SUPERFICIES MINIMAS.

Daniel BarrigaNatalia Gaviria

Glosario básico• Superficie - En matemática, es una variedad bidimensional, es

decir, un objeto topológico que, intuitivamente hablando, es localmente "parecido" al plano cartesiano.[1]

• Geometría - estudia idealizaciones del espacio: puntos, rectas, planos, polígonos, poliedros, curvas, superficies, etc.

• Paraboloide - es una cuadrica, un tipo de superficie tridimensional.• Hiperbólico paraboloide - Al paraboloide hiperbólico también se lo

denomina silla de montar por su gráfica. Tiene la peculiaridad de contener rectas en su superficie.

• Parábolas – curva abierta simétrica respecto de un eje, con un solo foco y que resulta de contar un cono circular recto por un plano paralelo a una de sus generatrices.

• Hipérbolas – curva plana y simétrica respecto de dos planos perpendiculares entre sí, y cuya distancia con respecto a dos puntos o focos es constante.[2]

[1] http://es.wikipedia.org/wiki/Superficie[2] http://www.wordreference.com/definicion/hip%E9rbola

• Superficies regladas - Superficie generada por el movimiento de una recta, denominada generatriz, manteniéndose en contacto con otra u otras líneas, denominadas directrices, cumpliendo además en su desplazamiento ciertas condiciones particulares.[3]

• Hiperboloide de revolución - Generatriz recta que gira alrededor de una di rectriz no paralela y no concurrente a ella, o también: generatriz recta que se apoya sobre dos directrices circulares, concéntricas, planas y forma ángulo constante con ellas.[4]

• Tensión - la fuerza interna que actúa por unidad de superficie

[3] http://webdelprofesor.ula.ve/nucleotrujillo/alperez/teoria/cap_01a-conceptos_geometricos/05-superficie.htm#supregala[4] http://html.rincondelvago.com/geometria_13.html

IDEAS PRINCIPALES.• “Toda creación arquitectónica es geométrica.”• Una de las superficies mas aplicadas en la arquitectura ha sido el

paraboloide hiperbólico.• El paraboloide hiperbólico, aun siendo una superficie curvada se

puede construir con líneas rectas.• Las superficies mínimas, aunque permite más grados de libertad

que el uso de los paraboloides hiperbólico, continúan teniendo restricciones.

• Gaudí fue uno de los que la empleo, esto se puede ver en la sagrada familia pero quien más la ha trabajado ha sido Félix Candela.

• Feliz Candela mostro una maestría sublima en la utilización de la paraboloides hiperbólicos, el mejor ejemplo de este es el restaurante Los Manantiales, en la Ciudad de México.

. RELACION CON SISTEMAS COMPLEJOS.

• La relación de las superficies mínimas con los sistemas complejos, es muy grande como por ejemplo la relación que existe entre las matemáticas y la arquitectura; los arquitectos han aplicado superficies y las combinaban claramente con sus diseños y todavía lo continúan haciendo. Una nueva teoría, la de las superficies de Bézier y sus generalizaciones, engendrada a principios de la década de los 60 en empresas automovilísticas y de construcción de aviones, ayuda al arquitecto a diseñar superficies de manera absurda (ya que son formas que para la gente del común es imposible de fabricarse) con sencillez y elegancia.

• Las superficies mínimas que mas se emplea en la arquitectura es el paraboloide hiperbólico Gaudí lo empleo, pero Félix Candela es el que más lo ha utilizado. Lo que las curvas cónicas (la elipse, la parábola y la hipérbole) son para la dimensión dos, en dimensión tres lo son las superficies cuádricas. Los nombres de estas superficies tienen que ver con las curvas que aparecen como secciones con planos. En el paraboloide hiperbólico, una de las superficies cuádricas, estas secciones son parábolas y hipérbolas.

• Para Gaudi y Candela lo que mas los motivo a utilizar el paraboloide hiperbólico es que es una superficie curvada que se puede construir con líneas rectas, lo único que toca hacer es variar el ángulo de inclinación de una recta que se mueve encima de otra curva, a estas superficies las hacen llamar superficies regladas, y así fue que Gaudi pudo realizar el techo de la sagrada familia a partir de un paraboloide hiperbólico en el año de 1883.

RELACION MODELADO Y SIMULACION.

• La relación de las superficies mínimas con el modelado o están complicada como todo el mundo cree, para poder modelar o construir una superficie, como un paraboloide hiperbólico al haber encontrado los cuatro puntos en el espacio que no estén en un mismo plano, hay un único paraboloide hiperbólico que pasa precisamente por estos cuatro puntos. Esta es la misma propiedad que dice que dos puntos determinan una única recta.

Como se construye el paraboloide hiperbólico a partir de los 4 ptos como una superficie reglada.

• Lo que tenían que hacer los obreros era unir con rutas de barras uno de los pares de puntos de una parte, y el otro par opuesto por la otra. Después sólo se tiene que dejar resbalar otra barra sobre las dos anteriores manteniendo una velocidad constante en los extremos. Gaudí utilizó muchas veces el paraboloide hiperbólico y también otras superficies doblemente regladas como el hiperboloide de revolución. El Arquitecto Félix Candela fue el que se dedico a utilizar mucho las superficies su mejor ejemplo se puede encontrar en el restaurante Los Manantiales (1958) del parque de Choximilco en la ciudad de México. El techo está formado por ocho paraboloides hiperbólicos.

• También el nuevo Oceanográfic (2002) de la Ciudad de las Artes y de las Ciencias de Valencia su techo está formado por ocho paraboloides hiperbólicos.

• Tanto Gaudí como Candela aprovecharon superficies matemáticas definidas y estudiadas, con ecuaciones determinadas y una manera de construirlas totalmente establecida. Esto implica una falta de libertad en el diseño de la forma deseada. Sólo podían utilizar una determinada familia de superficies dependiendo de unos pocos parámetros. La única variación permitida consiste en jugar con diferentes valores de los parámetros. El genio de los dos arquitectos y la experiencia lograda tras muchas pruebas con maquetas suplió este defecto[1].

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•[1] Modelos Matemáticos y Simulación Numérica en Arquitectura, Universidad de los Andes, Pág. 23

• Otro ejemplo sorprendente de la relación de los modelos de las superficies mínimas es el estadio olímpico de Munich, la cubierta de las gradas como la de la piscina son ejemplos de las superficies mínimas. Estas superficies, conocidas en geometría desde el tienen área mínima. La propiedad de minimizar el área es la que aprovechó el arquitecto Frei Otto, para levantar, mediante un sistema de apoyos y cables, una estructura sorprendentemente ligera donde las tensiones interiores se anulaban, permitiendo a la vez una economía de material y una forma sorprendente.

CONCLUSIONES.

• “Toda creación arquitectónica es geométrica” es de esta forma en la cual el arquitecto se ha tomado muy enserio el concepto de las superficies mínimas ya que se apropian de este concepto diseñando cubiertas que parezcan totalmente imposibles de construir.

• Las superficies mínimas, aunque tienen más facilidad de manejarse y contienen más grados de libertad que los paraboloides hiperbólicos, siguen teniendo algunas restricciones. Estas restricciones aparecen por el hecho de que, dada la frontera, la superficie mínima está totalmente determinada. Por lo tanto, los diseñadores de superficies sólo pueden actuar sobre la frontera y tienen que esperar que la superficie mínima que resulte de la forma deseada.