Simulación numérica de turbulencia a costos más bajos: modelado de Regularización

Las ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes constituyen un excelente modelo matemático de la turbulencia. Desafortunadamente, las simulaciones directas con los recursos computacionales disponibles se limitan a relativamente bajos números de Reynolds, debido a las pequeñas escamas casi innumerables producidos por el término de la convección no lineal. Por otra parte, consideramos regularizaciones del término convectivo que preservan la simetría y las propiedades de conservación exactamente. Esto da a una clase de regularizaciones [Verstappen R. En restringir la producción de pequeñas escalas de movimiento en un flujo turbulento canal. Comput Fluidos 2008: 37; 887-97] que restringen la producción de pequeñas escalas de movimiento de una manera incondicionalmente estable. De esta manera, el nuevo conjunto de ecuaciones es dinámicamente menos complejo que las ecuaciones originales de Navier-Stokes, y por lo tanto más susceptibles de ser resueltos numéricamente. Se basa en un filtro lineal auto adjunto cuyo local de filtro de longitud se determina a partir de la exigencia de que vórtice de estiramiento debe ser detenido en la escala establecida por la red [Trias FX, Verstappen RWCP, Gorobets A, M Soria, Oliva A. Parámetro sin simetría de preservación, modelado de regularización de una cavidad turbulenta calentado diferencialmente. Comput Fluidos 2010: 39, 1815-31]. Para ello, se propone un nuevo criterio basado en los invariantes del tensor de deformaciones locales y probadas aquí.

1. INTRODUCCIÓN

Los (NS) ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes forman excelente modelo matemático para flujos turbulentos. En variables primitiva de las ecuaciones son

tu þ CDU; uÞ¼Du rp; r u = 0; ð1Þ

donde u denota el campo de velocidad y p representa la presión.

Los términos convectivos y difusivos son, respectivamente, definidos por CDU; vÞ¼ðu rÞv y Du ¼ Re1 Du donde Re es el número de Reynolds.

Por desgracia, los intentos de llevar a cabo simulaciones numéricas directas (DNS) con los recursos computacionales disponibles y métodos numéricos se limitan a un número relativamente bajo de Reynolds. En cuanto a los algoritmos numéricos, reducciones de costos pueden ser alcanzado por una o más de las siguientes cuestiones: (i) la disminución el número de puntos de cuadrícula usando esquemas de alto orden [1,2], (ii) usando grandes pasos de tiempo [3] o (iii) reducir el coste computacional por iteración; todo ello sin afectar la calidad de la solución numérica.

En cuanto al tercer punto, en nuestro trabajo anterior [4], nos hemos centrado en el solucionador paralelo de poisson mediante una estrategia de paralelizacion hibrida. Debido a la naturaleza no local de su solución, este sistema elíptico es el mas largo y difícil de paralelizar parte del código. El solucionador de Poisson es restringido a problemas con la dirección periódica uniforme.

Es una combinación de un gradiente preacondicionado conjugado (PCG) y una diagonalización de Fourier. Este último se descompone el sistema original en un conjunto de sistemas 2D independientes entre sí que se resuelven por medio del algoritmo de PCG. La versión anterior [5] fue concebido para un solo núcleo (también de doble núcleo) procesadores y por lo tanto, se utilizó el modelo de memoria distribuida con interfaz de paso de mensajes (MPI). La irrupción de las arquitecturas multi-core motivado el uso de un MPI híbrido de dos niveles + OpenMP paralelización con el modelo de memoria compartida en el segundo nivel. Ventajas y detalles de implementación para la paralelización OpenMP adicionales fueron presentados y discutidos en [4]. Experimentos numéricos mostraron que, dentro de su gama de escalabilidad eficiente, el MPI de sólo paralelización anterior se superó ligeramente el enfoque MPI + OpenMP. Pero lo más importante, la paralelización híbrido ha permitido mejorar significativamente la gama de escalabilidad eficiente. El solucionador ha sido probado con éxito hasta 12.800 CPUs para mallas con un máximo de 109 puntos de la rejilla (ver Fig. 1) en la supercomputadora Lomonosov. Este número de núcleos de CPU fue máxima disponible en ese momento.

Sin embargo, estimaciones basadas en los resultados presentados demostraron que este rango puede ser potencialmente se extendía hasta más de 200.000 núcleos. En breve, el número total de núcleos de CPU dedica viene dada por P = Pyz? Px? Pt. Pyz es el número de subdominios MPI en las dos direcciones no periódicas. Aceleraciones variables solamente este número se muestran en la Fig. 1 (abajo). Px es el número de procesos MPI en la dirección-x periódica. En este caso, el esquema de comunicación se basa en comunicaciones de grupo dentro reducidos 1D-grupos a lo largo de la dirección periódica. Aceleraciones para este número también se muestran en la Fig. 1, arriba. Por último, Pt es el número de hilos OpenMP. Dado que la transformación de Fourier se lleva a cabo por medio de un algoritmo de FFT, diferentes estrategias de paralelización se utilizan en espacios físicos y espectrales. En el caso de OpenMP, un paralelismo basada en bucles se utiliza con la descomposición a lo largo de una de las direcciones no periódicas cuando se trata con el espacio físico mientras que en la descomposición espacio espectral se realiza a lo largo de la dirección periódica. Para obtener más información al lector en referencia a [4].

1.1. La motivación y el resumen de este trabajo

A pesar de la potencia de cálculo de rápido crecimiento que ofrecen los sistemas de supercomputación de altas prestaciones modernas, simulaciones directas en altos números de Reynolds no son factibles porque el término convectivo produce demasiadas escalas pertinentes de movimiento. Por lo tanto, se necesita una formulación matemática dinámicamente menos complejo. En la búsqueda de dicha formulación, consideramos regularizaciones [6-8] de la no linealidad. El primer enfoque excepcional en este sentido se remonta a Leray [9]. El Navier-Stokes-un modelo también forma un ejemplo de modelado de regularización (ver [7,10], por ejemplo). Los métodos de regularización básicamente alteran los términos convectivos para reducir la producción de pequeñas escalas de movimiento. Al hacerlo, Verstappen [11] propuso preservar exactamente las propiedades de simetría y conservación de los términos convectivos.

Este requisito produjo una familia de modelos de regularización de simetría de preservación: una nueva clase de regularizaciones que restringe la producción de convección de escalas cada vez más pequeñas de movimiento de una manera

incondicionalmente estable, lo que significa que la velocidad no puede volar en la norma de energía (en 2D también: enstrofía-norma). En nuestros trabajos anteriores, nos limitamos a la aproximación C4: el término convectivo

en el NS Ec. (1) se sustituye entonces por el siguiente OD 4º precisa aproximación suave C4ðu?; V dada por C4ðu; ? V ¼ de CD u; ? V þ CD u?; v0Þ þ Cðu0; ? V; ð2Þ

donde el primer indica el residual del filtro, por ejemplo, u0 ¼ u? ? u, que puede ser evaluada de forma explícita y D? Þ representa un filtro lineal simétrica con longitud de filtro?. Por lo tanto, las ecuaciones que rigen el resultado detu? þ C4ðu ?; u? Þ ¼ Du? ? rp ?; r? u? ¼ 0; ð3Þ donde los nombres de las variables se cambian de u y p para u? y p ?, respectivamente, hacer hincapié en que la solución de (3) difiere de la de (1). Tenga en cuenta que la aproximación C4 es también un operador antisimétrica como el operador de convección originales. Por lo tanto, las mismas invariantes no viscosos que las ecuaciones originales NS se conservan para el nuevo conjunto de derivadas parciales Ec. (3). El método de regularización C4 ya se ha aplicado con éxito a varias configuraciones [11,12].

El resto del trabajo se organiza de la siguiente manera. En la siguiente sección, se presenta un marco general para regularizaciones del término convectivo no lineal. Entonces, se obtiene una familia de cuarto orden precisa regularización simetría de preservación. El único ingrediente adicional es un filtro lineal autoadjunto cuyo local de filtro de longitud se determina a partir del requisito propuesto en [12], es decir, el mecanismo de vórtice de estiramiento debe ser detenido en la escala de cuadrícula más pequeño. Esta cuestión se aborda en la Sección 3, donde se presenta un nuevo y más preciso criterio para limitar la contribución plazo vórtice se extiende en el espacio físico. Se basa en los invariantes del tensor de deformaciones locales y, desde un punto teórico de vista, se puede demostrar que el método es adecuado para ser aplicado a la pared flujos delimitadas. En la sección 4, el rendimiento del método propuesto se evalúa mediante la aplicación de un flujo turbulento en una cavidad diferencialmente climatizada y un chorro que incide avión. Finalmente, los resultados relevantes se resumen y se dan las conclusiones.

2. regularizaciones espectralmente-consistentes de ecuaciones NS

2.1. Simetrías y propiedades de conservación

Para mayor comodidad, se introduce primero la siguiente notación:

DDU; V ¼ du; DvÞ y CDU; v; WTH ¼ ðCðu; V; WTH; ð4Þ

donde el producto interno de funciones se define de la forma habitual:

Da; BTH ¼ RX una? bdx. El operador bilineal d (u, v) satisface las siguientes propiedades

DDU; V ¼ DDV; UTH y DDU; UTH <0; ð5Þ

mientras que la forma trilineal c (u, v, w) satisface de dos simetría fundamental propiedades

cðu; v;wÞ ¼ cðu;w; vÞ if r u ¼ 0; ð6Þ

cðu; v;DvÞ ¼ cðDv; v; uÞ in 2D;

siempre que la contribución de los límites desvanece. Estas propiedades se utilizan ampliamente para demostrar las propiedades de conservación de los invariantes no viscosos de las ecuaciones originales NS. A saber, la simetría de inclinación (6) asegura la conservación de la energía cinética, media (u, u), y helicidad, (u, x), donde x = r? u es la vorticidad. El enstrofía, (x, x), también forma un invariante no viscoso en el caso de los flujos de 2D. En realidad, la forma más fuerte de invariancia enstrofía dada por (7) también es válido para ecuaciones NS. Para más detalles se remite al lector a [6], por ejemplo.

2.2. Modelado de regularización CCC4

Regularización tiene como objetivo modificar el término convectivo de tal manera que unos dinámicamente menos complejos resultados formulación matemática. Supongamos que tenemos un auto adjunto ð filtro lineal Þ: u! ? u con los requisitos que filtra los componentes de alta frecuencia y se conmuta con los operadores diferenciales. En primer lugar, vamos a definir la siguiente función

uiðuÞ ¼

u; if i ¼ 0

u; if i ¼ 1

Entonces, una familia de (regularizados) operadores no lineales modificados se puede construir fácilmente

eCðu; V ¼

P 1

i; j; m¼0

ijmeC

ijmðu; V;

donde Ce ijmðu; V ¼ umðCðuiðuÞ; ujðvÞÞÞ. Por lo tanto, la regularización eCðu; VTH resulta en una combinación lineal de hasta ocho términos. Entre todas las posibles combinaciones nos encontramos con la regularización propuesto por LPeray [9], A100 = 1 (con el resto de aij = 0). En primer lugar, la igualdad 1i; j; m¼0aijm ¼ 1 deben cumplirse para garantizar eCðu; V? CDU; vÞþ OD? enésima con NP2. Entonces, varias restricciones se pueden aplicar a la aijm coeficientes. A saber, aijm ¼ aimj y aijm ¼ ajim:

Este último asegura que la propiedad hemi-simetría (6) se conserva exactamente mientras que el primero que se necesita para garantizar que la forma de la ecuación de transporte de vorticidad no se altera. Para esbozar la idea detrás, consideramos ~ CDU; v; WTH ¼ ðeCðu; V; WTH con eCðu; V dada por la ecuación. (9)

CDU; v; WTH ¼ P1 i; j; m¼0aijm ~ ci; j; MDU; v; WTH; ð11Þ

donde ~ ci; j; MDU; v; WTH ¼ cðuiðuÞ; ujðvÞ; umðwÞÞ. Entonces, reordenando los términos de la suma (11), ~ CDU; v; WTH ¼12P1i; j; m¼0aijm ~ ci; j; m þP1i; j; m¼0aimj ~

ci; m;! j du; v; wÞ¼10; leftÞ 12P1i; j; m¼0aijmð ~ ci; j; m þ ~ ci; m; jÞðu; v;? 12P1i wÞ¼ð6Þ; j; m¼0

aijmð ~ ci; m; j ~ ci; j; mÞðu; w; vÞ¼ ~ CDU;? w; V; ð12Þ

que demuestra que eCðu; V preserva la simetría de inclinación (6) si la ecuación. (10, izquierda) se cumple y el r? u = 0 (también r?? u = 0). Condiciones dadas por la ecuación. (10) imponer cuatro restricciones adicionales a los coeficientes aijm y conducir a una familia de modelos de regularización precisos de segundo orden. Entre ellos, encontramos a la aproximación de segundo orden propuesto

en [11],

C2ðu; V ¼ Ce

111ðu; UTH ¼ de CD u?; ? UTH: ð13Þ

Debe tenerse en cuenta que la siguiente restricción aijm ¼ amji; ð14Þ necesario para preservar la forma fuerte de la invariancia enstrofía dado por (7) de la siguiente manera automática a partir de (10), es decir aijm aimj = = = amji amij. Entonces, si queremos cancelar términos de segundo orden, tres condiciones adicionales deben ser impuesta:

P1J; m¼0a1jm ¼ 0; P1i; m¼0ai1m ¼ 0; P1i; j¼0aij1 ¼ 0: ð15Þ

Por último, nos limitamos a soluciones con a000 = 0. De esta forma, las funciones ~ f definidos en la ecuación. (25) satisfacer ~ f D0; 0; 0TH ¼ 0. Esto conduce a una familia de métodos de regularización precisos de cuarto orden

Du CCC4; V ¼ C04ðu; V þ ccE4ðu; V; ð16Þ whereC04ðu; VTH ¼12eC001 tHEC 010þeC100 du eC111?; V; ð17ÞE4ðu; V ¼ ðeC011 þeC101 þeC110Þðu; vÞ12 DEC

001 þeC010 þeC100 þ 3eC111Þðu; V: ð18ÞNote que C0

4DU; V ¼ CDU; ? V 4º DTO mientras E4ðu; V ¼? 4to OD. Aún más importante, Ccc

4 DU; V ¼ CDU; ? V þ þ DCC 1ÞOð 4º þ OD 6º:

Por lo tanto, Ccc 4 es de cuarto orden precisa a excepción de cc = 1 que se convierte en el sexto orden. En realidad para cc = 1 y ¼ cc 1?; Ccc 4 se convierte en las aproximaciones C4 y C6 propuestos en [11], C4ðu; V ¼ Ccc¼1 4 DU; ? V ¼ de CD u; ? V þ CD u?; v0Þ þ Cðu0; ? V; ð20Þ C6ðu; V ¼ Ccc¼ 1 4 Du?; ? V ¼ de CD u; ? V þ CD u?; v0Þ þ Cðu0; ? Cðu0 V þ; v0Þ; ð21Þ respectivamente. Observe que el Ccc 4 regularización también puede verse como una combinación lineal de C4 y C6 Ccc 4 DU; V ¼ 1 2 ððC4 þ þ C6Þ ccðC4? C6ÞÞðu; V: ð22Þ las aproximaciones Ccc 4 a mantener todos los invariantes no viscosos de las ecuaciones de NS. Por otra parte, para cualquier? > 0; existencia, unicidad y la suavidad de soluciones regularizados pueden ser probadas. También, para ?? 0, u? converge a una solución débil NS [13]. En este punto, hay dos parámetros que necesitan ser fijo; a saber, el cc constante y la longitud del filtro local?. El primero será determinar la forma exacta del modelo de regularización mientras que el segundo será definir el nuicleo de circonvolución del filtro lineal. Al establecer cc = 1, Ccc 4 se convierte en el C4 regularización precisa de cuarto orden originalmente propuesto en [11]. Explorar otras formas de regularización está fuera del alcance de este documento y,

por lo tanto, para el resto del documento cc = 1 y las propuestas de los resultados del modelo de regularización en la ecuación.

3. Restricción de la producción de las pequeñas escalas de movimiento

3.1. interacciones Interscale

Para el estudio de las interacciones interscale con más detalle, seguimos en el espacio espectral. La representación espectral de la k-ésimo modo de Fourier del término convectivo en las ecuaciones NS está dada por

CDU; uÞk ¼ iPðkÞP pþq¼k ^ UPQ ^ uq; ð23Þ

donde P (k) = I? k kT / jkj2 denota el proyector en campos de velocidad-divergencia libre en el espacio espectral. Tomando la transformada de Fourier se obtiene la evolución de cada modo de Fourier ^ ukðtÞ de u (t) para el eCðu?; UTH approximation.1

ddt þ1Re jkj2 ^ uk þ iPðkÞPpþq¼k fðbGk ~;? BGP; bGqÞ ^ UPQ ^ vq ¼ Fk; donde bG k denota el orden k Fourier-modo del núcleo del filtro de convolución, es decir, ^ uk ¼ bgk ^ uk. El modo de ^ uk interactúa sólo con aquellos cuyos modos de vectores de onda p y q formar un triángulo con el vector k. Por lo tanto, en comparación con (23), cada interacción triádica se multiplica por ~ fðbGk; BGP; bGqÞ ¼P1i; j; m¼0aijm ~ FIJM bgk; BGP; BGQ; ð25Þwhere ~ f ijmðbGk; BGP; bGqÞ ¼ UiðbGpÞUjðbGqÞUmðbGkÞ andUlðxÞ ¼1; si ¼ 0; x; si l = 1: ð26Þ

En el caso de la aproximación C4 dada por (3) la función de amortiguación resultados ~ f f4 bG

k; pb; bq? ? bGkbp þ þ bGkbGq bGpbGq? 2bGkbGpbGq; ð27Þ donde 0 <f4 6 1. Además, dado que para un filtro de convolución genérico simétrica (ver [14], por ejemplo), bG

k = 1? a2jkj2 þOða4Þ con a2 =? 2/24, la función f4 se puede aproximar por f4? 1? a4 (jkj2jpj2 + jkj2jqj2 + jpj2jqj2). Por lo tanto, las interacciones entre las grandes escalas de movimiento (? Jkj <1) aproximar la dinámica NS hasta OD? 4to. Por lo tanto, las interacciones triádicas entre grandes escalas solamente se alteran levemente mientras que las interacciones que implican vectores de onda más largas (las escalas más pequeñas de movimiento) son reducidos (ver [11], para más detalles).

3.2. Detener el mecanismo de vórtice de estiramiento

Tomando el rizo de la ecuación. (3) conduce atx þ C4ðu; X ¼ C4ðx; UTH þ Dx: ð28Þ Esta ecuación se parece a la ecuación de vorticidad que resulta de las ecuaciones NS: la única diferencia es que C se sustituye por su C4 regularización. Si sucede que el término vórtice-estiramiento C4ðx; UTH en la ecuación. (28) es tan fuerte que el término disipativo Dx no puede impedir la intensificación de la vorticidad, se producen estructuras de torbellino pequeños. Izquierda-multiplicando la ecuación de transporte de vorticidad. (28) por x, se puede obtener la evolución de jxj2. De esta manera, las contribuciones plazo vórtice-estiramiento y de disipación a @ tjxj2 resultado x? C4ðx; UTH yx? Dx; ð29Þ respectivamente. Con el fin de prevenir una intensificación local de la vorticidad, la disipación debe dominar la contribución plazo vórtice que estira en la más pequeña escala de la cuadrícula, h. En el espacio espectral, este requisito conduce a la siguiente desigualdad.

2 ^ XKC? C4ðx; UTH kc þ C4ðx?; uÞkc? ^ x ^ kc XKC? ^ x kc61Rek2c?; ð30Þ

donde kc = p / h, y el término vórtice-estiramiento, C4ðx; uÞkc, se da byC4ðx; uÞkc ¼

Ppþq¼kcf4 bGkc; BGP; BGQ ^ XPIQ ^ uq: ð31ÞNote que f4 bGkc; BGP; BGQ depende de la longitud del filtro? y, en general, en la onda vectores p y q = kc? p. Esto hace muy difícil de controlar el efecto de amortiguación debido a f4 no puede ser sacado de la suma en (31). Para evitar esto, los filtros deben ser construidos a partir de la exigencia de que el efecto de amortiguación de todas las interacciones triádicas en la escala más pequeña debe bevirtually independiente de los pares que interactúan, ief4ðbGkc; BGP; bGqÞ? f4ðbG kc Þ: ð32Þ

Esta es una propiedad crucial para controlar el equilibrio sutil entre la convección y difusión con el fin de detener el mecanismo de vórtice-estiramiento.

Este punto fue tratado en detalle en [15]. El efecto de amortiguamiento global en la escala de la cuadrícula más pequeña, H4ðbGkc Þ, se da byH4ðbGkcÞ ¼ð2 = ReÞk2c ^ XKC? ^ x ^ kc XKC? CDX; UTH? kc þ CDX; uÞkc? ^ x kc?; ð33Þ

con la condición de que 0 <H4ðbG kc Þ 6 1. A continuación, en el caso de regularización C4

f4ðbGkc Þ sigue sin rodeos, f4ðbG kcÞ ¼ H4ðbG kc Þ; ð34Þ

a condición de que la Ec. (32) se cumple.

3.3. De espectral con el espacio físico

En el apartado anterior hemos aplicado nuestro análisis en un espacio espectral. Sin embargo, el método necesita ser aplicada en un dominio física en R3. A tal efecto, aquí se propone expresar el efecto de amortiguación en general, H4ðbG kc Þ, en función de los invariantes del tensor de deformaciones locales, S (u) = 1/2 (ru + RUT). Recordando que el campo de velocidad, u, es solenoidal (r u = 0?); tr (S) = 0 y la ecuación característica de S lee

k3 þ þ Qk R ¼ 0; ð35Þ donde R =? 1 / 3TR (S3) =? det (S) =? k1k2k3 y Q ¼? 1 = ¼ 2trðS2Þ

? 1 = 2 k21þ k22þ k23

? ? son los invariantes de S, respectivamente. Ordenamos los valores propios de S por k1 k2 6 6 k3. Consideremos ahora una parte arbitraria del dominio de flujo X con condiciones de frontera periódicas. El innerproduct se define de la forma habitual: Da; BTH ¼ R X una? bdx. Entonces,

teniendo el producto internode L2 (1) con? Du conduce a la ecuación enstrofía

12ddt jxj2 ¼ DX; CDX; uÞÞ 1Re DRX;? rxÞ; ð36Þ

donde jxj2 = (x, x) y el ðCðu contribución término convectivo; X; X = 0 se desvanece debido a la inclinación simetría (6) del operador convectiva. Con los resultados obtenidos por [16] y siguiendo los mismos argumentos que en [17], se puede demostrar que el

término vórtice de estiramiento puede ser expresada en términos de la OFS R invariantes (u) DX; CDX; uÞÞ ¼ZXx? Sx ¼ 43ZXtrðS3ÞdX ¼ 4ZXRdX?; ? ð37Þ y la L2 (X)-norma de x en términos de la jxj2 Q invariante ¼ 4ZXQ dX: ð38Þ Entonces, el término difusivo pueden ser limitados por DRX; rxÞ ¼ DX; DxÞ 6 kDðx; X;??

donde kD <0 es el más grande (el más pequeño en valor absoluto) no cero valor propio del operador D Laplaciano en X. Si ahora tenemos en cuenta que el dominio X es un cuadro periódico de volumen h, luego kD =? (p / h) 2. En una simulación numérica h estaría relacionado con el tamaño local de cuadrícula. Entonces, para evitar una intensificación local de la vorticidad, es decir jxjt 6 0, la desigualdad siguiente debe mantener H4ðbG kc Þ DX; SxÞ DX; X 6? k Re; ð40Þ

donde, en este caso, kc = P / h. Esta desigualdad es el análogo a la ecuación. (33) 1 En lo sucesivo, para simplificar, el subíndice de correo se deja caer. en el espacio físico. Estados principales de Rayleigh que max x-0DX; K3 xÞ¼; SxÞðx; ð41Þ y por lo tanto da un límite inferior para la función de amortiguación, H4ðbG kc Þ 6 Re? 1D? kD = k3Þ. Este fue el enfoque considerado en nuestro trabajo anterior [12]. Sin embargo, el valor máximo se alcanza sólo si x está alineado con el vector propio correspondiente a k3, y por lo tanto los términos convectivos tienden a ser sobre-amortiguado. Esto se hace especialmente relevante cerca de las paredes. Para superar este inconveniente aquí proponemos volver a escribir la desigualdad (40) en términos de lainvariantes Q y R.

De las ecuaciones. (37) - (40) deducimos H4ðbG kc Þ 6 kD Re Q RTH; ð42Þ donde R + = max {R, 0} y el factor de amortiguamiento global 0 <H4 6 1. Por lo tanto, una definición adecuada del factor de amortiguamiento global en la escala de la cuadrícula más pequeña está dada por H4ðbG kcÞ ¼ min kD Re Q RTH; 1

Observe que el invariante Q es siempre negativa, kD <0 y R puede ser positivo o negativo. En términos del número de Reynolds, el cociente de R y Q escalas como R / Q / (RE3 / 2) / Re = Re1 / 2. Luego, recordando que kD / h? 2, se cede a H4ðbG

kcÞ / h? 2RE? 1T = R / h? 2RE? 3 = 2. Por lo tanto, obtenemos H4ðbG kcÞ! 1 si h / Re? 3.4. Esto muestra que el modelo se apaga cuando h se acerca a la escala más pequeña en un flujo turbulento. Otra característica interesante del modelo es que se apaga automáticamente (R? 0) para flujos laminares (sin vortexstretching) y fluye 2D (k2 = 0? R = 0). El comportamiento cerca de la pared de los invariantes está dada por R / y3 y Q / y0, respectivamente, donde Y es la distancia a la pared. En consecuencia, resulta en un modelo que se apaga cerca de la pared. Para mayor comodidad, ahora vamos a definir la relación entre el K2 y K3,

g = K2 / K3. Tenga en cuenta que k1 6 0 y k3P0, mientras que el valor propio medio, k2, puede ser positivo o negativo. En realidad, los signos de los invariantes R =? K1k2k3, k2 y g son los mismos. Luego, recordando que el tensor de deformación es traceless (tr (S) = 0), es decir, k1 + k2 + k3 = 0, el primer valor propio también se puede escribir en términos de K3 y g:? K1 = (1 + g) k3 . Entonces, la proporción Q / R se traduce en (? Q / R)? 1 = kQR = (1 + g) g / k3 (g + 1 + g2). Aquí, kQR puede ser visto como la tasa de amplificación de la vorticidad en la escala de cuadrícula más pequeña. Entonces, suponiendo que jgj? 1, kQR? GK3 = k2 y por lo tanto es consistente con la alineación de vorticidad preferencial con el vector propio intermedio (ver el trabajo por [18] y las referencias en él). En lo sucesivo, este enfoque se conoce como QR-método mientras que el enfoque anterior en

la ecuación. (41) se utilizó para limitar la amortiguación en general, H4ðbG kc Th, se hará referencia como k3-método.

4. QR-método frente k3-método

4.1. experimentos numéricos

Para analizar el rendimiento del método QR respecto al k3-método, se consideran dos modelos de problemas. En primer lugar, se utiliza un flujo turbulento flotabilidad impulsada en un (Pr = m / a = 0,71) cavidad llena de aire diferencialmente calentada (DHC) (véase la Fig. 2, izquierda).

 La cavidad se somete a una diferencia de temperatura, DT = TH? TC, a través de las paredes isotérmicas verticales, mientras que las paredes superior e inferior horizontales son adiabático. Condiciones de contorno periódicas se imponen en la dirección envergadura. Por último, la condición límite no deslizante se aplica al campo de velocidades en las cuatro paredes que encierran. Fig. 2, muestra el derecho de los campos de temperatura instantáneos correspondientes a dos simulaciones DNS diferentes en los números de Rayleigh (basado en la altura de la cavidad, Lz) Ra = 1,010 y 3? 1011, respectivamente. La relación de aspecto de altura se fija a Lz / Ly = 4. La configuración anterior se utilizó para probar el rendimiento de C4 en [12] por medio de la comparación directa con los resultados presentados en DNS [19,20]. Esta última es una nueva simulación DNS realizado en el superordenador MareNostrum con 256 CPUs. El dominio computacional se cubre con una malla cartesiana escalonada con 111 millones de puntos de rejilla (128? 680? 1275). Los detalles sobre los algoritmos numéricos se pueden encontrar en [19]. En este caso la relación de aspecto profundidad es Lx / Ly = 0,25. Desde el trabajo pionero de Vahl Davis [21], donde se estableció la formulación de referencia original, esta configuración ha sido ampliamente estudiado tanto numérica y experimentalmente (véase [19] y las referencias en él, por ejemplo). Por otra parte, una predicción precisa de la estructura de flujo y la transferencia de calor en una configuración de este tipo es de gran interés ya pesar del esfuerzo dedicado (ver por ejemplo [2225]) para un modelado de la turbulencia exacta de esta configuración, sigue siendo un gran desafío. Esto es principalmente debido a la compleja exhiben comportamiento: las capas límite laminar permanecen en su parte de aguas arriba hasta el punto en que las ondas que viajan aguas abajo crecer lo suficiente como para perturbar la capa límite de eyección de los grandes remolinos inestables al núcleo cavidad. Top y las regiones inferiores son casi isotérmica debido al efecto de mezcla de estos remolinos. El núcleo estratificado cavidad casi inmóvil es otra característica importante de estas configuraciones. Su tamaño depende básicamente de la ubicación del punto de transición. Sin embargo, la alta sensibilidad de la capa límite térmica a las perturbaciones externas hace que sea muy difícil de predecir. Por lo tanto, las áreas con regímenes completamente diferente coexisten y la interacción y por lo tanto, modelos de turbulencia debería ser capaz de capturar bien todas estas características.

Figs. 3 y 4 de comparar ambos métodos para dos instantáneas instantáneas ilustrativos.

En ambos casos, la insuficiencia de k3-método se puede observar claramente. En primer lugar, el comportamiento cerca de la pared no está bien capturado mientras que el método QR se apaga automáticamente. En segundo lugar, la parte aguas arriba de la capa límite es laminar hasta el punto donde se produce la transición y grandes vórtices cuasi-2D son expulsados. Sólo el método QR exhiben la capacidad de capturar regiones bien laminares y 2D. Por último, como se esperaba, en las áreas de turbulencia el método k3 predice valores significativamente más altos que el método QR. Por otra parte, sólo el método QR puede apagará automáticamente en aquellas regiones donde la energía se transfiere de nuevo a grandes escalas (valores negativos de R). Este fenómeno se aprecia con claridad en el modelo de punto de la I + / relación de Q que se muestra en la Fig. 4 para el mayor número de Rayleigh. Para evaluar el impacto en los resultados, el método de regularización C4 ha sido probado en Ra = 1,011 utilizando tanto el método k3 y el método QR. Esta configuración ya se probó en [12] usando el método k3. Resultados de la capa límite vertical, se muestran de nuevo en la Fig. 5 junto con los nuevos resultados obtenidos utilizando el método QR. El procedimiento numérico para ambos métodos es exactamente el mismo y que sólo difieren en el criterio para calcular H4ðbGkc Þ. Para obtener detalles sobre esta prueba de los casos se remite al lector a [12]. Tanto el promedio de la temperatura, T h i, y la velocidad vertical, hu3i, concuerdan bien con la solución de referencia DNS, mientras que la capa límite vertical es demasiado grueso cuando el modelo se apaga a pesar de la malla es significativamente más fino. En cuanto a la comparación entre ambos métodos, no hay casi ningún efecto sobre el campo de flujo promedio. Por el contrario, el nuevo criterio de mejora claramente los resultados para la energía cinética turbulenta, hki ¼ hu0iu0 ii. Esto indica que el método k3 es el exceso de filtrado mientras que el método QR capta mejor el equilibrio entre la disipación física y el término vórtice-estiramiento.

El segundo caso de prueba corresponde a un plano turbulento que incide chorro a Reynolds número 20000 (basado en la velocidad de flujo de entrada, Vin, y la anchura de la boquilla, B) y relación de aspecto 4 (distancia de la superficie-a-boquilla de pinzamiento / anchura de la boquilla). Las condiciones de contorno flujo de salida se han colocado en x / B = ± 50 (ver Fig. 6). Este caso de prueba se ha estudiado tanto numérica y experimentalmente (ver [26] y las referencias en él). Sin embargo, la disponibilidad de los resultados de referencia DNS es bastante escasa y restringida sólo para números de Reynolds bajos [27].

Esta nueva simulación DNS [26] se ha llevado a cabo utilizando las CPU 300 en un 104 millones de puntos de rejilla escalonada malla cartesiana (168? 1680? 368). Algoritmos numéricos son exactamente los mismos que para la configuración de DHC. En cuanto a las condiciones de contorno, se impone un perfil plano constante tanto para la velocidad y la temperatura en la entrada, mientras que las condiciones de contorno convectivas se utilizan para modelar el flujo de salida. Condiciones de contorno periódicas se imponen en la dirección envergadura. No-slip condición límite se aplica al campo de velocidad en las paredes sólidas. Para la temperatura, la pared de choque es isotérmica mientras que la pared superior es adiabático. Resultados de DNS Timeaveraged (ver Fig. 6) han revelado que el flujo principal de recirculación no puede ser capturado bien a menos que el flujo de salida se coloca por lo menos en 40B de la línea central de chorro aproximadamente. Con

respecto a este punto, hay que señalar que la mayoría de la numérica anterior [28] y los estudios experimentales [29,30] coloca la salida en x / B = ± 10 a 15, y por lo tanto no se puede captar adecuadamente el flujo de recirculación, uno de las principales características de esta configuración. Esto sugiere que los datos experimentales anteriores pueden no ser adecuados para estudiar la configuración de flujo lejos del chorro. Para más detalles acerca de esta simulación se remite al lector a [26]. Comparación entre QR-método y k3-método se muestra en la Fig. 7. A este respecto, la mayoría de los comentarios antes mencionados para el problema DHC también son válidas aquí. En este caso particular, las condiciones de entrada son completamente laminar con un gradiente de velocidad nítida en los bordes del chorro. Este flujo de tensiones es la fuente primaria de la turbulencia en la región inicial chorro. Ambos métodos pueden capturar bien estos fenómenos; sin embargo, el método k3 muestra valores significativamente más altos. También es notable los altos valores de k3 observados alrededor del punto de estancamiento donde el flujo es todavía laminar. También es importante la incapacidad del método k3 para apagar cerca de la pared donde se muestran valores muy altos.

4.2. Explorando nuevas fronteras?

La regularización C4 ya ha sido probado con éxito para varias configuraciones. En las pruebas iniciales [11], el rendimiento de las aproximaciones C4 se ensayó para determinar un flujo turbulento canal manteniendo la relación e? / H (longitud de filtro a la anchura de rejilla) constante. Por tanto, sólo este parámetro tuvo que ser prescrita por adelantado.

Para evitar esto, en [12] un enfoque parámetro libre se propuso: la longitud filtro local se determinó a partir del criterio de que se debe detener vórtice de estiramiento en la escala de la cuadrícula más pequeña. Para ello, la desigualdad dada por las ecuaciones. (40) y (41) se utilizó. En ese trabajo, una cavidad diferencialmente climatizada con relación altura aspecto 4 y Ra = 1010 se analizó en detalle. La comparación con los resultados de referencia DNS mostró mejoras significativas en la captura de la pauta general del flujo incluso para mallas muy gruesas. Sin embargo, aquí se ha demostrado que el criterio dado por la ecuación. (41) es demasiado restrictiva. A pesar de este hecho, la calidad de los resultados no se vio afectada significativamente. Este fenómeno ya se observó para un flujo turbulento canal [11] y una cavidad diferencialmente calentada [12], por ejemplo, aumento de la proporción? / h no afectó significativamente las soluciones. Para aquellas configuraciones de los números de Reynolds (o Rayleigh) fueron moderadamente alta. Sin embargo, para más y más alto números de Reynolds (o Rayleigh) de tal manera sobre-filtrando efecto puede eventualmente resultar en problemas numéricos. Por ejemplo, el método se basa en el hecho de que los filtros discretos se construyen a partir del criterio de que la ecuación. (32) es prácticamente satisfecho [15]. Para valores moderadamente bajas de f4, esto se puede lograr fácilmente, pero para valores de f4 muy cercanos a cero Eq. (32) no se puede garantizar más. En este contexto, el método QR que aquí se propone constituye un criterio más fiable para garantizar la condición dada por la ecuación. (40) y abre la posibilidad de aplicar C4 en números mucho más altos Reynolds (Rayleigh).

5. Conclusiones y futuras investigaciones

Los incompresibles ecuaciones de Navier-Stokes describen con precisión la dinámica de los flujos turbulentos. Sin embargo, las simulaciones directas no son viables para aplicaciones del mundo real debido a las pequeñas escamas casi innumerables producidos por el término convectivo no lineal. Alternativamente, regularizaciones de la no linealidad conducen a dinámicamente menos complejo formulaciones matemáticas y por lo tanto son más susceptibles de ser resuelto numéricamente. Aquí, una familia de aproximación suave OD? 4ta exacta dada por la ecuación. (16) viene de el criterio de que las simetrías y propiedades de conservación del operador convectivo original debe conservarse exactamente. En el presente trabajo, el parámetro cc de la ecuación. (16) se fija a CC = 1. Si lo hace, la CCC 4 se convierte en el C4 regularización precisa cuarto orden originalmente propuesto en [11].

La regularización hace uso de un filtro lineal autoadjunto. La longitud del filtro se determina de forma dinámica a partir de la exigencia de que vórtice de estiramiento debe ser detenido en la escala establecida por la red. Esto puede ser fácilmente satisfecho en el espacio espectral a través de la ecuación. (33), siempre que satisfaga filtros discretos Ec. (32), es decir, las interacciones triádicas en la escala más pequeña son prácticamente independientes de los pares que interactúan. Esto se trata en detalle por [15]. Sin embargo, en el espacio físico se hace más engorroso. Para evitar esto, aquí un criterio novela basada en los dos invariantes, R y Q, del tensor de deformaciones locales se ha propuesto. Si lo hace, el comportamiento esperado de un modelo de turbulencia se consigue: se apaga (es decir, H4 = 1) para flujos laminares (sin vórtice de estiramiento), fluye 2D (R = 0) y cerca de las paredes. La capacidad de capturar bien todas estas características de flujo ha sido probado con éxito mediante la aplicación de dos de ensayo problemas turbulentos. En contraste, la insuficiencia del método k3 anterior se ha observado claramente para ambos casos, forzada y convección natural. Por lo tanto, los métodos propuestos constituye un modelo de turbulencia-parámetro libre adecuado para geometrías y flujos complejos.

5.1. Investigación futura

El método C4-regularización ya se ha aplicado con éxito a varias configuraciones [11,12]. Sin embargo, se han observado dos inconvenientes principales: (i) debido a la conservación de la energía, la solución del modelo tiende a mostrar una joroba adicional en la cola del espectro [11,15] y (ii) para muy gruesa engrana el factor de amortiguamiento, 0 <f4ðbGkc Þ 6 1, con el tiempo puede tomar valores muy pequeños. Por lo tanto, el enfoque actual podría mejorarse mediante la adición de un poco de disipación adicional. Esto puede ser un modelo de tipo viscosidad de remolino, por ejemplo. Otra posibilidad sería alterar la difusión en el mismo sentido que la convección: sustituir D por el siguiente aproximación exacta 4º OD?

D4u ¼ Du þ cdðDu0Þ0; ð44Þ

con cd> 0. Esta modificación del operador difusiva conserva la propiedad de simetría dada por la ecuación. (5). Por otra parte, la disipación se incrementa de manera efectiva en la cola del espectro. En la escala de la cuadrícula más pequeña, kc, un efecto potenciador, h4ðbG kcÞ ¼ 1 þ cdð1? f4ðbGkc thth, se introduce.

Luego, tomando cd ¼ 1 = f4ðbGkc Þ; h4ðbGkcÞ ¼ 1 = f4ðbGkc Þ y el amortiguamiento global se convierte H4ðbG kcÞ ¼ f4ðbG kc Þ = h4ðbG kcÞ ¼ ðf4ðbG kc ÞÞ2. De esta

manera, los dos problemas mencionados anteriormente de método C4 se mitigan cuando se aplica el enfoque de regularización fCDg4 aquí propuesto

Por otro lado, en el presente documento, el parámetro de la ecuación cc. (16) se fija a CC = 1. Sin embargo, cc puede tomar valores diferentes que la unidad. Esto abre la posibilidad de explorar nuevas formas de fCDgcc; CD4 - regularización. En tal caso, f cc 4 ðbGkcÞ ¼ 1 = 2D1 þ þ ccÞf4ðbGkcÞ 1 = 2D1? CCTH, y por lo tanto la ecuación. (33) sería sustituida por la fórmula más general ¼ðcc f4ðbGkcÞ? 1TH þ þ 2D1 cdÞH4ðbGkc Þð1 þ þ CCTH 2cdH4ðbGkc Þ: ð45Þ

Por lo tanto, el aumento de los valores de cc> 1 conduce a valores más altos de f4. En realidad, el límite inferior para f4j H4ðbGkc Þ¼0 ¼ DCC? 1 Tes = ð1 þ CCTH> 0 se rige por cc. Entonces, el valor de P0 cd determinará la forma exacta de la función, por ejemplo, f4jH4ðbGkc Þ¼1 = 2 ¼ DCD þ CCTH = ð1 þ þ CCTH cd P 1 = 2. El análisis de estos fCDgcc; cd 4 modelos de regularización es parte de nuestros planes futuros de investigación.