Syllabus Investigacion de Operaciones

SYLLABUS GENERICO

FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGIA

UNIDAD ACADEMICA SANTA CRUZ

FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGIA

Ingeniera AmbientalOCTAVO SEMESTRE

SYLLABUS DE LA ASIGNATURA

INVESTIGACIN DE OPERACIONESElaborado por: Ing. Erlan Alejo LamasGestin Acadmica II/2007

UDABOL

UNIVERSIDAD DE AQUINO BOLIVIA

Acreditada como PLENA mediante R. M. 288/01

VISION DE LA UNIVERSIDAD

Ser la Universidad lder en calidad educativa.

MISION DE LA UNIVERSIDAD

Desarrollar la Educacin Superior Universitaria con calidad y competitividad al servicio de la sociedad.

Estimado (a) Estimado (a) estudiante:

El syllabus que ponemos en tus manos es el fruto del trabajo intelectual de tus docentes, quienes han puesto sus mejores empeos en la planificacin de los procesos de enseanza para brindarte una educacin de la ms alta calidad. Este documento te servir de gua para que organices mejor tus procesos de aprendizaje y los hagas muchos ms productivos. Esperamos que sepas apreciarlo y cuidarlo.Aprobado por: Ing. Erlan Alejo Lamas Fecha: Julio de 2007SELLO Y FIRMA

JEFATURA DE CARRERASYLLABUS

Asignatura:Investigacin de Operaciones

Cdigo:MAT-300

Requisito:MAT-102, MAT-233, CMP-126

Carga Horaria:80 horas Terico Prcticas

Horas Tericas:40 horas

Horas Practicas:40 horas

Crditos:4

I. OBJETIVOS GENERALES DE LA ASIGNATURA.

Optimizar modelos matemticos que representan problemas del mundo real.

Diferenciar los mtodos de solucin de los modelos lineales de optimizacin. Aplicar la metodologa de la investigacin cientfica en la optimizacin de procesos.

Optimizar el uso de recursos en el rea econmica, social, productiva, administrativa, de ingeniera, etc.

Tomar decisiones a partir de los resultados de la optimizacin.

II. PROGRAMA ANALITICO DE LA ASIGNATURA.

UNIDAD I: INVESTIGACION OPERATIVA Y PROGRAMACION LINEAL.

TEMA 1. Introduccin a la Investigacin de Operaciones.

1.1. Origen de la IO.

1.2. Escuelas de Pensamiento y la IO.

1.3. Nocin, Alcance y Concepto de la IO.

1.4. Sistemas e IO.

1.5. Modelos e IO.

1.5.1. El concepto de Modelo.

1.5.2. Clasificacin de los Modelos Matemticos.

1.5.3. Optimizacin de IO.

1.6. Toma de decisiones de IO.

1.7. Metodologa de la IO y el Mtodo Cientfico.

TEMA 2. Formulacin del Modelo de Programacin Lineal.2.1. Introduccin.

2.2. Nocin y Concepto de la Programacin Lineal (PL).

2.3. Formulacin Matemtica del Modelo de PL.

2.3.1. Formulacin General.

2.3.2. Formulacin Cannica.

2.3.3. Formulacin Estndar.

2.4. Formulacin de Diversos Problemas de PL.

2.5. Problemas propuestos.

UNIDAD II: METODOS DE SOLUCION DEL MODELO DE PL.

TEMA 3. El Mtodo Grfico.3.1. Introduccin.

3.2. Graficacin.

3.3. Interpretacin de Resultados.

TEMA 4. El Mtodo Simplex.

4.1. Identificacin del Problema.

4.2. Planteamiento de la Tabla Simplex.

4.3. Algoritmo Simplex.


4.5. Otros Mtodos.

4.6. Mtodo de las M o Penalizacin.

TEMA 5. El Mtodo Simplex Dual

5.1. Estructuras Primal y Dual.

5.2. Equivalencias de la Forma Dual.

5.3. Usos de la Dualidad.

5.4. Identificacin y Caracterizacin del Problema.

5.5. Planteamiento de la Tabla Simplex.

5.6. Algoritmo Dual Simplex.


TEMA 6. Soluciones Especiales.

6.1. No Existe Solucin Bsica Factible.

6.2. Solucin ptima No Acotada (Infinita).

6.3. Solucin ptima Mltiple.

6.4. Soluciones Cicladas.

6.5. Solucin por computadora. Problemas Propuestos.

UNIDAD III: REDES Y EL PROBLEMA DE TRANSPORTE.

TEMA 7. El Modelo De Transporte y Asignacin.

7.1. Introduccin.

7.2. El Modelo de Transporte.

7.3. Concepto.

7.4. Formulacin Matemtica del Modelo.

7.5. Solucin del Modelo.

7.6. El Modelo de Asignacin. Problemas Propuestos.

7. 6.1 Concepto.

7. 6.2 Formulacin Matemtica del Modelo.

7. 6.3 Solucin del Modelo.

TEMA 8. Programacin de Proyectos con PERT CPM.

8.1. Introduccin.

8.2. Representacin por el Diagrama de Flechas.

8.3. Clculos de la Ruta Crtica.

8.4. Construccin del Diagrama de Tiempo y Nivelacin de Recursos.

8.5. Control del Proyecto.

8.6. Problemas Propuestos.

III.

III. ACTIVIDADES A REALIZAR DIRECTAMENTE EN LA COMUNIDAD La asignatura ser de apoyo al proyecto de elaboracin de programas ambientales para los municipios efectuado por el octavo semestre.

TRABAJO A REALIZAR POR LOS ESTUDIANTESLOCALIDAD, AULA O LABORATORIOINCIDENCIA SOCIALFECHA PREVISTA

Visita a los municipios a obtener informacin sobre la evaluacin ambiental de las empresa que pertenecen al municipioMunicipios de Santa Cruz Ayudar a los municipios a tener digitalizada la informacinAntes del primer parcial

Visita a empresa, diagnostico de impactos ambientales de la empresa en la comunidad, aplicacin de modelo matemtico para solucin de un problema.Pequeas o Medianas EmpresasAyudar a las empresas a dar solucin a sus impactos ambientales usando las herramientas de la materiaAntes del Examen Final

V. EVALUACIN DE LA ASIGNATURA.

PROCESUAL O FORMATIVA.

A lo largo del semestre se realizarn 2 tipos de actividades. Las primeras sern de aula, que consistirn en clases tericas, exposiciones, repasos cortos, trabajos grupales (resolucin de casos y Difs).

Las segundas sern las Brigadas que consistirn en lo siguiente:

Los estudiantes divididos en grupos de 3 personas como mximo visitaran empresas.

La empresa visitada recibir un documento en formato digital, en cual se detallara:

Descripcin detallada del proceso.

Organigrama de la empresa, diagramas de proceso, distribucin en planta (formato digital usando software)

Manual de funciones del rea de produccin.

Planteamiento de un problema real con su solucin aplicando el Modelo matemtico de la materia.

El proyecto se dividir en 2 partes a ser defendidas de manera gradual entes de cada evaluacin.

La primera y segunda parte tendrn un valor de 25 puntos de los 50 correspondientes a la evaluacin procesual.

DE RESULTADOS DE LOS PROCESOS DE APRENDIZAJE O SUMATIVA (examen parcial o finalSe realizarn 2 evaluaciones parciales con contenido prctico sobre 50 puntos cada uno.

El examen final consistir en un examen escrito (con un valor del 70% de la nota del final) y la presentacin de informe del proyecto realizado en la empresa durante el semestre tendr el restante 30% de la nota.

Los difs, work papers y evaluaciones escritas de cada etapa en promedio formaran el restante.

V. BIBLIOGRAFIA.

BASICA.

HILLIER, FREDERICK S. y otros. Introduccin a la investigacin de operaciones. Cuarta edicin. Traduccin de Marcia Gonzlez Osuna. McGraw Hill. Mxico. 1989.

TAHA, HAMDY A. Investigacin de operaciones. Sptima edicin. Traduccin de Virgilio Gonzlez. Pearson Education. Mxico. 2004

COMPLEMENTARIA PRAWDA J., Mtodos y Modelos de Investigacin de Operaciones, Vol. 1 y 2, Ed. Limusa, Mxico, 1977.

VI. CONTROL DE EVALUACIONES.

1 evaluacin parcial

Fecha

Nota

2 evaluacin parcial

Fecha

Nota

Examen final

Fecha

NotaAPUNTES

VII. PLAN CALENDARIO

SEMANAACTIVIDADESOBSERVAC.

1TEMA 1 (1.1 AL 1.7)

2TEMA 2 (2,1 AL 2,5) TEMA 3 (3,1 AL 3,3)

3TEMA 4 (4,1 AL 4,3)

4TEMA 4 ( 4,5 )

5TEMA 4 ( 4,6)

6DEFENSA DE PROYECTO 1EVAL PARC I

7TEMA 5 (5,1 AL 5,7 )Presentacin de notas

8TEMA 6 (6,1 AL 6,5)

9TEMA 6 (6,1 AL 6,5)

10TEMA 7 (7,1 AL 7,2 )

11TEMA 7 (7,3 AL 7,5 )

12DEFENSA DE PROYECTO 2EVAL PARC II

13TEMA 7 (7,3 AL 7,5 )Presentacin de notas

14TEMA 7 (7,6 AL 7,6.3)

15TEMA 7 (7,6 AL 7,6.3)

16TEMA 8 (8,1 AL 8,3)

17TEMA 8 (8,4 AL 8,6)

18CLASE PRACTICADEFENSA DE PROYECTO 3

19EVALUACION FINAL

20SEGUNDA INSTANCIAPresentacin de Actas

PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD

WORK PAPER # 1

UNIDAD O TEMA: INVESTIGACIN OPERATIVA Y PROGRAMACIN LINEAL

TITULO: Introduccin a la Investigacin de Operaciones

FECHA DE ENTREGA:

PERIODO DE EVALUACIN: Primer Parcial

PERSPECTIVA HISTORICA

Las races de la Investigacin de operaciones se remontan a muchas dcadas, cuando se hicieron los primeros intentos para emplear el mtodo cientfico en la administracin de una empresa. Sin embargo el inicio de esta actividad llamada Investigacin de Operaciones (IO) tiene su origen en la 2da. Guerra Mundial, donde existan grupos especiales (Matemticos, Fsicos, Psiclogos, Ingenieros, etc.), cuya labor era asesorar a la organizacin militar, en el plano ejecutivo en relacin a las operaciones blicas (Anlisis de estrategias de bombardeo, defensa area y programacin de operaciones logsticas).

QUE ES LA IO?

La IO est asociada, casi en exclusiva, con la aplicacin de tcnicas matemticas, para representar por medio de un modelo problemas de decisin.

La IO trata de relacionar tres reas de una empresa:

Produccin,

Finanzas y

Ventas.

FASES DE LA INVESTIGACIN OPERATIVA

DEFINICIN DEL PROBLEMA

Definicin de la meta o el objetivo del estudio. Para definir el problema, debemos plantearnos las preguntas necesarias.

IDENTIFICACIN DE LAS ALTERNATIVAS DE DECISIN DEL SISTEMA

Reconocimiento de las limitaciones, restricciones y requerimientos del sistema.

CONSTRUCCIN DEL MODELO

El modelo se define como una funcin objetivo y restricciones que se expresan en trminos de las variables (opciones) de decisin del problema.

La simplificacin del sistema con el fin de construir un modelo, debe concentrarse fundamentalmente en la identificacin de las variables y restricciones dominantes.

SOLUCION DEL MODELO

Una vez planteado el modelo matemtico hay que darle solucin a travs de un procedimiento (por lo general basado en computadoras).

PRUEBA Y MEJORAMIENTO DEL MODELO (VALIDEZ DEL MODELO)

El desarrollo de un modelo matemtico es anlogo al desarrollo de un programa de computadora, cuando se completa la primera versin, es inevitable que contenga muchas fallas. El programa debe de probarse de manera exhaustiva para encontrar y corregir tantos problemas como sea posible.

IMPLANTACIN DE LOS RESULTADOS

En esta etapa debe participar el equipo de IO, es una etapa crtica y debe estar documentado todo el trabajo.

LAS COMPUTADORAS Y LA IO

La aparicin de las computadoras est ntimamente ligada al desarrollo de la IO, esto se debe a que la mayora de las tcnicas empleadas seran absolutamente inaplicables para cualquier problema real, debido al tiempo de procesamiento de la informacin.

En una computadora slo se requiere de algunos minutos para llegar al resultado, mientras que sin ella se tardaran: horas, das, semanas meses y ms tiempo para dar con los resultados.

CUESTIONARIO WORK PAPER No. 1

1. Cmo surgi la IO?

2. Porque se debe visualizar la IO como una ciencia y como un arte?

3. Mencione las fases de la IO

4. A que se refiere la fase de Implantacin de resultados cuando indica que se necesita la participacin de un equipo?

5. Es importante el uso de computadoras en la IO?

6. Defina IO.


WORK PAPER # 2

UNIDAD O TEMA: INVESTIGACIN OPERATIVA Y PROGRAMACIN LINEAL

TITULO: Formulacin del Modelo de Programacin Lineal.

FECHA DE ENTREGA:


PUNTOS DE INTERS DE LA PL

El adjetivo lineal significa que todas las funciones matemticas del modelo deber ser funciones lineales. En este caso, la palabra programacin es un sinnimo de planeacin.La programacin lineal utiliza un modelo matemtico para describir el problema.

As, la programacin lineal trata la planeacin de las actividades para obtener un resultado ptimo, esto es, el resultado que mejor alcance la meta especificada (segn el modelo matemtico) entre todas las alternativas de solucin.

La PL es una tcnica matemtica ampliamente utilizada, diseada para ayudar a los administradores de produccin y operaciones en la planeacin y toma de decisiones relativas a la asignacin y uso de recursos. (Extrado del libro Principios de Administracin de Operaciones, Render-Heizer, pgina 160)

Los trminos clave en la PL son recursos y actividades.

MODELOS MATEMTICOS

La modelacin se define como el proceso de abstraccin del sistema real a un modelo cuantitativo.

La modelacin es sin duda una combinacin de arte y ciencia. No se puede precisar una metodologa para la construccin de un modelo, por lo que necesariamente la modelacin se aprende con la prctica.

COMO PLANTEAR EL MODELO DE PL?

DEFINIR LAS VARIABLES DE DECISIN:

ENCONTRAR LAS RESTRICCIONES:

DETERMINAR LA FUNCIN OBJETIVO:

MODELO GENERAL DE PL

Optimizar (maximizar o minimizar):

c1x1 + c2x2 +....+ cnxn = Z

Sujeta a las siguientes restricciones:

a11x1 + a12x2 +....+ a1nxn< b1

a21x1 + a22x2 +....+ a2nxn< b2

.

.

..

.

.

am1x1 + am2x2 +....+ amnxn< bm

Donde el valor de las variables es:

x1, x2, .. xn( 0


1. Investigue los modelos matemticos de la IO.

2. Defina Programacin Lineal.

3. Cules son los puntos de inters de la programacin lineal?

4. Que entiende por recurso y que por actividad?. Mencione ejemplos.

5. Mencione algunos ejemplos de problemas donde la Programacin Lineal ha sido usada exitosamente.

6. Cmo se formula un modelo de PL?

7. Cmo puedo identificar las variables de decisin?

8. Cules son los tipos de restricciones mas comunes?. Mencione ejemplos de cada una.

9. Cmo puedo formar la Funcin Objetivo?


WORK PAPER # 3

UNIDAD O TEMA: METODOS DE SOLUCION DEL MODELO DE PL.

TITULO: El Mtodo Grafico

FECHA DE ENTREGA:


METODO GRAFICO

El mtodo Grfico permite resolver nicamente problemas con 2 variables.

EJEMPLO

Resuelva el siguiente problema:

Max z = 10X+12Y

2X+3Y(15

2Y(6

X+Y(6

Use el mtodo grfico para encontrar

la solucin ptima y el punto ptimo.

1. PASO:

Llevar a la forma de igualdad las restricciones:

2X+3Y=15(

2Y=6(

X+Y=6(

2. PASO:

Despejar la variable Y, si es posible, de cada ecuacin:

3. PASO:

Graficar cada ecuacin y sombrear el rea que corresponda, hacia arriba o abajo, a la derecha o a la izquierdade cada recta.

4. PASO:

Identificar el rea o zona factible. Esta es el rea comn a todas las inecuaciones.

5. PASO:

Identificar con letras maysculas, a travs de una inspeccin visual, los vrtices del rea factible. En nuestro ejemplo estos son los puntos resaltados con un crculo negro.

6. PASO:

Encontrar las coordenadas de los vrtices anteriores. En la mayora de los casos se tendr que recurrir a solucionar un sistema de ecuaciones y en otros se podr encontrar estos puntos por simple inspeccin visual.

Por inspeccin visual, las coordenadas son:

A (0,0)

B (0,3)

D (6,0)

C (3,3)

7. PASO:

Reemplazamos cada una de las coordenadas en la funcin objetivo y elegimos el mayor resultado porque estamos maximizando:

Z =10X + 12Y

A (0,0)..Z = 10x0 + 12x0 = 0

B (0,3)..Z = 10x0 + 12x3 = 36

C (3,3)..Z = 10x3 + 12x3 = 66

D (6,0)..Z = 10x6 + 12x0 = 60

La zona factible, se identifica fcilmente por ser la zona ms rayada o sombreada del grfico.


1. Resuelva el siguiente programa lineal:

Max z = x1+x2

1x1+2x2(6

3x1+2x2(12

x1 , x2(0

A. Use el mtodo grfico para encontrar la solucin ptima y el punto ptimo.

B. Cuntos puntos extremos tiene la regin factible?

2. Considere el siguiente programa lineal:

Min z = 4x1+5x2

4x1+4x2(20

6x1+3x2(24

8x1+5x2(40

x1 , x2(0


B. Cuntos puntos extremos tiene la regin factible?

3. Considere el siguiente programa lineal:

Max z = 3x1+4x2

-2x1+4x2(16

2x1+4x2(24

6x1+3x2(48

x1 , x2(0


B. Encuentre los valores de holgura o excedente de cada restriccin.


WORK PAPER # 4


TITULO: El Mtodo Simplex

FECHA DE ENTREGA:


METODO SIMPLEX (CASO MAXIMIZACION)

La mayora de los problemas de PL tienen ms de 2 variables y son demasiado grandes para una solucin Grafica. Un procedimiento llamado Mtodo Simplex puede ser utilizado para encontrar la solucin ptima.

El Mtodo Simplex es en realidad un algoritmo (o un conjunto de instrucciones) con lo cual se examinan los puntos en las esquinas de una manera metdica hasta conseguir la mejor solucin. Existen softwares que permiten resolver problemas de PL, pero es til entender la mecnica del algoritmo. A continuacin definiremos algunos trminos importantes:

VARIABLE DE HOLGURA

Es aquella variable que permite convertir una desigualdad (() en una igualdad (=)

SOLUCIN BSICA

Es una solucin de un sistema de sistema de ecuaciones lineales simultneas.

SOLUCIN FACTIBLE

Si todas las variables, de una solucin bsica, asumen valores no negativos, de lo contrario es no factible.

SOLUCION PTIMA

Es la mejor solucin factible.

EL MTODO DE LA M

Es un procedimiento que permite resolver problemas de programacin lineal que incluyen restricciones = y =>.

FORMA DE IGUALDAD (FORMA ESTANDAR)

El primer paso del Mtodo Simplex requiere que se convierta cada desigualdad de restriccin en una ecuacin. Las restricciones ( pueden ser convertidas a ecuaciones al sumar una variable de holgura, tal como se ilustra a continuacin en el ejemplo.

METODO SIMPLEX

EJEMPLO

Resuelva el siguiente problema de programacin lineal utilizando el Mtodo Simplex:

Max z = 10X1+12X2

2X1+3X2(15

2X2(6

X1+X2(6

X1, X2(0

1. PASO:

Igualar la Funcin Objetivo (FO) a cero y llevar a la forma de igualdad a las restricciones:

-10X1-12X2=0

2X1+3X2+H3=15

2X2+H4=6

X1+X2+H5=6

2. PASO:TABLA INICIAL

Llevar los coeficientes de estas variables a una tabla, tal como se muestra abajo, donde la 1 fila es la FO y las dems filas son las igualdades del paso anterior:

X1X2H3H4H5LD

-10-120000

2310015

020106

110016

3. PASO:

Ubicar, en la FO el valor ms negativo, en nuestro caso este valor corresponde al (12, observe:

X1X2H3H4H5LD

-10-120000

2310015

020106

110016

4. PASO: ELEMENTO PIVOTE

Marcar la columna del valor anterior y determinar las razones para cada igualdad, para esto dividir el lado derecho LD entre los coeficientes de la columna marcada (columna X2 en este caso) de la siguiente manera:

X2LD

-120

31515 ( 3 = 5

26 6 ( 2 = 3

16 6 ( 1 =6

Seleccionar la razn ms pequea, no negativa, y ubicar el elemento que corresponda a la columna seleccionada.

5. PASO:

Convertir el ELEMENTO PIVOTE en 1, dividiendo toda la fila por el mismo (dividiremos por 2 en este caso).

X1X2H3H4H5LD

-10-120000

2310015

0/22/20/21/20/26/2

110016

Entonces tendremos:

X1X2H3H4H5LD

-10-120000

2310015

0101/203

110016

6. PASO:

Convertir todos los elementos de la COLUMNA PIVOTE en cero, a travs de operaciones en fila. El resultado es:

X1X2H3H4H5LD

-10006036

201-3/206

0101/203

100-1/213

7. PASO: ES LA SOL. OPTIMA?

Para determinar esto, debemos observar la fila de la FO, y preguntarnos si existen todava valores negativos. Observemos la tabla anterior:

X1X2H3H4H5LD

-10006036

201-3/206

0101/203

100-1/213

Como ver, existe un valor negativo todava (el (10) y se debern realizar todos los pasos, otra vez, a partir del 4 (el cual consiste en determinar el nuevo ELEMENTO PIVOTE)A continuacin se resume todo lo que hemos hecho, ms el proceso completo:

TABLA INICIAL:

X1X2H3H4H5LD

((10((120000

2310015

020106

110016

RESULTADO DE LA PRIMERA ITERACION:

X1X2H3H4H5LD

-10006036

201-3/206

0101/203

100-1/213

RESULTADO DE LA SEGUNDA ITERACION:

X1X2H3H4H5LD

005-3/2066

101/2-3/403

0101/203

00-1/21/410

RESULTADO DE LA TERCERA ITERACION:

X1X2H3H4H5LD

0020666

10-1033

0110-23

00-2140

8. PASO FINAL: INTERPRETACION

Para interpretar se ubican aquellas columnas en las que hubiera 1 y 0 solamente, observe:

RESULTADO DE LA TERCERA ITERACION:

X1X2H3H4H5LD

0020666

10-1033

0110-23

00-2140

Entonces:

X1 = 3

X2 = 3

H4 = 0

Los otros valores que queden sern cero siempre:

H3 = 0

H5 = 0

El valor de la FO corresponde al valor de la esquina superior derecha de la tabla anterior:

Z = 66

CUESTIONARIO WORK PAPER #4

1. Resuelva los siguientes problemas a travs del mtodo simplex. Verifique sus resultados a travs del software.

a)MaxZ =3000X1+2000X2

Sujeta a:X1+2X26

2X1+X28

-X1+X21

X22

X1 , X2(0

b)

MinimizarZ =2X1+2X2

Sujeta a:X1+1X2=10

X1+2X28

-X1+X22


WORK PAPER # 5

UNIDAD O TEMA: FORMULACION DEL MODELO DE PL.

TITULO: Planteamientos

FECHA DE ENTREGA:


ELABORACION DE MODELOS

(PLANTEAMIENTOS)

EJEMPLO 1Una compaa carbonfera es propietaria de dos minas, la primera produce diariamente como mximo 1 Ton de carbn de alta calidad, 4 Ton de mediana calidad y 6 Ton de carbn de baja calidad; la segunda mina puede producir como mximo 4 Ton de carbn de alta calidad, 4 de mediana y 2 de baja calidad. Asimismo, a la compaa le cuesta 100 $us/Da la operacin de la mina I y 150 $us/Da la mina II.

La compaa tiene pedidos arriba de 80, 160 y 120 Ton de carbn de alta, mediana y baja calidad respectivamente.

El problema consiste en determinar cuntos das debe trabajar cada mina para minimizar los costos de operacin.

0. ARMAR UNA TABLA CON LOS DATOSCalidadProduccin Mina I

[Ton/Da]Produccin Mina II

[Ton/Da]Demanda

[Ton]

Alta1480

Mediana44160

Baja62120

Costo100 [$US/Da]150 [$US/Da]

1. DEFINIR LAS VARIABLES

X1 = Nmero de das que debe trabajar la mina I [Das]

X2 = Nmero de das que debe trabajar la mina II [Das]

2. ENCONTRAR LAS RESTRICCIONES

DEMANDA CARBON DE ALTA1X1+ 4x2 (80

DEMANDA CARBON DE MEDIANA4X1+ 4x2(160

DEMANDA CARBON DE BAJA6X1+ 2x2(120

X1,X2(0

3. DEFINIR LA FUNCION OBJETIVO

Minimizar Z = 100X1 + 150X2EJEMPLO 2

Un agricultor posee cerdos que consumen 90 Kg. de comida especial todos los das. El alimento se prepara como una mezcla de maz y harina de soya con las siguientes composiciones.

AlimentoCalcio

[Kg calcio/Kg de alimento]Protenas

[Kg proteina/Kg de alimento]Fibra

[Kg fibra/Kg de alimento]Costo

Bs/Kg

Maz0.0010.090.020.20

Harina de soya0.0020.600.060.06

Requisitos:0.1% x 90 Kg = 0.09 Kg30% x 90 Kg = 27 Kg5% x 90 Kg = 4.5 Kg

Los requisitos diarios de alimento de los cerdos son:

A. Cuando menos 0.1% de calcio, del total que se consume.

B. Por lo menos 30% de protenas, del total que se consume.

C. Un mximo de 5% de fibra, del total que se consume.

Determine la mezcla de alimentos con el mnimo costo por da.

1. DEFINIR LAS VARIABLES

X = Cantidad de maz a mezclar diariamente [Kg]

Y = Cantidad de Harina de soya a mezclar diariamente [Kg]

2. ENCONTRAR LAS RESTRICCIONES

MEZCLA:X+Y=90

CANTIDAD DE CALCIO:0.001X+ 0.002Y(0.09

CANTIDAD DE PROTEINAS:0.09X+0.60Y(27

CANTIDAD DE FIBRA:0.02X+0.06Y (4.5

X , Y(0

3. DEFINIR LA FUNCION OBJETIVO

Minimizar Z = 0.20X + 0.06Y


Formule los siguientes problemas como un modelo matemtico de programacin lineal:

1. Una fbrica de artculos del hogar manufactura 2 artefactos A y B. Ambos sufren 3 procesos en el mismo orden, que son: maquinado, armado y montaje. Las disponibilidades de minutos diarios de cada proceso son: 480, 600 y 540 respectivamente. El artefacto A deja un beneficio de 100 $/unidad, en tanto que el B proporciona 120 $/unidad.

En el proceso de maquinado se utilizan 4 minutos por cada unidad de artefacto A y 8 minutos por cada unidad de artefacto B. En el proceso de armado se utilizan 5 y 6 minutos respectivamente. Y finalmente, en el proceso de montaje se utilizan 12 y 8 minutos respectivamente.

2. Una pequea carpintera esta planeando la produccin el presente mes. Actualmente opera con solo dos productos puertas y ventanas. La mano de obra disponible para el presente mes es de 400 h-hom Cada puerta requiere 4 h-hom y tiene una contribucin unitaria de 35 Bs., Una ventana requiere de 3 h-hom y tiene una contribucin unitaria de 25 Bs. De acuerdo a sus ventas pasadas se tiene previsto vender hasta 70 puertas y 120 ventanas.

3. INDUSTRIAS DEL CAMPO, tiene dos maquinas distintas para procesar leche pura y producir leche descremada, mantequilla o queso. La cantidad de tiempo requerido en cada mquina para producir cada unidad de producto y las ganancias netas se proporcionan en la siguiente tabla:

LECHE DESCREMADAMANTEQUILLAQUESO

MAQUINA 10.2 min / litro0.5 min / Kg1.5 min / Kg

MAQUINA 20.3 min / litro0.7 min / Kg1.2 min / Kg

UTILIDAD:1Bs / litro2 Bs / litro2 Bs / Kg

Suponiendo que se dispone de 8 horas diarias en cada maquina, como gerente del departamento de produccin, formule un modelo para determinar un plan de produccin diaria que maximice las ganancias y produzca un mnimo de 300 litros de leche descremada, 200 Kg. de mantequilla y 100 Kg. de queso

4. Una pequea fbrica produce pinturas para interiores y exteriores de casas, para su distribucin al mayoreo. Se utilizan 2 materias primas A y B para producir estas pinturas. Los requisitos diarios de materia prima por tonelada de pintura se resumen en la siguiente tabla:

Toneladas de materia prima por

tonelada de pintura

Pintura de

exteriorPintura de

interiorDisponibilidad

mxima por da

Materia prima A126

Materia prima B218

Un estudio de mercado ha establecido que la demanda diaria de pintura para interiores no puede ser mayor que la pintura para exteriores en ms de una tonelada. El estudio tambin revela que la demanda de pintura para interiores esta limitada a menos de dos toneladas diarias.

El precio al mayoreo por tonelada es de 300$ y 200$ para pintura de exteriores e interiores, respectivamente.

5. Una compaa, que opera 10 horas al da, fabrica cada uno de 2 productos en tres maquinas diferentes (En donde el proceso es secuencial). La tabla siguiente resume los datos del problema:

ProductoMaquina 1

(Min/ unidad)Maquina2

(Min/ unidad)Maquina3

(Min/ unidad)Utilidad

($/unidad)

110682

2520103


WORK PAPER # 6

UNIDAD O TEMA: METODOS DE SOLUCION DEL MODELO DE PL

TITULO: Mtodo Simplex Dual

FECHA DE ENTREGA: Segundo Parcial

METODO SIMPLEX DUAL

TEORIA DE LA DUALIDAD

Otra forma descubierta de resolver los problemas de PL es a travs del dual, este procedimiento tambin es usado para realizar un anlisis que se denomina Anlisis de Sensibilidad. PRECIOS SOMBRA

La tabla final del Mtodo Simplex lleva al tema de los precios sombra..

Exactamente cunto debe estar dispuesto a pagar una compaa por hacer disponibles los recursos adicionales?

Vale la pena obtener ms tiempo de maquina con un costo de 1 ,2 o 5 dlares?

vale la pena pagar a los trabajadores una cuota de tiempo extra para aumentar la produccin?..el valor de los recursos adicionales es informacin valiosa para la administracin.

Afortunadamente, esta informacin est disponible en la Tabla final del Mtodo Simplex. Una importante propiedad del rengln Z, es que los valores correspondientes a las variables de holgura

(Hi) ofrecen en sus columnas lo que se llama precios sombra. Un precio sombra es el valor de una unidad adicional de un recurso en la forma de una hora ms de tiempo, un Kg. ms de materia prima u otro recurso escaso.

Considere el siguiente ejemplo:

En Muebles Hurtado debido a que las ganancias se han reducido, la gerencia decidi reorganizar la lnea de produccin. A partir de hoy se van a producir puertas y ventanas de mara. Despus de hacer algunas investigaciones el departamento de IO determin en un cuadro las capacidades y requerimientos de los productos, as como las utilidades unitarias:

PRODUCTO

VENTANAPUERTACAPACIDAD

DISPONIBLE

MADERA2 m3/Unid3 m3/Unid15 m3

BARNIZ--2 litros/Unid6 litros

HORA MAQUINA1 hora/ unidad1 hora/ unidad6 horas

UTILIDAD[$U$/ Unid]1012

Planteando el problema:

Max z = 10X1+12X2

2X1+3X2(15

2X2(6

X1+X2(6

X1, X20

Resolviendo el problema por el Mtodo Simplex obtenemos la siguiente tabla final:

X1X2H3H4H5LD

0020666

10-1033

0110-23

00-2140

ESTADO DE LOS RECURSOS

Si el valor de la variable de holgura, en la solucin final del Mtodo Simplex, es igual a cero (Hi=0), entonces el recurso que corresponde a esta variable de holgura es un recurso escaso.

Si el valor de la variable de holgura, en la solucin final del Mtodo Simplex, es distinto de cero (Hi(0), entonces el recurso que corresponde a esta variable de holgura es un recurso abundante.

De acuerdo al ejemplo anterior:

X1 = 3

X2 = 3

H3 = 0Recurso escaso (madera)Y1 = 2

H4 = 0Recurso escaso (barniz)

Y2 = 0

H5 = 0Recurso escaso (horas maquina)Y3 = 6

Z = 66

Ahora estamos en condicin de darle una aplicacin a los precios sombra. Al ser todos los recursos escasos en este caso (madera, barniz y horas mquina), necesitamos saber cul es el mximo precio que deberamos pagar por obtener una unidad adicional de este recurso?, la respuesta a esta interrogante son los precios sombra.

Y1 = 2 $u$ /m3 de madera

Y2 = 0 $u$ /litro de barniz

Y3 = 6 $u$ /hora de mquina

Tambin el precio sombra determina el valor marginal o la tasa a la cual aumentar la funcin objetivo si es que se incrementa el recurso:

Por ejemplo:

Si el recurso madera se aumenta en 1 unidad (1m3), entonces la funcin objetivo aumentar en:

Z = Z + Yi(No de unidades = 66 + 2(1= 68 $u$

Si el recurso barniz se aumenta en 1 unidad (1 litro), entonces la funcin objetivo aumentar en:

Z = Z + Yi(No de unidades = 66 + 0(1= 66 $u$

Si el recurso hora mquina se aumenta en 1 unidad (1 hora), entonces la funcin objetivo aumenta en:

Z = Z + Yi(No de unidades = 66 +6(1=72 $u$CUESTIONARIO WORK PAPER No. 6

1. Transforme el siguiente problema en un modelo dual:

Max z = 1X1+5X2

1X1+1X26

1X1+2X2(12

X1, X20

2. Transforme el siguiente problema en un modelo dual:

Min z = 4X1+2X2+3X3

1X1+1X2+X330

X1-X210

X1, X20


WORK PAPER # 7


TITULO: Soluciones Especiales del Mtodo Simplex

FECHA DE ENTREGA: Segundo Parcial

SOLUCIONES ESPECIALES DEL MTODO SIMPLEX

SIN SOLUCION FACTIBLE

X1X2X3H4A5

-3+M000M12

-20-2106

010010

-10-1015

Se dice que no hay solucin factible, cuando cualquier solucin ptima obtenida, por el mtodo de la M, contiene al menos una variable artificial distinta de cero.

NO HAY VARIABLE BASICA QUE SALE (SOLUCION NO ACOTADA)

X1X2H3H4H5

-320000

-201006

0201010

-120015

Note que se tiene una variable bsica de entrada X1.

Al encontrar a la variable de salida, nos encontramos con que todos los coeficientes de la columna pivote son ceros y/o negativos. Esto significa que las restricciones no impiden el crecimiento indefinido de la funcin objetivo.

En este caso el Mtodo Simplex se detiene y se dice que la solucin es no acotada ya que es imposible lograr ganancias infinitas.

SOLUCION PTIMA MLTIPLE

X1X2H3H4H5

0000118

101004

003/21-1/23

01-3/201/23

Existen varias soluciones ptimas mltiples cuando al menos una variable no bsica tiene coeficiente cero en la ecuacin cero final (FO). En este ejercicio H3 tiene coef. cero.

EMPATE PARA LA VARIABLE BASICA QUE SALE = DEGENERACION

X1X2H3H4H5

-3-20000

201004

0201012

9200118

Observe que X1 es la variable bsica de entrada.

Al encontrar a la variable de salida, nos encontramos con que existe un empate entre H4 y H6 al encontrar la menor razn:

Se recomienda romper el empate arbitrariamente.

La solucin bsica factible resultante se llama degenerada, porque en la solucin la variable bsica no escogida tendr siempre valor cero.CUESTIONARIO WORK PAPER No. 7

1. Clasifique las siguientes tablas indicando el tipo de solucin:

a)

X1X2H3H4H5

0050115

001208

100153

0104142

b)

X1X2H3H4H5

-3-50000

201009

0-201010

-1-1/20015

c)

X1X2H3H4H5

-8-90000

201009

0201012

5300118

Prctica de Laboratorio:N 1

Ttulo: Mtodo GraficoLugar de Ejecucin: Laboratorios de Computacin

Elaborado por: Ing. Gelen P. Tondelli Mndez

Nombre y Apellidos:

______________________________________________________________

1. Objetivos.

Aprender a usar software educativo para poder graficar las ecuaciones lineales del Modelo Matemtico de Programacin Lineal. 2. Fundamentos teorcos.

El Mtodo Grafico se usa para resolver problemas de Programacin Lineal que poseen dos variables.

El software a utilizar es el TORA para Windows.

3. Desarrollo de la Prctica

Se seguirn los siguientes pasos:

a. Abrir el programa.

b. Seleccionar Linear Programming.

c. Seleccionar introducir un nuevo problema y elegir si se quiere la respuesta en notacin decimal o notacin cientfica.

d. Seleccionar pantalla de entrada (input screen).

e. Escribir el numero de variables, el numero de restricciones y el titulo del problema.

f. Presione la tecla TAB para ir a la tabla de entrada de los datos faltantes.

g. Elegir resolver especificando que se desea en forma grafica o algebraica.

Siguiendo los pasos descritos anteriormente, Resuelva los siguientes problemas:

Ejercicio 1.

Max z = 10X+12Y

2X+3Y(15

2Y(6

X+Y(6

Ejercicio 2.

Max z = 3x1+4x2

-2x1+4x2(16

2x1+4x2(24

6x1+3x2(48

x1 , x2(0

Ejercicio 3.

Min z = 2x1+4x2

x2(2

x1+x2=5

x1(1

x1 , x2(0

Ejercicio 4.

Max z = x1+4x2

x1+x2(4

x1-x2(2

3x2(3

x1 , x2(0

Ejercicio 5.

Min z = 20x1+10x2

2x1+x2(20

2x1+x2(8

- x1+x2(4

x1 , x2(0

4. Conclusiones sobre los resultados obtenidos

El estudiante deber elaborar un informe de la practica de laboratorio que reuna las siguientes caractersticas:

1. Los informes se deben entregar en hojas de papel tipo carta. Los informes deben presentarse hechos en computador.

El informe es una gua con la que pueden trabajar personas que conozcan o no de la asignatura a tratarse, o personas que hace tiempo no revisan el tema.

2. El informe se debe presentar a la clase siguiente a la realizacin de la prctica en forma individual.

3. No es permitido que las personas que no hayan asistido a una prctica presenten informe de la misma.

5. Bibliografa

TAHA H. A., Investigacin de Operaciones. Una Introduccin, 6ta edicin. Servicio de Ingeniera, Mxico, 1998.

HILLIER F. S., LIEBERMAN G. J., Introduccin a la Investigacin Operativa, Ed. McGraw-Hill, Tercera Edicin, Mxico, 1991.

Prctica de Laboratorio:N 2

Ttulo: Mtodo SimplexLugar de Ejecucin: Lab. de Computacin

Elaborado por: Ing. Gelen P. Tondelli Mndez

Nombre y Apellidos:

______________________________________________________________

2. Objetivos.

Aprender a usar software educativo para resolver el Metodo simplex mediante Modelo Matemtico de Programacin Lineal. 2. Fundamentos teorcos.

El Mtodo Simplex se usa para resolver problemas de Programacin Lineal que poseen dos variables o ms.

El software a utilizar es el TORA para Windows.

3. Desarrollo de la Prctica

Se seguirn los siguientes pasos:

1. Abrir el programa.

2. Seleccionar Linear Programming.

3. Seleccionar introducir un nuevo problema y elegir si se quiere la respuesta en notacin decimal o notacin cientfica.

4. Seleccionar pantalla de entrada (input screen).

5. Escribir el numero de variables, el numero de restricciones y el titulo del problema.

6. Presione la tecla TAB para ir a la tabla de entrada de los datos faltantes.

7. Elegir resolver especificando que se desea en forma algebraica.

8. Seleccionar el metodo simplex, eligiendo si se desea ver la tabla final o cada iteracin.

Siguiendo los pasos descritos anteriormente, Resuelva los siguientes problemas:

Ejercicio 1.

Max z = 3X1+5X2

1X1(4

2X2(12

3X1+2X2(18

X1, X2(0

Ejercicio 2.

Min z = 4X1+2X2+3X3

1X1+1X2+X330

X1-X210

X1, X20

Ejercicio 3.

Min z = 2x1+4x2

x2(4

x1+x2=5

x1(1

x1 , x2(0

Ejercicio 4.

MaximizarZ =2X1+3X2+X3

Sujeta a:X1+X2+X3=10

2X1-X2+3X35

X1+2X28

X1 , X2 , X3(0

3. Conclusiones sobre los resultados obtenidos

El estudiante deber elaborar un informe de la practica de laboratorio que reuna las siguientes caractersticas:

4. Los informes se deben entregar en hojas de papel tipo carta. Los informes deben presentarse hechos en computador.

El informe es una gua con la que pueden trabajar personas que conozcan o no de la asignatura a tratarse, o personas que hace tiempo no revisan el tema.

5. El informe se debe presentar a la clase siguiente a la realizacin de la prctica en forma individual.

6. No es permitido que las personas que no hayan asistido a una prctica presenten informe de la misma.

5. Bibliografa

TAHA H. A., Investigacin de Operaciones. Una Introduccin, 6ta edicin. Servicio de Ingeniera, Mxico, 1998.


DIFS # 1

UNIDAD OTEMA: REDES Y EL PROBLEMA DE TRANSPORTE

TITULO: El Modelo de Transporte

FECHA DE ENTREGA:

PERIODO DE EVALUACION: Segundo Parcial

El propsito del modelo de transporte es encontrar los medios menos costosos para embarcar abastos desde varios orgenes a varios destinos. Los puntos de origen (o fuentes) pueden ser fbricas, almacenes o cualquier otro de los puntos desde donde se embarquen los bienes. Los destinos son cualquiera de los puntos que reciben bienes.

Existen diferentes mtodos de solucin del modelo de transporte, nosotros estudiaremos los siguientes tres:

A. Mtodo de la Esquina Noroeste

B. Mtodo de la Matriz Mnima.

C. Mtodo de Vogel.

Conociendo esto realice lo siguiente:

Algoritmo de cada mtodo con un ejemplo de cada uno.

Adems de la bibliografa de la materia, puede utilizar la siguiente:

www.itson.mx/dii/elagarda/ apagina2001/PM/transporte.html

www.monografias.com

CONCLUSIONES (debern sintetizar la opinin del grupo):

COMENTARIOS (debern sintetizar la opinin del grupo):

GRUPO (mximo cinco integrantes):

AP. PATERNOAP. MATERNO

NOMBRES

FIRMA


DIFS # 2

UNIDAD OTEMA: REDES Y EL PROBLEMA DE TRANSPORTE

TITULO: Tcnicas de planeacin.

FECHA DE ENTREGA:

PERIODO DE EVALUACION: Examen Final

En un momento u otro cualquier empresa tomar un proyecto complejo. Una constructora debe completar cientos de costosas actividades al construir un edificio o una carretera, una empresa petrolera requiere proyectos de mantenimiento de vehculos y maquinarias, los ingenieros de sistemas encaran los proyectos de redes, etc.

Investigue las tcnicas que permiten a los administradores de proyectos planear, programar y controlar un proyecto describiendo cada una y con un ejemplo.

Adems de la bibliografa de la materia, puede utilizar la siguiente:

http://www.gestiopolis.com/recursos/documentos/fulldocs/ger/diaggantaleja.htmwww.monografias.com/trabajos2/ caminocritico/caminocritico.shtmlCONCLUSIONES (debern sintetizar la opinin del grupo):

COMENTARIOS (debern sintetizar la opinin del grupo):

GRUPO (mximo cinco integrantes):

AP. PATERNOAP. MATERNO

NOMBRES

FIRMA

Son diferentes requisitos que debe cumplir cualquier solucin para que pueda llevarse a cabo. En cierta manera son las limitantes en los valores de los niveles de las diferentes actividades (variables).

Son las incgnitas del problema y bsicamente consisten en los niveles de todas las actividades que pueden llevarse a cabo en el problema a formular.

Con el objetivo se pretende medir la efectividad de las diferentes soluciones factibles que pueden obtenerse y determinar la mejor solucin.

Deber definirse claramente las unidades de medicin del objetivo, como dinero, tiempo, etc.

(

(

Observe:

Los precios sombra en el rengln Z corresponden a:

Y1 = 2

Y2 = 0

Y3 = 6

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14UNIVERSIDAD DE AQUINO BOLIVIA

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