T 4.4 IMPACTO BJ
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© 2010 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Mecánica vectorial para ingenieros: Dinámica o v e a d i i ó n Impacto 13 - 1 • Impacto: Colisión que se produce entre dos cuerpos durante un intervalo de tiempo, en el cual dichos cuerpos ejercen grandes fuerzas entre sí. • Línea de impacto: Normal común a las supe rficies en contacto durante el impacto. • Impacto central: Impacto en el que los centros de masa de los dos cuerpos se encuentran en la línea de impacto; de lo contrario, es un impacto excéntrico. Impacto central directo • Impacto dir ecto: Impacto en el que las velocidades de dos cuerpos se dirigen a lo largo de la línea de impacto. Impacto central oblicuo • Impacto oblicuo: Impacto en el cual uno o ambos cuerpos se mueven a lo largo de una línea que no sea la línea de impacto.
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Mecnica vectorial para ingenieros: Dinmica
No
ve
na
e
dic
in
Impacto
13 - 1
Impacto: Colisin que se produce entre dos
cuerpos durante un intervalo de tiempo, en el cual
dichos cuerpos ejercen grandes fuerzas entre s.
Lnea de impacto: Normal comn a las superficies
en contacto durante el impacto.
Impacto central: Impacto en el que los centros de
masa de los dos cuerpos se encuentran en la lnea
de impacto; de lo contrario, es un impacto
excntrico.
Impacto central directo
Impacto directo: Impacto en el que las
velocidades de dos cuerpos se dirigen a lo largo de
la lnea de impacto.
Impacto central oblicuo
Impacto oblicuo: Impacto en el cual uno o ambos
cuerpos se mueven a lo largo de una lnea que no
sea la lnea de impacto.
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Impacto central directo
13 - 2
Cuerpos que se mueven en la misma lnea
recta, vA > vB .
Despus del impacto los cuerpos sufren un
perodo de deformacin, al final del cual
estn en contacto y en movimiento a una
velocidad comn.
Un perodo de restitucin se presenta
cuando los cuerpos recuperan su forma
original o permanecen deformados.
Para determinar las velocidades finales de
los dos cuerpos, la cantidad de movimiento
total del sistema de los dos cuerpos se
conserva:
BBBBBBAA vmvmvmvm
Se requiere una segunda relacin entre las
velocidades finales.
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Impacto central directo
13 - 3
Perodo de deformacin: umPdtvm AAA
Perodo de restitucin: AAA vmRdtum 10
e
uv
vu
Pdt
Rdt
nrestituci de ecoeficient e
A
A
Un anlisis similar de la partcula B conduce a: B
B
vu
uv e
La combinacin de las relaciones conduce a la
segunda relacin deseada entre las velocidades
finales: BAAB vvevv
Impacto perfectamente plstico,
e = 0: vvv AB vmmvmvm BABBAA
Impacto perfectamente elstico, e = 1:
Energa total y cantidad de movimiento
conservado.
BAAB vvvv
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Impacto central oblicuo
13 - 4
Se desconoce la
magnitud y direccin
de las velocidades
finales. Se requieren
cuatro ecuaciones.
Ningn componente tangencial de
impulsos; el componente tangencial
de la cantidad de movimiento de
cada partcula se conserva:
tBtBtAtA vvvv
El componente normal de la
cantidad de movimiento total de las
dos partculas se conserva:
nBBnAAnBBnAA vmvmvmvm
Los componentes normales de las
velocidades relativas antes y
despus del impacto estn
relacionados por el coeficiente de
restitucin:
nBnAnAnB vvevv
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Impacto central oblicuo
13 - 5
Bloque obligado a moverse a lo largo de la
superficie horizontal.
Los impulsos de las fuerzas internas
a lo largo del eje n y de la fuerza externa
ejercida por la superficie horizontal y la
vertical a lo largo de la superficie y dirigido
a lo largo de la vertical a la superficie.
FF
y
extF
Velocidad final de la pelota en direccin
desconocida, y magnitud y velocidad de
magnitud desconocida. Son necesarias tres
ecuaciones.
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Impacto central oblicuo
13 - 6
La cantidad de movimiento tangencial
de la bola se conserva: tBtB vv
La cantidad de movimiento total
horizontal del bloque y la pelota se
conserva:
xBBAAxBBAA vmvmvmvm
El componente normal de las
velocidades relativas del bloque y la
pelota est relacionado por el
coeficiente de restitucin:
nBnAnAnB vvevv
Nota: La validez de la ltima expresin no resulta de la relacin anterior por el
coeficiente de restitucin. Es necesaria una derivacin similar, pero por separado.
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Problemas en los que interviene la energa y la cantidad de
movimiento
13 - 7
Tres mtodos para el anlisis de la cintica de los problemas:
- Aplicacin directa de la segunda ley de Newton
- Mtodo de trabajo y energa
- Mtodo del impulso y de la cantidad de movimiento
Seleccionar el mtodo ms adecuado para el problema o parte de un
problema en cuestin.
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Problema resuelto
13 - 8
Una pelota es lanzada contra una
pared vertical sin friccin.
Inmediatamente antes de que la pelota
golpee la pared, su velocidad tiene
una magnitud v y forma un ngulo de
30o con la horizontal. Si se sabe que
e = 0.90, determinar la magnitud y
direccin de la velocidad de la pelota
cuando sta rebota en la pared.
SOLUCIN:
Resolver la velocidad de la pelota en
componentes normales y tangenciales a
la pared.
El impulso ejercido por la pared es
normal a la pared. El componente de la
cantidad de movimiento tangencial de
la pelota se conserva.
Suponer que la pared tiene una masa
infinita para que la velocidad de la
pared antes y despus del impacto sea
nula. Aplicar el coeficiente de la
relacin de restitucin para encontrar el
cambio en la velocidad relativa normal
entre la pared y la pelota, es decir, la
velocidad normal de la pelota.
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Problema resuelto
13 - 9
El componente de la cantidad de movimiento tangencial
de la pelota se conserva:
vvv tt 500.0
Aplicar el coeficiente de la relacin de restitucin con
cero velocidad de la pared:
vvv
vev
n
nn
779.0866.09.0
00
SOLUCIN:
Resolver la velocidad de la pelota en componentes
normales y tangenciales a la pared:
vvvvvv tn 500.030sen 866.030cos
n
t
7.32500.0
779.0tan926.0
500.0779.0
1vv
vvv tn
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Problema resuelto
13 - 10
La magnitud y direccin de las
velocidades de dos pelotas
idnticas sin friccin antes de que
choquen entre s son como se
ilustra.
Suponiendo que e = 0.9,
determinar la magnitud y
direccin de la velocidad de cada
pelota despus del impacto.
SOLUCIN:
Resolver las velocidades de las pelotas en
componentes normal y tangencial al plano
de contacto.
El componente tangencia de la cantidad de
movimiento para cada pelota se conserva.
El componente total normal de la cantidad
de movimiento del sistema de las dos
pelotas se conserva.
Las velocidades normales relativas de las
pelotas estn relacionadas por el
coeficiente de restitucin.
Resolver las dos ltimas ecuaciones de
manera simultnea para las velocidades
normales de las pelotas despus del
impacto.
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Problema resuelto
13 - 11
SOLUCIN:
Resolver las velocidades de las pelotas en componentes
normal y tangencial al plano de contacto:
sft0.2630cos AnA vv sft0.1530sen AtA vv
sft0.2060cos BnB vv sft6.3460sen BtB vv
El componente tangencial de la cantidad de movimiento
para cada pelota se conserva:
sft0.15 tAtA vv sft6.34 tBtB vv
El componente total normal de la cantidad de
movimiento del sistema de las dos pelotas se conserva:
0.6
0.200.26
nBnA
nBnA
nBBnAAnBBnAA
vv
vmvmmm
vmvmvmvm
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Problema resuelto
13 - 12
6.557.23
6.34tansft9.41
6.347.23
3.407.17
0.15tansft2.23
0.157.17
1
1
B
ntB
A
ntA
v
v
v
v
t
n
Las velocidades normales relativas de las pelotas estn
relacionadas por el coeficiente de restitucin:
4.410.200.2690.0
nBnAnBnA vvevv
Resolver las dos ltimas ecuaciones de manera
simultnea para las velocidades normales de las
pelotas despus del impacto:
sft7.17 nAv sft7.23 nBv
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Problema resuelto
13 - 13
La pelota B cuelga de una cuerda
inextensible. Una pelota idntica A se
suelta desde el reposo cuando apenas
toca la cuerda y adquiere una velocidad
v0 antes de chocar con la pelota B.
Suponiendo un impacto perfectamente
elstico (e = 1) y ninguna friccin,
determinar la velocidad de cada pelota
inmediatamente despus del impacto.
SOLUCIN:
Determinar la orientacin de la lnea de
impacto de la accin.
El componente de la cantidad de
movimiento de la pelota A tangencial al
plano de contacto se conserva.
La cantidad de movimiento total
horizontal del sistema de dos pelotas se
conserva.
Las velocidades relativas a lo largo de la
lnea de accin antes y despus del
impacto estn relacionadas por el
coeficiente de restitucin.
Resolver las dos ltimas expresiones de
la velocidad de la pelota A a lo largo de
la lnea de accin y la velocidad de la
pelota B, que es horizontal.
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Problema resuelto
13 - 14
SOLUCIN:
Determinar la orientacin de la lnea de
impacto de la accin:
30
5.02
sen
r
r
El componente de la cantidad de
movimiento de la pelota A tangencial al
plano de contacto se conserva:
0
0
5.0
030sen
vv
vmmv
vmtFvm
tA
tA
AA
La cantidad de movimiento total
horizontal (componente x) del sistema
de dos pelotas se conserva:
0
0
433.05.0
30sen30cos5.00
30sen30cos0
vvv
vvv
vmvmvm
vmvmtTvm
BnA
BnA
BnAtA
BAA
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Problema resuelto
13 - 15
Las velocidades relativas a lo largo de la lnea de
accin antes y despus del impacto estn
relacionadas por el coeficiente de restitucin:
0
0
866.05.0
030cos30sen
vvv
vvv
vvevv
nAB
nAB
nBnAnAnB
Resolver las dos ltimas expresiones de la velocidad
de la pelota A lo largo de la lnea de accin y la
velocidad de la pelota B, que es horizontal:
00 693.0520.0 vvvv BnA
0
10
00
693.0
1.16301.46
1.465.0
52.0tan721.0
520.05.0
vv
vv
vvv
B
A
ntA
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Problema resuelto
13 - 16
Un bloque de 30 kg se deja caer
desde una altura de 2 m sobre el plato
de 10 kg de una balanza de resorte.
Suponiendo que el impacto es
perfectamente plstico, determinar el
desplazamiento mximo del plato. La
constante del resorte es k = 20 kN/m.
SOLUCIN:
Aplicar el principio de la conservacin
de la energa para determinar la
velocidad del bloque en el instante del
impacto.
Dado que el impacto es perfectamente
plstico, el bloque y el plato se mueven
juntos a la misma velocidad despus del
impacto. Determinar si la velocidad
requerida para la cantidad de
movimiento total del bloque y el plato se
conserva.
Aplicar el principio de la conservacin
de la energa para determinar la
deformacin mxima del resorte.
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Problema resuelto
13 - 17
SOLUCIN:
Aplicar el principio de la conservacin de la
energa para determinar la velocidad del bloque en
el instante del impacto:
sm26.6030 J 5880
030
J 588281.9300
2222
1
2211
2222
1222
12
11
AA
AAA
A
vv
VTVT
VvvmT
yWVT
Determinar si la velocidad requerida para la
cantidad de movimiento total del bloque y el plato
se conserva:
sm70.41030026.630 33
322
vv
vmmvmvm BABBAA
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Problema resuelto
13 - 18
Deformacin inicial del resorte
debida al peso del plato:
m1091.4
1020
81.910 333
k
Wx B
Aplicar el principio de la conservacin de la energa
para determinar la deformacin mxima del resorte:
24321
34
24
3
21
34
242
14
4
233
212
321
3
2
212
321
3
10201091.4392
1020392
0
J 241.01091.410200
J 4427.41030
xx
xxx
kxhWWVVV
T
kx
VVV
vmmT
BAeg
eg
BA
m 230.0
10201091.43920241.0442
4
24
3
213
4
4433
x
xx
VTVT
m 1091.4m 230.0 334 xxh m 225.0h
