Supervisión y Control de Procesos Bloque Temático I...

Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010 1

Supervisión y Control de Procesos

Bloque Temático I:Introducción al Control de Procesos

Tema 5: Reguladores PID. Acciones de Control


Definición de Control

• RAE: “Regulación , manual o automática , sobreun sistema ”

• RAE: Regular : “Ajustar el funcionamiento de un sistema a determinados fines “

“Ajuste del funcionamiento de un sistema (1), de forma manual o automática, para determinados fines ”

(1) RAE: “Conjunto de cosas que relacionadas entre sí ordenadamente contribuyen a determinado objeto.”


Objetivos del Control

• Anular la acción de las perturbaciones sobre la variable

controlada

• Hacer que la variable controlada siga a la de referencia: Servosistema o Servomecanismo


Pasos para el diseño de un sistema de control

• Modelado del sistema:– Sistema lineal e invariante � descrito por la función de

transferencia

• Requisitos del sistema de control:– Error en régimen permanente frente a una perturbación

constante.– Error en régimen permanente frente a una referencia descrita

por una señal polinomial (escalón, rampa, …)– Sensibilidad en el sistema ante cambios en los parámetros– Propiedades dinámicas como el tiempo de subida o

sobreoscilación ante entrada escalón, tanto en la referencia como en la perturbación

– Estabilidad del sistema de control


Topologías de control

G

perturbación

salida(y)

accióncontrol

(u) -+

sistemasistema

D

referencia(r)

H

controladorcontrolador

Control en cadena abierta

p

• barato (no necesita sensor)• no introduce problemas de estabilidad “por si mismo”• no es posible controlar un sistema inestable• no es posible cambiar el comportamiento dinámico ante referencia y perturbación de manera independiente

Control en cadena cerrada

G

perturbación

-

+

sistemasistema


+-Derror

Hpaccióncontrol

(u)referencia

(r)

• + caro (necesita sensor)• introduce problemas de estabilidad “por si mismo”• es posible controlar un sistema inestable• es posible cambiar el comportamiento dinámico ante referencia y perturbación de manera independiente


Control de velocidad de un motor de c.c. (I)

Principio de funcionamiento de un motor c.c.

Principio funcionamiento conmutador


Control de velocidad de un motor de c.c. (II)

Modelado del sistema:

T = kt ia

e = ke θm·

generación de par

fuerza contra electromotriz

Va = Ra ia + La dia/dt + ke θm· circuito eléctrico

T = Jm θm + b θm·

circuito mecánico··

kt

s((Jm s + b)(La s + Ra) + kt ke)

ωm

Va=

función de transferencia


Control de velocidad de un motor de c.c. (III)

Modelado del sistema con par de carga y despreciando la caída de tensión en la inductancia:

T = kt ia

e = ke θm·

generación de par

fuerza contra electromotriz

Va = Ra ia + ke θm·circuito eléctrico

T + TL= Jm θm + b θm·

circuito mecánico··

kt

(Jm Ras + b Ra + kt ke)ωm Va=


Ra

(Jm Ras + b Ra + kt ke)TL+


Control de velocidad de un motor de c.c. (IV)

kt

(Jm Ras + b Ra + kt ke)ωm Va=


Ra

(Jm Ras + b Ra + kt ke)TL+

b Ra + kt ke

Jm Raτ =

b Ra + kt ke

ktA =

Ra

b Ra + kt keB =

constante de tiempo

velocidad(ωm)

++

diagrama de bloquesdiagrama de bloques

B

τs + 1A

A

TL

Va

TL > 0 � mismo sentido par eléctrico

TL < 0 � sentido contrario par eléctrico


Topologías de control

Control en cadena abierta Control en cadena cerrada

-

+

motormotor


+-Derror

accióncontrol

(Va)

referencia(ωref)

velocidad(ωm)

-+

motormotor

B

τs + 1A

A

TL

VaD

referencia(ωref)

Control proporcional: D = Kol

ajuste de ganancia para que en régimen permanente (s=0) y sin par de carga ωref = ωm Kol = 1/A

TL


BA

τs + 1A

τs + 1A

KolTol =

función transferenciaτs + 1

AKcl

función transferencia

τs + 1A1 + Kcl

Tcl =

velocidad(ωm)


Rechazo de perturbaciones

Control en cadena abierta Control en cadena cerrada

Control proporcional: D = Kol Kol = 1/A

τs + 1A

Kol

función transferencia (ωm/ ωref)

τs + 1A

Kcl

función transferencia (ωm/ ωref)

τs + 1A1 + Kcl

τs + 1B

función transferencia (ωm / TL )

error en régimen permanente

ωm – ωref = B TL

El error es proporcional a la carga y no podemos actuar sobre él

El error es proporcional a la carga y no podemos actuar sobre él

Control proporcional: D = Kcl

τs + 1B

función transferencia (ωm / TL )

τs + 1A1 + Kcl

error en régimen permanente

ωm – ωref ≈ B/(1+A Kcl)

El error se ve disminuido por un factor sobre el cual podemos actuar

El error se ve disminuido por un factor sobre el cual podemos actuar


Variación propiedades dinámicas en cadena cerrada

-

+

motormotor


+-Derror

accióncontrol

(Va)

referencia(ωref)

TL

BA

τs + 1A

τs + 1A

Kcl

función transferencia

τs + 1A1 + Kcl

Tcl = =velocidad

(ωm)

Kcl Aτs + 1 + Kcl A

1 + Kcl AKcl A

τcls + 11

=

1 + Kcl Aτcl = τ• La constante de tiempo varía con la

ganancia del controlador• La realimentación hace el sistema más rápido y con frecuencia menos estable

constante de tiempobucle cerrado


Control PID

-

+

motormotor


+-Derror

accióncontrol

(Va)

referencia(ωref)

TL

BA

τs + 1A

velocidad(ωm)

• Acción proporcional (P)• necesita que exista un error en régimen permanente para mantener la acción de control.

• Acción integral (I)• permite anular el error en régimen permanente a costa de empeorar el comportamiento dinámico.

• Acción diferencial (D)• permite mejorar la respuesta dinámica.


Control PID (Acción proporcional)

-

+

motormotor


+-Derror

accióncontrol

(Va)

referencia(ωref)

TL

BA

τs + 1A

velocidad(ωm)

• Acción proporcional (P)• necesita que exista un error en régimen permanente para mantener la acción de control.


D = Kp

• Altas ganancias reducen el error en régimen permanente:

• existen límites físicos a la hora de implementar el controlador real.• el sistema se puede hacer inestable

Selección de parámetros (Kp)

Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010

Control PID (Acción proporcional)

referenciavelocidad

perturbación

1

ganancia sensorvelocidad

ke

f.e.m.

1

Ra(s)

Susbistemaeléctrico

sin dinámica

1

La.s+Ra


A

Tau_m.s+1

Subsistemamecánico

Selecciónsistema eléctrico

B

A

Ht

kd.s +kp.s+ki2

den(s)

Controladorvelocidad

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

(rad

/s)

-0.5

0

0.5

1

1.5

(rad

/s)

Kp = 3

Kp = 30

0 5 10 150

0.5

1

1.5

tiempo (s)

(rad

/s)

Kp = 300

20


Control PID (Acción integral)

-

+

motormotor


+-Derror

accióncontrol

(Va)

referencia(ωref)

TL

BA

τs + 1A

velocidad(ωm)

• Acción integral (I)• permite anular el error en régimen permanente a costa de empeorar el comportamiento dinámico.


u = Kp e + Ki e(τ)dτ D(s) = Kp + Ki/s

• la característica principal es que en enrégimen permanente la salida del controlador puede ser diferente de cero aunque el error sea cero. De hecho la acción integral sólo deja de variar cuando la entrada es cero � ωm = ωref

Selección de parámetros (Kp, Ki)

Permite anular el efecto de perturbaciones constantes

t

t0


Control PID (Acción integral)

referenciavelocidad

perturbación

1


ke

f.e.m.

1

Ra(s)


sin dinámica

1

La.s+Ra


A

Tau_m.s+1

Subsistemamecánico


B

A

Ht

kd.s +kp.s+ki2

den(s)


0

0.5

1

1.5

(rad

/s)

Kp = 30, Ki = 15

0

0.5

1

1.5

(rad

/s)

Kp = 30, Ki = 150

0 5 10 15 200

0.5

1

1.5

2

2.5

tiempo (s)

(rad

/s)

Kp = 30, Ki = 500


Control PID (Acción diferencial)

-

+

motormotor


+-Derror

accióncontrol

(Va)

referencia(ωref)

TL

BA

τs + 1A

velocidad(ωm)

• Acción diferencial (D)• permite mejorar la respuesta dinámica.


u = Kp e + Ki e(τ)dτ + de/dt

D(s) = Kp + Ki/s + Kds

• el efecto de la acción diferencial depende de la velocidad de cambio del error. Como resultado el control diferencial muestra una respuesta “anticipada” en comparación con la acción proporcional

Selección de parámetros (Kp, Ki, Kd)

Permite mejorar la respuesta dinámica

t

t0


Control PID (Acción diferencial)

referenciavelocidad

perturbación

1


ke

f.e.m.

1

Ra(s)


sin dinámica

1

La.s+Ra


A

Tau_m.s+1

Subsistemamecánico


B

A

Ht

kd.s +kp.s+ki2

den(s)


0

0.5

1

1.5

(rad

/s)

Kp = 30, Ki = 150 , Kd = 0.3

0 5 10 15 200

0.5

1

1.5

tiempo (s)

(rad

/s)

Kp = 30, Ki = 500 , Kd = 2


Control de Posición

referenciaposición

perturbación

1


1

ganancia sensorposición

ke

f.e.m.

1

s

Transfer Fcn

1

Ra(s)


sin dinámica

1

La.s+Ra


A

Tau_m.s+1

Subsistemamecánico


B

A

Ht

kd.s +kp.s+ki2

den_lpf(s)


num(s)

s

Controladorposición

0 5 10 15 20-5

0

5

10

tiempo (s)

(rad

/s)

0 5 10 15 200

0.5

1

1.5

tiempo (s)(r

ad)

velocidad posición

Kp = 30, Ki = 150 , Kd = 0.3 Kp = 5


Control de Posición

referenciaposición

perturbación

1


1

ganancia sensorposición

ke

f.e.m.

1

s

Transfer Fcn

1

Ra(s)


sin dinámica

1

La.s+Ra


A

Tau_m.s+1

Subsistemamecánico


B

A

Ht

kd.s +kp.s+ki2

den_lpf(s)


num(s)

s

Controladorposición

Kp = 150

0 5 10 15 200

0.5

1

1.5

tiempo (s)

(rad

)

posición

0 5 10 15 200

0.5

1

1.5

tiempo (s)(r

ad)

Kp = 5, Ki = 10

posición


Control PID (II)

X(s)1/(s·Ti)

Y(s)

X(s)s·Td

Y(s)

X(s)K

Y(s)

x(t) y(t)Ti

x(t) y(t)K

Regulador I

• Regulador P

• Regulador D

y(t)

K

t

y(t)

Ti t

1

y(t)

t

• El comportamiento ideal del derivador es imposible de reproducir físicamente

• Respuesta ante un escalón unitario

• Representación típica en circuitos de control


Control PID (III)

Regulador PD (ideal)

• Regulador PI

• Regulador PD (real)

y(t)

-Ti t

K

• El comportamiento ideal del PD es imposible de reproducir físicamente



X(s)K·(1+1/(s·Ti))

Y(s) x(t) y(t)K T i

x(t) y(t)K Td

X(s)K·(1+s·Td)

Y(s)

X(s)K·(1+s·Td)/(1+s·TN)

Y(s)

y(t)

K

t

y(t)

K

t

K·Td/TN

TN• Td>TN

K1+Ti·s

Ti·s

Pendiente K/Ti


Control PID (IV)

Regulador PID (ideal)

• Regulador PID (real)

y(t)

-Ti t

K

• El comportamiento ideal del PID es imposible de reproducir físicamente



x(t) y(t)K T i Td

X(s)K·((1+s·Td)/(1+s·TN)+1/(s·Ti))

Y(s)y(t)

K

t

K·Td/TN

-Ti

• Ti>Td>TN

X(s)K(1+1/(s·Ti)+s·Td)

Y(s)

• Ti>Td

)·1·(·

1)·(·· 2

sTsT

sTTsTTK

Ni

Niid

++++

sT

sTsTTK

i

iid

·

1··· 2 ++Pendiente K/Ti

Pendiente K/Ti


Especificaciones de Diseño en el Dominio del Tiempo

• Precisión en régimen permanente: ep, ev y ea.•• Respuesta transitoria: Mp, tp, tr, ts.

• Control de las perturbaciones.

• NOTA: Existen relaciones analíticas para los parámetros de respuesta transitoria (Mp, tp, tr, ts) sólo para sistemas de segundo orden sin ceros o sistemas que se puedan aproximar por sistemas de segundo orden. Los procedimientos generales de diseño que se describirán son aplicables a estos sistemas y pueden no ser del todo válidos para sistemas de orden superior.


Diseño de Reguladores por Cancelación: Truxal (I)

X(s)G(s)

+

_

Y(s)R(s)

M(s)X(s)

G(s)Y(s)

Re

Im

-c -a

b

-b Re

Im-d

))·())·(·((

)·()(

jbasjbas

csKsG G

−++++=

)()(

ds

KsM M

+=

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20

0.2

0.4

0.6

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20

0.2

0.4

0.6

Comportamiento original • Comportamiento deseado

))()·(·(

))·())·(·(·()(

)](1)·[(

)()(

)()·(1

)()·()(

MG

M

KdscsK

jbasjbasKsR

sMsG

sMsR

sGsR

sGsRsM

−++−+++=⇒

−=⇒

+=

)()()·(

M

M

Kds

KsGsR

−+= X(s)

G(s)+

_

Y(s)M(s)

M(s)

G(s)·[1-M(s)]R(s)Re

Im

-c -a

b

-b

-(d-KM)

Los ceros de R(s) cancelan los polos de G(s) y los polos de R(s) a los ceros de G(s)

)(sG


Diseño de Reguladores por Cancelación: Truxal (II)

• Inconvenientes:

• 1) R(s) ha de ser realizable, nR ≥ mR. Esto se consigue si nM-mM ≥ nG-mG.

• 2) La cancelación de polos y ceros no es exacta. Por lo tanto G(s) tiene que ser de fase mínima para que el sistema final no tenga polos inestables.

• 3) R(s) puede ser muy complicada (muchos ceros y polos).


Control de las Perturbaciones (I)

• Interesa que la ganancia del sistema en régimen permanente ante las perturbaciones sea nula y que el transitorio tenga una oscilación y duración mínimas.

ónperturbaci la ante FdT)()·()·(1

)(

)(

)()(

entrada la ante FdT)()·()·(1

)()·(

)(

)()(

sHsGsR

sG

sZ

sYsN

sHsGsR

sGsR

sX

sYsM

+==

+==X(s) +

_

Y(s)R(s) G(s)

H(s)

Z(s)

++

-2 0 2 4 6 8 10-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

z(t)

y(t)

A)

• Si:

• A) R(s) es de Tipo 0

•

• Si:

• A) R(s) es de Tipo 1

•

-2 0 2 4 6 8 10-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

y(t)

z(t)

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