(OacuteVL)

(

(214)

nes la dinaacutemica de la fase de vapor puede c onsiderarse despreshy

ciable

Balance de componente A

oacuteoFoXAo - OacuteFXA =~ (OacuteVLXA) (213) dt

XA Fraccioacuten masa de A en el evaporador

Balance de material total

oacuteoFo - oacuteF - oacutevFv - g dt

Se debe disponer de una expresioacuten que relacione los cambios de la

densidad con la composicioacuten y la temperatura

oacute = f(XAT) (215)

l IncognitasFXAVLoacuteoacutevFvT

Balance de energiacutea

(216 )oacuteoFoCpoTo-oacuteFCpsT+Q-oacutevFv(CpT+HLV) = 1 t ( (lt S - A t r

HLvEntalpiacutea de vaporizacioacuten del liacutequido (Se asume constante con

la temperatura) Cps Capacidad caloriacutefica de la solucioacuten Cp

Capacidad caloriacutefica del liquido

(218)Cp = f(T) (217)

Incognitas QCpsCP

Si la presioacuten de descarga (PD) no es muy diferente de la presioacuten

en el evaporador (caiacuteda de presioacuten pequentildea en la liacutenea de

salida)el flujo de vapor estaacute dado por la expresioacuten

Fv = Kf[(P-PD)OacuteV]12 (219)

Flujo de solucioacuten que sale del evaporador

(220)

A Area de seccioacuten transversal del evaporador

31

1

Incognitas P

Presioacuten de la fase de vapor

P = KsPv (221)

Ks Dependeen generalde la composicioacuten y temperatura de la

solucioacuten Para soluciones diluidas su valor es igual al de la

composicioacuten de la solucioacuten (XA)La presioacuten de vapor del liacutequido

puro depende de la temperatura

Ks =f (XA T ) (222) Pv = f(T) (223)

Densidad del vapor

5v = PM (224) RT

M Peso molecular del solvente

I ncognitas KsPv

Finalmente el sistema retroalimentado de control a porta una

ecuacioacuten cuya forma depende del modo de control que se emplee

Q = f(P) (225)

Cuando la velocidad de vaporizacioacuten del liacutequido y el flujo de

vapor (Fv)son muy diferentesla dinaacutemica de la fase de vapor no

puede despreciarse siendo necesario plantear algunas ecuaciones

diferentes a las del modelo anterior

Balance de material para la fase liacutequida

50FoXAO - 5FXA =ordm (5VLXA) (213) dt

50Fo - 5F - Wv = d (5VL) (226) dt

Wv Liacutequido vaporizado (masatiempo)

Balance de material para la fase de vapor

Wv - 5vFv = d (5vVv) ( 2 27) dt

32

Incognitas OFXAVLWVovFvVv

Ecuacioacuten de energa para la fase liacutequida

ooFoGpoTo-oFCpsT-Wv(CpT+HLV)+Q =g (oVLCpsT) (228) dt

Ecuacioacuten de energIacutea para la fase de vapor

Wv(CpT+HLV)-ovFvHv =g (ovVvUv) (229) dt

~

Hv Uv Entalpiacutea y energla interna del vapor a la presioacuten P- y

temperatura Tv

Hv = f ( Tv P - ) (230) Uv = f(TvVv ) (231)

Para obtener la ecuacioacuten (230) o (231) en forma expliacutecitaes

necesario acudir a una de las relaciones de Maxwell y a una

ecuacioacuten de estado

Si se asume comportamiento de gas ideal para el vapor

Hv = CpT + HLV + Cpv(Tv T) (230A)

Uv = CpT + ULV + Cpv(Tv - T) (231A)

Cpv Capacidad caloriacutefica a presioacuten constante del vaporULV

Energa interna de vaporizacioacuten

Incognitas CpsCpTHvUvQP-Tv

Un modelo menos rigurosopero que puede representar con una

aproximacioacuten aceptable el procesoes aquel obtenido asumiendo que

existe equilibrio teacutermico entre las fasesEn este caso se

requiere de una sola ecuacioacuten de energia (la ecuacioacuten 228)

La velocidad de vaporizacioacuten del liacutequido puede expresarse

mediante la siguiente relacioacuten

Wv = KM (P - P - ) (232)

PPresioacuten de vapor de la solucioacuten a la temperatura T P-Presioacuten

que ejerce la fase de vaporKMCoeficienteSe asume constante c on

la presioacuten y la temperatura

33

1

Incognitas P

Presioacuten de la fase de vapor

P = KsPv (221)

Ks Dependeen generalde la composicioacuten y temperatura de la

solucioacuten Para soluciones diluidas su valor es igual al de la

composicioacuten de la solucioacuten (XA)La presioacuten de vapor del liacutequido

puro depende de la temperatura

Ks =f (XA T ) (222) Pv = f(T) (223)

Densidad del vapor

5v = PM (224) RT

M Peso molecular del solvente

I ncognitas KsPv

Finalmente el sistema retroalimentado de control a porta una

ecuacioacuten cuya forma depende del modo de control que se emplee

Q = f(P) (225)

Cuando la velocidad de vaporizacioacuten del liacutequido y el flujo de

vapor (Fv)son muy diferentesla dinaacutemica de la fase de vapor no

puede despreciarse siendo necesario plantear algunas ecuaciones

diferentes a las del modelo anterior

Balance de material para la fase liacutequida

50FoXAO - 5FXA =ordm (5VLXA) (213) dt

50Fo - 5F - Wv = d (5VL) (226) dt

Wv Liacutequido vaporizado (masatiempo)

Balance de material para la fase de vapor

Wv - 5vFv = d (5vVv) ( 2 27) dt

32

Incognitas OFXAVLWVovFvVv

Ecuacioacuten de energa para la fase liacutequida

ooFoGpoTo-oFCpsT-Wv(CpT+HLV)+Q =g (oVLCpsT) (228) dt

Ecuacioacuten de energIacutea para la fase de vapor

Wv(CpT+HLV)-ovFvHv =g (ovVvUv) (229) dt

~

Hv Uv Entalpiacutea y energla interna del vapor a la presioacuten P- y

temperatura Tv

Hv = f ( Tv P - ) (230) Uv = f(TvVv ) (231)

Para obtener la ecuacioacuten (230) o (231) en forma expliacutecitaes

necesario acudir a una de las relaciones de Maxwell y a una

ecuacioacuten de estado

Si se asume comportamiento de gas ideal para el vapor

Hv = CpT + HLV + Cpv(Tv T) (230A)

Uv = CpT + ULV + Cpv(Tv - T) (231A)

Cpv Capacidad caloriacutefica a presioacuten constante del vaporULV

Energa interna de vaporizacioacuten

Incognitas CpsCpTHvUvQP-Tv

Un modelo menos rigurosopero que puede representar con una

aproximacioacuten aceptable el procesoes aquel obtenido asumiendo que

existe equilibrio teacutermico entre las fasesEn este caso se

requiere de una sola ecuacioacuten de energia (la ecuacioacuten 228)

La velocidad de vaporizacioacuten del liacutequido puede expresarse

mediante la siguiente relacioacuten

Wv = KM (P - P - ) (232)

PPresioacuten de vapor de la solucioacuten a la temperatura T P-Presioacuten

que ejerce la fase de vaporKMCoeficienteSe asume constante c on

la presioacuten y la temperatura

33

Incognitas OFXAVLWVovFvVv

Ecuacioacuten de energa para la fase liacutequida

ooFoGpoTo-oFCpsT-Wv(CpT+HLV)+Q =g (oVLCpsT) (228) dt

Ecuacioacuten de energIacutea para la fase de vapor

Wv(CpT+HLV)-ovFvHv =g (ovVvUv) (229) dt

~

Hv Uv Entalpiacutea y energla interna del vapor a la presioacuten P- y

temperatura Tv

Hv = f ( Tv P - ) (230) Uv = f(TvVv ) (231)

Para obtener la ecuacioacuten (230) o (231) en forma expliacutecitaes

necesario acudir a una de las relaciones de Maxwell y a una

ecuacioacuten de estado

Si se asume comportamiento de gas ideal para el vapor

Hv = CpT + HLV + Cpv(Tv T) (230A)

Uv = CpT + ULV + Cpv(Tv - T) (231A)

Cpv Capacidad caloriacutefica a presioacuten constante del vaporULV

Energa interna de vaporizacioacuten

Incognitas CpsCpTHvUvQP-Tv

Un modelo menos rigurosopero que puede representar con una

aproximacioacuten aceptable el procesoes aquel obtenido asumiendo que

existe equilibrio teacutermico entre las fasesEn este caso se

requiere de una sola ecuacioacuten de energia (la ecuacioacuten 228)

La velocidad de vaporizacioacuten del liacutequido puede expresarse

mediante la siguiente relacioacuten

Wv = KM (P - P - ) (232)

PPresioacuten de vapor de la solucioacuten a la temperatura T P-Presioacuten

que ejerce la fase de vaporKMCoeficienteSe asume constante c on

la presioacuten y la temperatura

33

Incognitas P

Son vaacutelidas las ecuaciones (215)(217)(218)(221) y (223)

Densidad del vapor

~v = PM (233) RTv

Para que las ecuaciones (219)(220) y (225) formen parte del

modeloes necesario substituir P por p

Finalmentepara que el modelo quede completamente especificadoes

necesario plantear la siguiente relacioacuten que hace referencia a

una restriccioacuten fiacutesica del sistema

v = VL + Vv (237)

PerturbacionesFoToXAoPD

225 A una columna de evaporacioacuten instant~nea (ver figura 25)

se suministra una corriente liacutequida con dos componentes (A y

B) a un flujo Fo (volumentiempo) con una fraccioacuten mol de A

Mopresioacuten Po y temperatura ToLa presioacuten Po es mayor que la

correspondiente al punto de burbuja de la mezclaLa corriente

liacutequida pasa a traveacutes de una vaacutelvulapresentandose un proceso de

expansioacuten isoent~lpicacomo consecuencia la corriente queda a una

presioacuten P menor que la correspondiente al punto de burbuja de la

mezcla liacutequida a Toocurriendo la evaporacioacuten de la misma en la

columna

En las ecuaciones planteadas a continuacioacuten se consideran

despreciables la dinaacutemica de la fase de vapor las moles de vapor

retenidas comparadas con las del liacutequidoy los cambios de

densidad y capacidad caloriacutefica con la composicioacuten y la

temperatura La primera suposicioacuten es razonable si se tiene en

cuenta que en muchos sistemas la densidad del vapor es mucho

menor que la shydel liacutequido

34shy

L-----fc1--lIo L I Q U I O O

~----N1--~ V A POR

AL I M E NT ACION---- -Nl- -IIoJ

~ To

Fl

I FIGURA 25 COLUMNA DE EVAPORACION INSTANTANEA

~ Balance de material

BFo - 6FL - 6vFv - ~ (BVL) (238) dt

6fuXAO (239) Mo

MoMLMv Peso molecular promedio de la solucioacuten que se

sumin istraliacutequido y vapor en la columna YA Fraccioacuten mol del

componente A en el vapor

(240) (241)

6v - PMv (242) RT

Incognitas FLFv6vVLMLMvXAYAP T JEcuacioacuten de energla

6 FoHo - 6FLHL - 6vFvHv = g (6VLCpT ) (243) dt

Ho = (XAoMo)MAHstCpTo (244)

( Hv - (MAMv)YA(CPAT+HLvA)+(l-YA)MB(CPBT+HLvB) (245)

Mv

35

He C~lor de solucioacuten por unidad de masa de Aa la temperatura

de referencia (cero grados)Se asume constante con variaciones 6 la composicioacuten

Incognitas HLHvT

Flujo de liquido y vapor

(246)

~v = K~[(P-PD)ovJ12 (247)

PD Presioacuten a la cual descarga el vapor

Ecuaciones de equilibr io

P = f(TXA) (248) YA = f(TXA) (249)

226 En un reactor que contiene una sustancia liacutequida B se

burbujeamediante un distribuidor localizado en el fondo un

compuesto gaseoso A (ver figura 26) En el reactor se lleva a

cabo la reaccioacuten A(g) + B(l) --gt C(l)la cual es de primer 6rdeacuten

con respecto a A y EPuede asumirse que la operacioacuten es

isoteacutermica

fA

FIGURA 26 middotREACTOR CON BURaJJEO GASEOSO

------ ---- bull

He C~lor de solucioacuten por unidad de masa de Aa la temperatura

de referencia (cero grados)Se asume constante con variaciones 6 la composicioacuten

Incognitas HLHvT

Flujo de liquido y vapor

(246)

~v = K~[(P-PD)ovJ12 (247)

PD Presioacuten a la cual descarga el vapor

Ecuaciones de equilibr io

P = f(TXA) (248) YA = f(TXA) (249)

226 En un reactor que contiene una sustancia liacutequida B se

burbujeamediante un distribuidor localizado en el fondo un

compuesto gaseoso A (ver figura 26) En el reactor se lleva a

cabo la reaccioacuten A(g) + B(l) --gt C(l)la cual es de primer 6rdeacuten

con respecto a A y EPuede asumirse que la operacioacuten es

isoteacutermica

fA

FIGURA 26 middotREACTOR CON BURaJJEO GASEOSO

------ ---- bull

-- -

Para que los reactivos entren en contacto se requiereen primer

lugarque el gas A se disuelva en el liacutequidoSe presenta entonces

un proceso de transferencia de materia seguido por una reaccioacuten

quiacutemicaEl mecanismo maacutes lento controla la velocidad global del

procsect6-D- Si la velocidad de transferencia de materia e s peque-

ntildeacomparada con la velocidad de reaccioacutenel efecto cineacutetico es

despreciableel gas se disuelve e inmediatamente reaccionacon lo

cual la concentracioacuten de A en la fase liacutequida seraacute muY baja en

todo momento

En el modelo que se desarrolla a continuacioacutense considera que

tanto la velocidad de transferencia de materia como de reaccioacuten

son de importancia

Balance de material para la fase gaseosa

OAoFA - oAFv - NAAaMA = d (OAVA) (250) dt

NAFlujo de reactivo A a la fase liquida (MolesjtiempoArea)

AaArea de las burbujas de gas HAPeso molecular de A

IncognitasoAFvNAAaVA

El aacuterea de transferencia de materia depende de la presioacuten de

suministro del gas

Aa = f(PAo) ( 2 51)

Balance de componente A en la fase liacutequida

(2 52 )

IncognitasVCACBFL

Balance de componente B en la fase liquida

FBCBO - FLCB -KVCACB =g (VCs) (253) dt

Balance total de materia

37

OBFB + oAoFA - OFL - OAFv = d (OV + OAVA) (254) dt

Flujo de transferencia de materia

( 2 55)

CAConcentracioacuten de equilibrio de A en la interfasePuede

considerarse constante despreciando

KL Coeficiente de transferencia de

los efectos de

materia La tra

presioacuten

nsferencia de

materia es generalmente limitada

peliacutecula liacutequida estancada

por la difusioacuten a traveacutes de la

Ecuaciones de estado

OA = PAMA (256) o=f(CACB) (257) RT

IncognitasoPA

Ecuaciones para los sistemas de control

Fv = f(PA) (258) FL =f(PAV-Vo) (259) A

VoVolumen de liacutequido hasta la linea de salida

VA + V = Volumen del recipiente (260)

La seleccioacuten de las ecuaciones de balance de material que

conforman el modelodebe hacerse de forma tal que permita el

empleo del maacuteximo nuacutemero de estas ecuaciones Por ejemploel

empleo de los balances de material total y de componentes A y B soacutelo aportara tres ecuaciones al modelo

227 El modelo que representa la dinaacutemica de un intercambiador I bull

de tubos concentrlcosse puede desarrollar con base en el

esquema presentado en la figura 27aUn liacutequido a una temperashy

tura To y con un flujo Fo fluye por el tubo interiorEste

liacutequido es enfriado por otro que fluye en contracorriente por el

tubo exteriorentrando a una temperatura Teo y con flujo FeoLas

peacuterdidas de calor al exterior son despreciables

38

FcoTco

l~ --dX

Fo -Ts

To Te -Tw

v --- T

J

x a- b-

FIGURA 2 _7 INTERCAMBIADOR DE TUBOS CONCKNTRICOS

En el modelo que se desarrolla a continuacioacuten se ~~ume que las

capacidades caloriacuteficas y las densidades son constantes

El balance de energla del fluido que circula por el tubo

interior debe plantearse para un elemento diferencial (ver

figura 27b)pu~s la temperatura varfa con el tiempo y la

posicioacutenA continuacioacuten se especifican los teacuterminos con los

cuales se conforma la ecuacioacuten que representa este balance

Entalpla que entra al elementoovACpT

~Entalpla que sale del elementoovACpT+ 30vACpTdX ax

Calor que entra por conduccioacuten en XqA - I

Calor que sale por conduccioacuten en X+dXqA+~qAdX ax 1

Calor transferidoh~ITD~(T-Tw)dX

Acumulacioacuten de energa a oACpTdX at

Agrupando los anteriores teacuterminos se obtiene

dI =-v~ + hiITDi(T-Tw) + o (261) dt ax oACp

A Area de seccioacuten transversal del tubo interiorhi Coeficiente

pelicular en la pared interior del tubo inte rioro Difusividad

teacutermica

39

FcoTco

l~ --dX

Fo -Ts

To Te -Tw

v --- T

J

x a- b-

FIGURA 2 _7 INTERCAMBIADOR DE TUBOS CONCKNTRICOS

En el modelo que se desarrolla a continuacioacuten se ~~ume que las

capacidades caloriacuteficas y las densidades son constantes

El balance de energla del fluido que circula por el tubo

interior debe plantearse para un elemento diferencial (ver

figura 27b)pu~s la temperatura varfa con el tiempo y la

posicioacutenA continuacioacuten se especifican los teacuterminos con los

cuales se conforma la ecuacioacuten que representa este balance

Entalpla que entra al elementoovACpT

~Entalpla que sale del elementoovACpT+ 30vACpTdX ax

Calor que entra por conduccioacuten en XqA - I

Calor que sale por conduccioacuten en X+dXqA+~qAdX ax 1

Calor transferidoh~ITD~(T-Tw)dX

Acumulacioacuten de energa a oACpTdX at

Agrupando los anteriores teacuterminos se obtiene

dI =-v~ + hiITDi(T-Tw) + o (261) dt ax oACp

A Area de seccioacuten transversal del tubo interiorhi Coeficiente

pelicular en la pared interior del tubo inte rioro Difusividad

teacutermica

39

l

1

Si se desprecia la conduccioacuten axial

aT =-v~ + h~nD1(T - Tw) (261A) at ax oACp

En _ la derivacioacuten de cada uno de los teacuterminos que conducen a la

ecuacioacuten (261)se han hecho las siguientes suposiciones

simplificantes

- No hay cambio de fase del liacutequido que circula por el tubo

- La velocidad y temperatura del fluido son uniformes en la

direccioacuten radial (no hay distribucioacuten en esta dire ccioacuten)

La expansioacuten de la pared metaacutelica es despreciable (el aacuterea

de seccioacuten transversal para flujo es constante)

Balance de energiacutea para la pared del tubo interior

aTw = hi nDi (T-Tw) honDo(Tw-To) (262) ot owAwCpw owAwCpw

hoCoeficiente pelicular en la pared externa del tubo interior

DoDiaacutemetro de la pared externa del tubo interior AwArea de la

seccioacuten transversal de la pared del tubo interior

En la deduccioacuten de la ecuacioacuten (262) se asume que la pared

metaacutelica tiene una alta conductividad teacutermicacon lo cual se

puede despreciar la distribucioacuten de temperatura en la direccioacuten

radial Igualmente se desprecia la conduccioacuten axial

IBalance de energla para el fluido que circula por el tubo

exterior

= vc-ordf-To + honDo(Tw-Tc ) henDeTc-Tcro) (263) a1lt ocAcCpc ocAcCpc

heCoeficiente pelicular en la pared interior del tubo exterior f

AcArea de la seccioacuten transversal disponible para flujo del

fluido frio TeoTemperatura en la cara interna de la pared

exterior (r=O)

40

Balance de energa para la pared metaacutelica del tubo exteriorEn la

deduccioacuten de esta ecuacioacuten se toma como elemento diferencial una

envoltura ciliacutendrica de radio r y espesor dr

aTe at

= ~ r

-ordf[r eacutel Te] ar eacutelr

(264)

aeDifusividad teacutermica de la pared del

Para r=O (condicioacuten liacutemite)

tubo exterior

aTe eacutelr

= -he(To-Teo) Ke

(265)

KeConductividad teacutermica de la pared e

IncognitasTTwTcTeoTe

PerturbacionesFoToFooTco

xterior

228 Una corriente gaseosa de un compuesto puro (A)entra a un

tanque donde es mezclada con otra corriente de concentracioacuten CAO

(molvolumen) El gas mezclado que sale del tanque fluye a un

separador donde el compuesto A del gas se difundea traveacutes de una

membrana semipermeable en un lquido puro (ver figura 28) el

cual fluye en el equipo a un flujo constante Si el proceso es

isoteacutermico y la cantidad de gas disuelto no afecta significativashy

mente el flujo de cada una de las fases obtener el modelo que

describe la dinaacutemica de este proceso

TANQUE SEPARADOR PA Fo

A PURO VP

GAS

PD - ~F CA

CA11-----shy MEMBRANA

Ir FL LIQUIDO PURO

41

Balance de energa para la pared metaacutelica del tubo exteriorEn la

deduccioacuten de esta ecuacioacuten se toma como elemento diferencial una

envoltura ciliacutendrica de radio r y espesor dr

aTe at

= ~ r

-ordf[r eacutel Te] ar eacutelr

(264)

aeDifusividad teacutermica de la pared del

Para r=O (condicioacuten liacutemite)

tubo exterior

aTe eacutelr

= -he(To-Teo) Ke

(265)

KeConductividad teacutermica de la pared e

IncognitasTTwTcTeoTe

PerturbacionesFoToFooTco

xterior

228 Una corriente gaseosa de un compuesto puro (A)entra a un

tanque donde es mezclada con otra corriente de concentracioacuten CAO

(molvolumen) El gas mezclado que sale del tanque fluye a un

separador donde el compuesto A del gas se difundea traveacutes de una

membrana semipermeable en un lquido puro (ver figura 28) el

cual fluye en el equipo a un flujo constante Si el proceso es

isoteacutermico y la cantidad de gas disuelto no afecta significativashy

mente el flujo de cada una de las fases obtener el modelo que

describe la dinaacutemica de este proceso

TANQUE SEPARADOR PA Fo

A PURO VP

GAS

PD - ~F CA

CA11-----shy MEMBRANA

Ir FL LIQUIDO PURO

41

Balances de materia en el tanque

(266)

(267)

MAPeso molecular de A

que las caidas de presioacuten en el proceso son peshy

quentildeaslas ecuaciones para flujo de gas en el tanque son

(268) (269)

(270) IncognitasPP2

Ecuaciones de estado

(271)

M es el peso molecular promedio del gasAsumie ndo que los cambios

de la densidad con la composicioacuten son despreciableslas ecuacioshy

nes para el separador son las que se presentan a continuacioacuten

o = PMRT (270)

Balances de materia en el separador

(2 72)

(273)

(274)

IncognitasFCANACAL

Velocidad de transferencia de materia a traveacutes de la membrana

(275)

Ecuacioacuten para el flujo de salida de gas en el separador

F = K4(P - PD) (276)

PerturbacionesPAP~CAoPD

42

BIBLIOGRAFiacuteA

LUYBEN WL Process modelingsimulation and control for chemical

engineers Mc Graw Hill1973558p

STEPHANOUPULUS GEORGE Chemical process controlPrintice

Hall1984694p

SMITH CARLOS A CORRIPIO ARMANDO B Principles and pract ice of

automatic process controlJohn Wiley amp Sons1985614p

( COHEN WILLIAM C JOHNSOSN ERNEST F Dynamics charateristics of

double-pipe heat exchangers Ind Eng Chem vol 48 Nordm6 1031shy

341956

3 COMPORTAMIENTO DINAMICO DE SISTEMAS

El estudio del comportamiento dinaacutemico de un proceso parte de 1

desarrollo del modelo que describe la dinaacutemica del mismo Este

modelo es posteriormente resueltoobteniendose las relaciones que

establecen la forma de cambio de las diferentes variables con el

tiempo

El contenido de esta unidad no estaacute orientado a la discusioacuten de

los procedimientos que conducen a la solucioacuten de un modelosino a

la determinacioacuten y conceptualizacioacuten de los paraacutemetros que

caracterizan la dinaacutemica de un procesoPor esta razoacuten los

procesos aqul analizados son relativamente simples

El anaacutelisis se limitaraacute a aquellos sistemas cuya dinaacutemica estaacute

representada por ecuaciones diferenciales lineales (sistemas

lineales)Las razones para tal limitacioacuten son

- La teoriacutea general disponible para el disentildeo d sistemas de

controlse ha desarrollado con base en sistemas lineales

No existe una teoriacutea general para la solucioacuten de ecuaciones

diferenciales no lineales Por tantoel an~lisis de los sisteshy

mas representados por este tipo de ecuacionesmediante teacutecnicas

matemaacuteticassolo es posible en casos muy especiacuteficos

- Cualquier sistema no lineal puede aproximarse aceptablemente a

uno lineal alrededor de algunas condiciones de operacioacuten Esta

aproximacioacuten es de suma importanciapueacutes posibilita el anaacutelisis

de sistemas representados por ecuaciones no linealesmediante

la teacutecnica de aquellos que son lineales

31 DUWUCA 8N EL ~~ IlliJ TJEMPQ ~

En esta unidad se estudiaraacute el comportamiento dinaacutemico de 106

sistemas empleando como herramienta el meacutetodo general de solucioacuten

de ecuaciones diferenciales en el dominio del tiempo y el dominio

de Laplace

44

1 r

J I

311 CLASIFICACION DINAHICA DE LOS SISTEMAS Dinbicamente los sistemas se clasifican atendiendo a diferentes puntos de vista

i- De acuerdo al nuacutemero de variables independientes

- De paraacutemetros concentradosEl tiempo es la uacutenica variable

independiente Son descritos por ecuaciones diferenciales

ordinarias I

De paraacutemetros distribuidosEn el modelo hay mas de una

variable independientegeneralmente el tiempo y coordenadas

espacialesSe describen mediante ecuaciones diferenciales

parciales

ii- De acuerdo a la linealidad

- Lineales Todas las funciones que describen el sistema son

lineales

- No linealesAlguna de las funciones que describen el

sistema es no lineal

iii- De acuerdo a la estabilidad

- EstablesSon sistemas autoreguladoslas variables de

salida convergen a alguacuten valor de estado establedespueacutes de

haberse perturbado el sistema

- Inestables Las variables de salida cambian indefinidamente

el tiempo --- - gt bull con ogt~~ ~-- I ~_ -1-1 I

iv- De aQuerdo con el ~rd~n de las ecuaciones diferencialesEl 1N -shy

ordeacuten de un sistema lo determina el ordeacuten de las ecuacioshy---shynes diferenciales que lo representan

312 PERTURBACIONESA continuacioacuten se presentan los tipos de

perturbacioacuten maacutes usualmentre encontrados en el control de

procesos 1shy

3121 PERTURBACION ESCALON Es una funcioacuten que cambia

instantane~nte de un valor a otro continuando con este uacuteltimo - dValUL l1atematicamente se efine como

tltO

f( t J= tgtO

Si la magnitud del cambio es la unidad la funcioacuten se denomina

escaloacuten unitaria y se representa por

45

BIBLIOGRAFiacuteA

LUYBEN WL Process modelingsimulation and control for chemical

engineers Mc Graw Hill1973558p

STEPHANOUPULUS GEORGE Chemical process controlPrintice

Hall1984694p

SMITH CARLOS A CORRIPIO ARMANDO B Principles and pract ice of

automatic process controlJohn Wiley amp Sons1985614p

( COHEN WILLIAM C JOHNSOSN ERNEST F Dynamics charateristics of

double-pipe heat exchangers Ind Eng Chem vol 48 Nordm6 1031shy

341956

3 COMPORTAMIENTO DINAMICO DE SISTEMAS

El estudio del comportamiento dinaacutemico de un proceso parte de 1

desarrollo del modelo que describe la dinaacutemica del mismo Este

modelo es posteriormente resueltoobteniendose las relaciones que

establecen la forma de cambio de las diferentes variables con el

tiempo

El contenido de esta unidad no estaacute orientado a la discusioacuten de

los procedimientos que conducen a la solucioacuten de un modelosino a

la determinacioacuten y conceptualizacioacuten de los paraacutemetros que

caracterizan la dinaacutemica de un procesoPor esta razoacuten los

procesos aqul analizados son relativamente simples

El anaacutelisis se limitaraacute a aquellos sistemas cuya dinaacutemica estaacute

representada por ecuaciones diferenciales lineales (sistemas

lineales)Las razones para tal limitacioacuten son

- La teoriacutea general disponible para el disentildeo d sistemas de

controlse ha desarrollado con base en sistemas lineales

No existe una teoriacutea general para la solucioacuten de ecuaciones

diferenciales no lineales Por tantoel an~lisis de los sisteshy

mas representados por este tipo de ecuacionesmediante teacutecnicas

matemaacuteticassolo es posible en casos muy especiacuteficos

- Cualquier sistema no lineal puede aproximarse aceptablemente a

uno lineal alrededor de algunas condiciones de operacioacuten Esta

aproximacioacuten es de suma importanciapueacutes posibilita el anaacutelisis

de sistemas representados por ecuaciones no linealesmediante

la teacutecnica de aquellos que son lineales

31 DUWUCA 8N EL ~~ IlliJ TJEMPQ ~

En esta unidad se estudiaraacute el comportamiento dinaacutemico de 106

sistemas empleando como herramienta el meacutetodo general de solucioacuten

de ecuaciones diferenciales en el dominio del tiempo y el dominio

de Laplace

44

1 r

J I

311 CLASIFICACION DINAHICA DE LOS SISTEMAS Dinbicamente los sistemas se clasifican atendiendo a diferentes puntos de vista

i- De acuerdo al nuacutemero de variables independientes

- De paraacutemetros concentradosEl tiempo es la uacutenica variable

independiente Son descritos por ecuaciones diferenciales

ordinarias I

De paraacutemetros distribuidosEn el modelo hay mas de una

variable independientegeneralmente el tiempo y coordenadas

espacialesSe describen mediante ecuaciones diferenciales

parciales

ii- De acuerdo a la linealidad

- Lineales Todas las funciones que describen el sistema son

lineales

- No linealesAlguna de las funciones que describen el

sistema es no lineal

iii- De acuerdo a la estabilidad

- EstablesSon sistemas autoreguladoslas variables de

salida convergen a alguacuten valor de estado establedespueacutes de

haberse perturbado el sistema

- Inestables Las variables de salida cambian indefinidamente

el tiempo --- - gt bull con ogt~~ ~-- I ~_ -1-1 I

iv- De aQuerdo con el ~rd~n de las ecuaciones diferencialesEl 1N -shy

ordeacuten de un sistema lo determina el ordeacuten de las ecuacioshy---shynes diferenciales que lo representan

312 PERTURBACIONESA continuacioacuten se presentan los tipos de

perturbacioacuten maacutes usualmentre encontrados en el control de

procesos 1shy

3121 PERTURBACION ESCALON Es una funcioacuten que cambia

instantane~nte de un valor a otro continuando con este uacuteltimo - dValUL l1atematicamente se efine como

tltO

f( t J= tgtO

Si la magnitud del cambio es la unidad la funcioacuten se denomina

escaloacuten unitaria y se representa por

45

3 COMPORTAMIENTO DINAMICO DE SISTEMAS

El estudio del comportamiento dinaacutemico de un proceso parte de 1

desarrollo del modelo que describe la dinaacutemica del mismo Este

modelo es posteriormente resueltoobteniendose las relaciones que

establecen la forma de cambio de las diferentes variables con el

tiempo

El contenido de esta unidad no estaacute orientado a la discusioacuten de

los procedimientos que conducen a la solucioacuten de un modelosino a

la determinacioacuten y conceptualizacioacuten de los paraacutemetros que

caracterizan la dinaacutemica de un procesoPor esta razoacuten los

procesos aqul analizados son relativamente simples

El anaacutelisis se limitaraacute a aquellos sistemas cuya dinaacutemica estaacute

representada por ecuaciones diferenciales lineales (sistemas

lineales)Las razones para tal limitacioacuten son

- La teoriacutea general disponible para el disentildeo d sistemas de

controlse ha desarrollado con base en sistemas lineales

No existe una teoriacutea general para la solucioacuten de ecuaciones

diferenciales no lineales Por tantoel an~lisis de los sisteshy

mas representados por este tipo de ecuacionesmediante teacutecnicas

matemaacuteticassolo es posible en casos muy especiacuteficos

- Cualquier sistema no lineal puede aproximarse aceptablemente a

uno lineal alrededor de algunas condiciones de operacioacuten Esta

aproximacioacuten es de suma importanciapueacutes posibilita el anaacutelisis

de sistemas representados por ecuaciones no linealesmediante

la teacutecnica de aquellos que son lineales

31 DUWUCA 8N EL ~~ IlliJ TJEMPQ ~

En esta unidad se estudiaraacute el comportamiento dinaacutemico de 106

sistemas empleando como herramienta el meacutetodo general de solucioacuten

de ecuaciones diferenciales en el dominio del tiempo y el dominio

de Laplace

44

1 r

J I

311 CLASIFICACION DINAHICA DE LOS SISTEMAS Dinbicamente los sistemas se clasifican atendiendo a diferentes puntos de vista

i- De acuerdo al nuacutemero de variables independientes

- De paraacutemetros concentradosEl tiempo es la uacutenica variable

independiente Son descritos por ecuaciones diferenciales

ordinarias I

De paraacutemetros distribuidosEn el modelo hay mas de una

variable independientegeneralmente el tiempo y coordenadas

espacialesSe describen mediante ecuaciones diferenciales

parciales

ii- De acuerdo a la linealidad

- Lineales Todas las funciones que describen el sistema son

lineales

- No linealesAlguna de las funciones que describen el

sistema es no lineal

iii- De acuerdo a la estabilidad

- EstablesSon sistemas autoreguladoslas variables de

salida convergen a alguacuten valor de estado establedespueacutes de

haberse perturbado el sistema

- Inestables Las variables de salida cambian indefinidamente

el tiempo --- - gt bull con ogt~~ ~-- I ~_ -1-1 I

iv- De aQuerdo con el ~rd~n de las ecuaciones diferencialesEl 1N -shy

ordeacuten de un sistema lo determina el ordeacuten de las ecuacioshy---shynes diferenciales que lo representan

312 PERTURBACIONESA continuacioacuten se presentan los tipos de

perturbacioacuten maacutes usualmentre encontrados en el control de

procesos 1shy

3121 PERTURBACION ESCALON Es una funcioacuten que cambia

instantane~nte de un valor a otro continuando con este uacuteltimo - dValUL l1atematicamente se efine como

tltO

f( t J= tgtO

Si la magnitud del cambio es la unidad la funcioacuten se denomina

escaloacuten unitaria y se representa por

45

1 r

J I

311 CLASIFICACION DINAHICA DE LOS SISTEMAS Dinbicamente los sistemas se clasifican atendiendo a diferentes puntos de vista

i- De acuerdo al nuacutemero de variables independientes

- De paraacutemetros concentradosEl tiempo es la uacutenica variable

independiente Son descritos por ecuaciones diferenciales

ordinarias I

De paraacutemetros distribuidosEn el modelo hay mas de una

variable independientegeneralmente el tiempo y coordenadas

espacialesSe describen mediante ecuaciones diferenciales

parciales

ii- De acuerdo a la linealidad

- Lineales Todas las funciones que describen el sistema son

lineales

- No linealesAlguna de las funciones que describen el

sistema es no lineal

iii- De acuerdo a la estabilidad

- EstablesSon sistemas autoreguladoslas variables de

salida convergen a alguacuten valor de estado establedespueacutes de

haberse perturbado el sistema

- Inestables Las variables de salida cambian indefinidamente

el tiempo --- - gt bull con ogt~~ ~-- I ~_ -1-1 I

iv- De aQuerdo con el ~rd~n de las ecuaciones diferencialesEl 1N -shy

ordeacuten de un sistema lo determina el ordeacuten de las ecuacioshy---shynes diferenciales que lo representan

312 PERTURBACIONESA continuacioacuten se presentan los tipos de

perturbacioacuten maacutes usualmentre encontrados en el control de

procesos 1shy

3121 PERTURBACION ESCALON Es una funcioacuten que cambia

instantane~nte de un valor a otro continuando con este uacuteltimo - dValUL l1atematicamente se efine como

tltO

f( t J= tgtO

Si la magnitud del cambio es la unidad la funcioacuten se denomina

escaloacuten unitaria y se representa por

45

(J

r

tltO

u(tl= tgtO

Esta perturbacioacuten se representa griexclficamente en la figura 31aEs

el tipo de perturbacioacuten que maacutes comunmente se presenta en los

procesos quiacutemicos

3_1_2_2 PKRTURBACION PULSOEs una funcioacuten arbitraria que empieza

y teacutermina en el mismo nivelEn la figura 31b se muestra una de

las formas maacutes comunes de esta funcioacuten (rectangular)La funcioacuten

pulso rectangular se caracteriza por su magnitud de cambio (K) y

duracioacuten (D)y se define por

tltO OlttltDf(tl=~

tgtD

Esta funcioacuten puede representarse como la diferencia de dos

funciones escaloacuten de igual magnitudKla primera funcioacuten ocurre

en el tiempo t=Omientras la segunda se presenta con un atraso de

D unidades de tiempoEntonces ~ LI r iexcl bull n

f(t) = Ku(t) - Ku(t-D) ~

Si la amplitud es D y la magnitud de cambio liD la funcioacuten s e denomina pulso unitaria y el aacuterea bajo la curva es 1

3_1_2_3 PKRTURBACION IMPULSO UNITARIA Si la duracioacuten D de una

funcioacuten pulso unitaria se aproxima a cerola magnitud del cambio

se aproxima a infinitoy el aacuterea bajo la curva seraacute siempre igual

a 1

Lim (D x liD) = 1 D-gtO

En este caso se obtiene la funcioacuten mostrada en la figura 31cla

cuaacutel se denomina impulso unitaria o Dirac Se define como cero

para todo tiempo excepto para t=O

46

31~4 PKRTURBACION RAMPAEs una funcioacuten que cambia li ~ ~almente

con el tiempoSe define como

i tltO

f(t)= O

lKt tgtO

3125 PKRTURBACION SRNOIDAL Corresponde a las funciones seno y

cosenoSe define por

tltO o tltO f(t)=10 f(t)=

ASenwt tgtO ACoswt tgt )tAAmplitud w Frecuencia

Esta perturbacioacuten se representa graacuteficamente en la figur~ 31d

bull t

f(t) f(t)

KK

D tt

a-FUNCION ESCALON b-FUNCION PULSO RECTANGULAR

f (t) f(t)

(

t

e-IMPULSO UNITARIA d-FUNCION SENO

FIGURA 3 1 FUNCIO~ DE PKRTURBACION L

313 VARIABLES DE DESVIACION Estas variables se definen con

base en su valor de estado estable Para una variable X( t) su

correspondiente variable de desviacioacuten X(t)es

47

- --

x - ( t) = x ( t) - x

El subiacutendice e J indica valor de estado estacionario El concepto1

de variable de desviacioacuten se ilustra en la figura 32Las

principales ventajas que se derivan del empleo de este tipo de

variables son

Si el punto de arranque es el nivel do operacioacuten de estado

establelas condiciones iniciales de todas lamps variables son

ceroEsto hace que en las ecuaciones diferenciales ordinarias

los teacuterminos constantes originados por condiciones inicialesse

anulen

- Lo fundamental en el an~lisis del control de un proceso es la

magni tud de cambio de las variables antes que sus valores

absolutos Las variables de desviacioacuten muestran esta magnitud

directamente

x(t)

l

Xe

FIGURA 3_2 VARIABLES DE DESVIACION

(

314 LINEALIZACION Es e 1 procedimiento mediante e 1 cual un l

sistema no lineal se aproxima a uno linealSupongase que la

dinaacutemica de un proceso se describe por la siguiente ecuacioacuten

diferencial no lineal

dX - f(X) dt

48

Expandiendo la funcioacuten no lineal f(X) en una serie de Taylor

alrededor del punto Xose obtiene

f(X) ~ f(Xo)+(df)(X-Xo)+(d 2 f) (X-Xo)2+(d3 f) (X-XO)3 dX dX2 2 dX3 3

Desprec iando los teacuterminos de p rdeacuten igual y superior a dos se

obtiene como expresioacuten para f(X)

f(X) = f(Xo)+(df) (X-Xo) ( 3 1 ) dX

La ecuacioacuten (31) es justamente la ecuacioacuten de la liacutenea tangente

la curva f(X) en el punto Xocomo se ilustra en la figura

33De eacutesta figura puede concluirse que

- La funcioacuten lineal se aproxima bastante bieacuten a la no linealen

las vecindades del punto alrededor del cual se hace la

expansioacuten lejos de este punto la desviacioacuten puede ser

apreciable )

El tamantildeo de la regioacuten en la cual existe un bueacuteri grado de

aproximac ioacuten depende de la forma de la curva en los puntos

proacuteximos a aquel alrededor del cual se hizo la expansioacuten (ver

figura 33)

Felt

-===~~ECUAC I ON (3 1)

F(xol

Xo x

- r r tFIGURA 33 REPRESENTACION GRAFICA DEL METODO DE LINEALIZACION_

49

La aproximacioacuten que se acaba de presentar para una funcioacuten de una I

sola variablepuede extenderse a sistemas con mas de una

variableConsiderese el sistema descrito por las siguientes

ecuaciones

dX1 = f1(X1X2) dt

La expansioacuten de f1 y f2 en series de Taylordespreciando los

teacuterminos de segundo o den en adelante daacute

f1(X1X2)=f1(X10X20)+ ~I (X1-X10)+ --ordfiJ1 (X2-X20) aX11x10X20 aX21x10X20

f2(X1X2)=f2(X10X20)+ af21 (X1-X10)+ af21 (X2-X20) aX11x10X20 aX21x10X20

Si la funcioacuten que se linealiza forma parte middot de un modelo que

describe la dinaacutemica de un proceso continuoel punto mas

conveniente para expandir eacutesta en serie de taylor es el

correspondiente a las condiciones de operacioacuten de estado

estable Hac iendo esto la func ioacuten queda expresada en teacuterminos de

variables de desviacioacuten Si en las uacuteltimas dos ecuaciones se

substi tuyen X10 y X20 por los valores de estado estable X1e y

X2ese obtiene

f1(X1X2)=f1(X1eX2e)+ ~I X~1+ ~I X~2 (32) a X1 X1e X2e aX21 X1e X2e

f2(X1X2)=f2(X1eX2e)+ Jliacute21 X~1+ ~I X~2 (33) aX1 X1eX2e aX2 X1eX2e

En el caso del reactor continuo de tanque agitado analizado en la

unidad 2tanto la ecuaCl0n de balance de material como de

energacontienen el teacutermino KCAAl expresar K en funcioacuten de la

temperatura este teacutermino se convierte en Koe- E RT el cual es no

linealAl linealizarlo se obtiene

Expandiendo la funcioacuten no lineal f(X) en una serie de Taylor

alrededor del punto Xose obtiene

f(X) ~ f(Xo)+(df)(X-Xo)+(d 2 f) (X-Xo)2+(d3 f) (X-XO)3 dX dX2 2 dX3 3

Desprec iando los teacuterminos de p rdeacuten igual y superior a dos se

obtiene como expresioacuten para f(X)

f(X) = f(Xo)+(df) (X-Xo) ( 3 1 ) dX

La ecuacioacuten (31) es justamente la ecuacioacuten de la liacutenea tangente

la curva f(X) en el punto Xocomo se ilustra en la figura

33De eacutesta figura puede concluirse que

- La funcioacuten lineal se aproxima bastante bieacuten a la no linealen

las vecindades del punto alrededor del cual se hace la

expansioacuten lejos de este punto la desviacioacuten puede ser

apreciable )

El tamantildeo de la regioacuten en la cual existe un bueacuteri grado de

aproximac ioacuten depende de la forma de la curva en los puntos

proacuteximos a aquel alrededor del cual se hizo la expansioacuten (ver

figura 33)

Felt

-===~~ECUAC I ON (3 1)

F(xol

Xo x

- r r tFIGURA 33 REPRESENTACION GRAFICA DEL METODO DE LINEALIZACION_

49

La aproximacioacuten que se acaba de presentar para una funcioacuten de una I

sola variablepuede extenderse a sistemas con mas de una

variableConsiderese el sistema descrito por las siguientes

ecuaciones

dX1 = f1(X1X2) dt

La expansioacuten de f1 y f2 en series de Taylordespreciando los

teacuterminos de segundo o den en adelante daacute

f1(X1X2)=f1(X10X20)+ ~I (X1-X10)+ --ordfiJ1 (X2-X20) aX11x10X20 aX21x10X20

f2(X1X2)=f2(X10X20)+ af21 (X1-X10)+ af21 (X2-X20) aX11x10X20 aX21x10X20

Si la funcioacuten que se linealiza forma parte middot de un modelo que

describe la dinaacutemica de un proceso continuoel punto mas

conveniente para expandir eacutesta en serie de taylor es el

correspondiente a las condiciones de operacioacuten de estado

estable Hac iendo esto la func ioacuten queda expresada en teacuterminos de

variables de desviacioacuten Si en las uacuteltimas dos ecuaciones se

substi tuyen X10 y X20 por los valores de estado estable X1e y

X2ese obtiene

f1(X1X2)=f1(X1eX2e)+ ~I X~1+ ~I X~2 (32) a X1 X1e X2e aX21 X1e X2e

f2(X1X2)=f2(X1eX2e)+ Jliacute21 X~1+ ~I X~2 (33) aX1 X1eX2e aX2 X1eX2e

En el caso del reactor continuo de tanque agitado analizado en la

unidad 2tanto la ecuaCl0n de balance de material como de

energacontienen el teacutermino KCAAl expresar K en funcioacuten de la

temperatura este teacutermino se convierte en Koe- E RT el cual es no

linealAl linealizarlo se obtiene

La aproximacioacuten que se acaba de presentar para una funcioacuten de una I

sola variablepuede extenderse a sistemas con mas de una

variableConsiderese el sistema descrito por las siguientes

ecuaciones

dX1 = f1(X1X2) dt

La expansioacuten de f1 y f2 en series de Taylordespreciando los

teacuterminos de segundo o den en adelante daacute

f1(X1X2)=f1(X10X20)+ ~I (X1-X10)+ --ordfiJ1 (X2-X20) aX11x10X20 aX21x10X20

f2(X1X2)=f2(X10X20)+ af21 (X1-X10)+ af21 (X2-X20) aX11x10X20 aX21x10X20

Si la funcioacuten que se linealiza forma parte middot de un modelo que

describe la dinaacutemica de un proceso continuoel punto mas

conveniente para expandir eacutesta en serie de taylor es el

correspondiente a las condiciones de operacioacuten de estado

estable Hac iendo esto la func ioacuten queda expresada en teacuterminos de

variables de desviacioacuten Si en las uacuteltimas dos ecuaciones se

substi tuyen X10 y X20 por los valores de estado estable X1e y

X2ese obtiene

f1(X1X2)=f1(X1eX2e)+ ~I X~1+ ~I X~2 (32) a X1 X1e X2e aX21 X1e X2e

f2(X1X2)=f2(X1eX2e)+ Jliacute21 X~1+ ~I X~2 (33) aX1 X1eX2e aX2 X1eX2e

En el caso del reactor continuo de tanque agitado analizado en la

unidad 2tanto la ecuaCl0n de balance de material como de

energacontienen el teacutermino KCAAl expresar K en funcioacuten de la

temperatura este teacutermino se convierte en Koe- E RT el cual es no

linealAl linealizarlo se obtiene

e-ERTCA=e-ERTeCAe + j1e-E RTCA)I (T-Te )

aT ITeCAe

+ ----ordf-Le-ERTCA) (CA-CAe) aCA TeCAe

=e-ERTeCAa+(_E_ e-ERTaCAe)T~+e-ERTa(CA~) RT a 2

I

315 RESPUESTA DINAHICA DE SISTEMAS LINEALES DE PRIMER ORDENSi

se tiene en cuenta la clasificacioacuten de los sistemas atendiendo al

ordeacuten de las ecuaciones que describen su dinaacutemica los sistemas de

primer o aeacute son aquellos descritos por ecuaciones diferenciales

de primer o~deacuten

La forma general de las ecuaciones diferenciales ordinarias

lineales de primer or~ es _1~ ~ _~

- _ elt dY + P(t)Y = X(t) (34) ~ - - Liexcliquesttf dt( - iacuteltv

1) -t La solucioacuten general de esta ecuacioacuten se obtiene mediante la

aplicacioacuten de los meacutetodos del p~oducto o de variacioacuten del

paraacutemetro Para el caso particular de las ecuaciones con coefi shy

cientes constantesla forma es

a1dY + aoY = bX(t) (35) dt

- En el ahalisis de la dinaacutemica y control de procesosesta ecuacioacuten

usualmente se lleva a la forma

z gx + 1Y = KpX(t) (36) dt

T Se conoce como la constante de tiempoy Kp como la ganancia de

estado estacionario

A continuacioacuten se analizaran algunos sistemas de prime r orden c on

1 fin de determinar el comportamiento de su respuesta eacutest a

bull t _ 1 ) w

1( shy

51

~ 11

t

obviamente debe de ser de tipo exponenc ialpueacutes la solucioacuten de

toda ecuacioacuten diferencial de primer ordeacute n es de este tipo

El modelo desarrollado en la unidad dos para el reactor continuo

de tanque agitado puede con ciertas restricciones en las

condiciones de operacioacuten simplificarse de forma tal que el

modelo obtenidotenga una solucioacuten mateacutematica r e lativamente

simpleSipor ejemploel volumen de la fase liacutequida se mantiene

constante y el reactor opera isot~rmicamentela dinaacutemica del

sistema queda descrita por la ecuacioacuten de balance de componente

A

dCA + (F + K)CA = F CAO (37) dt V V

En condiciones de estado estacionario

(f + K)CAa = F CAOa (38) V V

Substrayendo la ecuacioacuten (38) de la (37)se obtiene

T dC~A + CJA = KpCJAO (39) dt

T = 1 Constante de tiempo del proceso K+FV

Kp =~ Ganancia de estado estacionario del proceso l+VjF

Ob~vese que la ecuac ioacuten ( 39) es idiquestnt ica a la ( 3 7 ) De aqu

puede concluirse quesiempre y cuandola ecuacioacuten diferencial

ordinaria sea linealla forma de eacutesta es la misma en teacuterminos de

variables totales o de desviacioacuten

La variable de perturbacioacuten en la ecuacioacuten (39)e8 C~Ao Si esta I

concentracioacuten cambia instantaneamente de un valor CAOe a ot r o

CAo~la perturbacioacuten al sistema es de tipo esca l oacuten

-------

I

I 1

tltO C~ AO O

[CAOl - CAOe Co tgtO

La solucioacuten de la ecuacioacuten (39) para tiempos mayores o iguales a

ceroconduce a la siguiente respuesta para el sistema

variable de respuesta se aproxima asintoticamente a un nuevo

(310)

La figura 34 muestra la forma de variacioacuten de la concentracioacuten

de A con el tiempoDe esta figura puede observarse que la

valor de estado estacionario

(311)

------- shy

t

J

FIGURA 34 RESPUESTA DE UN REACTOR CONTINUO DE TANQUK AGITADO A UN CAMBIO ESCALON KM LA CONCKNTRACION DE REACTIVO

La ganancia de estado estacionario es la razoacuten de la magnitud de

cambio entre los valores de estado estacionario (inicial y final)

de la variable de saliday la variable de entrada Este paraacutemetro

determina la maacutexima desviacioacuten de la variable de salidacomo

consecuencia de cambios en una variable de entradaEn el caso de

sistemas lineales puede obtenerse directamente de la ecuacioacuten de

estado estacionarioEn procesos con alta gananciala variable de

salida puede cambiar significativamenteauacuten con pequentildeos cambios

en la entrada (proceso con alta sensibilidad)

-------

I

I 1

tltO C~ AO O

[CAOl - CAOe Co tgtO

La solucioacuten de la ecuacioacuten (39) para tiempos mayores o iguales a

ceroconduce a la siguiente respuesta para el sistema

variable de respuesta se aproxima asintoticamente a un nuevo

(310)

La figura 34 muestra la forma de variacioacuten de la concentracioacuten

de A con el tiempoDe esta figura puede observarse que la

valor de estado estacionario

(311)

------- shy

t

J

FIGURA 34 RESPUESTA DE UN REACTOR CONTINUO DE TANQUK AGITADO A UN CAMBIO ESCALON KM LA CONCKNTRACION DE REACTIVO

La ganancia de estado estacionario es la razoacuten de la magnitud de

cambio entre los valores de estado estacionario (inicial y final)

de la variable de saliday la variable de entrada Este paraacutemetro

determina la maacutexima desviacioacuten de la variable de salidacomo

consecuencia de cambios en una variable de entradaEn el caso de

sistemas lineales puede obtenerse directamente de la ecuacioacuten de

estado estacionarioEn procesos con alta gananciala variable de

salida puede cambiar significativamenteauacuten con pequentildeos cambios

en la entrada (proceso con alta sensibilidad)

El tiempo necesario para que la respuesta (eA) alcance un valor

dete-minado depende fundamentalmente de la constante de tiempo

del procesoEn la ecuacioacuten 310 puede verse que mientras menor

sea el valor de este paraacutemetro maacutes raacutepido cae el teacutermino

exponencial a cero si dos reactores continuos de tanque agitado

operan con la misma ganancia de estado estac ionario (Kl K2= [V2

FlJ[VlF2J pero la constante de tiempo del primer reactor es

menor (KlgtK2) eacuteste reactor alcanzaraacute mas raacutepidamente (en un

menor tiempo) un valor dado de la respuesta Este hecho se ilustra

en la figura 35

11

Primer reactor

Kp CA ----iacute- ----------- shy

FIGURA 3 _ 5 RESPUESTA DE DOS SI STEMAS DE PRIMER ORDEN CON DIFERENTE CONSTANTE DE TIEMPO

Las ecuaciones que describen la dinaacutemica del proceso analizado en

la aplicacioacuten 222 son

F = FA + Fa ( 3 12 )

V dXA + FXA - FA ( 313) dt

Para obtener la solucioacuten de la ecuacioacuten (313) es

necesarioprimero linealizarlaDespueacutes de efectuar esta operacioacuten

y substraer de la ecuacioacuten resultantela correspondiente al

estado estacionario se obtiene

v ~ + F9XA = FA - FXAa (314) dt

54

-_ bull

bull 1Para una perturbacioacuten escaloacuten en la cual FA cambia lnstantashy

neamente de FAe a FA1 y FB permanece constante

( o t lt O FmiddotA =

( FAl - FAe = Lo t gt O

De la ecuacioacuten (312) ss concluye que

(315)

Reemplazando Fmiddot de la ecuacioacuten (315) en la ecuacioacuten (314)

(316)~ dXmiddotA + XmiddotA = (1 Fe dt

T = V Fe Kp = (1 - XAe) Fe

La solucioacuten de la ecuacioacuten (316) es

Las ecuaciones que describen la dinaacutemica del sistema de flujo por

gravedadanalizado en la unidad dosson (para el caso de flujo

turbulento)

Fo - F = A dZ dt

Reemplazando la segunda ecuacioacuten en la primerase obtiene

Fo - K~(Z = A dZ (317) dt

Esta ecuacioacuten es no linealdebido al teacutermino K~(ZSi se hac e la

substitucioacuten u = (Zse obtiene

2A ( udu ) - dt Fa - KfU

Integrando esta ecuacioacuten para el caso en el cual el flujo de

entrada cambia repentinamente de un v a lor de estado estacionario

(Foa) a un valor FOlse llega a

55

Ln (Fol Kr(Z) = K~ t + Fo - Kr(Z

Fol Fo 2AFol Fol

La solucioacuten de la ecuacioacuten (317) tambieacuten se puede

obtenerrecurriendo a la linealizacioacuten del teacutermino K~(ZDespueacutes

de linealizar y substraer de la ecuacioacuten resultante la de estado

estacionariose obtiene

A dZmiddot + Kr Zmiddot = Fomiddot (318) dt 2(Z

T = 2A(Z = 2V Kp = 2(Z - 2Z K~ Fe K~ Fe

v es el volumen correspondiente al estado estacionario La

perturbacioacuten se expresa mediante la siguiente funcioacuten escaloacuten

o t lt O Fo = I

]Fol - Fo = Lo t gt O

La solucioacuten de la ecuacioacuten (318) es

8

bull 7 Q

It Solueion I)(oe I o

~ 6 CT ~ Solueion oproll imodoe CI--bull bullc

3~

~

___~____~____~__~____~__~____~__~___1

O ~ 10 I~ 20 2~ 30 3~ 40 Tiempo( min

FIGURA 36 RKSPUKSTA DE UN TANQUK CON FWJO POR GRAVEDAD

56

Par f d

--

En l~ figura 36 se grafica tanto la solucioacuten exacta (analiacutetica)

como la aproximada (linealizando) a~plusmnendo los siguientes - shy

valores numericos A = 20 pieaK~ = 10 pie3 minFo = 20

pie3 minFo1 = 25 pie3 minComo puede apreciarsela solucioacuten

lineal izada se aproxima muy bien a la exacta en una reaioacuten

cercana a las condiciones de estado estacionario Sin embargo a

medida que el tiempo transcurrela respuesta del sistema se aleja

de estas condiciones y la aproximacioacuten es cada vez menos

rigurosa

En la figura 37a y 37b se muestran el aacuterea de seccioacuten

transversal y la distribucioacuten general de temperaturas de un

teacutermometro de vidrio con mercurio

d vid r i o

Resist~ncio pelicular

a b

FIGURA 3 7 DISTRIWCION DE TEMPERATURA EN UN TImHOHKTRO DE VIDRIO

Para obtener las ecuaciones que representan la dinaacutemica de este

sistemapueden hacerse las siguientes suposiciones simplifi shy

cantesque conducen a un modelo de simple solucioacuten matemaacutetica

- La resistencia a la transferencia de calor ofrecida por el

vidrio y el mercurio son despreciables comparadas con aqueila

ofrecida por la peliacutecula alrededor del bulbo Esto implica que

la temperatura del mercurio y la pared del vidrio son la misma

- La capacidad caloriacutefica del vidrio esdespreciable

- La temperatura del mercurio es uniforme

- La pared del vidrio que contiene el mercurio no se expande ni

contrae durante la respuesta transitoria

7

rLa aplicacioacuten de un balance de energla al bulbo del teacutermometro

conduce a la siguiente expresioacuten

(mCphoA) (dT-dt) + T- = T-A 1 ( iexcl 1_

I I

m masa de mercurio en el bulbo

Cp Capacidad caloriacutefica del mercurio

A Area del bulbo para transferencia de calor 7

ha Coeficiente pelicular de transferencia de calor 7

I Si el teacutermometro se encuentra inicialmente en equilibrio con el

medio ambiente (TAO) y se introduce en un bantildeo a temperatura

constante (TAl)la perturbacioacute n es

t lt O

To t gt O

( La respuesta del ~eacutermometro es

En el circuito mostrado en la figura 38 se aplicamediante una

fuenteun voltaje v(t) a una combinacioacuten de una resistencia (R) y

una capacitancia (C)

FIGURA 38 CIRCUITO RESISTIVO CAPACITIVO

Aplicando la ley de Kirchhoff al circuito se obtiene

v(t) = Ri(t) + (le)J idt

I 4 58 -iquest ) ~

Reemplazando la corriente por la velocidad de cambio de carga con

respecto al tiempo y teniendo en cuenta que la razoacuten de la carga

a la capacitancia (qC) es el voltaje a traveacutes del capacitorse

obtiene

v(t) = RC( decdt ) + eo

Esta ecuacioacuten en teacuterminos de variables de desviacioacuten es de la

forma

(319)

T = RC

Si el voltaje de la fuente cambia en forma instantanea de su

valor de estado estacionario (Ve) a un valor V1 la perturbacioacuten

es

O t lt O v- =

Ve - V1 = VO t gt O

La solucioacuten de la ecuacioacuten (319) es

En el circuito eleacutectrico que acaba de analizarsela constante de

tiempo del proceso corresponde al producto de la resistencia por

la capacitancia Este resultado puede extenderse a los sistemas

que se presentan en el aacuterea de los procesos quiacutemicos si para

estos se establecenpor analogiacutea con los circuitos eleacutectricossus

respectivas resistencias y capacitancias La capacitancia se

define en general como la razoacuten del cambio de una propiedad

almacenada al cambio en la fuerza impulsora o potencialLa

resistencia se define como la razoacuten de cambio de la fuerza

impulsora al cambio en el flujo

Para el sistema del tanque con flujo por g rave dad se tie ne

R = dZdF

59

Ln (Fol Kr(Z) = K~ t + Fo - Kr(Z

Fol Fo 2AFol Fol

La solucioacuten de la ecuacioacuten (317) tambieacuten se puede

obtenerrecurriendo a la linealizacioacuten del teacutermino K~(ZDespueacutes

de linealizar y substraer de la ecuacioacuten resultante la de estado

estacionariose obtiene

A dZmiddot + Kr Zmiddot = Fomiddot (318) dt 2(Z

T = 2A(Z = 2V Kp = 2(Z - 2Z K~ Fe K~ Fe

v es el volumen correspondiente al estado estacionario La

perturbacioacuten se expresa mediante la siguiente funcioacuten escaloacuten

o t lt O Fo = I

]Fol - Fo = Lo t gt O

La solucioacuten de la ecuacioacuten (318) es

8

bull 7 Q

It Solueion I)(oe I o

~ 6 CT ~ Solueion oproll imodoe CI--bull bullc

3~

~

___~____~____~__~____~__~____~__~___1

O ~ 10 I~ 20 2~ 30 3~ 40 Tiempo( min

FIGURA 36 RKSPUKSTA DE UN TANQUK CON FWJO POR GRAVEDAD

56

Par f d

--

En l~ figura 36 se grafica tanto la solucioacuten exacta (analiacutetica)

como la aproximada (linealizando) a~plusmnendo los siguientes - shy

valores numericos A = 20 pieaK~ = 10 pie3 minFo = 20

pie3 minFo1 = 25 pie3 minComo puede apreciarsela solucioacuten

lineal izada se aproxima muy bien a la exacta en una reaioacuten

cercana a las condiciones de estado estacionario Sin embargo a

medida que el tiempo transcurrela respuesta del sistema se aleja

de estas condiciones y la aproximacioacuten es cada vez menos

rigurosa

En la figura 37a y 37b se muestran el aacuterea de seccioacuten

transversal y la distribucioacuten general de temperaturas de un

teacutermometro de vidrio con mercurio

d vid r i o

Resist~ncio pelicular

a b

FIGURA 3 7 DISTRIWCION DE TEMPERATURA EN UN TImHOHKTRO DE VIDRIO

Para obtener las ecuaciones que representan la dinaacutemica de este

sistemapueden hacerse las siguientes suposiciones simplifi shy

cantesque conducen a un modelo de simple solucioacuten matemaacutetica

- La resistencia a la transferencia de calor ofrecida por el

vidrio y el mercurio son despreciables comparadas con aqueila

ofrecida por la peliacutecula alrededor del bulbo Esto implica que

la temperatura del mercurio y la pared del vidrio son la misma

- La capacidad caloriacutefica del vidrio esdespreciable

- La temperatura del mercurio es uniforme

- La pared del vidrio que contiene el mercurio no se expande ni

contrae durante la respuesta transitoria

7

rLa aplicacioacuten de un balance de energla al bulbo del teacutermometro

conduce a la siguiente expresioacuten

(mCphoA) (dT-dt) + T- = T-A 1 ( iexcl 1_

I I

m masa de mercurio en el bulbo

Cp Capacidad caloriacutefica del mercurio

A Area del bulbo para transferencia de calor 7

ha Coeficiente pelicular de transferencia de calor 7

I Si el teacutermometro se encuentra inicialmente en equilibrio con el

medio ambiente (TAO) y se introduce en un bantildeo a temperatura

constante (TAl)la perturbacioacute n es

t lt O

To t gt O

( La respuesta del ~eacutermometro es

En el circuito mostrado en la figura 38 se aplicamediante una

fuenteun voltaje v(t) a una combinacioacuten de una resistencia (R) y

una capacitancia (C)

FIGURA 38 CIRCUITO RESISTIVO CAPACITIVO

Aplicando la ley de Kirchhoff al circuito se obtiene

v(t) = Ri(t) + (le)J idt

I 4 58 -iquest ) ~

Reemplazando la corriente por la velocidad de cambio de carga con

respecto al tiempo y teniendo en cuenta que la razoacuten de la carga

a la capacitancia (qC) es el voltaje a traveacutes del capacitorse

obtiene

v(t) = RC( decdt ) + eo

Esta ecuacioacuten en teacuterminos de variables de desviacioacuten es de la

forma

(319)

T = RC

Si el voltaje de la fuente cambia en forma instantanea de su

valor de estado estacionario (Ve) a un valor V1 la perturbacioacuten

es

O t lt O v- =

Ve - V1 = VO t gt O

La solucioacuten de la ecuacioacuten (319) es

En el circuito eleacutectrico que acaba de analizarsela constante de

tiempo del proceso corresponde al producto de la resistencia por

la capacitancia Este resultado puede extenderse a los sistemas

que se presentan en el aacuterea de los procesos quiacutemicos si para

estos se establecenpor analogiacutea con los circuitos eleacutectricossus

respectivas resistencias y capacitancias La capacitancia se

define en general como la razoacuten del cambio de una propiedad

almacenada al cambio en la fuerza impulsora o potencialLa

resistencia se define como la razoacuten de cambio de la fuerza

impulsora al cambio en el flujo

Para el sistema del tanque con flujo por g rave dad se tie ne

R = dZdF

59

Par f d

--

En l~ figura 36 se grafica tanto la solucioacuten exacta (analiacutetica)

como la aproximada (linealizando) a~plusmnendo los siguientes - shy

valores numericos A = 20 pieaK~ = 10 pie3 minFo = 20

pie3 minFo1 = 25 pie3 minComo puede apreciarsela solucioacuten

lineal izada se aproxima muy bien a la exacta en una reaioacuten

cercana a las condiciones de estado estacionario Sin embargo a

medida que el tiempo transcurrela respuesta del sistema se aleja

de estas condiciones y la aproximacioacuten es cada vez menos

rigurosa

En la figura 37a y 37b se muestran el aacuterea de seccioacuten

transversal y la distribucioacuten general de temperaturas de un

teacutermometro de vidrio con mercurio

d vid r i o

Resist~ncio pelicular

a b

FIGURA 3 7 DISTRIWCION DE TEMPERATURA EN UN TImHOHKTRO DE VIDRIO

Para obtener las ecuaciones que representan la dinaacutemica de este

sistemapueden hacerse las siguientes suposiciones simplifi shy

cantesque conducen a un modelo de simple solucioacuten matemaacutetica

- La resistencia a la transferencia de calor ofrecida por el

vidrio y el mercurio son despreciables comparadas con aqueila

ofrecida por la peliacutecula alrededor del bulbo Esto implica que

la temperatura del mercurio y la pared del vidrio son la misma

- La capacidad caloriacutefica del vidrio esdespreciable

- La temperatura del mercurio es uniforme

- La pared del vidrio que contiene el mercurio no se expande ni

contrae durante la respuesta transitoria

7

rLa aplicacioacuten de un balance de energla al bulbo del teacutermometro

conduce a la siguiente expresioacuten

(mCphoA) (dT-dt) + T- = T-A 1 ( iexcl 1_

I I

m masa de mercurio en el bulbo

Cp Capacidad caloriacutefica del mercurio

A Area del bulbo para transferencia de calor 7

ha Coeficiente pelicular de transferencia de calor 7

I Si el teacutermometro se encuentra inicialmente en equilibrio con el

medio ambiente (TAO) y se introduce en un bantildeo a temperatura

constante (TAl)la perturbacioacute n es

t lt O

To t gt O

( La respuesta del ~eacutermometro es

En el circuito mostrado en la figura 38 se aplicamediante una

fuenteun voltaje v(t) a una combinacioacuten de una resistencia (R) y

una capacitancia (C)

FIGURA 38 CIRCUITO RESISTIVO CAPACITIVO

Aplicando la ley de Kirchhoff al circuito se obtiene

v(t) = Ri(t) + (le)J idt

I 4 58 -iquest ) ~

Reemplazando la corriente por la velocidad de cambio de carga con

respecto al tiempo y teniendo en cuenta que la razoacuten de la carga

a la capacitancia (qC) es el voltaje a traveacutes del capacitorse

obtiene

v(t) = RC( decdt ) + eo

Esta ecuacioacuten en teacuterminos de variables de desviacioacuten es de la

forma

(319)

T = RC

Si el voltaje de la fuente cambia en forma instantanea de su

valor de estado estacionario (Ve) a un valor V1 la perturbacioacuten

es

O t lt O v- =

Ve - V1 = VO t gt O

La solucioacuten de la ecuacioacuten (319) es

En el circuito eleacutectrico que acaba de analizarsela constante de

tiempo del proceso corresponde al producto de la resistencia por

la capacitancia Este resultado puede extenderse a los sistemas

que se presentan en el aacuterea de los procesos quiacutemicos si para

estos se establecenpor analogiacutea con los circuitos eleacutectricossus

respectivas resistencias y capacitancias La capacitancia se

define en general como la razoacuten del cambio de una propiedad

almacenada al cambio en la fuerza impulsora o potencialLa

resistencia se define como la razoacuten de cambio de la fuerza

impulsora al cambio en el flujo

Para el sistema del tanque con flujo por g rave dad se tie ne

R = dZdF

59

rLa aplicacioacuten de un balance de energla al bulbo del teacutermometro

conduce a la siguiente expresioacuten

(mCphoA) (dT-dt) + T- = T-A 1 ( iexcl 1_

I I

m masa de mercurio en el bulbo

Cp Capacidad caloriacutefica del mercurio

A Area del bulbo para transferencia de calor 7

ha Coeficiente pelicular de transferencia de calor 7

I Si el teacutermometro se encuentra inicialmente en equilibrio con el

medio ambiente (TAO) y se introduce en un bantildeo a temperatura

constante (TAl)la perturbacioacute n es

t lt O

To t gt O

( La respuesta del ~eacutermometro es

En el circuito mostrado en la figura 38 se aplicamediante una

fuenteun voltaje v(t) a una combinacioacuten de una resistencia (R) y

una capacitancia (C)

FIGURA 38 CIRCUITO RESISTIVO CAPACITIVO

Aplicando la ley de Kirchhoff al circuito se obtiene

v(t) = Ri(t) + (le)J idt

I 4 58 -iquest ) ~

Reemplazando la corriente por la velocidad de cambio de carga con

respecto al tiempo y teniendo en cuenta que la razoacuten de la carga

a la capacitancia (qC) es el voltaje a traveacutes del capacitorse

obtiene

v(t) = RC( decdt ) + eo

Esta ecuacioacuten en teacuterminos de variables de desviacioacuten es de la

forma

(319)

T = RC

Si el voltaje de la fuente cambia en forma instantanea de su

valor de estado estacionario (Ve) a un valor V1 la perturbacioacuten

es

O t lt O v- =

Ve - V1 = VO t gt O

La solucioacuten de la ecuacioacuten (319) es

En el circuito eleacutectrico que acaba de analizarsela constante de

tiempo del proceso corresponde al producto de la resistencia por

la capacitancia Este resultado puede extenderse a los sistemas

que se presentan en el aacuterea de los procesos quiacutemicos si para

estos se establecenpor analogiacutea con los circuitos eleacutectricossus

respectivas resistencias y capacitancias La capacitancia se

define en general como la razoacuten del cambio de una propiedad

almacenada al cambio en la fuerza impulsora o potencialLa

resistencia se define como la razoacuten de cambio de la fuerza

impulsora al cambio en el flujo

Para el sistema del tanque con flujo por g rave dad se tie ne

R = dZdF

59

Reemplazando la corriente por la velocidad de cambio de carga con

respecto al tiempo y teniendo en cuenta que la razoacuten de la carga

a la capacitancia (qC) es el voltaje a traveacutes del capacitorse

obtiene

v(t) = RC( decdt ) + eo

Esta ecuacioacuten en teacuterminos de variables de desviacioacuten es de la

forma

(319)

T = RC

Si el voltaje de la fuente cambia en forma instantanea de su

valor de estado estacionario (Ve) a un valor V1 la perturbacioacuten

es

O t lt O v- =

Ve - V1 = VO t gt O

La solucioacuten de la ecuacioacuten (319) es

En el circuito eleacutectrico que acaba de analizarsela constante de

tiempo del proceso corresponde al producto de la resistencia por

la capacitancia Este resultado puede extenderse a los sistemas

que se presentan en el aacuterea de los procesos quiacutemicos si para

estos se establecenpor analogiacutea con los circuitos eleacutectricossus

respectivas resistencias y capacitancias La capacitancia se

define en general como la razoacuten del cambio de una propiedad

almacenada al cambio en la fuerza impulsora o potencialLa

resistencia se define como la razoacuten de cambio de la fuerza

impulsora al cambio en el flujo

Para el sistema del tanque con flujo por g rave dad se tie ne

R = dZdF

59

- ---------- - - - - ----

Luego R = 2fZeKf C = AdZdZ = A

bull I

En el sistema de mezclado de dos compuestos liacutequidosla constante

de tiempo es

C = VdXAdXA = V T = VFeo

En el caso del termoacutemetro de vidrio se tiene

T = mCphoAR = dT(hoAdT) = lhoA

Los cuatro sistemas hasta aqul analizadospresentan unas caracshy

teristicas dinaacutemicas que son comunes a todos los sistemas de

primer oqiaacute

- Son sistemas autb~egulados

Son sistemas de tipo resistivo-capacitivoes decir tienen

capacidad para almacenar materialenerga o cantidad de

movimientoy siempre existe una resistencia que se opone a un

flujo

~ ~

laquo fshy(f) 50 w gt o 40 (f)

w cr

20

10

6010 2 0 30 4Q 5 0 tI r

FIGURA 39 RESPUESTA PORCENTUAL DE UN SISTEMA DE PRIMER ORDEN A PERTURBACION ESCALON

60

L~ rapidez de la respuesta la determina el valo~ de la

constante de tiempo del sistema Un graacutefico de la spuesta

porcentual contra el tiempo (fig 39)muestra que cuando ha

transcurrido un tiempo igual al valor de la constante de

tiempola respuesta alcanza un 832 de su valor finalCuando

el tiempo transcurrido es igual a cuatro veces la constante de

tiempola respuesta alcanza un 98 de su valor final

- En el caso de los sistemas no lineales la constante de tiempo y

la ganancia de estado estacionario dependen de las condiciones

en este estado

- La maacutexima velocidad de respuesta es la inicial

316 RESPURSTA DINAKICA DE SISTHHAS LINKALKS DE SKGUNDO ORDEN

En esta seccioacuten se analizaraacute la respuesta de sistemas

representados por ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de

segundo or( eacute con coeficientes constantes

Como un ejemplo de un sistema de segundo ordeacutenpuede analizarse

el caso del manoacutemetro de tubo en U que se muestra en la figura

310La longitud de la columna de liacutequido es Llnicialmente las

dos ramas del fluido se encuentran en equilibrio siendo Po la

presioacuten aplicada en cada extremo Si en el lado izquierdo se

aplica una presioacuten P1mayor que Pael fluido del lado derecho

ascenderaacutesea X el desplazamiento del fluido en cualquier

instante

NIVEL INICIAL (EQUILIBRIO

FIGURA 3 10 HANOHKTRO KM U

61

01- bull

La ecuacioacuten que describe el comportamiento dinaacutemico del

sistemase puede obtener mediante la aplicacioacuten de un balance de

cantidad de movimiento

Peso de la columna de fluido que se opone al movimiento r=--shy V~

--- --shy 2oacutegAX

r ~ La fuerza de friccioacuten para flujo laminar se obt i ene a prtir de la

ecuacioacuten de Hagen Pousielle

Ff = (32~LAD2)v v Velocidad de desplazamiento del fluido

A Area de seccioacuten transversal del tubo

~ Viscosidad del fluido

Variacioacuten de cantidad de movimiento d(oacuteALvdt

Fuerza debida a la diferencia de presioacuten aplicada

(P1 - Po)A = AL~P

Organizando los anteriores teacuterminos se obtiene

L d 2 X + 16~L dX + X =ill (3 20 ) 2g dt2 oacutegD2 dt 25 g

f IEn el analisis de la dinaacutemica y control de procesosesta ecuacioacuten

usualmente se emplea en la forma

T2 d 2 X + 2~TdX + X = KpQ(t) ( 3 21) dt2 dt

Para el caso en consideracioacuten

T = (L2g) Constante de tiempo

~ - (8~L5gDZ )(2gL) Coeficiente de amortiguamiento

Kp = 1(25g) Ganancia de est ado estacionario

Q(t) = ~p = constante Perturbacioacuten

Para una perturbacioacuten escaloacuten unitariala ecuacioacuten (321) en

teacuterminos de variables de desviacioacutenes de la forma

T2 d 2 Xmiddot + 2~TdXmiddot + Xmiddot = Kp (322) dt 2 dt

62

La solucioacuten general de esta ecuacioacuten consta de una soluc ioacuten

complementaria y una particular La primera solucioacuten depende de

las ra-ces de la ecuacioacuten caracteristica

Las ralces de eacutesta ecuacioacuten son

Como se veraacuteestas raiacuteces son de gran importancia para el

analisis dinaacutemico de un proceso de segundo ordeacutenpueacutes e llas

indican si su respuesta es raacutepida o lentaestable o inestableosshy

cilatoria o no oscilatoria

Si 0 es mayor que 1 la cantidad dentro del radical es positiva y

las ralces son reales y diferentesEn este caso la solucioacuten de la

ecuacioacuten (322) es

X- = Kp[l-e-BtT(cosh et + ~ senh et )] (3 23) T e T

e = (02 - 1)12

En la figura 311 se grafica X-Kp contra tT para varios valores

de 0 Esta respuesta se denomina sobreamortiguada y su comportashy

miento se asemeja un poco al de la respuesta de los sistemas de

primer ordeacuten perturbados con una funcioacuten escaloacuten Sin embargo al

comparar las curvas de la figura 311 con las de un sistema de

primer ordeacuten se observa que la respuesta sobreamortiguada tiene

un atraso inicialsiendo por tanto mas lenta

Si ~ es igual a unoel teacutermino dentro del radical se hace igual a

cerodando raices iguales y realesEn este casola solucioacuten

general de la ecuacioacuten diferencial es

X- = Kp [l - (1 + t)e- t T ] ( 324 ) T

8 3

L~ rapidez de la respuesta la determina el valo~ de la

constante de tiempo del sistema Un graacutefico de la spuesta

porcentual contra el tiempo (fig 39)muestra que cuando ha

transcurrido un tiempo igual al valor de la constante de

tiempola respuesta alcanza un 832 de su valor finalCuando

el tiempo transcurrido es igual a cuatro veces la constante de

tiempola respuesta alcanza un 98 de su valor final

- En el caso de los sistemas no lineales la constante de tiempo y

la ganancia de estado estacionario dependen de las condiciones

en este estado

- La maacutexima velocidad de respuesta es la inicial

316 RESPURSTA DINAKICA DE SISTHHAS LINKALKS DE SKGUNDO ORDEN

En esta seccioacuten se analizaraacute la respuesta de sistemas

representados por ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de

segundo or( eacute con coeficientes constantes

Como un ejemplo de un sistema de segundo ordeacutenpuede analizarse

el caso del manoacutemetro de tubo en U que se muestra en la figura

310La longitud de la columna de liacutequido es Llnicialmente las

dos ramas del fluido se encuentran en equilibrio siendo Po la

presioacuten aplicada en cada extremo Si en el lado izquierdo se

aplica una presioacuten P1mayor que Pael fluido del lado derecho

ascenderaacutesea X el desplazamiento del fluido en cualquier

instante

NIVEL INICIAL (EQUILIBRIO

FIGURA 3 10 HANOHKTRO KM U

61

01- bull

La ecuacioacuten que describe el comportamiento dinaacutemico del

sistemase puede obtener mediante la aplicacioacuten de un balance de

cantidad de movimiento

Peso de la columna de fluido que se opone al movimiento r=--shy V~

--- --shy 2oacutegAX

r ~ La fuerza de friccioacuten para flujo laminar se obt i ene a prtir de la

ecuacioacuten de Hagen Pousielle

Ff = (32~LAD2)v v Velocidad de desplazamiento del fluido

A Area de seccioacuten transversal del tubo

~ Viscosidad del fluido

Variacioacuten de cantidad de movimiento d(oacuteALvdt

Fuerza debida a la diferencia de presioacuten aplicada

(P1 - Po)A = AL~P

Organizando los anteriores teacuterminos se obtiene

L d 2 X + 16~L dX + X =ill (3 20 ) 2g dt2 oacutegD2 dt 25 g

f IEn el analisis de la dinaacutemica y control de procesosesta ecuacioacuten

usualmente se emplea en la forma

T2 d 2 X + 2~TdX + X = KpQ(t) ( 3 21) dt2 dt

Para el caso en consideracioacuten

T = (L2g) Constante de tiempo

~ - (8~L5gDZ )(2gL) Coeficiente de amortiguamiento

Kp = 1(25g) Ganancia de est ado estacionario

Q(t) = ~p = constante Perturbacioacuten

Para una perturbacioacuten escaloacuten unitariala ecuacioacuten (321) en

teacuterminos de variables de desviacioacutenes de la forma

T2 d 2 Xmiddot + 2~TdXmiddot + Xmiddot = Kp (322) dt 2 dt

62

La solucioacuten general de esta ecuacioacuten consta de una soluc ioacuten

complementaria y una particular La primera solucioacuten depende de

las ra-ces de la ecuacioacuten caracteristica

Las ralces de eacutesta ecuacioacuten son

Como se veraacuteestas raiacuteces son de gran importancia para el

analisis dinaacutemico de un proceso de segundo ordeacutenpueacutes e llas

indican si su respuesta es raacutepida o lentaestable o inestableosshy

cilatoria o no oscilatoria

Si 0 es mayor que 1 la cantidad dentro del radical es positiva y

las ralces son reales y diferentesEn este caso la solucioacuten de la

ecuacioacuten (322) es

X- = Kp[l-e-BtT(cosh et + ~ senh et )] (3 23) T e T

e = (02 - 1)12

En la figura 311 se grafica X-Kp contra tT para varios valores

de 0 Esta respuesta se denomina sobreamortiguada y su comportashy

miento se asemeja un poco al de la respuesta de los sistemas de

primer ordeacuten perturbados con una funcioacuten escaloacuten Sin embargo al

comparar las curvas de la figura 311 con las de un sistema de

primer ordeacuten se observa que la respuesta sobreamortiguada tiene

un atraso inicialsiendo por tanto mas lenta

Si ~ es igual a unoel teacutermino dentro del radical se hace igual a

cerodando raices iguales y realesEn este casola solucioacuten

general de la ecuacioacuten diferencial es

X- = Kp [l - (1 + t)e- t T ] ( 324 ) T

8 3

01- bull

La ecuacioacuten que describe el comportamiento dinaacutemico del

sistemase puede obtener mediante la aplicacioacuten de un balance de

cantidad de movimiento

Peso de la columna de fluido que se opone al movimiento r=--shy V~

--- --shy 2oacutegAX

r ~ La fuerza de friccioacuten para flujo laminar se obt i ene a prtir de la

ecuacioacuten de Hagen Pousielle

Ff = (32~LAD2)v v Velocidad de desplazamiento del fluido

A Area de seccioacuten transversal del tubo

~ Viscosidad del fluido

Variacioacuten de cantidad de movimiento d(oacuteALvdt

Fuerza debida a la diferencia de presioacuten aplicada

(P1 - Po)A = AL~P

Organizando los anteriores teacuterminos se obtiene

L d 2 X + 16~L dX + X =ill (3 20 ) 2g dt2 oacutegD2 dt 25 g

f IEn el analisis de la dinaacutemica y control de procesosesta ecuacioacuten

usualmente se emplea en la forma

T2 d 2 X + 2~TdX + X = KpQ(t) ( 3 21) dt2 dt

Para el caso en consideracioacuten

T = (L2g) Constante de tiempo

~ - (8~L5gDZ )(2gL) Coeficiente de amortiguamiento

Kp = 1(25g) Ganancia de est ado estacionario

Q(t) = ~p = constante Perturbacioacuten

Para una perturbacioacuten escaloacuten unitariala ecuacioacuten (321) en

teacuterminos de variables de desviacioacutenes de la forma

T2 d 2 Xmiddot + 2~TdXmiddot + Xmiddot = Kp (322) dt 2 dt

62

La solucioacuten general de esta ecuacioacuten consta de una soluc ioacuten

complementaria y una particular La primera solucioacuten depende de

las ra-ces de la ecuacioacuten caracteristica

Las ralces de eacutesta ecuacioacuten son

Como se veraacuteestas raiacuteces son de gran importancia para el

analisis dinaacutemico de un proceso de segundo ordeacutenpueacutes e llas

indican si su respuesta es raacutepida o lentaestable o inestableosshy

cilatoria o no oscilatoria

Si 0 es mayor que 1 la cantidad dentro del radical es positiva y

las ralces son reales y diferentesEn este caso la solucioacuten de la

ecuacioacuten (322) es

X- = Kp[l-e-BtT(cosh et + ~ senh et )] (3 23) T e T

e = (02 - 1)12

En la figura 311 se grafica X-Kp contra tT para varios valores

de 0 Esta respuesta se denomina sobreamortiguada y su comportashy

miento se asemeja un poco al de la respuesta de los sistemas de

primer ordeacuten perturbados con una funcioacuten escaloacuten Sin embargo al

comparar las curvas de la figura 311 con las de un sistema de

primer ordeacuten se observa que la respuesta sobreamortiguada tiene

un atraso inicialsiendo por tanto mas lenta

Si ~ es igual a unoel teacutermino dentro del radical se hace igual a

cerodando raices iguales y realesEn este casola solucioacuten

general de la ecuacioacuten diferencial es

X- = Kp [l - (1 + t)e- t T ] ( 324 ) T

8 3

La solucioacuten general de esta ecuacioacuten consta de una soluc ioacuten

complementaria y una particular La primera solucioacuten depende de

las ra-ces de la ecuacioacuten caracteristica

Las ralces de eacutesta ecuacioacuten son

Como se veraacuteestas raiacuteces son de gran importancia para el

analisis dinaacutemico de un proceso de segundo ordeacutenpueacutes e llas

indican si su respuesta es raacutepida o lentaestable o inestableosshy

cilatoria o no oscilatoria

Si 0 es mayor que 1 la cantidad dentro del radical es positiva y

las ralces son reales y diferentesEn este caso la solucioacuten de la

ecuacioacuten (322) es

X- = Kp[l-e-BtT(cosh et + ~ senh et )] (3 23) T e T

e = (02 - 1)12

En la figura 311 se grafica X-Kp contra tT para varios valores

de 0 Esta respuesta se denomina sobreamortiguada y su comportashy

miento se asemeja un poco al de la respuesta de los sistemas de

primer ordeacuten perturbados con una funcioacuten escaloacuten Sin embargo al

comparar las curvas de la figura 311 con las de un sistema de

primer ordeacuten se observa que la respuesta sobreamortiguada tiene

un atraso inicialsiendo por tanto mas lenta

Si ~ es igual a unoel teacutermino dentro del radical se hace igual a

cerodando raices iguales y realesEn este casola solucioacuten

general de la ecuacioacuten diferencial es

X- = Kp [l - (1 + t)e- t T ] ( 324 ) T

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