Universidad Carlos III Microeconomía

LA TEORÍA DEL CONSUMIDOR: INCERTIDUMBRE

1. Un individuo padece una enfermedad grave que puede ser tratada con medicamentos o medi-ante una intervención quirúrgica. Los medicamentos le permitirán eliminar razonablementebien la mayoría de los síntomas y le permitirían vivir 20 años con una probabilidad de 2/3y solamente 10 con una probabilidad de 1/3. La intervención quirúrgica le curaría la en-fermedad y le permitiría vivir 30 años más. Sin embargo existe un riesgo de muerte en lamesa de operaciones estimado en 0; 3. Las preferencias del paciente están representadas porla función de utilidad de Bernoulli u =

px, donde x representa los años de vida estimados.

¿Qué decisión tomará?

2. Un estudiante recién graduado que ha recibido una herencia de 4 millones de euros estáconsiderando iniciar un negocio que requiere una inversión de 2 millones de euros. Si tieneéxito, los bene�cios brutos obtenidos serían de 6 millones de euros, pero si no lo tiene perderíasu inversión. La probabilidad de que el negocio tenga éxito es del 50%.

(a) Si las preferencias del estudiante están representadas por la función de utilidad de Be-noulli u(x) = x, ¿llevaría a cabo esta inversión? ¿Y si es u(x) = x2?¿Y si es u(x) = lnx?

(b) Un estudio que cuesta a millones de euros predice con seguridad si la inversión tendráéxito o no. ¿Debería el estudiante con función de utilidad de Benoulli u(x) = x2 comprardicho estudio si a = 1?¿Y si a = 0:5?

(c) Finalmente, suponga que la función de utilidad u(x) =px representa las preferencias

del estudiante; y que se le ofrece una subvención de b millones de euros por realizar lacitada inversión. ¿Debería el estudiante aceptar esa subvención si b = 1? ¿Y si b 6= 1?

3. El equipo de la NBA Memphis Grizzlies, cuyo manager tiene unas preferencias representadaspor función de utilidad de Bernoulli u(x) =

px; quiere este año llegar a los playo¤s, y

los directivos están considerando las posibles estrategias para lograrlo. Dado que el equipose encuentra en una situación �nanciera muy estable, sus activos están valorados en $2500millones, se les ofrece la posibilidad de contratar a Kobe Bryant. Si deciden contratarle, laprobabilidad de clasi�carse en los playo¤s es de 0.6, mientras que sin Kobe esta probabilidades solo del 0.1. El coste de contratar a Kobe es de $196 millones. Si los directivos de losGrizzlies deciden contratar a Kobe y el equipo llega a los playo¤s, el club podría �char aShaquille O�Neil por $228 millones. El equipo con Shaq tiene una probabilidad del 90% deganar la �nal, mientras que sin él esta probabilidad es sólo del 30%. Si el equipo no contrataa Kobe y llega a los playo¤s, ya no podrá �char a nadie antes de disputar los partidos, y laprobabilidad de ganar la �nal en estas circunstancias es del 1%. Jugar los playo¤s aseguraunos ingresos de $525 millones, y ganar la �nal otros $420 millones adicionales.

(a) Represente el problema mediante un árbol de decisión.

(b) Determine si el equipo debe contratar a Kobe y a Shaq, a Kobe solamente o a ninguno.Cual sería su respuesta si la función de utilidad u(x) = 3x representase las preferenciasdel manager.

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(c) Suponga que el equipo ha contratado a Kobe Bryant y el equipo ha conseguido llegara los playo¤s. Ahora se encuentran en la situación de decidir si deben contratar o no aShaquille O�Neil. ¿Deberían hacerlo?

4. Pedro Banderas es propietario de una vivienda valorada en 40 mil euros y su salario actuales de 22.500 euros anuales. Pedro quiere dedicarse al cine, tiene una idea para dirigir unapelícula con un presupuesto 300 mil euros, y está considerando pedir una excedencia de un añopara este �n. Una productora le propone compartir riesgos (y bene�cios); especí�camente, lepropone �nanciar 260 mil euros de la película a cambio de que Pedro aporte su vivienda comoinversión (40 mil euros). Además le garantiza que su salario anual (22.500 euros) si �nalmentela película no resulta ser de su�ciente calidad como para que se estrene en cines. Pedro creeque si la película se estrena en cines obtendría una recaudación 363 mil euros si tiene unataquilla baja, cantidad que llegaría a 1,875 millones de euros si la taquilla fuera elevada. Sesabe que esta productora logra estrenar en cines 8 de cada 10 películas que produce y que1 de cada 10 películas estrenadas obtienen una taquilla elevada. Las preferencias de Pedroestán representadas por función de utilidad u(x) =

px:

(a) Describa el problema de Pedro y determine decisión óptima.

(b) Indique si Pedro mantendría la decisión adoptada en el apartado anterior si su sueldofuera 12 mil euros.

5. Se lanza una moneda y se anticipa el resultado (cara o cruz). Si se acierta, se cobran 10 eurosy se tiene la posibilidad de volver a jugar y, así, hasta tres lanzamientos de la moneda. Sise falla, se devuelve todo el dinero que se ha ganado y no se tiene la oportunidad de seguirjugando. Al �nal del juego hay que pagar 2 euros por cada apuesta. Represente este juegocomo un árbol de decisión, y determine la decisión óptima si las preferencias del individuoestán representadas por la función de utilidad de Bernoulli u(x) = x.

6. Un individuo está considerando realizar una inversión cuyos rendimientos posible y sus prob-abilidades están resumidos en la tabla siguiente:

Bene�cio -20 -10 0 20Pr 0,2 0,2 0,4 0,2

:

Si la inversión reporta 20 millones de bene�cio, se tiene opción a una segunda inversión cuyosrendimientos son

Bene�cio 50 -10Pr 0,8 0,2

Las preferencias del inversor están representadas por una función utilidad de Bernoulli quesatisface

x -20 -10 0 10 20 30 40 45 50 60 70u (x) 0 0,3 0,5 0,65 0,75 0,825 0,9 0,93 0,95 0,975 1

(a) Represente mediante un árbol de decisión el problema del individuo considerando que sino acomete la primera inversión su bene�cio será cero.

(b) Determine si el individuo debe o no realizar cada una de las dos inversiones citadas.

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7. La compañía petrolera Tibitrol ha comprado terrenos desérticos en los Monegros. El geólogojefe estima que la probabilidad de encontrar petróleo en ese terreno es de 1/5. Hacer unaperforación para ver si realmente hay petróleo costaría 1 millón de euros. Si se encuentrapetróleo se tendrán ingresos de 3 millones de euros. Si no se encuentra petróleo el gasto deperforación habrá sido totalmente inútil. Las posibles decisiones de la compañía son perforary no perforar. Si la empresa es neutral frente al riesgo, ¿cuál de las dos acciones deberá tomar?¿Y si fuera aversa al riesgo?

8. La riqueza de un consumidor consiste en una casa valorada en 250 mil euros y en 10 mil eurosen efectivo. La probabilidad de que se destruya totalmente por un incendio accidental (encuyo caso perdería todo su valor) es 1/100.

(a) Si las preferencias están representadas por la función de utilidad u (x) =px; donde x es la

riqueza del consumidor al �nal del año, ¿aceptaría el consumidor asegurar completamentela casa por 3 mil euros?

(b) Suponiendo que el riesgo de incendio es el mismo para todos los consumidores (e inde-pendiente entre ellos), ¿sería esta una cuota de seguro aceptable para una compañía deseguros? (Suponga que la compañía es neutral al riesgo).

(c) ¿Cuál es la cuota de seguro máxima que estaría dispuesto a pagar el consumidor? ¿Cuáles la cuota mínima que estaría dispuesta a ofrecer la compañía? ¿Qué relación hay entreestas cuotas y el equivalente de certeza y prima de riesgo de la lotería que representa lapropiedad de la casa sin seguro?

9. El propietario de un comercio valorado en 64 millones de euros se enfrenta a una probabili-dad del 1% de que en un año cualquiera un incendio destruya completamente el local. Laspreferencias del individuo están representadas por la función de utilidad u (x) =

px; donde x

es la cantidad riqueza al �nal del año.

(a) Calcule la utilidad esperada de la lotería que enfrenta el individuo y su equivalentede certidumbre. ¿Estaría dispuesto a vender el comercio por 60 millones? ¿Y por 63millones?

(b) Una compañía de seguros le ofrece una póliza anual que cubre todo el riesgo por unmillón de euros. ¿Aceptaría el individuo esta oferta?

(c) Suponga para este apartado que el individuo dispone (además del comercio) de 1 millónde euros en efectivo. Una empresa le ofrece alquilar un equipo de prevención de incendiosque reduciría al 0,5% la probabilidad de incendio. Determine si estaría dispuesto a pagar50.000 euros por el alquiler. ¿Cual es la cantidad máxima anual que el individuo estaríadispuesto a pagar por el alquiler de este equipo?

10. Un individuo acaba de asegurar contra el robo su nueva moto, cuyo valor es de 2500 Euros.Los robos son muy frecuentes en la ciudad donde vive y en todos ellos la moto no vuelvea aparecer. Las preferencias del individuo están representadas por la función de utilidad deBernoulli u(x) =

px:

(a) Sabiendo que la cuota máxima que está dispuesto a pagar el individuo es 99 euros, calculeel equivalente de certeza de la lotería que enfrenta el individuo.

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(b) Si el individuo recibe ingresos inesperados de 3600 euros, ¿mantendrá su seguro?

11. Un concursante de un programa de televisión ha contestado acertadamente a todas las pre-guntas que le han planteado. Para la última pregunta le quedan dos posibles respuestas, entrelas que se muestra totalmente indeciso �no tiene ni idea. Podría abandonar manteniendosus ganancias acumuladas (361 euros), o responder, de forma que si acertara sus gananciasascendería a 676 euros, pero si fallara descenderían hasta 100 euros.

(a) ¿Debería arriesgarse si sus preferencias están representadas por la función de utilidadu(x) = x? ¿Y lo estuvieran por la función de utilidad u(x) =

px?

(b) ¿Cuál es el equivalente de certeza de la lotería a la que enfrenta? ¿Cuál es la prima deriesgo?

12. En el mercado de seguro de accidentes de automóviles hay dos clases de conductores, los buenos(que causan un accidente al año con probabilidad 0,1, y ningún accidente con probabilidad 0,9),y los malos (que causan un accidente con probabilidad 0,1, dos accidentes con probabilidad0,05 y ningún accidente con probabilidad 0,85). Los costes de reparación de los vehículosinvolucrados en un accidente son (en media) de 2.000 euros. La proporción de buenos y malosconductores en la población es de 2 a 1.

(a) Si las compañías de seguros son neutrales al riesgo (su función de utilidad es u(x) = x)y no pueden distinguir entre buenos y malos conductores, ¿Cuál es la mínima cuota queestarían dispuestas a ofrecer por cubrir el riesgo de accidente?

(b) Suponga que todos los conductores tienen preferencias representadas por la función deutilidad u (x) =

px; y que su riqueza inicial es de 5.000 euros. ¿Qué tipo de conductores

(buenos y/o malos) suscribirían una póliza de seguro a la cuota mínima determinada en(a)?

13. Un agente de ventas por teléfono con función de utilidad u(x) = x posee una lista de con-sumidores potenciales, así como sus números de teléfono. Cada día puede hacer un númerolimitado de llamadas. Cada llamada telefónica le cuesta un euro y por cada venta que realizarecibe 20 euros de comisión. Su experiencia le dice que en sólo 3 de cada 10 llamadas consiguehablar con la persona indicada en la lista y que en este caso, dos de cada 10 de ellas comprael producto.

(a) Representar el problema del individuo como un árbol de decisión. ¿Cuál es el valoresperado de cada llamada telefónica?

(b) La compañía telefónica también ofrece el servicio �persona-a-persona�. Con este serviciose paga un precio p por llamada sólo si se consigue contactar con la persona deseada.¿Cuál es el pmáximo que el vendedor estaría dispuesto a pagar por cada llamada persona-a-persona?

14. Un individuo neutral ante el riesgo (u(x) = x) necesita hipotecar uno de sus inmuebles paraobtener 200.000 euros, que devolverá en dos pagos anuales de 100.000 euros cada uno máslos correspondientes intereses. Los créditos hipotecarios entre los que puede optar son de tresmodalidades:

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� Interés �jo del 10% anual.

� Interés del 9% el primer año, que podría subir al 14%, bajar al 8%, permanecer constanteen el 9% el segundo año.

� Interés del 7% el primer año que podría subir al 20% el segundo, o permanecer constanteen el 7%, o bajar al 6%.

a. Determine la alternativa óptima sabiendo que la probabilidad de que los tipos de interéssuban es 0,6, y la de que bajen es 0,2.

b. ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar el decisor por saber si los tipos subirán, bajarán opermanecerán constantes?

15. Un individuo debe decidir si comprar un piso en la ciudad o una casa en las afueras. El costede ambas viviendas es el mismo (120.000 euros) y el individuo es indiferente entre una y otraopción, excepto por las expectativas de revalorización. Si los precios de la vivienda continúanaumentando (E1) el valor del piso alcanzaría los 140.000 euros mientras que el valor de la casallegaría los 340.000. La probabilidad de que ocurra esto es 0,3. Si la tendencia alcista de losprecios se invierte (E2), el valor del piso se reduciría a 70.000 euros, mientras que el de la casase reduciría a 20.000. El decisor tiene unas preferencias expresadas por la función de utilidadu(x) =

px, donde x viene expresada en euros, y dispone de una riqueza inicial de 140.000

euros.

(a) Represente el problema del individuo y determine si comprará la casa o el piso.

(b) ¿Pagaría el decisor 20.000 euros por conocer si los precios de la vivienda continuaránsubiendo o no?

16. La introducción de un nuevo producto en el mercado se realiza en tres etapas: Diseño, Ex-perimentación y Producción. De cada 10 productos, 7 mueren en la etapa de diseño. De losque sobreviven, solamente el 10% pasan la etapa de experimentación y se llegan a producir.Tan sólo 1 de cada 5 bienes producidos tienen éxito. Para cada nuevo producto, los costesasociados a cada etapa son 100.000, 20.000 y 200.000 euros, respectivamente. Los ingresosesperados para un producto que supera las tres etapas son de 60 millones de euros.

(a) ¿Cuál es el valor esperado de construir una nueva maqueta?

(b) Una consultora puede anticipar sin error si un prototipo que ha pasado con éxito la etapade diseño pasará la etapa de experimentación. ¿Cuál es el valor de sus servicios?

17. La Empresa TOYSA es neutral al riesgo y está pensando si diseñar (D) o no un nuevo juguete.Si no diseña el nuevo juguete sus ingresos son nulos. Sabe que la fase de diseño le costará500.000 euros y que la probabilidad de pasar el control de calidad (CD) en esta fase es de0,6. Si efectivamente el nuevo juguete se diseña y pasa el control de calidad sobre el diseño,tendrá que decidir la forma de fabricación de las 10.000 unidades de ese juguete que esperaproducir. Si decide fabricar en sus instalaciones (FI) tendrá un coste de 400.000 euros y unaprobabilidad de que el juguete pase el control de calidad de fabricación (CF) de 0,7. Porel contrario si decide subcontratar la fabricación a otra Empresa (FE), la fabricación de las10.000 unidades del nuevo juguete le costará 900.000 euros, pero los juguetes pasarán todos

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los controles de calidad de fabricación. Finalmente, si la Empresa tiene el juguete terminado,lo intentará vender primero en el mercado nacional, aunque por las condiciones del mismo,sabe que venderá toda su producción (VT) en el mercado nacional con probabilidad 0,8 y conprobabilidad 0,2 venderá en el mercado nacional sólo la mitad de la misma. Como la Empresano quiere tener excedentes de esos juguetes, en el caso de que no venda toda su producciónen el mercado nacional, el excedente lo colocará en el mercado exterior. El precio del nuevojuguete en el mercado nacional es de 200 euros, y en el mercado exterior es 20 euros.

(a) Represente el problema mediante un árbol de decisión y determine la alternativa (se-cuencias de alternativas) que maximizan la ganancia esperada de la Empresa.

(b) ¿Cuánto pagaría la Empresa por obtener información perfecta acerca de si el diseñopasará o no el control de calidad?

18. El Sr. Martínez dirige una agencia de la propiedad inmobiliaria especializada en la búsqueda decompradores para �ncas de tipo comercial. Recientemente ha recibido a un posible cliente quedesea vender las dos propiedades siguientes por el precio (en euros) que �gura a continuación,pagando la correspondiente comisión (también en euros).

Precio ComisiónLeganés 250:000 10.000Aravaca 600:000 20:000

Además, el cliente exige las siguientes condiciones para darle la exclusiva de venta a Martínez:�Debe vender la �nca de Leganés en primer lugar. Si no logra venderla en el plazo de un mesme veré obligado a retirarle la oferta y, por tanto, no tendrá ninguna posibilidad de vender laotra propiedad. Si vende Leganés en ese plazo, aparte de recibir la comisión correspondiente,tendrá la opción de

(i) renunciar en ese momento a vender la otra propiedad, o

(ii) intentar vender la de Aravaca, también en el plazo de un mes.

Por supuesto, Martínez sólo percibirá la comisión de cada una de las propiedades si se realizala venta correspondiente. Con esta propuesta en la mano, Martínez hizo unos cálculos basadosen su experiencia en ese mercado que �guran resumidos en la siguiente tabla:

Coste Probabilidad VentaLeganés 8:000 0,5Aravaca 2:000 0; 7

Los costes (en euros) re�ejan el esfuerzo en tiempo y gastos en publicidad que debería invertirMartínez para conseguir la venta. Como se puede apreciar a Martínez le parece menos probablevender la propiedad de Leganés que la otra, y por tanto, hubiera preferido empezar vendiendoAravaca. Pero desafortunadamente no tiene esa opción. Los costes estimados se realizarántanto si la propiedad acababa vendiéndose como si no; la única forma de no incurrir en elloses decidiendo no intentar la venta de esa propiedad. Las preferencias de Martínez estánrepresentadas por la función de utilidad cuyos valores son (x está expresada en euros)

x -8.000 -3.200 0 2.000 8.000 13.000 16.000 16.800 20.000u (x) 0 0,3 0,5 0,6 0,75 0,85 0,9 0,92 1

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(a) Represente el problema de Martínez mediante un árbol de decisión, considerando que siínez no acepta la oferta en los términos que plantea el cliente, su bene�cio es cero.

(b) Suponga que las preferencias de Martínez están representadas por la función de utilidadde Bernoulli u(x) = x: ¿Debería aceptar el encargo de venta?

(c) ¿Para qué probabilidad de vender la propiedad de Leganés aceptaría Martínez la prop-uesta del cliente?

(d) Suponga que, por las razones que sea, Martínez se encuentra en la situación de decidir sidebe intentar o no vender la propiedad de Aravaca (es decir, previamente ha conseguidovender la de Leganés y ha obtenido ya 2.000, cantidad que ha de sumarse a cualquierbene�cio adicional). Si estuviera en estas circunstancias, ¿cree que debería decidirse aintentar vender Aravaca? ¿Cuál sería, aproximadamente, el equivalente cierto de estasegunda decisión? ¿Y la prima de riesgo?

(e) Suponga que, antes de decidir sobre la oferta de su cliente, Martínez puede realizar unestudio de mercado que le indicará con certeza si venderá o no la �nca de Leganés. Siese estudio cuesta 3.200 euros determine si le conviene realizarlo.

19. El jefe de marketing de una importante empresa productora de ordenadores, tiene que decidirsi lanzar una nueva campaña antes (l1) o después del mes de Mayo (l2). Si la lanza antestendrá asegurada unas ventas de 100 millones de euros. Si la lanza después, corre el riesgo deque la empresa competidora se adelante (C), lo que ocurrirá con probabilidad 0,4. Ademáslas ventas también dependen de las previsiones de la coyuntura económica que se presente,que puede ser al alza (A) con probabilidad 0,5, estabilidad (E) con probabilidad 0,3 y recesión(R). Si la economía está en alza y la competidora no ha lanzado su campaña, las ventas sedispararían hasta los 150 millones de euros y si la competidora ha lanzado la campaña lasventas serían de 120 millones. Si la economía está estable, las ventas serían de 90 millonesde euros si la competidora lanza su campaña y de 110 si no la lanza. Por último, cuando laeconomía está en recesión, si la competidora ha lanzado su campaña las ventas serán de 70millones de euros y si no la ha lanzado las ventas serán de 80 millones de euros. Suponiendoque la Empresa es neutral al riesgo (u(x) = x), ¿cuánto estaría dispuesta a pagar por conocercon certeza todas las variables inciertas del problema?. ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar aun espía industrial que le dijera con certeza si la empresa de la competencia va a lanzar lacampaña?

20. La renta de un profesional asciende a 250:000 euros y su tipo impositivo es el 50%. El individuoestá considerando la posibilidad de declarar toda su renta, sólo la mitad de su renta, o inclusono hacer declaración alguna. Se sabe que sólo 1 de cada 10 contribuyentes es inspeccionadopor Hacienda. Si una inspección detectase que el individuo ha ocultado renta, éste tendríaque pagar, además de los impuestos evadidos, una multa por igual cantidad. Las preferenciasdel individuo están representadas por la función de utilidad u(r) = 2

pr , donde r es su renta.

Para cantidades negativas de r (deudas) la función de utilidad es u(r) = �2p�r:

(a) Represente el problema del individuo e indique cuál es la decisión óptima.

(b) Suponga ahora que el individuo decide en un primer momento no declarar, pero que leasalta la paranoia de una posible inspección y recurre a un amigo con in�uencias paraque le saque de esta situación. Tras estudiar el caso, éste le pide m euros a cambio de la

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seguridad de no ser molestado por una inspección. ¿Para qué valores de m aceptaría elindividuo este trato?

(c) ¿Cambiaría su respuesta al apartado (a) si la función de utilidad fuera u(r) =pr? ¿Y

si fuera u(r) = 2r?

(d) Suponga ahora que Hacienda ha decidido ya a qué contribuyentes inspeccionará y que suamigo le propone investigar si está o no en la lista a cambio de 20.000 euros. ¿Aceptaráel trato? Plantee las condiciones para saber cuál es la máxima disposición a pagar poresta información.

21. En una región hay cinco contratistas neutrales ante el riesgo que acuden regularmente a lassubastas de proyectos públicos. El contrato se adjudica a aquél que ofrece el precio más bajo.Suponga que es usted el dueño de la empresa de contratistas públicos Los Muhonestos. Hoytiene lugar una comida de trabajo con los contratistas de la región. Se sabe que sólo en1 de cada 10 de estas reuniones se discute sobre la adjudicación de contratos; esto es, quécontratistas van a pujar la oferta más baja para futuros contratos. (Sólo hay otros cuatrocontratistas en la región y se decide quién hará la oferta más baja mediante un sorteo enel que todos tienen las mismas probabilidades de ganar). Hacerse cargo de un contrato (esdecir, ser el que puje más bajo) supone unas ganancias de 100.000 euros por término medio.Alternativamente, también puede usted pasar la tarde jugando al golf en el club local. Porexperiencia sabe que hay un 50% de probabilidades de conocer a alguien importante en elclub y que los bene�cios medios derivados de este tipo de contactos son de 6.000 euros.

(a) Determine qué actividad, ir a la comida de trabajo o a jugar al golf, maximiza su utilidadesperada.

(b) ¿Cuál es el valor de conocer con antelación si en dicha comida se va a discutir la adjudi-cación de contratos?

(c) Ralph Sonrisas, un asiduo de los almuerzos de trabajo, le garantiza que en caso de quese discuta de negocios, usted se quedará con el contrato. ¿Cuánto estaría dispuesto apagar por los servicios de Ralph?

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