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  • 7/26/2019 Sucesiones Cato

    1/88

    UNCVERSID D C TOLlC E CHILE

    INSTITUTO E

    M TEM TIC S

    SU ESIONES

    EN EL

    UERPO

    R

    lng MARIO R UL

    ZOC R

    969

  • 7/26/2019 Sucesiones Cato

    2/88

    UNIVERSID D

    C TOLIC

    DE

    CHILE

    F CULT D DE CIENCI S FISIC S Y M TEM TIC S

    SU ESIONES

    N

    L

    UERPO R

    lng M RIO R UL AZOCAR

    1969

  • 7/26/2019 Sucesiones Cato

    3/88

    DUCPSlONF S

    Desde los es tudios

    de

    h u r n a n i d n ~ e s

    n ..lr:str;s

    alumnos es tn famil iar izados

    con

    e l conjunto de

    los

    nmeros r ea le s

    de

    t a l

    modo

    que

    conocen

    y

    manejan con seguridad

    1 lS

    opr.:racjones

    f u n d a m e n t a l 1 ~ s cntr-c e l l o ~ :

    Por ~ S t d r a ~ 6 n e l

    pr rafo

    presente

    f recuente.

    a

    A::.ac:J 11i tS

    de

    adicion.

    Fn

    e l conjunto nt

    se

    def ine una

    ope

    racin l lamada suma, que a::iocia

    .J

    cada par o:cdei;ado de nmeros

    rea les : a y b un

    nmero rea l

    a

    +

    b, de

    t a l

    modo que se cumplen

    los axiomas

    s i g u i e n t e ~ :

    A l Para todo a e

    P.

    y b e R SP t iene :

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    2.

    a

    b

    b + a

    (commutat iv idad) .

    ~ 1 . 2 Para '::odc :3. t ?

    IR,

    b e 1R y e e lR, se t i ene :

    .::.. e) e a {b e;

    asoc ia t iv i . dad) .

    ~ Exis te

    en

    D

    un nGrnero:

    O, t a l

    que:

    f

    a e

    JP

    A )

    Para

    cada a e JR ex i s t e un

    e lemento

    (-a) e IR,

    r :al

    c ; ~ :

    a . _ -al O.

    De

    acuerdo

    a l a t e r m i n o l o g ~ a ige

    o ra i ca conviene obsE:rvar que l a pa re j a { JR, '-}

    cc:.nst.i.-cuye u t

    grupo

    abe l iano .

    b)

    Axiomas de Mult ip l i cac in .

    En

    e l conJunto IR SEo

    de f

    ;.ne ina

    O e -

    rac i6n

    l lamada producto ,

    que

    asoc ia

    a

    cada pareja .

    ordenac .e.

    de

    nmeros

    r e a i e s : a y b un

    nmero r e a l

    ab, de t a l medo q ~ e

    se

    ve-

    r i f i c an

    l a s

    axiomas

    s i gu i en t e s :

    Ml)

    Para

    todo

    a e lR y b IR se

    t i e ne :

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    3.

    a b

    b a

    c0r:unutat ividad).

    N2)

    Para

    todo

    2 e JR, b e IR y c e IR, se t i e n e :

    asoc i a t i v i dad ) .

    : l3)

    Exis te en R un elemento: l O,

    t a l

    que:

    a l = a

    e

    m

    ; 14) ara

    cada

    a e JP y a

    f O

    ex i s t e

    un elemento

    a

    l

    e rn,

    t a l que:

    -1

    a a

    l.

    Observamos a l

    l e c t o r

    que e l

    conJunto

    t i t uye

    un

    grupo abe l iano .

    c)

    Axioma de Dis t r ibuc in .

    Dl) Para todo a e lR, b e JR y e e JR,

    se

    t i e n e :

    a

    +

    b)

    c

    =

    a c

    +

    b ,

    e

    Este

    axioma que v incu la l a s operacio--

    nes de ad ic in y mul t ip l i cac in , jun to

    con

    l a s axiomas prece-

    cientes

    nos

    ga r an t i z a

    que

    l a t e rna IR,

    +,

    e s

    un campo

    a laP

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    4.

    bra ico .

    En e l conjunto

    IR,

    para

    cada

    par de

    Jtc

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    5 .

    s in d ~ f i c u l t d los teoremas usuales sobre des igualdades . De-

    f:imida l a re lac in < ) menor que

    se puede

    in t roduc i r

    s in

    d i f i c u l t a d l a s re lac iones

    > )

    mayor que ; _ ) menor o

    igua l que

    y

    _ ) mayor o igua l que ,

    en

    e fec to bas ta tomar

    la def in ic in s igu ien te :

    DEF 1

    a

    >

    b

    s i g n i f i c a

    b

    . L : ; l ; 1 J . J . . L ~ C I . \ U a

    /

    D

    a

    >

    b

    s i g n i f i c a (no a

    a

    V X e S

    E l

    nmero

    a se llamo.

    co ta i n f e r i o r

    de l

    conjunto

    s.

    El

    conjunto

    IR de

    los

    r e a l e s

    pos i -

    in

    e r

    ormen e ,

    ya que

    a

    mite

    como

    co ta

    i n f e

    r i o r

    a l

    cero y

    tambin

    a

    cua lqu ie r nmero

    nega t ivo .

    DEF

    4

    Un

    conjunto S

    de

    nmeros r e a l e s

    se

    dice aco t ado , s i

    es acotado

    super io r

    e

    i n fe r io rmente .

    Como e jemplos de

    conjuntos

    acotados

    podernos

    mencionar los

    i n t e rva los :

    (a

    b

    =

    {

    X

    a

    M

    o

    Tomando e

    =

    M Mn,

    r e s u l t a

    M ..

    M e con E > O y

    e n ~ o n e s

    l a cond ic in 2) se expresa

    por :

    3)

    E

    > O

    _:j 5

    t a l que

    X > M E

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    10.

    Asi s i

    M es

    supremo de

    s se

    v e r i f i can

    l a s

    dos condiciones in -

    dicadas en e l t e o r e m ~

    Reciprocamente

    sea

    M

    un nmero

    que

    ~ r 1 . : ~ i . > . : : l a s re l ac iones :

    :i.) X < M

    V

    X e

    S

    2

    r

    E: >

    o

    3:

    X

    E S

    t a l

    que

    X

    >

    M E

    Daremos

    a l a

    condicin 2

    la fo:r::P

    cor r ien te que t i ene

    en

    l a

    de f in ic in

    de

    supremo.

    En e fec to

    tomando M

    o

    M -

    E, se t i ene

    M

    0

    < M

    y

    entonces (2) se

    r e ~ t c e ~

    M

    o

    ~ a s

    in te rva los ab ie r to

    y

    cer rado

    que

    se

    indican:

    (a,b) { X

    a < X < b }

    [a ,b]

    X

    a

    m

    V S

    t a l que X

    m

    o

    11.

    f>::mdremos: m

    Para

    i nd i c a r

    que m es nf imo del con-

    in f s

    La de f in i c i6n

    precedente expresa

    que

    un nmero m

    es

    nfirn;

    de

    un

    conjun to

    S

    de

    nmeros

    r e a l e s ,

    s i y

    s o

    s i :

    lJ m e s co ta

    i n f e r i o r de S .

    2 m es l a mayor co ta i n : e r i o r de s.

    De

    aqu en tonces

    que

    s i un conjunto de nmeros

    r e a l e s t i e ne fr,-

    f imo, s te

    debe

    s e r nico .

    Tal como

    oc u r r i6

    con l a

    idea

    de su-

    premo, l a

    noci6n

    de

    nf imo

    puede

    expresa r se tambin

    en l a forma

    s igu i e n t e :

    TEOHEM

    Un nmero r e a l

    m

    es

    nf imo

    de un

    conjun

    to

    S de nmeros r e a l e s

    s i

    y s6 lo s i :

    1

    X

    >

    m

    2

    i E

    >

    o

    v

    x

    e s

    :

    X

    e

    S

    t a l que

    X m E

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    12.

    Dm.

    An Loga a l de l teorema 2. Se de ja a l l ec to r .

    Los

    i n t e rva lo s semi-ab ie r tos

    que

    se

    (a,bJ

    X

    a < X

    X B

    Uc : J.o a

    l a

    hiptes. i s 2

    e l

    conjunto A

    no

    es

    vaco

    ; _ ; , ~ a

    entoncc> s

    sup A ' .

    n ~ s e r w e l

    supremo de

    A, tenemos:

    4 a < w

    y como todo b e B e s co ta s u p e r i o r

    de

    A r e s u l t a

    5) w b

    VbIl.

    Ahora

    si

    X

    >

    w, af irmamos que X B,

    ues

    s su

    onernos

    x

    e

    A l a ex

    r e s i n

    4 o b l i a ue x w

    e xpre s in

    que

    c o n t r a d i c e l a h i p t e s i s x

    >

    w.

    Anlogamente si

    x w, afirmarnos que

    x E A, pues s i suponemos x e B, l a e x p r e s i n 5)

    ob l i ga

    que

    X W.

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    17/88

    Observacin

    En

    e l teorema ante r ior e s t ~ implfc i-

    ta ~ ~ j n

    de

    cotadura

    de

    Dedekind,

    que

    t radic ionalmente h ~

    u :

    del

    c o n ~ u n t o Q

    de los

    r ~ c i o n a l e s

    Pero e l tecrern a 1rrae

    mucho

    ms.

    En

    e f ec t o se ~ b ~

    q ~ e

    una

    catadura en e l

    campo da

    l

    os rac ionales

    def ine

    n ~ r n e r o

    re&l; e l

    teorema

    de De deklnd

    scg,_ra que

    una

    cc ::::.dura e e l

    c 11.po de los

    r e a l a .s

    tf1 0 _r. de

    f

    l i E

    1J;1

    rF.-ai :. e l l o :Lc,dud3b.'.:.:=;':,e

    n.te

    establece

    una

    no': ::::. > d t

    -

    rencia

    en t re e l conjunto ds : =s

    rac ionales

    y

    e l

    conjunto

    de

    los

    rea les .

    DEF 7

    Se l lama vecindad o entorfio de

    un n-

    mero rea l

    t c d o in te rva lo

    de

    la

    forma (a

    - h, a

    +

    k

    e ~ ~

    y

    I posi t i ros.

    DEF 8

    Se

    dice

    que

    un nmero a es p ~ n t ~

    de

    acurnulaci6n

    de un conjunto s s

    en toda

    vecindad

    de a e x ~ s ~ s ~

    i n f in i tos

    nmeros

    del conjunto s.

    Un

    punto

    de acumulaci6n de un cot1Jun-

    to no es necesariamente

    un

    elemento del conjunto; as en e l

  • 7/26/2019 Sucesiones Cato

    18/88

    conjunto :

    1 1 1

    1

    _,

    2 3 4 5

    n

    El

    conjunto de los nmercs

    de l i n t e rva lo

    ab ie r to

    O,

    1 t i ene

    en t r e o t r o s por

    puntos

    de

    acumulacin

    l os nmeros cero

    y

    uno,

    nmeros que no

    per tenecen a

    dicho conjun to .

    El

    conjunto

    de

    conjunto de

    los nmeros conten idos en e l i n t e rva lo cerrado

    [O, 1

    t i ene

    a

    todo nmero

    de

    l como punto

    de

    acumulacin.

    TEO

    Todo conjunto

    acotado de i n f in i to s

    nmeros

    t i ene por

    lo

    menos

    un punto

    de

    acumulacin.

    Dm.

    Como,

    e l

    conjunto C de

    nmeros

    es acotado

    ex is ten los

    n-

    meros

    m y

    M Ind icando con

    x

    un nmero cua lqu ie ra de C,

    pode-

    mos d i s t i ngu i r

    los

    dos

    s igu ien tes

    casos :

    ~

    Por

    pequeo que

    sea

    e l i n t e rva lo m, x siempre hay

    en

    l

    i n f i n i t o s nmeros de

    C.

  • 7/26/2019 Sucesiones Cato

    19/88

    17.

    2 ~ Hay

    x

    t ~ l

    que

    en e l

    i n t e rva l o

    m,

    i )

    no hay

    in

    f i n i t ~ s njffieros de c.

    En e l

    pr imer

    caso e l

    teorema es in

    - d a to , pues en l a h ip t e s i s cons ide rada , rn es un punto de a -

    c ~ m u l a c i n de e,

    ya que

    para

    todo

    h

    > O,

    ocur re que en la ve

    cindad 1m - h. m + h) hay i n f i n i t o s ndmeros

    de c.

    En

    e l

    segundo

    caso

    sea

    X,

    e l

    supremo

    d ~ los x,

    puede oc u r r i r

    entonces que X = M o b ien X

    O a r b i t r a r i o ,

    e x i s t e

    un nmero

    n a tu ra l

    N,

    t a l

    que:

    1

    n

    - a 1

    <

    n >

    N

    Fara i n d i ca r que l a suces in a

    n

    t i ene

    como

    J mj te e l nmero a, emplearemos la notac in

    l im

    a

    =

    a

    n

    Conviene

    obse rva r

    que de acuerdo con

    l a

    t eo r a

    de l a s des igualdades l a

    expres in jan

    -

    a l < E,

    puede

    reemplazarse por :

    a -

    O,

    e x i s t e

    N

    t l que:

    1 n

    a

    E

    N.

    c r=

    c0 1de

    1 kan

    -

    kal

    N.

    e s t a

    expr es i n , de

    acuerdo a l a d e f in i c i n de l n : i t e de una

    suces i n , nos expresa aue:

    TEOREMA 9

    l i n

    ka

    = ka

    n

    S i l im a

    n

    a lirr a

    n

    en tonces l im n a .

    Drn,

    k l im

    n

    a

    y

    a

    n

    For

    h ip t e s i s

    tomado E > o

    e x i s t e N

    1

    y N2 t a l e s que:

    y

    C01'10

    a e < a

    1

    < a e

    n

    par a

    n

    >

    N

    1

    p a r a

    n

    >

    N

    2

  • 7/26/2019 Sucesiones Cato

    25/88

    r e su l t a

    ' '

    a

    M -

    E

    s iendo

    E

    >

    O a r -

    b i t r a r i o y como a es c rec ien te se t i e n e

    que

    n

    M - E

    < an N

    o sea :

    M - a J

    O a r b i t r a r i o e x i s t a

    n

    un en te ro

    pos i t i vo N

    t a l que:

    l

    - a 1

    rn

    >

    N

    Dm

    La

    condic in

    es

    necesa r ia :

    En l a h i p t e s i s que a

    converge

    n

    hac.ia un _l mite a ,

    tornado E

    > O a r b i t r a r i o , e x i s t e N

    t a l que:

    Por o t r a pa r t e :

    N

    para rn

    >

    N

  • 7/26/2019 Sucesiones Cato

    41/88

    39.

    a

    -

    ,_

    )

    n

    '

    a

    -

    a)

    +

    a

    - a

    n m

    .

    -

    a 1

    n

    .11

    an

    - al + ja - mi

    l

    a - a

    i t:

    n m

    para

    n > N, m > N

    La condic i6n es

    s u f i c i e n t e :

    Tomando > O a r b i t r a r i o

    por hip6-

    t e s i s e x i s t e

    un

    nGmero na tura l

    p

    t a l que:

    para n

    > p

    o

    b ien

    lo que nos

    i nd i c a

    que todos

    los

    t rminos

    de rango

    super io r a p

    quedan

    en

    e l i n t e rva l o

    ap

    +

    1

    - o, p +

    1

    +o)

    y corno

    fuera

    de

    l

    hay s6lo un nmero f i n i t o de

    elementos

    de

    e l l a l a suce

    s in es aco tada

    y por

    lo t a n to

    t i e n e

    a lo menos ~ punto de

    acwnulacipn en

    dicho

    i n t e rva lo . Ahora r e s u l t a inmediato que

    no

    puede

    haber

    ms

    de

    uno,

    pues

    l a

    ampl i tud o

    de l in t e rva lo

    ap +

    1

    - o , p +

    1

    +

    )

    es

    a r b i t r a r i a

    y puede hacerse t an

    pe

    quea corno se desee .

    Llamando,

    a

    e s t e punto de acumula-

    c i6n consideremos la vecindad a

    -

    E, a E); e l l a cont iene i n f i

  • 7/26/2019 Sucesiones Cato

    42/88

    40.

    ni tos tf irminos

    de

    ) a suces in (a

    y

    fue ra de ~ l l hay

    a

    lo

    n

    ms un nmero

    f i n i t o

    de nmeros n

    de aqu que11amando N

    a l

    mayor de

    los ind ices

    de l os n s i tuados fuera

    de

    (a

    -

    e , a + e ) ,

    se

    t endr :

    la al < t:

    n

    lo

    que

    demuestra e l

    teorema

    propues to .

    DEP.

    18

    para

    n

    >

    N

    Sea

    r

    1

    , r

    2

    , r

    3

    ,

    In una suces i6n de i n t e rva lo s

    t a l e s

    que

    cada uno de

    e l l o s

    e s t contenido en e l a n t e r i o r y t a l e s

    que

    l a

    suces in

    de sus long i tudes 1

    1

    , 1

    2

    , 1

    3

    ln

    converge

    a cero . Un

    conjunto (I)

    de

    i n t e rva lo s

    de

    es t a na tura l eza lo

    l lamaremos

    enca je de

    i n t e rva lo s .

    TEOREMA 22

    Todo

    enca je de

    i n t e rva lo s determina un nmero rea l y

    s lo

    uno.

    Dm

    Sea

    In

    e l

    in te rva lo

    (an

    b n )

    pues to

    que

    In

    cont iene

    I n +

    1

    se

    t i ene que: n +

    1

    > a

    0

    y bn

    +

    1

    bn, luego:

  • 7/26/2019 Sucesiones Cato

    43/88

    41.

    - - - - ~

    ~ . . . . . _ ~ ~ ~ ~ - ~ ~ ~ ~ 4 - ~ ~ ~ ~ ~ - ~

    As en tonces l a suces in a ) es mon6tona

    c re c i e n t e

    y

    como

    to -

    n

    dos sus t rminos

    son

    menores que b

    1

    ,

    r e s u l t a

    que {an) conver-

    ge

    hac ia

    un nmero

    a

    b 1 .

    Anlogamente,

    s iendo

    {bn)

    montona

    de c re c i e n t e y ten iendo todos

    sus

    t rminos mayores

    que

    a

    1

    , r e -

    s u l t a que

    b ) converge a un nmero S > a

    1

    .

    n

    que a = 8

    Tenemos

    que:

    - a

    = im

    n

    im

    a = im

    n

    - a

    n n

    Haremos

    ver ahora

    ya que l a

    long i tud

    1 = b - a t i ende a ce ro .

    n n n

    5.

    - El n. Uero e .

    Para

    d e f i n i r e s t e i m p o r ~ ~ n t e

    nmero

    haremos un e s tud io de l a suces i6n:

    TEOREMA

    23

    1

    n

    e

    =

    1

    -)

    n n

    La suces i6n

    en

    1

    l n

    e s

    c rec i en t e .

    n

  • 7/26/2019 Sucesiones Cato

    44/88

    43.

    (

    1

    .)

    n

    =

    1

    n

    n

    r

    . . n n - 1)

    n(n-1)

    (n-

    2

    > + ( n + l trminos)

    n

    - - ; ~

    3 n

    (1

    + *)n = 1 1 ~ ( 1 - ~ ) j,

    (1

    - ~ )

    (1

    - ~ ) + . . (n+l trminos)

    + 1

    Ti:

    pero

    como

    para n

    >

    2 se t i e ne 2n -

    1

    < n: r e s u l t a :

    (1 +

    )n

    < 1 + 1 +

    . .?+

    1 ' +

    n.

    1 2

    2- 2n

    -

    o

    sea :

    (1

    . .)n

    O

    entonces :

    n

    Supongamos

    primero

    a

    >

    O,

    en tonces

    l lamando

    p

    e l mayor

    n

    en te ro con ten ido en n se

    tendr :

    luego

    de

    donde

    (1

    +

    .)

    p

    + 1

    >

    (1 +

    .)

    n

    >(1

    +

    1

    )p

    p

    a p

    +

    1

    n

    o sea

    (1 +

    )P

    .)

    1

    +

    l:.>n

    >

    1

    1

    )p

    +

    1

    1

    +

    1 -1

    1 +

    >

    +

    p+-r>

    p a

    p

    +

    1

    n

  • 7/26/2019 Sucesiones Cato

    46/88

    45.

    ~ c i e n d o tender n a

    in f in i to

    igual cosa

    ocurre

    con p y

    corno en t a l

    caso las

    dos expresiones

    extremas de

    la desigual-

    dad

    precedente,

    convergen cada

    una a l

    nGmero e , se

    tendr que:

    n

    Suponiendo

    ahora

    que

    n t iende hacia

    in f in i to por valores

    negativos, tornando

    bn = -

    n 1, resul ta :

    lirn

    1

    . . >n

    lirn

    (1

    1

    -bn

    lirn

    bn

    -

    1 -bn

    +

    =

    -

    b

    =

    ( b

    a

    n n n

    =

    lirn

    (b

    bn

    bn

    lim

    (1

    +

    1

    bn

    =

    1

    b 1

    n

    n

    1

    1

    1

    =

    e

    TEOREMA

    26

    l im

    1

    1

    1

    1

    +

    I

    +

    2:

    +

    .....

    +

    -, )

    =

    e

    n.

    Dm

    sea E 1

    +

    1

    +

    1

    +

    . +

    1

    =

    I:

    2

    "

    Como En es sucesi6n

    creciente acotada

    superiormente,

    se

    desprende

    que

    ella e s convergente, haremos

    ver que

    su limite

    es-el nmnero e.

  • 7/26/2019 Sucesiones Cato

    47/88

    46.

    J:n

    e f

    cct:o

    se

    t i ene :

    E

    -

    (1

    +

    l ) n

    n

    n

    1 +

    J.

    +

    . .

    n

    1

    ) '

    ...

    (1 +

    -)11

    -

    n

    n

    :

    -n

    k=2

    : : ~ n

    k=2

    1

    k=n

    E - 1 + - l

    O

    n

    luego:

    = l im p

    +

    n

    n

    -

    l )n -1

    = l

    n n e

    E j e r c i c i o

    25 . -

    Sol :

    Calcu la r

    e l

    l m i t e

    de la suces i6n

    a

    =

    ~

    lcn

    +

    1)

    (n

    +

    2)

    (n

    +

    3)

    . .

    (n

    +

    n)

    n n

    y

    usando nuevamente la igualdad

    l im ;;-n = l im n

    V un-1

  • 7/26/2019 Sucesiones Cato

    66/88

    64.

    se obt iene

    s in

    d i f i cu l t ad :

    (n

    n)

    n

    1)

    1)

    n

    -

    +

    +

    n

    -

    n

    -

    im

    a

    =

    l im

    n

    n

    n

    1

    ln

    -

    1

    4

    l im

    2

    lirn

    2n

    -

    n

    -

    a

    l m

    )

    -

    n

    n

    n

    e

    Eje rc i c io

    2 6 . -

    Sol :

    ca lcu la r

    e l

    = L

    n )

    n

    n

    L

    n

    l mi t e

    de l a sucesi6n

    con n > 1

    Tomando

    l a s

    suces iones

    au x i l i a r e s :

    un

    =

    L

    (n )

    v

    =

    n

    L

    n

    n

    e l

    cr).

    t e r i o

    de Sto lz

    nos d:

    l im

    n

    =

    u

    u

    1

    -

    u

    l im

    n

    l im

    n

    +

    n

    =

    V

    V

    1

    -

    V

    n

    n

    +

    n

    L;n

    + 1)

    -

    L n

    l im

    (n +

    1)

    L n

    +

    1)

    - n L n

    = l im

    L n +

    1)

    n + 1 n+ L n + 1

    Eje rc i c io

    27 . -

    1

    1

    Si n

    >

    1 ,

    ca lcu la r

    e l l m i te de l a suces i6n:

  • 7/26/2019 Sucesiones Cato

    67/88

  • 7/26/2019 Sucesiones Cato

    68/88

    : ;

    o sea

    Sol

    D

    n

    lLm

    a = lirn

    1

    66.

    .

    ~

    l ) p l p 1

    tn

    , n

    (n

    1P

    11

    m

    ~ : : : r :

    1 - - - - - - - - - - p - _ --=-1

    l

    - ) n ~ t '

    2 -

    )np-1 . . . . . (p 1)

    1

    P

    n _

    l p 1 1

    l i ~ 1

    --

    I

    1

    Determinar e l l ~ i t de

    l a

    suces in :

    (Teo?:ema

    25)

    a

    n

    (1

    n

    a b _ l ) n

    a e

    n

    a

    n

    n

    b =

    n

    n a e

    b -

    e

    a

    b)n

    a e

    ( l

    b - e )n

    n a e

  • 7/26/2019 Sucesiones Cato

    69/88

    re su l t a :

    lim a

    n

    E e rc ic io

    30 . -

    lim

    b -

    e

    ----

    +

    e

    n

    67.

    b -

    c

    = e

    a

    Calcu la r e l

    l mi t e de

    la suces i6n:

    a

    =

    + Sn

    )6n

    - 7

    n

    . -

    2n

    2 - n

    +

    2

    Rol: Teorema 25)

    Sn 6n-7

    l im

    1

    +

    2

    2n

    - n

    +

    2

    Como adems

    2

    2n - n + 2

    Sn

    r ~ s u : . t a .

    l im

    1 Sn

    2

    2n

    -n 2

    2n

    2

    -n J;i

    Sn

    --- ......--

    30n

    2

    - 35n

    2

    5rd6r,-7}

    2

    2n -n+2

    l im a

    l

    l im

    2n

    - n + 2

    =

    elS

    Eje rc ic io

    31 . -

    l a suces i6n :

    Demostrar la existencia

    y calcular

    e l

    l imite de

    =

    n (_ n / a

    va J :

    con

    a

    >

    O

  • 7/26/2019 Sucesiones Cato

    70/88

  • 7/26/2019 Sucesiones Cato

    71/88

    t C

    Lf=r

    ~ - _ .

    < :

    n

    69

    n

    1 -

    r ,___

    r:

    ,J,_1

    ~ n _ ~ l i ~

    __

    :_

    __2_.;. 2n)r

    n

    -

    (

    J_ -i-

    n ~ _ -

    1 ;o,

    -

    l

    (

    l j T

    .

    ; 1

    2n

    r. (

    r

    1 \1

    1

    GUE da

    ~ a l c u l a r

    e l . ; . ::

    : - ~

    de

    la

    suces in:

    ..

    i

    L

    -

    j

    _::.

    r

    .,.

    2

    1

    +

    -

    ..

    r

    n

    l

    n

    )

    C ~ c u l ~ n d o A y n de ~ 0 ~ 0 ~ u o k ~

    i \k U - 1

    + nk se

    encuen--

    luego

    .

    J:

  • 7/26/2019 Sucesiones Cato

    72/88

  • 7/26/2019 Sucesiones Cato

    73/88

  • 7/26/2019 Sucesiones Cato

    74/88

  • 7/26/2019 Sucesiones Cato

    75/88

    73.

    E j e r c i c i o

    3 7 . -

    Calcular e l l m i t e de la

    suces i6n

    Sol :

    De la

    conocj .Ja des jgnaJdad

    l + 1 / n n

    e

    se deduce f -

    c i lmente que:

    o < 2 - < 1

    1

    - -

    dando a n

    los

    valores 2 3 n y multiplican

  • 7/26/2019 Sucesiones Cato

    76/88

  • 7/26/2019 Sucesiones Cato

    77/88

  • 7/26/2019 Sucesiones Cato

    78/88

  • 7/26/2019 Sucesiones Cato

    79/88

  • 7/26/2019 Sucesiones Cato

    80/88

    =

    -2 y

    +E Ln)

    +

    2

    y + ~

    n -

    luego

    Eje r c i c io 44.-

    l im a =

    2L2

    - 1

    n

    78.

    ,

    Determinar

    e l

    l m i t e de l a suces in:

    Sol:

    a

    n

    3

    r . --2

    = n - \ J U + ~ - 2)

    n

    Teniendo presente l a igua ldad a lgebra i ca :

    tomemos

    x

    3

    -

    y

    __ 2

    X

    X - y

    X = /a +

    y =

    2

    en tonces :

    =

    n X - y -= n x -

    y) x2 + xy + y2)

    n

    2 2

    X

    + xy y

    n

    n x2 y2

    +

    xy

    +

    8

    +

    2/n

    8

    a

    =

    n

    3

    Jcs

    2/n)

    2

    ~

    + +

    2

    +

    2/n

    +

    4

    luego:

    l im

    l

    a

    =

    6

  • 7/26/2019 Sucesiones Cato

    81/88

  • 7/26/2019 Sucesiones Cato

    82/88

  • 7/26/2019 Sucesiones Cato

    83/88

    81.

    Ejercicio 47.-

    S i al > l y 9 O de modo que a = 1

    +

    h,

    entonces:

    de donde

    ln

    9

    anl

    >

    In

    e

    anl

    >

    y luego

    '

    Ejercicio 48.-

    en l+h)n> l+h)n

    In a I=

    ~ ~ _p

    n

    >

    (

    + 1

    1

    r

    " "

    1

    hp +

    1

    n(n

    1)

    (n

    -

    2) .....

    nP

    fn

    +

    1 )

    hp +

    1

    ) 1

    ~

    (p + 1)

    1

    -

    -

    .....

    n

    n

    l im

    n

    6

    a

    11

    =00

    (n

    -

    ,E

    1

    -

    E)n

    n

    S i la

    O

    ca lcu la r e l

    l mi te

    de la E ~

    ces i6n:

  • 7/26/2019 Sucesiones Cato

    84/88

    82.

    Sol :

    Sean p e l

    mayor en te ro p o s i t i v o

    con ten ido en

    e

    +

    1;

    el i jamos h

    de

    modo

    q e a -

    1

    i +

    h

    Tendremos:

    para

    n

    >

    p

    +

    1

    In

    9

    n,

    ~

    nP

    a

    i

    n

    n

    n

    n

    1 +

    )h +

    {

    )h2

    +

    +

    )hp

    +

    1

    )hn

    ....

    +

    +

    1

    2 p

    +

    1

    n

    jn

    a

    anl

    b > O,

    se p ide

    demostrar

    que son convergentes a

    un mismo

    l m i t e .

    Sol :

    Operando

    algebraicamente

    es f c i l es tab lece r

    que:

    a

    n -

    b

    n-1

    a

    n -

    Ahora

    como del enunciado se desprende

    que

    a

    1

    > b

    1

    , haciendo

    n = 2, r e s u l t a :

    asS:

    entonces :

    1

    3