

R11 R12 R1n

R21 R22 R2n

Rk1 Rk2 Rkn

3

7

7

7

7

5

Cada activo tiene un valor de mercado que denominamos V1,V2,...,Vk. Se calcularáahora la serie de valores del portafolio aplicando a los valores actuales los retornosque se obtuvieron históricamente desde el día 1 al día n:

Lt = V1 ·R1 + V2 ·R2 + · · ·+ Vk ·Rk t = 1, 2, . . . n

Algo interesante del uso de este VaR es que siempre el VaR del portafolio va aser menor que la suma del VaR de cada uno de los activos o (factores de riesgo). Elsiguiente gráfico muestra como se puede ver la distribución para un sólo activoy surespectiva explicación.10

Figura 1.4.1: Gráfico obtenido de Banxico, Definiciones basicas de riesgos,noviembre 2005

10Indistintamente se usará factor de riesgo o activo en este trabajo

8


1.5. Simulación Montecarlo.

La simulación Montecarlo intenta dar solución los problemas que están presen-tes en el VaR Simulación Histórica. Es una aproximación paramétrica que generamovimientos aleatorios en los factores de riesgo basandose en una determinada dis-tribución. Por medio de este enfoque se trata de estimar el cambio en el valor dela cartera de activos utilizando un número elevado de posibles escenarios que hayansido simulados aleatoriamente, sin tomar en consideración los rendimientos pasadoscomo considera el VaR Simulación Histórica.

Similarmente al caso de la simulación histórica, el método MonteCarlo generaaleatoriamente, escenarios de ocurrencia de los factores de riesgo que afectan el valorde los activos contenidos en un portafolio de activos financieros. Cuando estos esce-narios estan generados, se prosigue igual que en la simulación histórica; i.e. se valúala cartera con los valores de los factores de riesgo asociados a cada escenario y se ob-tienen las pérdidas o ganancias asociadas a cada escenario, como la diferencia entresu valor actual y el que corresponde al escenario11. Así, se obtiene la distribución deprobabilidades de pérdidas y ganancias y el VaR, como el cuantil de la distribucióncorrespondiente al nivel de confianza escogido.

Además de que es aplicable a instrumentos no lineales, lo que se busca es incor-porar escenarios que pudieran ocurrir, aunque nunca se hayan observado antes; nisiquiera algunos parecidos.

Existe por supuesto algunas limitantes técnicas, primeramente, se necesitan su-puestos sobre las distribuciones de probabilidad que representan el comportamientode los factores de riesgo, así como sus correlaciones entre sí, lo cual puede conducira generar escenarios incongruentes con el comportamiento real de los mercados, aúnen condiciones de crisis. En segundo lugar, la demanda sobre los recursos de cálculo,para generar un número suficientemente grande de escenarios que dé confiabilidadestadística a los resultados, es considerable.

El VaR mediante la simulación de MonteCarlo utiliza números aleatorios parasimular las variaciones de las variables con las que se calcula el precio de la cartera.Se puede resumir esta técnica en los siguientes pasos:

11Definiciones de riesgos BMV

9


1. Identificar las variables creadoras de valor de la cartera y tomar una serie his-tórica de precios.

2. Calcular los rendimientos diarios con el logaritmo neperiano del cociente de losprecios.

Rto = ln

✓

Pix

P(i�1)X

◆

(1.5.1)

3. Calcular la frecuencia acumulada de los rendimientos en la serie histórica toma-da.

4. Generar tantos números aleatorios como simulaciones se quiera realizar. Cadanúmero aleatorio representa una frecuencia acumulada que está asignada a unrendimiento en concreto.

5. Utilizar ese rendimiento para calcular la variación de los precios.

6. Calcular la serie de pérdidas y ganancias con los precios simulados

7. Calcular el percentil adecuado que represente el Valor en Riesgo.

1.6. Medidas de dependencia.

También se necesitan otras medidas de dependencia alternativas a la correlaciónlineal, dado que presentan limitaciones como el hecho de que el coeficiente de corre-lación supone que las variables están normalmente distribuidas; no es invariante antetransformaciones de la variable; está definida si la media y la varianza de las variablesson finitas, además la correlación no es una medida de dependencia apropiada paravariables con colas pesadas, donde las medias y varianzas pueden ser infinitas; nocaptura las relaciones de dependencia no lineal que existe entre muchas variables, taly como ocurre con los activos financieros.

Las más frecuentes son además del coeficiente de correlacion lineal son: la corre-lación de Pearson, correlación de Spearman y la correlación de Kendall. La función

10


cópula se puede tomar como alternativa a la medida de dependencia para distribu-ciones multivariadas, que conjunta en una distribución de probabilidad multivariadaa una colección de funciones de probabilidad marginales univariadas, y entonces de-terminar la dependencia, tanto de la función de distribución conjunta de la cartera,como de las marginales de cada activo que es de riesgo. Con las Cópulas, se liberala modelación de la distribución de los retornos de un portafolio del supuesto usualde normalidad, por lo que distribuciones marginales con diferentes estructuras dedependencia pueden unirse y darle una estructura de dependencia particular a ladistribución conjunta del portafolio, lo cual intenta dar una idea más real de lascaracterísticas empíricas de la distribución de los retornos de un portafolio.

1.7. Cópulas.

Una cópula es un método que permite obtener distribuciones conjuntas de proba-bilidad. Antes de la definición de cópulas es necesario primero conocer las porpiedadesde las subcópulas

Definición 1. Una 2-subcópula es una función C’ con las siguientes propiedades:Dom (C 0

) = S1 ⇥ S2 siendo S1, S2 ⇢ [0, 1];0, 1 2S1, S2

C 0(u, 0) = 0; C 0

(0, v) = 0 8u 2 S1 v 2 S2

C 0(u, 1) = u; C 0

(1, v) = 0 8u 2 S1 v 2 S2

C 0es 2-creciente, es decir, el volumen a través de C 0 de cualquier rectángulo B

contenido en su dominio de definición, también llamado C 0�volumen, es mayor oigual que cero, es decir,

VC0([u1u2]⇥ [v1v2]) = C 0

(u2v2)� C 0(u2v1)� C 0

(u1v2) + C 0(u1v1) � 0

8B = [u1u2]⇥ [v1v2] ⇢ Dom (C 0)

Algunas de las características de las cópulas y las subcópulas son comunes. Sinembargo, el hecho de que sean distintas en el dominio de definición, se puede esclare-cer mediante el Teorema de Sklar , es probablemente el teoréma más importante de lateoría de cópulas pues establece el tipo de relacion que se tiene entre las distribucio-nes multivariantes y sus marginales univariantes a través de un la función cópula. El

11


teorema de Sklar muestra que es posible descomponer cada función de distribuciónen sus distribuciones marginales y, al menos, una cópula, la que será única si las dis-tribuciones marginales y la multivariada son continuas.pero en el siguiente capítulose mostrará.

12

CAPÍTULO 2.

CÓPULAS

Este capítulo definiremos todo lo que referente a las cópulas, pero para entenderpoco a poco este concepto se iniciará con las siguientes definiciones:

2.1. Valores Extremos

Como hay riesgos que no son considerados debido a la metodología usada tra-dicionalmente (modelos que suponen normalidad), sin embargo el uso del VaR conescenarios extremos permite prever VaR en condiciones de alta volatilidad dando porlo tanto un VaR mucho más “real” para la toma de decisiones.

El mercado bursátil llega a comportarse de manera caótica y el método de VaR conescenarios extremos resuelve en gran medida el cálculo cuando no existe normalidad.

Dentro de la actividad bursátil se tienen escenarios extremos que implican que losriesgos grandes provocan incertidumbre y retiro de los activos (dinero o capital).

El Var extremo es útil porque da mayor certidumbre al cálculo de VaR más alládel 95 % (VaR paramétrico).

Debido a que en muchos casos los rendimientos no se distribuyen de manera normal(es decir con una distribución Gausiana) es necesario usar nuevas metodologías paratener la densidad1, este tema se hace más importante sobre todo en escenarios queson de crisis ya que las colas de la distribución se cargan hacia uno de los lados, o

1función de densidad

13

CAPÍTULO 2. CÓPULAS

bien son muy pesadas en sus extremos. Para ello, se tendrá que analizar el Teoremadel Límite Central.

Se usa el Teorema del Límite Centra como caso particular de una función quebusca que la variable aleatoria tienda a una función de distribución de probabilidadbien definida, en particular la versión del teorema del límite central de Linberg-Feller establece que: “La suma de variables aleatorias, sin importar su distribuciónoriginal, tenderán a distribuirse como una normal”. Este teorema no implica que lasvariables aleatorias vengan de la misma distribución, sólo pide que ninguna de lasvarianzas domine la muestra. Si se analiza más a fondo esto se puede encontrar quela velocidad de convergencia a la distribución normal dependerá de la velocidad conla que la máxima varianza dividida entre la varianza promedio tienda a cero.

Teorema 2. si existe una secuenca de contantes {an > 0} y {an > 0} tales que :

Pr

�

(Mn � bn/an z)

! G�

z�

n ! 1 (2.1.1)

donde G es una funcion de distribución no-degenerativa, entonces G pertenece auna de las siguientes familias:

1. G(z) = exp

�

� exp

⇥

��

z�ba

�⇤

, �1 < z < 1;

2. G(z) =

8

<

:

0, z b

exp

n

��

z�ba

��↵o

, z > b

3. G(z)=

8

<

:

exp

n

�⇥

��

z�ba

��↵⇤o

, z < b

1, z � b

para los parametros a > 0 , b y, en el caso de las familias 1 y 3 , ↵ > 0.El teoréma anterior da una analogía de valor extremo para el teoréma del Limite

Central.Las familias Gumbel , Fréchet y Weibul pueden ser combinadas en una familia

14


simpre de modelos teniendo la siguiente funcion de distribución de la forma

G(z) = exp

⇢

�⇥

1 + ⇠�z � µ

�

��1/⇠⇤�

(2.1.2)

definida en el conjunto�

z : 1 + ⇠�

z � µ�

/� > 0

donde los parámetros satisfacen�1 < µ < 1,� > 0 y�1 < ⇠ < 1. Esto es la Función Generalizada de ValoresExtremos o GEV2. El modelo tiene tres parametros:

µ parámetro de lugar

� parámetro de escala.

⇠ parámetro de forma

El subconjunto de la familia GEV con ⇠ = 0 es interpretada como el límite de kjlkcuando ⇠ ! 0 dejando a la falimia Gumbel con la siguente función de distribución:

G(z) = exp

⇥

� exp

⇢

��z � b

a

�

�

⇤

�1 < z < 1 (2.1.3)

Esto simplifica la implementación estadística a través de la inferencia en ⇠ , eldato por sí mismo determina el mas apropiado comportamiento para el tipo de colamás apropiado, y esto no necesariamente hace subjetivos juicios a priori acerca decuál familia de valores extremos individual adoptar. Más aún la incertidumbre en elvalor inferido de ⇠ mide la falta de certidumbre como cual de los tres tipos es el másadecuado para el conjunto de datos dados.

Teorema 3. Si existe una secuenca de contantes {an > 0} y {an > 0} tales que :

Pr

�

(Mn � bn/an z)

! G�

z�

n ! 1 (2.1.4)

para G es una funcion de distribución no-degenerativa, entonces G es miembrode la familia de GEV:

2GEV generalized extreme value por sus siglas en inglés

15


G(z) = exp

⇢

�⇥

1 + ⇠�z � µ

�

��1/⇠⇤�

definida en el conjunto�

z : 1 + ⇠�

z � µ�

/� > 0

donde los parámetros satisfacen�1 < µ < 1, � > 0 y �1 < ⇠ < 1.

O bien se puede inferir que dada la naturaleza de los valores extremos, siempreexistirán valores que dominen la muestra y que entre mayor sea el parámetro deforma, �, existirán valores que dominen más la muestra, y con esto se incumpliránlos supuestos del Teorema del Límite Central.

2.2. Cópulas

Definición 4. Una Subcópula bidimensional es una función C 0 con las siguientes pro-piedades:

1. DomC 0= S1⇥S2 son subconjuntos de I que contienen al 0 y al 1. (Para cada una

de las S1 y S2 s está hablando de marginales y cada una de estas se encuentran enun espacio de probabilidad y es por eso que juntos deberán contener al intervalo0 y al 1 )

2. C 0 es cerrada y 2 creciente.(Para q sea dos veces creciente tendría que sucederque tanto S1 como S2 sean crecientes, pero esto sucede por ser funciones dedensidad).

3. Para cada u en S1 y cada v en S2 ,

C 0(u, 1) = u y C 0

(1, v) = v

(Esto ocurre porque si en alguna de las marginales se tiene el valor máximo en-tonces lo que quedaría de manera conjuntar sería solo la marginal de la otra).

Definición 5. Una Cópula bidimencional es una subcópula bidimencional cuyo domi-nio es I2

equivalentemente, una cópula es una función C de I2 a I con las siguientes pro-piedades

16


1. Para cada u y v en I

C (u, 0) = 0 = C (u, 0)

(Es claro que cuando se está tomando una sola función de probabilidad en unadimensión ésta mostrá el área bajo la función, pero cuando se toman dos marginalesconjuntas lo que aparecerá es un volumen, y esta es la razón por la cual si una delas marginales es cero el volumen también será cero).

y

C (u, 1) = u y C (1, v) = v ;

2. Para cada u1 , u2 ,v1 y v2 en I tal que u1 u2 y v1 v2 ,

C (u2, v2)� C (u2, v1)� C (u1, v2) + C (u1, v1)� 0 ;

En otras palabras la función Cópula es una función que junta marginales univaria-das para formar distribuciones multivariadas. Para m variables uniformes U1,U2,...,Um,la funcion de distribución conjuntaC se define como:

C (u1, u2, . . . , um) = P [U1 u1, U2 u2, . . . , Um um] (2.2.1)

O bien, puede llamarse función cópula.Las funciones Cópula pueden ser usadas para juntar distribuciones marginales con

una distribución de probabilidad conjunta. Para funciones de distribuciones margi-nales univariadas F1 (x1),F2 (x2) , . . .,Fm (xm) la función.

C (F1 (x1) , F2 (x2) , . . . , Fm (xm)) = F1 (x1, x2, . . . , xm) (2.2.2)

Cuya función es definida usando una función cópula C, resulta en una funciónde distribución multivariada con distribuciones marginales. Esta propiedad puedemostrarse como sigue:

17


C (F1 (x1) , . . . , Fm (xm) , ⇢) =P [U1 F1 (x1) , . . . , Um Fm (xm)]

=P⇥

F�11 (U1) x1, . . . , F

�1m (Um) xm

⇤

=P [X1 x1, X2 x2, . . . , Xm xm]

=F1 (x1, x2, . . . , xm)⌅

La distribución marginal de X es

C (F1 (+1) , . . . , Fi (xi) , . . . , Fm (+1) , ⇢)

=P [X1 +1, . . . , Xi xi, . . . , Xm +1]

=P [Xi xi]

=Fi (xi)⌅

Lo anterior es una generalización de lo que vimos en dos dimensiones, esto es,si tenemos la conjunta de varias funciones de distribución y m � 1 abarcan todosu rango ( es decir valen 1) y una de ellas no, lo que le queda a la conjunta es sersimplemente esa marginal o en otras palabras, será la función de distribución de lavariable aleatoria xi

Sklar en 1959 estableció la convergencia. El mostro que la función de distribucionmultivariada F puede ser escrita en forma de una funcion cópula.

18


2.3. Teorema de Sklar.

El Teorema de Sklar estableció la convergencia3. En él se mostro que la funciónde distribución multivariada F puede ser escrita en forma de una funcion cópula. Seprobó lo siguiente:

Si F1 (x1, x2, . . . , xm)es una función de distribucion conjunta multivariada con fun-ciones de distribución marginales entonces existe una función cópula C tal que

F1 (x1, x2, . . . , xm) = C (F1 (x1) , F2 (x2) , . . . , Fm (xm)) (2.3.1)

Si cada F es continua entonces C es unica. Entonces la función cópula prevee unaúnica y flexible manera de estudiar funciones de distribución multivariadas.

En el caso bivariado la función cópula C (u, v, ⇢) para las variables aleatorias U yV , definidas sobre el área {(u, v) | 0 < u 1, 0 < v 1, } donde ⇢ es un parámetrode correlación. llamarémos ⇢ simplemente un parametro de correlacion ya que no esnecesariamente igual al usual parámetro de correlación definido por Pearson, ni Rhode Speraman, ni Tau de Kendall.

Definición 6. La cópula bivariada tiene las siguientes propiedades:

1. Cualquier variable aleatoria U y V es positiva, C (0, v, ⇢) = C (u, 0, ⇢) = 0.

2. Cualquier variable aleatoria U y V estará acotada superiormente por 1, lasdistribuciones marginales puedes ser obtenidas por C (1, v, ⇢) = v,C (u, 1, ⇢) =

u.

3. Para variables aleatorias intemendientes U y V C (u, v, ⇢) = uv

3Hay diferentes formas de en que una sucesión infinita de variables aleatorias puedeconverger de manera general. En todas los conceptos siguientes se supone un espa-cio de probabilidad (W,F,P) en donde una sucesión infinita de variables aleatoriasX1, X2, ... estan todas ellas definidas. La convergencia en probabilidad se denominaconvergencia débil.

19


La Cópula de X y Y será denotada por CXY .

Teorema 7. Sean X y Y variables aleatorias contínuas. Entonces X y Y son inde-pendientes si y solo si CXY =CXCY

Hay que recordar un hecho muy importante que es el que si una función de distri-bucion de una variable aleatoria X es continua, y si a es estrictamente una funciónmonótona cuyo dominio contiene al RanX, entonces la funcion de una variable alea-toria X es también contínua.

Teorema 8. Sean X y Y variables aleatorias contínuas son Cópulas CXY . Si ↵ y � sonestrictamente crecientes en el RanX y RanY , respectivamente, entonces C↵(X)�(Y ) =

CXY . Entonces CXY es invariante sobre transformaciones estrictamente crecientesde X y Y .

Sean X y Y variables aleatorias contínuas con cópulas CXY . Sean ↵ y � estricta-mente monótonas en el RanX y RanY , respectivamente.

1. Si ↵ es estrictamente creciente y � estrictamente decreciente entonces

C↵(X)�(Y ) = u� CXY (u, 1� v)

2. Si ↵ es estrictamente decreciente y � es estrictamente creciente entonces

C↵(X)�(Y ) = v � CXY (1� u, v)

3. Si ↵ y � son estrictamente decreciente entonces

C↵(X)�(Y ) = u+ v � 1 + CXY (1� u, 1� v)

El terorema de Sklar es muy importante para las aplicaciones financieras de cópulasy sus interpretaciones. Existe una relacion entre las cópulas y las funciones de distri-bucion de las variables aleatorias. Este teorema explica que no solo hay cópulas defunciones de distribucion conjuntas, pero tambien dice lo contrario: funciones de dis-tribución conjuntas pueden ser reescritas en términos de las marginales y una (única)subcópula, la cual puede ser extendida (en general y no únicamente) a cópula.

20


2.4. Cotas de Fréchet-Hoeffding para funciones de distribución conjun-

tas.

Las cotas de Fréchet-Hoeffding [1951] muestra que existen cotas superiores e in-feriores para la función cópula, es decir, para cada cópula C y para todos u,v enI.

W (u, v)= max (u+ v � 1, 0) C (u, v) min (u, v)= M (u, v)

Como consecuencia del teorema de Sklar, si X y Y variables aleatorias con unafunción de distribución H y marginales F y G respectivamente para todas las x y y

en R.

max (F (x) +G (y)� 1, 0) H (x, y) min (F (x) , G (y))

Como M y W son cópulas, los límites anteriores son funciones de distribuciónconjuntas y son llamadas Fréchet-Hoeffding bounds4 para funciones de distribucionH con marginales F y G.

Definición 9. Un subconjunto S de ¯R2 es no decreciente si para cualquier (x, y) y (u, v)

en S, x < u implica y v . simiralmente , un subconjunto S de ¯R2 es nocreciente sipara cualquier (x, y) y (u, v) en S, x < u implica y � v

Lema 10. Sean S subconjunto de ¯R2 . Entonces S es nodecreciente si y solo si paracada (x, y) en ¯R2 , se cumple cualquiera de lo siguiente:

1. para todo (x, y) en S, u x implica v y ; o

2. para todo (x, y) en S, u x implica u x .

4Cotas de Fréchet-Hoeffding

21


Lema 11. Sea X y Y variables aleatorias con funciones de distribución conjuntas H.Entonces H es igual a sus cotas superiores de Fréchet-Hoeffding si y solo si para cada(x, y) en ¯R2, P [X > x, Y y] = 0 o P [X x, Y > y] = 0

Teorema 12. Sea X y Y variables aleatorias con funciones de distribución conjuntas.Entonces H es identicamente igual a sus cotas superiores de Fréchet-Hoeffding si ysolo si el apoyo de H es un subconjunto nodecreciente de ¯R2.

Sea X y Y variables aleatorias con funciones de distribución conjuntas.EntoncesH es identicamente igual a sus cotas inferiores de Fréchet-Hoeffding si y solo si elapoyo de H es un subconjunto nocreciente de ¯R2.

Cuando X y Y son continuas, el soporte de H puede tener segmentos no horizontaleso verticales, y en este caso es común decir que “Y es casi seguramente56 una fun-ción creciente de X” si y solo si la cópula de X y Y es casi seguramente una funcióndecreciente de X” si y solo si la cópula de X y Y es M ; y “Y es casi seguramenteuna función deX”si y sólo si la cópula de Xy Y es W . Si U y V son variables alea-torias uniformes en (0, 1) cuya función de distribución es una cópula M , entoncesP [U = V ] = 1; y si la cópulaes W , entonces P [U + V = 1] = 1.

Las variables aleatorias con cópula M son frecuentemente llamadas comonmono-tónicas7, y las variables aleatorias con cópula W son llamadas contramonotonicas8.9

5La convergencia casi segura también es llamada convergencia fuerte o convegenciacon probabilidad 1. Algunas veces la convergencia puntual resulta ser una condiciónmuy fuerte pues se pide la convergencia de la sucesión evaluada en todos y cada unode los elementos del espacio muestral. Pero para hacer esto menos estricto se tienela convergencia casi segura es decir : la sucesión de variables aleatorias X1, X2, ...

converge casi seguramente a la variable X, si Ph

! 2 ⌦ : limn!1

Xn (!) = X (!)i

= 1.6En la convergencia casi segura se permite que para algunos valores de !, la sucesión

numérica X1 (!) , X2 (!) , ... pueda converger, sin embargo el subconjunto de ⌦ endonde esto suceda debe tener probabilidad cero.

7En ingles es comonotonic8En ingles es countermonotonic9Este nombre se presenta en el libro de Nielsen, an introduction to copulas

22


2.5. Cópulas Arquimideanas

Las Cópulas Arquimideanas10 con de las clases de cópulas más importantes. Enla práctica hay una amplia gama de aplicaciones. Estas cópulas son muy fáciles decontruir (en teoría) y muchas familias paramétricas permiten esta clase. Las cópu-las Arquimideanas perteneces a una gran variedad de estructuras de dependenciay todas comunmente tienen expresiones simples y cerradas. Estas representacionesde cópulas nos permiten reducir el estudio de una cópula multivariada a una solafunción univariada.

Definición 13. Sea � : [0, 1] ! [0,1] una función contínua, estrictamente decrecientey convexa tal que � (1) = 0 y � (0) = 1. La función � tiene una inversa ��1

(0) = 1

y ��1(1) = 0 .

Tomando tambien la siguiente definición se puede generalizar.

Definición 14. La función Cd: [0, 1]d ! [0, 1] definida por

C (u1, . . . , ud) = ��1(� (u1) + · · ·+ � (ud)) (2.5.1)

es llamada Cópula Arquimideana si y solo sí ��1 es completamente monótona en[0,1) esto es

(�1)

d @k

@uk

��1(u) � 0 para k = 1, 2, ...

La funcion � es llamada generador de la cópula.Las cópulas no siempre tienen densidades. Las cópulas que son absolutamente con-tinuas tinen densidades y para las cópulas Arquimideanas con el generador � ladensidad esta dada por :

c (u1, . . . , ud) = ��1(� (u1) + · · ·+ � (ud))

d

⇧

i=1��1

(ui) (2.5.2)

10También conocidas como cópulas paramétricas

23


2.5.1. Propiedades

Teorema 15. Sea C una cópula Arquimideana con el generador � entonces:C es simétrica , es decir C (u1, u2) = C (u2, u1) para todas las u1, u2 2 [0, 1] ;C es asociativa es decir C (C (u1, u2) , u3) = C (u1, C (u2, u3)) para todas las

u1, u2, u3 2 [0, 1] ;si c > 0 es cualquier constante entonces c · � es también un generador de C.11

Tal Cópula es una permutación simétrica en d argumentos, por lo tanto esta esla función de distribución de d intercambiables variables aleatorias uniformes. Laasociatividad de las cópulas arquimedianas en general no es compartida por otrascópulas. En la tercera propiedad se ve que el generador � unicamente determina unacópula arquimediana sólo hasta un multiplo escalar.

Una propiedad de las Cópulas Arquimideana es que para cada d variables aleato-rias U1,...Ud con distribución multivariada C y generador � se sabe también la funcionde distribución de la variable aleatoria V = C(U1,...Ud). Sea U un vector aleatorio d

-dimensional como en la ecuación 2.5.1 C (u1, . . . , ud) = ��1(� (u1) + · · ·+ � (ud)).

Entonces V = C (u1, . . . , ud) tiene una función de distribución K (t) = Pr (C (u1, . . . , ud) t)

de la forma:

K (t) = t+dX

i=1

(�1)

i�i

(t)

i!fi�1 (t) (2.5.3)

donde las funciones auxiliares f0 (t) = 1/�0(t) y fi (t) para i � 1 son definidas recursi-vamente como fi (t)= f 0

i�1(t)/�0(t) .Una cópula archimediana está determinada por la función K(t) definida en el

intervalo unitario . Esto es un resultado muy útil se se quiere encontrar cual familiade cópulas parametricas se ajusta mejor a los datos.

2.5.2. Tipos de cópulas Arquimideana (las más usuales)

Se sabe que las Cópulas de la Familia Arquimediana son asimétricas, pero entre las11Esta afirmación es clara ya que el generador se comporta tal como un operador

al cual no le afecta estar multiplicado por una constante.

24


más comunes se encuentran la cópula de Gumbel, Clayton y Frank. Debido a que enla vida real los rendimientos financieros casi nunca estan normalmente distribuidos,esta familia de cópulas puede ser utilizada en situaciones extremas o para los casosde distribuciones no normales.

Las Cópulas Arquimideana se describen de forma más simple que las elípticascuando los fenomenos de estudio tienen dos dimensiones, además este tipo de có-pulas son muy atractivas para la simulación y estohace más claro, fácil y útil paragrandes dimensiones. Estas cópulas paramétricas tienen el parametro ✓, el cual esresponsable de reflejar el grado de dependencia12 y puede obtenerse a través de me-didas de concordancia, ya que estas recogen las relaciones no lineales que no captala ocrrelación, es el caso de la ⌧ de Kendall

⌧ =

c� d

c+ d=

(c�d)/

0

B@n

2

1

CA (2.5.4)

Las expresiones que ligan el parámetro ✓ con la ⌧ de Kendall son las cópulas deGumbel, Clayton y Frank.

Cópula de Gumbel

La Cópula de Gumbel es buena por explicar una dependencia positiva y las funcio-nes de distribución bivariantes de valor extremo y por lo tanto también es conocidacomo 13cópula de valor extremo (Nelsen ,1999).

CGumbel (u1, u2, . . . , un; ✓) = exp

8

<

:

�"

nX

i=1

�

�ln(ui)✓�

#1/✓9

=

;

, ✓ 2 [1,1) (2.5.5)

La cópula de Gumbel es asimétrica juntando varios eventos de riesgo que se estánen periodos de alta volatilidad, especialmente en mercados Bull y Bear, es decircapta las fluctuaciones o variaciones bruscas o repentinas que se pueden dar en losmercados, tanto cuando es alcista o bajista.

12Vea 1.613También es llamada “fuerte”

25


Esta cópula muestra sobretodo que depende de las colas de distribucióny se aplicanmayormente en la teroía del valor extremo precisamente porque es una carácteristicaimportante porque los rendimientos en el área financiera son muy a menudo de colasanchas.

Cópula de Clayton

La cópula de Clayton14 es útil para mostrar la dependencia negativa, esto significaque se le asignará la mas peso a eventos en el lado izquierdo de la función acumulativa.

Son Estas cópulas de Clayton un caso importnate de las cópulas arquimedia-nas.Este tipo de cópulas es un ejemplo relevante de las arquimedianas., y son comoen el caso anterior de las cópulas de Gumbel usadas en la teoría del valor extremode varias variables además de presentar asimetría.

Cópula de Frank

Esta implica independencia asintótica de las colas de la distribución, es simétricay asigna probabilidad cero a eventos que están dentro de las colas.

Con esta cópula considerada de la familia de las arquimedianas, se corre el riesgode que no sea apropiada en diferentes campos, por ejemplo, el de los seguros, porquetiene la errores en cuanto a que llega a considerar la misma dependencia de eventosgrandes o pequeños.

14También es llamada Cook-Johnson

26

CAPÍTULO 3.

CÓPULAS CON EL PAQUETE ESTADÍSTICO R.

Todo lo anterior forma parte de los algoritmos que un paquete estadístico llamadoR de libre distribución tiene. Las cópulas se han convertido en herramientas impor-tantes para la aplicación en muchos campos de estudio, pero para este trabajo se ledará un enfoque financiero , particularmente se pretende encontrar el valor en riesgode un portafolio que se encuentra en un escenario extremo, para ello obviamentese usará como plataforma R para modelos multivariados con cópulas. Las clases decópulas más frecuentemente usadas son las cópulas elipticas y las cópulas arquime-dianas con metodos de evaluacion de densidad distribucion, generacion de numerosaleatorios y gráficas.

En R se tienen varias clases de las más importantes: copula y mvdc. La clase copu-la es para definir cópulas , mientras que la clase mvdc1 es para definir distribuciónesmultivariadas vía copulas.

Las familias de cópulas más frecuentemente usadas son las cópulas elipticas y lascópulas Arquimedianas2. El paquete copula ha implementado clases virtuales ellip-Copula y ArchmCopula, ambas extendiendo las clases virtuales de copulas. Estasclases virtuales son designadas para proveer un camino flexible para asociar las clases

1Multivariate distributions via copula2Elliptical copulas y archimedean copulas

27

CAPÍTULO 3. CÓPULAS CON EL PAQUETE ESTADÍSTICO R.

actuales, que comparten algunas propiedades pero tienen diferentes representaciones.

Una cópula eliptica es la cópula correspondiente a una distribución eliptica porel teoréma de Sklar. Sea F una función de distribución conjunta multivariada deuna distribución elíptica. Sea Fi la función de distibución conjuta de la i � esima

marginal y Fi su función inversa (función cuantil), i = 1, . . . , p . La copula elipticaestá determinada por F si

C (u1, . . . , up) = F⇥

F�11 (u1) , · · · , F�1

p (up)⇤

Las cópulas elípticas se han vuelto muy populares en las finanzas y en la admi-nistración de riesgos por su implementación relativamente fácil, y por la comodidaden la obtencion de distribuciones condicionales es otra de las ventajas para usarlasen predicciones.Las clases de cópulas implementadas en este paquete son normalCopula para la có-pula normal tCopula para la t-copula especificada para la normal multivariada y ladistribucion t multivariada. Ambas cópulas tienen una matriz de disperción hereda-da de la distribución eliptica, y la t- cópula tiene un parámetro más, los grados delibertad (df). Como las cópulas son invariantes a las transformaciones monotonasde las marginales, la matriz de disperción estandarizada, o la matriz de correlación,determina la estructura de dependencia. La disperción de estructuras de uso comunson implementadas con autorregresivos3 de orden 1 (ar1) , intercambiables4 (ex),Toeplitz (toep) y no estructurados 5(un).

.R> myCop.norm <- ellipCopula(family = "normal", dim = 3, dispstr = "ex", .+ param = 0.4)R> myCop.t <- ellipCopula(family = "t", dim = 3, dispstr = "toep",+ param = c(0.8, 0.5), df = 8)

3Autoregressive4Exchangeable5Unstructured

28


El siguente código crea un objeto mvdc el cual representa una distribución triva-riada con distribución normal estandar como marginales y una cópula de ClaytonR> myMvd <- mvdc(copula = myCop.clayton, margins = c("norm", "norm",+ "norm"), paramMargins = list(list(mean = 0, sd = 2), list(mean = 0,+ sd = 1), list(mean = 0, sd = 2)))

Además R tambien tiene un método para generar numeros aleadorias para unacópula y es el siguiente rcopula y es el objeto para mvdc es rmvdc

3.1. Calculos de Cópulas Arquimideana mediante R

Ya se ha hablado de lo que son las Cópulas Arquimedeana, sin embargo en estasección de el trabajo se mostrará cómo se pueden realizar algunos calculos de estetipo de Cópula Arquimedeana. la cópula Gumbel es descrita (Nelsen ,1999) paradescirbir la dependencia positiva (fuerte) y las distribuciones bivariantes de valorextremo y por ello, se le conoce como cópula de valor extremo. Recordemos que lacaracterística de esta Cópula es que es asimétrica y esta logra captar situaciones deriesgo que ocurren en periodos como el que pasó en México 2008, en otras palabrascapta variaciones repentinas que se pueden dar en los mercados tanto si este seencuentra alcista o bajista. Debido a que los rendimientos suelen tener colas anchases conveniente esta elección ya que se han seleccionado dos activos un CETE y unaAcción de las más bursátiles6.

6El motivo de esta selección es para asegurar que se encuentre vigente por todo elperiodo de crisis

29


'

&

$

%

rm(list=ls(all=TRUE))install.packages("fOptions")library(timeDate)library(fBasics)install.packages("chron")library(norm)library(chron)install.packages("date")library(date) library("evd")library("evir")library("fExtremes")library("gumbel")library("ismev")library("stats4")library("tools")library("QRMlib")library("copula")Datos<- View(Datos_FIBRAS)DATOS<-as.data.frame(Datos_FIBRAS)accion<-DATOS$ICAacciontypeof(accion)CETES<-DATOS$CETES91Bono<-10/(1+(DATOS$CETES91/100)) CETESgevFit(accion,type="mle")pACCION<-pgev(accion,27.3919,10.998668,0.04071229)pACCION#muestra la matriz de probabilidadesgevFit(CETES,type="mle")pCETES<-pgev(CETES,6.1403998,1.8434969,0.3916578)MATRIX<-data.frame(pACCION,pCETES)gumbel.cop <- archmCopula("gumbel", param = 1, dim = 2 )fit.tau <- fitCopula(gumbel.cop, MATRIX, method="itau")fit.tau fit.rho <- fitCopula(gumbel.cop, MATRIX, method="irho")fit.rhogumbel_cop_VAR <- gumbelCopula(1.103427, dim= 2)gumbel_cop_VAR

30


'

&

$

%

x <- rCopula(500, gumbel_cop_VAR)xSIMaccion<-qgev(x[,1],27.3919,10.998668,0.04071229)SIMCETES<-qgev(x[,2],6.1403998,1.8434969,0.3916578)plot(x)Activos0<- as.matrix(c(CETES,accion))Proporciones4activos<-as.matrix(read.table("c:\\Documents and Set-tings.txt",header=TRUE))Proporciones<-Proporciones4activos[1:2,4:4]Portafolios<-as.matrix(Activos) %* %as.matrix(Proporciones)Datos<-as.data.frame(Datos_FIBRAS)typeof(Datos)Datos<-data.frame(Portafolios)Portafolios_rend<-data.frame(1:(nrow(Datos)-1))colnames(Portafolios_rend)[1]<- "Observ"for (i in 1:ncol(Portafolios)){ assign(paste("rend_",colnames(Portafolios)[i], sep = ""),((Portafolios[,i][-1]/Portafolios[,i][-(length(Portafolios[,i]))])-1 ))Portafolios_rend<- data.frame(Portafolios_rend,get(paste("rend_",colnames(Portafolios)[i], sep = "")))colnames(Portafolios_rend)[i+1]<-(paste("rend_",colnames(Portafolios)[i], sep = ""))}Minimos<- sapply(Portafolios_rend, min)Maximos<- sapply(Portafolios_rend, max)Deltas <- (Maximos-Minimos)/ particionesPosicion<- data.frame(0: (particiones))

31


'

&

$

%

Unitaria<- matrix(nrow=(particiones+1),1,1)

Minimos2 <- (data.matrix(Unitaria) %* % t(data.matrix(Minimos)))

Particiones <- Minimos2 + (data.matrix(Posicion) %* % t(data.matrix(Deltas)))

Particiones<- as.data.frame(Particiones)pdf("Histogramas para rendimientos de portafolios con FIBRAS.pdf")for (contador1 in 2:ncol(Portafolios_rend)){hist(Portafolios_rend[,contador1], breaks = Particiones[,contador1],freq = TRUE, right = TRUE, col = "red", border = NULL,main = paste("Histograma para rendimientos de ",colnames(Portafolios_rend)[contador1], sep = ""),xlab = "Rendimiento del Portafolio", axes = TRUE, plot = TRUE, labels = FALSE,warn.unused = TRUE);box()}dev.off()

VaR05_Rend_Hist<- lapply(Portafolios_rend, quantile, probs = .05)VaR01_Rend_Hist<- lapply(Portafolios_rend, quantile, probs = .01)

VaR05_Rend_HistVaR01_Rend_Hist

32


Con el código anterior se obtienen resultados muy similares para simulaciones de500 1000 y 10000.

x <- rCopula(1000, gumbel_cop_VAR)

> VaR05_Rend_Hist

$Observ 5 % 50.9

$rend_ 5 % -1

> VaR01_Rend_Hist

$Observ 1 % 10.98

$rend_ 1 % -1


VaR05_Rend_Hist

$Observ 5 % 25.9

$rend_ 5 % -1

> VaR01_Rend_Hist

$Observ 1 % 5.98.


>VaR05_Rend_Hist

$Observ 5 % 500.9

$rend_ 5 % -1

> VaR01_Rend_Hist

$Observ 1 % 100.98

$rend_ 1 % -1

33


3.2. Calculos de Cópulas.

Definición 16. Método de Inversión: Este es el método más rudimentario para generarcópulas, y su principal desventaja consiste en que es necesario conocer de antemanola distribución conjunta. Este método surge de forma directa del Teorema de Sklar.

Dadas dos distribuciones marginales continuas; F1 y F2; y una distribución conjun-ta continua; F (x1, x2) = C(F1(x1), F2(x2)). La cópula correspondiente es generadausando la función de cuantiles de las marginales1 dónde x1=F�1

1 (u1) y x2=F�12 (u2)

y ui son distribuciones marginales. Esto es

C(u1, u2) = F�

F−11 (u1), F

−12 (u2)

�

Un primer ejemplo se puede encontrar dentro de la familia Arquimedeana. Se partede una función acumulada bivariada de la forma F (x1, x2) = e�[e

−x1+e−x2−(e−jx1+e−jx2 )�1/✓]

la cual tiene dominio en el área real dada por−1 < x1, x2 < 1 con un parámetrode depencia ✓ � 0.

Para conocer sus distribuciones marginales, se procede de la misma forma que encualquier otra función acumulada bivariada, esto es, se toma el límite cuando algunode sus argumentos tiende a infinito, lo que nos lleva a F (x1) = lim

x2→1[F (x1, x2)] =

e−e−y1= u1 y a F (x2) = lim

x1→1[F (x1, x2)] = e−e−x2

= u2

Una vez conocidas las distribuciones acumuladas marginales, se procede a obtenerla función de cuantiles respectiva; i.e. invertir la función; lo que nos lleva a x1 =

−ln(−ln(u1)) y a x2 = −ln(−ln(u2)) respectivamente. Ahora solo es cuestión desustituir las funciones de cuantiles recién obtenidas como argumentos en la funciónacumulada vibariada. Esto nos lleva a:

34


C(x1, x2) =

=e�[e�(−ln(−ln(u1)))+e�(−ln(−ln(u2)))−(e−j(−ln(−ln(u1)))+e−j(−ln(−ln(u2))))�1/✓

]

=e

ln(u1)+ln(u2)+((�ln(u1))

�✓+(�ln(u2))�✓

)

�1/✓�

=u1u2e(

(�ln(u1))�✓+(�ln(u2))

�✓

)

�1/✓

Existen muchas cópulas que pueden formarce utilizando este método7; tantas comofunciones acumuladas de probabilidad multivariadas pueda imaginar. Con finalidadde hacer claro este método; se analizará el siguiente ejemplo. Iniciemos con la funciónacumulada de probabilidad bivariada (1 + e−x1

+ e−x2)

−1.Siguiendo el procedimiento anterior, obtenemos las funciones acumuladas margi-

nales: F (x1) = (1+e−x1)

−1 y F (x2) = (1+e−x2)−1 . Ahora se invierten estas funcio-

nes; para obtener la función de cuantiles; lo que nos lleva a x1 = −ln

u1

1� u1

!

y a

x2 = −ln

u2

1� u2

!

. Para finalizar con el ejercicio, solo se sustituyen estas funciones

de cuantiles en la función acumulada bivariada, lo que nos conduce a:

C = (1 + e

−ln

0

BB@u1

1� u1

1

CCA

+ e

−ln

0

BB@u2

1� u2

1

CCA

)

−1

=

u1u2 + (1� u1) u2 + (1� u2) u1

u1u2

!

=

u1u2

u1 + u2 � u1u2

!

Como se mencionó al principio del apéndice, este método requiere que el inves-tigador conozca; o suponga; de antemano la forma de la distribución conjunta, loque no siempre es posible. Por lo que el uso de este sencillo método es relativamente

7Dado en Joe, H. (1993), “Parametric families of multivariate distributions withgiven margins”. Journal of Multivariate Analysis 46, 262282.

35


escaso. Para paliar este problema existen otros métodos para la formación de cópulasentre los cuales destacan el algebraico y el de mezcla, los cuales serán explicados acontinuación.

Definición 17. Método algebraico: Este método también resulta muy simple, nace dela relación entre dos distribuciones marginales las cuales en un principio se asumencomo independientes. A continuación se introduce un parámetro de dependencia j ycon ello se obtiene la cópula. Ejemplos conocidos de cópulas obtenidas usando estémétodo son las cópulas de Plackett y la de Ali-Mikhail- Haq.

A continuación se ejemplifica este método replicando la obtención de la cópulade Ali-Mikhail-Haq, para ello partiremos de las funciones marginales F (x1) = (1 +

e−x1)

−1 y F (x2) = (1+e−x2)−1. El método nos pide buscar la función de distribución

bivariada asumiendo independencia lo que nos lleva a pensar que F12(x1, x2) =F1(x1)F2(x2).

Recordando que las familias de cópulas incluyen a cópulas asociadas; V.g. la cópulade supervivencia; y por simplicidad, buscaremos la cópula de supervivencia, es decir

1� F12(x1, x2)

F12(x1, x2)

!

. Si sustituimos la función acumulada vibariada en esta llegamos

a:

1� F12(x1, x2)

F12(x1, x2)

!

=

1� (1 + e−x1)

−1(1 + e−x2

)

−1

(1 + e−x1)

−1(1 + e−x2

)

−1

!

=

0

@

(1+e−x1 )−1(1+e−x2 )−1�1(1+e−x1 )−1(1+e−x2 )−1

1(1+e−x1 )−1(1+e−x2 )−1

1

A

= e−x1+ e−x2

+ e−x1�x2

(3.2.1)

Si la útima igualdad es expresada en términos de las distribuciones de superviven-

cia de las distribuciones originales i.e.1� Fi(xi)

Fi(xi)=1� (1 + e−x

i

)

−1

(1 + e−xi

)

−1=(1 + e−x

i

)

−1 �

1=e−xi ; podemos expresar la ecuación anterior como:

36


1−F (x1, x2)

F (x1, x2)=

1−F1(x1)

F1(x1)+

1−F2(x2)

F2(x2)+

1−F1(x1)

F1(x1)· 1−F2(x2)

F2(x2)

Basta con hacer el álgebra correspondiente en esa suma para llegar a la cópula.Por simpicidad se asume que ui = Fi(xi), todo esto nos lleva a:

1−C(u1, u2; ✓)

C(u1, u2; ✓)=

1−u1

u1+

1−u2

u2+

1−u1

u1· 1−u2

u2

=

u1 � u1u2 + u1 � u1u2

u1u2+ (1� ✓)

1� u2 + u1 + u1u2

u1u2

Reacomodando para despejar C(u1, u2; ✓) obtenemos:

C(u1, u2; ✓) =u1u2

1� ✓ (1� u1) (1� u2)

Definición 18. Método de mezcla y sumas convexas: Se discutió el dominio de lassubcópulas y de las cópulas como espacios en los reales extendidos; R y de sus rangossobre el intervalo [0, 1]. Dados estos antecedentes, es que se puede hablar de sumasconvexas entre cópulas; que mapean desde dominios similares y que por tanto puedenser agregadas; lo que implica la existencia de cópulas que son producto de hacersumas convexas entre funciones acumuladas multivariadas que ya han demostradoser cópulas (Nelsen, 2006). Lo que implica que una suma convexa hecha medianteun ponderador [0, 1] también es un cópula, lo que se puede escribir como:

CM= ⇡1CL + (1� ⇡1)CU (3.2.2)

Lo anterior ser usado para encontrar cópulas que son la esperanza de una cole-ción infinita de cópulas indexadas por una variable continua ⌘ con una función de

37


distribución ⇤✓ (⌘). Esto es:

C✓(u1, u2) = E⌘ [C⌘(u1, u2)] =

ˆ

R(⌘)

C⌘(u1, u2)d⇤✓ (h) (3.2.3)

De forma similar Marshall y Olkin (1988) consideraron la mezcla

H(x) =

ˆ

R(⌘)

C⌘ (u1, u2) d⇤ (h) donde el índice ⌘ > 0

Ellos mostraron que para cualquier par de cópulas y distribuciones de cópulas;H(x) , ⇤ (h), existe una cópula F (x) que la vuelve función de densidad. Aunque estetipo de ejemplos no serán usados durante el desarrollo de esta tesis.

Definición 19. Cópulas Arquimideana. Aunque no es un método de generación decópulas, las cópulas Arquimideana son una clase especial de cópulas que se caracte-rízan por surgir de funciones pseudo invertibles. En general, son cópulas capaces decapturar amplios rangos de dependencia y de derivación más o menos sencilla.

Formalmente, se dice que una Cópula es Arquimedeana cuando existe una clasef de funciones convexas decrecientes8 que mapean del intevalo [0, 1] al intervalo[0,1] con derivadas continuas en (0, 1). Todas estas condiciones aseguran que existala inversa ;'�1; o pseudo inversa; �[�1] ; de esta función; . Esto depende de que' (0) = 1 ó no.9

Si una función ' cumple con estas caracterísiticas entonces es capaz de gene-rar funciones de distribución bivariadas y se le conoce como función generadora10.

8El que sea decreciente implica que existe ' (1) = 0 y '0(x) < 0 ; y convexas; i.e

'00(t) > 0 8t 2 (0, 1)

9Se ha simplificado un poco para esta tesis pero la definición formal es : '[�1](x) =

(

'�1(x) 0 x ' (0)

0 ' (x) x +110Se explicó en el capítulo anterior la definición y no se debe confundir con la función

generadora de momentos

38


Ejemplos de estas funciones son: � (x) = �ln (x),� (x) = (1� x)✓, � (x) = x � ✓,✓ > 1.

Siguiendo esta línea de pensamiento, Junker & May (2005)11 probaron que si lafunción ' es un generador, esta puede ser compuesta en otra funcioón f � g ; quetambién será un generador, a condición de que la función tenga dominio y rango den-tro del intervalo [0, 1]; g : [0, 1] ! [0, 1]; y que sea una función cóncava estrícamentecreciente, que además con g (1) = 1.

Como ejemplo de lo postulado por Junker & May , asuma que la función f :

[0,1] ! [0,1] es una función convexa estríctamente creciente que además cumplecon F (0) = 0. Si esta función es compuesta con otra función que es un generador,entonces la nueva función:f � g ; también lo es. Hacen notar que funciones que seusan en la literatura cumplen con estos requisitos. Por ejemplo:

g (x) = x� � 2 (0, 1)

g (x) =ln (ax+ 1)

ln (a+ 1)

a 2 (0, 1)

g (x) =e�✓x � 1

e�✓ � 1

✓ 2 (�1,1)

f (') = '� � 2 (1,1)

f (') = a' � 1 a2 (1,1)

f (') = a�' � 1 a 2 (0, 1)

En general, las cópulas de la familia Arquimedeana tienen el parámetro de depen-dencia dentro de la forma funcional ' y en general tienen la forma

C (u1, u2; ✓) = '�1(' (u1) + ' (u2)) (3.2.4)

Para finalizar se mencionará que esta clase de cópulas tienen la propiedad de sime-tría; i.e C (u1, u2) = C (u2, u1) ; y asociatividad; i.e. C (C (u1, u2) , u3) = C (u1C (u2, u1)).

11Junker,M. and A. May (2005), Measurement of aggregate risk with copulas. Eco-nometrics Journal 8, 428454

39


Estas dos propiedades son producto de la unicidad de la cópulas establecida en elteorema de Sklar.

3.3. Valor en Riesgo Histórico con R

Se puede realizar el calculo de valor en riesgo con R de la siguiente manera.

VaR(R, p = 0.95,method = c("modified", "gaussian","historical", "kernel"),clean = c("none", "boudt", "geltner"),portfolio_method = c("single", "component","marginal"),weights = NULL, mu = NULL, sigma = NULL, m3 = NULL,m4 = NULL, invert = TRUE, ...)

donde

R vector, matriz marco de datos, serie de tiempo o un objeto de rendimiento de losactivos.

p nivel de confianza para el cálculo, por default p=0.99

method puede ser “modified”, “gaussian”, “historical”, “Kernel”.

porfolio_method puede ser “single”, “component”, “marginal”, lo cual define si esunivariado, por componentes o cálculo marginal.

weights vector de pesos del portafolio, el valor de default es NULL.

mu si es el caso univariado, mu es la media de las sieries. En cualquier otro caso mues el vector de medias de los rendimientos de las series, el valor de default esNULL.

sigma si es univariado, sigma es la varianza de las seires. En cualquier otro casosigma es la matriz de covarianza de los rendimeintos de las series, el valor dedefault es NULL.

40


m3 si es univariado, sigma es el sesgo de las series.

m4 si es univariado, m4 es el exceso de kurtosis de las series. En cualquier otro casoes la matriz de cokirtosis de el rendimiento e las series, el valor de default esNULL.

invert TRUE/FALSE para invertir la medida de VaR.

El VaR (valor en riesgo) al nivel de probabilidad p (por ejemplo p = 95%) es elp-cuantil de los rendimientos negativos, o equivalentemente, es el valor negativo delcuantil c = 1� p de el rendimiento. En un conjunto de rendimientos cuya historia essuficientemente grande, el valor en riesgo por periodo es simplemente el cuantil delperiodo de los retornos negativos

V aR = quiantile(�R, p)

Este método es tambien llamado “VaR histórico”, como es por definición un análisisex post de la distribucion de los rendimientos , se puede usar el método “historical”.

Sin embargo

41


rm(list=ls(all=TRUE))install.packages("fOptions")library(timeDate)library(fBasics)install.packages("chron")library(norm) library(chron)install.packages("date")library(date)library("evd")library("evir")library("fExtremes")library("gumbel")library("ismev")library("stats4")library("tools")library("QRMlib")library("copula")

Datos<- View(Datos_FIBRAS)DATOS<-as.data.frame(Datos_FIBRAS)accion<-DATOS$ICAacciontypeof(accion)CETES<-DATOS$CETES91Bono<-10/(1+(DATOS$CETES91/100))CETES

42


Activos<-data.frame(accion,CETES)Proporciones4activos<-as.matrix(read.table("c:\\Documents and Set-tings”,header=TRUE))Proporciones<-Proporciones4activos[1:2,4:4]

Portafolios<-as.matrix(Activos) %* %as.matrix(Proporciones)

Datos<-data.frame(Portafolios)

Portafolios_rend<-data.frame(1:(nrow(Datos)-1))colnames(Portafolios_rend)[1]<- "Observ"for (i in 1:ncol(Portafolios)){ assign(paste("rend_",colnames(Portafolios)[i], sep = ""),((Portafolios[,i][-1]/Portafolios[,i][-(length(Portafolios[,i]))])-1 ))Portafolios_rend<- data.frame(Portafolios_rend,get(paste("rend_",colnames(Portafolios)[i], sep = "")))colnames(Portafolios_rend)[i+1]<-(paste("rend_",colnames(Portafolios)[i], sep =""))}

Minimos<- sapply(Portafolios_rend, min)Maximos<- sapply(Portafolios_rend, max)

Deltas <- (Maximos-Minimos)/ particionesPosicion<- data.frame(0: (particiones))

Unitaria<- matrix(nrow=(particiones+1),1,1)Minimos2 <- (data.matrix(Unitaria) %* % t(data.matrix(Minimos)))

Particiones <- Minimos2 + (data.matrix(Posicion) %* % t(data.matrix(Deltas)))Particiones<- as.data.frame(Particiones)

43


pdf("Histogramas para rendimientos de portafolios con FIBRAS.pdf")for (contador1 in 2:ncol(Portafolios_rend)){hist(Portafolios_rend[,contador1],breaks = Particiones[,contador1], freq = TRUE, right = TRUE, col = "red", border= NULL,main = paste("Histograma para rendimientos de ",colna-mes(Portafolios_rend)[contador1], sep = ""),xlab = "Rendimiento del Portafolio", axes = TRUE, plot = TRUE, labels = FALSE,warn.unused = TRUE);box()} dev.off()

VaR05_Rend_Hist<- lapply(Portafolios_rend, quantile, probs = .05)

VaR01_Rend_Hist<- lapply(Portafolios_rend, quantile, probs = .01)

VaR05_Rend_HistVaR01_Rend_Hist

44


Con el Código anterior se obtiene el Valor en Riesgo Histórico siguiente:

> VaR05_Rend_Hist

$Observ 5 %

96

$rend_ 5 %

-0.03722943

> VaR01_Rend_Hist

$Observ 1 %

20

$rend_ 1 %

-0.06510352

Lo cual es un valor mucho menor al que se obtuvo con Cópulas.

45

CONCLUSIONES.

El Valor en Riesgo se ha desarrollado como una herramienta de evaluación deriesgos en los bancos y otras empresas de servicios financieros en la última década.Su uso en estas empresas ha sido impulsado por el riesgo de fracaso de los sistemasde seguimiento utilizados hasta principios de 1990 para detectar el riesgo peligrosode tomar por parte de los comerciantes y se ofrece en los beneficios principales: unamedida de capital riesgo en las carteras de negociación en condiciones extremas quepodrían ser actualizados en forma regular. Aunque la noción de Valor en Riesgo essimple: la cantidad máxima que puede perder que en una inversión en un períodode particular con una probabilidad especificada, hay tres maneras en que el valor enriesgo puede ser medido.

En la primera, que aceptamos los beneficios generados por la exposición múltiplea riesgos de mercado se distribuyen normalmente.

En el segundo enfoque, que ejecuta una cartera a través de datos históricos enla simulación histórica y estimar la probabilidad de que superen las pérdidas delos valores especificados.

En el tercer enfoque, se asume la distribución de rendimientos para cada unode los riesgos de mercado individuales y ejecutar simulaciones de Monte Carlopara llegar al Valor en Riesgo.

Cada medida viene con ventajas y desventajas propias: el enfoque de varianza-covarianza es simple, pero para la aplicación del supuesto de normalidad puede serdifícil de sostener, simulaciones históricas asumen que los períodos de tiempo pa-sados utilizados son representativos del futuro y simulaciones de Monte Carlo son

46

CONCLUSIONES

computación intensiva y el tiempo. El enfoque más importante es que incorpora estametodología es el empleo de una clase de funciones denominadas cópulas que posibi-lita, a partir de dos o más variables con sus respectivas marginales, la construcciónde distribuciones multidimensionales que presenten dichas marginales (teorema deSklar). El problema que se suele plantear es determinar aquella función cópula quegenere la distribución conjunta más ajustada a la relación de dependencia existenteentre todas las variables.

Cabe mencionar que se obtuvo justamente lo que se esperaba que el Valor enRiesgo para simulación Histórica resulta menor que para Cópulas Arquimideana deltipo Gumbel.

47

ÍNDICE ALFABÉTICO

AArquimideana, 25

CClayton, 26cópula, 11Cópula bivariada, 19Cópulas Arquimidianas, 23Cópulas Clayton, 1

DDefinición de VaR, 2

FFrank, 26Fréchet-Hoeffding, 21Función contínua, 23Función Generalizada de Valores Extre-

mos, 15

GGaussian, 1Generador de la cópula, 23Gumbel, 25Gumbel-Hougaard, 2

MMedidas de dependencia, 10Método de mezcla y sumas convexas, 37

OOrigen del valor en riesgo, 5

Pparámetro de forma, 16Propiedades, 24

RR, 27, 29

Ssimulación histórica, 6Simulación Montecarlo, 1, 9Sklar, 11, 19subcópula, 16

TTeorema del Límite Central, 14

UUtilidad, 3

48

ÍNDICE ALFABÉTICO

VValor en Riesgo Histórico con R, 40Valores Extremos, 13

49

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