Sucesión de Fibonacci

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Sucesión de Fibonacci Gráfica de la sucesión de Fibonacci hasta En matemática , la sucesión de Fibonacci (a veces mal llamada serie de Fibonacci) es la siguiente sucesión infinita de números naturales : La sucesión inicia con y , y a partir de ahí cada elemento es la suma de los dos anteriores. A cada elemento de esta sucesión se le llama número de Fibonacci. Esta sucesión fue descrita en Europa por Leonardo de Pisa , matemático italiano del siglo XIII también conocido como Fibonacci. Tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la computación , matemáticas y teoría de juegos . También aparece en configuraciones biológicas, como por ejemplo en las ramas de los árboles, en la disposición de las hojas en el tallo , en la flora de la alcachofa y en el arreglo de un cono . Contenido [ocultar ] 1 Historia 2 Definición recursiva 3 Representaciones alternativas o 3.1 Función generadora

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Page 1: Sucesión de Fibonacci

Sucesión de Fibonacci

Gráfica de la sucesión de Fibonacci hasta 

En matemática, la sucesión de Fibonacci (a veces mal llamada serie de Fibonacci) es la

siguiente sucesión infinita de números naturales:

La sucesión inicia con   y  , y a partir de ahí cada elemento es la suma de los dos anteriores.

A cada elemento de esta sucesión se le llama número de Fibonacci. Esta sucesión fue descrita en

Europa por Leonardo de Pisa, matemático italiano del siglo XIII también conocido como Fibonacci.

Tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la computación, matemáticas y teoría de juegos.

También aparece en configuraciones biológicas, como por ejemplo en las ramas de los árboles,

en la disposición de las hojas en el tallo, en la flora de la alcachofa y en el arreglo de un cono.

Contenido

  [ocultar]

1 Historia

2 Definición recursiva

3 Representaciones alternativas

o 3.1 Función generadora

o 3.2 Fórmula explícita

o 3.3 Forma matricial

4 Propiedades de la sucesión

Page 2: Sucesión de Fibonacci

5 Generalización

o 5.1 Sucesión de Lucas

6 Algoritmos de cálculo

7 La sucesión de Fibonacci en la cultura popular

8 La sucesión de Fibonacci en la naturaleza

9 Dígitos en la sucesión de Fibonacci

10 Véase también

11 Referencias

12 Bibliografía

13 Enlaces externos

[editar]Historia

La sucesión de Fibonacci en términos de conejos.

Antes de que Fibonacci escribiera su trabajo, la sucesión de los números de Fibonacci había sido

descubierta por matemáticos indios tales como Pingala (200 a.c.),Gopala (antes de 1135)

y Hemachandra (c. 1150), quienes habían investigado los patrones rítmicos que se formaban con

sílabas o notas de uno o dos pulsos. El número de tales ritmos (teniendo juntos una cantidad n de

pulsos) era  , que produce explícitamente los números 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, etc.1

La sucesión fue descrita por Fibonacci como la solución a un problema de la cría de conejos:

"Cierto hombre tenía una pareja de conejos juntos en un lugar cerrado y uno desea saber cuántos

son creados a partir de este par en un año cuando es su naturaleza parir otro par en un simple mes,

y en el segundo mes los nacidos parir también".2

Page 3: Sucesión de Fibonacci

Número de Mes

Explicación de la genealogíaParejas de

conejos totales

Fin del mes 0 0 conejos vivos. 0 parejas en total.

Comienzo del mes 1

Nace una pareja de conejos (pareja A). 1 pareja en total.

Fin del mes 1 La pareja A tiene un mes de edad. Se cruza la pareja A.1+0=1 pareja en total.

Fin del mes 2 La pareja A da a luz a la pareja B. Se vuelve a cruzar la pareja A.1+1=2 parejas en total.

Fin del mes 3La pareja A da a luz a la pareja C. La pareja B cumple 1 mes. Se cruzan las parejas A y B.

2+1=3 parejas en total.

Fin del mes 4Las parejas A y B dan a luz a D y E. La pareja C cumple 1 mes. Se cruzan las parejas A, B y C.

3+2=5 parejas en total.

Fin del mes 5A, B y C dan a luz a F, G y H. D y E cumplen un mes. Se cruzan A, B, C, D y E.

5+3=8 parejas en total.

Fin del mes 6A, B, C, D y E dan a luz a I, J, K, L y M. F, G y H cumplen un mes. Se cruzan A, B, C, D, E, F, G y H.

8+5=13 parejas en total.

... ... ...

Fin del mes 12 ... ...

Nota: al contar la cantidad de letras distintas en cada mes, se puede saber la cantidad de parejas

totales que hay hasta ese mes.

Page 4: Sucesión de Fibonacci

De esta manera Fibonacci presentó la sucesión en su libro Liber Abaci, publicado en 1202. Muchas

propiedades de la sucesión de Fibonacci fueron descubiertas por Édouard Lucas, responsable de

haberla denominado como se la conoce en la actualidad.3

También Kepler describió los números de Fibonacci, y el matemático escocés Robert

Simson descubrió en 1753 que la relación entre dos números de Fibonacci sucesivos   

se acerca a la relaciónáurea fi ( ) cuanto más se acerque a infinito; es más: el cociente de dos

términos sucesivos de toda sucesión recurrente de orden dos tiende al mismo límite. Esta serie ha

tenido popularidad en el siglo XX especialmente en el ámbito musical, en el que compositores con

tanto renombre como Béla Bartók, Olivier Messiaen y Delia Derbyshire la han utilizado para la

creación de acordes y de nuevas estructuras de frases musicales.

[editar]Definición recursiva

Chimenea con la secuencia de Fibonacci

Los números de Fibonacci   quedan definidos por las ecuaciones

(1)

(2)

Page 5: Sucesión de Fibonacci

(3)  para 

Esto produce los números

Es usual definir de esta manera en Matemática discreta y, de hecho, ya es algorítmica.

[editar]Representaciones alternativas

Para analizar la sucesión de Fibonacci (y, en general, cualquier sucesión) es conveniente obtener

otras maneras de representarla matemáticamente.

[editar]Función generadora

Una función generadora para una sucesión cualquiera   es la

función  , es decir, una serie formal

de potencias donde cada coeficiente es un elemento de la sucesión. Los números de Fibonacci

tienen la función generadora

(4)

Cuando esta función se expande en potencias de  , los coeficientes resultan ser la sucesión de

Fibonacci:

[editar]Fórmula explícita

La definición de la sucesión de Fibonacci es recurrente; es decir que se necesitan calcular

varios términos anteriores para poder calcular un término específico. Se puede obtener una

fórmula explícita de la sucesión de Fibonacci (que no requiere calcular términos anteriores)

notando que las ecuaciones (1), (2) y (3) definen la relación de recurrencia

Page 6: Sucesión de Fibonacci

con las condiciones iniciales

 y 

El polinomio característico de esta relación de recurrencia es  , y

sus raíces son

De esta manera, la fórmula explícita de la sucesión de Fibonacci tendrá la forma

Si se toman en cuenta las condiciones iniciales, entonces las constantes   

y   satisfacen la ecuación anterior cuando   y  , es decir que

satisfacen el sistema de ecuaciones

Al resolver este sistema de ecuaciones se obtiene

Por lo tanto, cada número de la sucesión de Fibonacci puede ser

expresado como

(5)

Para simplificar aún más es necesario considerar el número áureo

de manera que la ecuación (5) se reduce a

(6)

Esta fórmula se le atribuye a Édouard Lucas, y es fácilmente

demostrable por inducción matemática. A pesar de que la

sucesión de Fibonacci consta únicamente de números

Page 7: Sucesión de Fibonacci

naturales, su fórmula explícita incluye al número irracional  .

De hecho, la relación con este número es estrecha.

[editar]Forma matricial

Otra manera de obtener la sucesión de Fibonacci es

considerando el sistema lineal de ecuaciones

Este sistema se puede representar mediante su notación

matricial como

Conociendo a   y  , al aplicar la

fórmula anterior   veces se obtiene

(7)

Una vez aquí, simplemente tenemos que diagonalizar

la matriz, facilitando así la operación de potenciación,

y obteniendo por tanto la fórmula explícita para la

sucesión que se especificó arriba.

y más aún

(8)

Estas igualdades pueden probarse mediante

inducción matemática.

[editar]Propiedades de la sucesión

Page 8: Sucesión de Fibonacci

Al construir bloques cuya longitud de lado sean números

de Fibonacci se obtiene un dibujo que asemeja

alrectángulo áureo (véase Número áureo).

Los números de Fibonacci aparecen en numerosas

aplicaciones de diferentes áreas. Por ejemplo, en

modelos de la crianza de conejos o de plantas, al

contar el número de cadenas de bits de longitud   

que no tienen ceros consecutivos y en una vasta

cantidad de contextos diferentes. De hecho, existe

una publicación especializada llamada Fibonacci

Quarterly4 dedicada al estudio de la sucesión de

Fibonacci y temas afines. Se trata de un tributo a cuán

ampliamente los números de Fibonacci aparecen en

matemáticas y sus aplicaciones en otras áreas.

Algunas de las propiedades de esta sucesión son las

siguientes:

La razón o cociente entre un término y el

inmediatamente anterior varía continuamente,

pero se estabiliza en el número áureo. Es decir:

Este límite no es privativo de la Sucesión de Fibonacci. Cualquier sucesión recurrente de orden

2, como la sucesión 3, 4, 7, 11, 18,..., lleva al mismo límite. Esto fue demostrado por Barr y

Schooling en una carta publicada en la revista londinense "The Field" del 14 de diciembre de

1912. Los cocientes son oscilantes; es decir, que un cociente es menor al límite y el siguiente

es mayor. Los cocientes pueden ordenarse en dos sucesiones que se

aproximan asintóticamente por exceso y por defecto al valor límite.

Cualquier número natural se puede escribir

mediante la suma de un número limitado de

términos de la sucesión de Fibonacci, cada

uno de ellos distinto a los demás. Por

Page 9: Sucesión de Fibonacci

ejemplo, 

,  .

Tan sólo un término de cada tres es par, uno

de cada cuatro es múltiplo de 3, uno de cada

cinco es múltiplo de 5, etc. Esto se puede

generalizar, de forma que la sucesión de

Fibonacci es periódica en

lascongruencias módulo  , para

cualquier  .

La sucesión puede expresarse mediante otra

fórmula explícita llamada forma de

Binet (de Jacques Binet). Si   

y  , entonces

 y 

Cada número de Fibonacci es el

promedio del término que se encuentra

dos posiciones antes y el término que se

encuentra una posición después. Es

decir

Lo anterior también puede

expresarse así: calcular el siguiente

número a uno dado es 2 veces éste

número menos el número 2

posiciones más atrás.

La suma de los   primeros

números es igual al número

que ocupa la posición   

menos uno. Es decir

Page 10: Sucesión de Fibonacci

Otras identidades

interesantes incluyen las

siguientes:

Si  , entonces   para cualquier 

 (Identidad de Cassini)

Page 11: Sucesión de Fibonacci

Phi forma parte de una expresión de la sucesión de Fibonacci.

 (con φ = número áureo)

Leonardo de Pisa

Leonardo de Pisa

Leonardo de Pisa, "Fibonacci"

Page 12: Sucesión de Fibonacci

Nacimiento a. 1170

Pisa, Italia

Fallecimiento a. 1250

Pisa, Italia

Campo Matemáticas

Creador de la Sucesión de Fibonacci

Leonardo de Pisa, Leonardo Pisano o Leonardo Bigollo (c. 1170 - 1250), también

llamado Fibonacci, fue un matemático italiano, famoso por haber difundido enEuropa el sistema de

numeración indo-arábigo actualmente utilizado, el que emplea notación posicional (de base 10, o

decimal) y un dígito de valor nulo: el cero; y por idear la sucesión de Fibonacci.

El apodo de Guglielmo (Guillermo), padre de Leonardo, era Bonacci (simple o bien intencionado).

Leonardo recibió póstumamente el apodo de Fibonacci (por filius Bonacci, hijo de Bonacci). Guglielmo

dirigía un puesto de comercio en Bugía (según algunas versiones era el cónsul de Pisa), en el norte

de África (hoy Bejaia,Argelia), y de niño Leonardo viajó allí para ayudarlo. Allí aprendió el sistema de

numeración árabe.

Consciente de la superioridad de los numerales árabes, Fibonacci viajó a través de los países

del Mediterráneo para estudiar con los matemáticos árabes 1  más destacados de ese tiempo, regresando

cerca de 1200. En 1202, a los 32 años de edad, publicó lo que había aprendido en el Liber Abaci (libro

del ábaco o libro de los cálculos). Este libro mostró la importancia del nuevo sistema de numeración

aplicándolo a la contabilidad comercial, conversión de pesos y medidas, cálculo,intereses, cambio

de moneda, y otras numerosas aplicaciones. En estas páginas describe el cero, la notación posicional,

la descomposición en factores primos, los criterios de divisibilidad. El libro fue recibido con entusiasmo

en la Europa ilustrada, y tuvo un impacto profundo en el pensamiento matemático europeo.

Leonardo fue huésped del Emperador Federico II, que se interesaba en las matemáticas y la ciencia en

general. En 1240, la República de Pisa lo honra concediéndole un salario permanente (bajo su nombre

alternativo de Leonardo Bigollo).

Contenido

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1 Su quinta obra

Page 13: Sucesión de Fibonacci

2 Su aporte completo a la matemática[2]

3 Referencias

4 Véase también

5 Enlaces externos

[editar]Su quinta obra

Escultura de Leonardo de Pisa, realizada por Giovanni Paganucci. Fue completada en el año 1863 y yace en el

Camposanto monumentale de Pisa.

En el año 1225 publica su cuarto y principal libro: Liber Quadratorum 'El Libro de los Números

cuadrados', a raíz de un desafío de un matemático de la corte de Federico II(Teodoro) que le propuso

encontrar un cuadrado tal que si se le sumaba o restaba el número cinco diera como resultado en

ambos casos números cuadrados. Curiosamente, el año de publicación del libro es un número

cuadrado.

Fibonacci comienza con los rudimentos de lo que se conocía de los números cuadrados desde la

antigua Grecia y avanza gradualmente resolviendo proposiciones hasta dar solución al problema de

análisis indeterminado que le habían lanzado como desafío.

En la parte original de la obra introduce unos números que denomina congruentes (Proposición IX) y

que define, en terminología actual, como c = m.n (m² - n²), donde m y n son enteros positivos impares, m

> n. De esta forma, el menor de ellos es 24. Enuncia y muestra que el producto de un número

congruente por un cuadrado es otro número congruente.

Utiliza estos números como herramientas para sus posteriores proposiciones y los hace intervenir en

una identidad que es conocida como Identidad de Fibonacci(Proposición XI). La identidad

Page 14: Sucesión de Fibonacci

es: [1/2(m²+n²)]² ± mn (m² - n²) = [1/2(m² - n²) ± mn]². Esta permite pasar con facilidad de un triángulo

rectángulo a otro.

Leonardo de Pisa utiliza frecuentemente las proposiciones precedentes como lemas para las siguientes,

por lo que el libro lleva un encadenamiento lógico. Sus demostraciones son del tipo retórico y usa

segmentos de recta como representación de cantidades. Algunas proposiciones no están rigurosamente

demostradas, sino que hace una especie de inducción incompleta, dando ejemplos prácticos y

específicos, pero su dominio algorítmico es excelente y todo lo que afirma puede ser demostrado con

las herramientas actuales. No se encuentran errores importantes si se hace excepción de la

incompletitud de algunas demostraciones. El contenido del libro supera a la respuesta al desafío

recibido y muestra el estado de la matemática de su época.

[editar]Su aporte completo a la matemática2

Liber Abaci (Libro del Ábaco). Fue escrito en 1202 y revisado y considerablemente aumentado en

1228. Se divide en quince capítulos. Un capítulo importante está dedicado a las fracciones

graduales,3 de las que expone las propiedades. En ellas basa una teoría de los números

fraccionarios y, después de haberlas introducido en los cálculos de números abstractos, las vuelve

un instrumento práctico para la obtención de números concretos. Todas las fracciones se presentan

a la manera egipcia, es decir, como suma de fracciones con numeradores unitarios y

denominadores no repetidos. La única excepción es la fracción  ,4 que no se descompone.

Incluye una tabla para descomposición en fracciones unitarias que se lee derecha a izquierda,

como en las lenguas semíticas.

Practica Geometriae. (Geometría práctica) Está dividido en siete capítulos en los que aborda

problemas de geometría dimensional referente a figuras planas y sólidas. Es la obra más avanzada

en su tipo que se encuentra en esa época en Occidente.

Flos super solutionibus quarumdam questionum ad numerum et ad geometricam

pertinentium. (Ramillete de soluciones de ciertas cuestiones relativas al número y a la geometría)

Comprende quince problemas de análisis determinado e indeterminado de primer grado. Dos de

esos problemas habían sido propuestos como desafío a Leonardo por Juan de Palermo,

matemático de la corte del emperador Federico II.

Carta a Teodoro. Es una simple carta que Leonardo envía a Teodoro, astrólogo de la corte de

Federico II. En ella se resuelven dos problemas. El primero es algebraico y consiste en encontrar

objetos de diferentes proporciones. Estos objetos llevan los nombres de pájaros de diversas

especies. Paul Ver Eecke, quien tradujo el Liber Quadratorum al francés desde el original latino de

Page 15: Sucesión de Fibonacci

la edición de 1228, opina que pudo haber sido una cortesía hacia Federico II, que era aficionado a

la caza con halcón, previendo que su carta sería llevada al príncipe. El segundo problema es

geométrico-algebraico. Se trata de inscribir en un triángulo isósceles un pentágono equilátero que

tenga un lado sobre la base del triángulo y otros dos lados sobre los restantes de éste. Lo reduce a

una ecuación de segundo grado, dando un valor muy aproximado para el lado del pentágono en

el sistema sexagesimal .

Liber Quadratorum. (El Libro de los Números Cuadrados) Consta de veinte proposiciones. Estas

no consisten en una recopilación sistemática de las propiedades de los números cuadrados, sino

una selección de las propiedades que llevan a resolver un problema de análisis indeterminado de

segundo grado que le fuera propuesto por Teodoro, un matemático de la corte de Federico II.

[editar]Referencias

1. ↑  de Pisa, Leonardo (mayo de 1973). «Introducción». El Libro de los Números Cuadrados. Colección

"Biblioteca Cultural Los Fundamentales". Buenos Aires: Editorial Universitaria de Buenos Aires (EUDEBA).

pp. 10, 11, 12. «Lo primero que llama la atención al considerar las obras que acabamos de mencionar es

el conocimiento profundo de los Elementos de Euclides que Leonardo ya poseía. Este conocimiento, en sí,

hace surgir el interrogante de cómo pudo haber sido adquirido. No, seguramente, en el texto griego que

aún no había llegado a Occidente (11). Pero, desde el siglo IX, los Elementos y otras obras de Euclides,

encontradas, en su texto original griego, por los árabes en Bizancio y enAlejandría , fueron objeto de

numerosas versiones en su lengua (12). Estas versiones, generalmente incompletas, algunas abreviadas,

otras comentadas o en las que se interpolaban proposiciones originales, circulaban en el mundo ilustrado

musulmán. Leonardo pudo haberlas conocido, de haber estado lo suficientemente familiarizado con la

lengua árabe como para leerlas. Si estas versiones no le fueron accesibles, debió, seguramente, conocer

las dos versiones latinas, o una de ellas, de los Elementos de Euclides, hechas por Gerardo de Cremona y

Abelard de Bath, de la versión árabe de Tabit ibn Qurra, que data de la primera mitad del siglo IX (13). La

cuestión de la formación euclidiana de Leonardo sigue siendo tema de controversia (14).

(11) El texto griego de los Elementos de Euclides fue publicado por primera vez por Simon Grynaeus bajo

el título: Euclidis Elementorum libri XV cum prefatione Sim. Grynaei, graece. Bale, 1535. esta edición

griega estuvo precedida por la primera versión latina de Zamberti, publicada bajo el título: Euclidis

Megarensis philosophi platonici mathemticorum disciplinarum janitoris; habent in hoc volumine:

elementorum libri XIII, cum expositione Theonis etc., etc. Battholo Zamberti interprete, Venetus,

1505, in-fol. Edición post - incunable conservada en la biblioteca municipal de Amberes (acotado g. 4880).

Obra reeditada en París, en 1516, después en Basilea, en 1546. (12) Ver, sobre el tema de las versiones

árabes de las obras de Euclides: J. H. Heiberg. Litterageschichtliche Studien über Euclid. Leipzig,

1882. George Sarton. Introduction to the history of Science. Tres volúmenes en 8º. Washington, 1927-

Page 16: Sucesión de Fibonacci

1948. (13) La traducción latina de Abelard de Bath, que data de la primera mitad del siglo XII, fue

reimpresa por Campanus, quien la publicó con un comentario bajo su nombre, con el

título: Preclarissimus liber Elementorum Euclidis (in fine): Opus elementorum Euclidis Megarensis

in geometriam artem. In id quoque Campani perspicacissimi commentationes finiunt. Erhardus

Ratdolt augustensis impressor solertissimus. Venetiis impressit anno salutis 1842, in-fol. Incunable

rarísimo que formaba parte de la célebre biblioteca matemática de Michael Chasles (Catálogo Nº 1525).

(14) Ver: Eneström. Woher hat Leonardo Pisano seine Kentniss der Elemente des Euclides entnommmen?

en Bobliot. Mathem. (3), 7 Band, S. 321.»

2. ↑  La lista de sus obras está tomada del libro: de Pisa, Leonardo (mayo de 1973). «Introducción». El Libro

de los Números Cuadrados. Introducción de Paul Ver Eecke, traducción de Pastora Sofía Nogues Acuña

de la versión francesa de Paul Ver Eecke. Notas de José Babini. Buenos Aires: Editorial Universitaria de

Buenos Aires (EUDEBA), Colección "Biblioteca Cultural Los Fundamentales". pp. 7 - 13.

3. ↑  Fracción gradual: 

4. ↑  La excepción no surge de una imposibilidad aritmética, pues  . La fracción no se descomponía por

razones filosófico-religiosas

[editar]Véase también

Pirámide (geometría)

Pirámide cuadrangular.

Una pirámide es un poliedro limitado por una base, que es un polígono con una cara; y por caras, que

son triángulos coincidentes en un punto denominado ápice.

El ápice o cúspide también es llamado vértice de la pirámide, aunque una pirámide tiene más vértices, tantos como

el número de polígonos que lo limitan.

Contenido

Page 17: Sucesión de Fibonacci

  [ocultar]

1 Tipos de pirámides

o 1.1 Área lateral de una pirámide

o 1.2 Área total de una pirámide

2 Volumen

o 2.1 Volumen de una pirámide regular

3 Centro de gravedad de una pirámide

4 Véase también

5 Referencias

6 Enlaces externos

[editar]Tipos de pirámides

Pirámde oblicua. Los vértices están marcados en naranja y las aristas en rojo. La linea amarilla es una diagonal de la base.

Una pirámide recta es un tipo de pirámide cuyas caras laterales son triángulos isósceles. En este tipo de pirámides

la recta perpendicular a la base que pasa por el ápice corta a la base por su circuncentro.

Una pirámide oblicua es aquella en la que no todas sus caras laterales son triángulos isósceles.

Una pirámide regular es una pirámide recta cuya base es un polígono regular.

Una pirámide convexa tiene como base un polígono convexo

Una pirámide cóncava tiene como base un polígono cóncavo.

Existen tres tipos de pirámides cuyas caras son triángulos equiláteros, con bases de 3, 4 y 5 lados respectivamente.

Un tetraedro regular es una pirámide cuyas caras (base y caras laterales) son triángulos equiláteros.

Área de un polígono regular

Page 18: Sucesión de Fibonacci

Partición de polígonos regulares entriángulos isósceles.

La línea roja es un apotema de esteoctógono.

El área de un polígono regular puede calcularse en función de la longitud de cada lado y su número de lados. Un

polígono regular de n lados puede dividirse en ntriángulos isósceles (equiláteros en el caso del hexágono regular)

cuyas bases son los lados del polígono regular. La altura de cada uno de estos triángulos es unapotema del polígono

regular y divide cada uno de los triángulos isósceles en dos triángulos rectángulos, dividiendo así el polígono

en 2n triángulos rectángulos.

El área del polígono regular (Ab) es igual a la suma de las áreas de los triángulos rectángulos (At):

Donde a es el apotema del polígono regular. Para calcular la longitud del apotema se aplica la trigonometría.

Aparte: Calculemos la apotema a, donde α es el ángulo del vértice del triángulo rectángulo que coincide con el

centro del polígono regular.:

Ahora reemplazando el valor de la apotema a en el área del polígono regular (Ab) tenemos:

Page 19: Sucesión de Fibonacci

El valor del ángulo α resulta de dividir el ángulo completo (2π) por el número de triángulos rectángulos (2n),

luego  .

(1)

[editar]Área lateral de una pirámide

El área lateral de una pirámide es la suma de las áreas de las caras laterales.

En una pirámide regular, las caras laterales son triángulos isósceles. El área de cada cara es el semiproducto de su

base (que es igual al lado de la base de la pirámide l ), por su altura (que es el apotema de la pirámide ap ). El área

lateral de una pirámide regular resulta de multiplicar el área de una de sus caras laterales por el número de caras

laterales.

(2)

Donde ap es el apotema de la pirámide y p es el perímetro de la base.

Teorema de Pitágoras:

Altura de la pirámide: h = a.

Apotema de la base: ab = b.

Apotema de la pirámide: ap = c.

El apotema de la pirámide (ap) puede calcularse a partir del apotema de la base (ab) y de la altura de la pirámide (h)

aplicando el teorema de Pitágoras.

[editar]Área total de una pirámide

El área total de la pirámide es la suma del área de la base y el área lateral.

(3)

Page 20: Sucesión de Fibonacci

En el caso de una pirámide regular, sustituyendo el área de la base (1) y el área lateral (2) en la ecuación (3), se

obtiene:

[editar]Volumen

El volumen de una pirámide puede obtenerse mediante cálculo diferencial. El área de un plano de corte transversal

es directamente proporcional al área de la base (Ab) y al cuadrado de la distancia del plano de corte respecto al ápice

de la pirámide. Esta distancia (d) es la diferencia entre la altura de la pirámide (h) y altura del plano de corte (z).

Por lo tanto, el área de un plano de corte transversal situado a una altura z por encima de la base es

El volumen de una pirámide se puede hallar conociendo el área de su base y su altura, independientemente de la

forma de la base y de la posición del ápice en un plano paralelo a la base.

(4)

Esta fórmula también es válida para el cono, ya que no depende de la forma de la base, sino de su área.

[editar]Volumen de una pirámide regular

El volumen de una pirámide cuya base es un polígono regular puede calcularse a partir del lado del polígono

regular que define su base y la altura de la pirámide. Sustituyendo el área de la base Ab (1) en la ecuación del

volumen de la pirámide (4) se obtiene:

[editar]Centro de gravedad de una pirámide

El centro de gravedad de una pirámide de densidad uniforme está situado a una distancia de la base igual a un

cuarto de su altura.1

Page 21: Sucesión de Fibonacci

[editar]Véase también

Pirámide

Tronco de pirámide

Tetraedro

Eudoxo de Cnidos

Bipirámide  (unión de dos pirámides por sus bases)

[editar]Referencias

1. ↑  Vázquez, Manuel; López, Eloisa (1995), Mecánica para ingenieros, Editorial Noela, Madrid, ISBN 84-88012-03-9.

[editar]Enlaces externos

 Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Pirámide (geometría).

Weisstein, Eric W . «Pirámide» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.[[az:Piramooongg

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SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA.

Observa con atención lo que sucede con la suma de los términos de una  progresión aritmética:Supongamos la progresión:               2. 5. 8. 11. 14. 17. 20. 23. 26. 29. 32. 35. 38Sumamos todos los términos y veo que S (la suma de todos los términos) vale 260

(1) S = 2+ 5+8+11+14+17+20+23+26+29+32+35+38= 260

Page 22: Sucesión de Fibonacci

Si sumo el valor de dichos términos comenzando por el último, la suma será la misma:

(2) S= 38+35+32+29+26+23+20+17+14+11+8+5+2+= 260

Ahora sumas las  igualdades de las notas (1) y (2). La suma la haces verticalmente y te encontrarás con (2+38), (5+35), (8+32).......

Estás sumando el primer término con el último, el segundo con el penúltimo, el tercero con el antepenúltimo, y así, sucesivamente como tienes a continuación,verás que todas las sumas son iguales:

Hemos sumado los términos a la izquierda y la derecha del signo ‘=’ por

ello: 

¿Cuántas veces se repite la misma suma? Si cuentas bien verás que 40 se repite 13 veces lo que equivale a 40x13= 520

puedes escribir:

Si a los términos los escribimos como:

Los puntos suspensivos se refieren a otros términos, dependiendo del número de éstos.

Siendo n el número de términos   serán los cuatro últimos términos. En una progresión de 7 términos tendrías, sustituyendo n por 7:                      

Page 23: Sucesión de Fibonacci

La suma de todos los términos será: 

El valor de la suma no varía si los sumamos comenzando del último al primero:

Ahora sumamos ambas igualdades:  

Todas las sumas indicadas entre paréntesis tienen el mismo valor por lo que podríamos escribir:

Como todos los sumandos entre paréntesis valen lo mismo, tomamos uno de ellos, los que se refieren al primero y último términos y nos resulta lo que tienes más arriba...

En lugar de sumar: 23+23+23+23+23+23, es más fácil, contar cuantas veces se repite este número y multiplicarlo por 23: 23+23+23+23+23+23 es lo mismo que 23x6.

¿Cuántas veces se nos repite  ?

Tantas veces como términos tenga la progresión, en este caso, n. Por lo que se nos transformaría todo lo anterior en:

Page 24: Sucesión de Fibonacci

Despejamos el valor de S y obtenemos:

La fórmula que nos sirve para calcular el valor de la suma de los términos de una progresión aritmética es igual:A la suma del primero y último términos, dividido por 2 y multiplicado por el número de términos.

Si una progresión aritmética tiene un número impar de términos, como:                                          2. 4. 6. 8. 10. 12. 14. 16. 18La suma del primero y último, es igual a la suma del segundo y penúltimo,…. y me quedará el término CENTRAL sólo. Si a éste le multiplico por 2, es decir, hallo el doble de su valor, veré que coincide con las sumas anteriores:

16. 15   Calcula la suma de los 20 primeros términos de la progresión 2. 4. 6. 8. ……….Respuesta: 420Solución:

Primero calculamos el valor del último término:

Aplicando la fórmula de la suma de los términos de una progresión aritmética:

Page 25: Sucesión de Fibonacci

16.16     En una progresión aritmética el primer término vale 1, el segundo 3. …….La suma de todos los términos 196. ¿Cuántos términos tiene?Respuesta: 14Solución:

Conocemos el valor de 

Aplicando la fórmula de la suma y haciendo operaciones:

16.17    Calcula la suma de los 1000 primeros números naturales.Respuesta: 500.500                                                       Solución:

Conocemos el primer término que es 1. Conocemos el último que es 1000 y además sabemos que la d es igual a 1.

Haciendo uso de la fórmula de suma:

16.18 Calcula la suma de los 1000 primeros números impares.

Page 26: Sucesión de Fibonacci

Respuesta:1.000.000Solución:Conocemos el primer término, 1. La diferencia o razón, 2. El número de términos, 1000.Calculamos el valor del último término:

Aplicando la fórmula   de la suma:                

16.19 Calcula la suma de los 1000 primeros números pares.

Respuesta: 1.001.000

16.20 Calcula y demuestra que la suma de los 1000 primeros números pares más los 1000 primeros números impares es igual 2.001.000.

Respuesta: 2.001.000 Solución:

La suma de los 1000 primeros números pares hemos visto que vale:         1.001.000La suma de los 1000 primeros números impares hemos visto que vale:    1.000.000                                                                                     Total…………..:     2.001.000

Calculamos la suma de los 2.000 primeros números YA QUE EN ESTE NÚMERO ESTAN INCLUIDOS 1.000 NÚMEROS PARES Y 1.000 NÚMEROS IMPARES:

Page 27: Sucesión de Fibonacci

Veo que coinciden las dos cantidades lo que me indica que la respuesta es correcta.

16.21 Tenemos la progresión aritmética siguiente:  5,………………….995. 1000. Halla la suma de todos los términos.

Respuesta: 100.500

16.22 Calcula la suma de los 100 primeros múltiplos de 5.

Respuesta:  25.250

Solución:El primero vale……. ……5El último ……. ………….500El número de términos….. 100

La suma   valdrá: 

 

Bisectriz

Page 28: Sucesión de Fibonacci

Construcción gráfica con regla y compás.

La bisectriz de un ángulo es la recta que pasa por el vértice del ángulo y lo divide en dos partes iguales.

Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan (están a la misma distancia ) de

las semirrectas de un ángulo.

Contenido

  [ocultar]

1 Propiedades

2 Aplicación en triángulos

3 Propiedades en un triángulo inscrito

4 Véase también

5 Enlaces externos

Propiedades

Los puntos de la bisectriz son equidistantes a los dos lados del ángulo

Dos rectas, al cruzarse, determinan cuatro ángulos y sus bisectrices se cortan conformando ángulos

rectos ente ellas.

En la figura, la bisectriz del ángulo xOy (en amarillo) es (zz'), y la del ángulo x'Oy es (ww'). Se cortan

formando un ángulo recto. En efecto, si llamamos a la amplitud de xOz, y b la de yOw, observamos

que 2a +2b es la amplitud del ángulo xOx' = 180º, es un ángulo plano. Luego zOw mide a + b = 90º.

Page 29: Sucesión de Fibonacci

Aplicación en triángulos

Las tres bisectrices de los ángulos internos de un triángulo se cortan en un único punto, que equidista

de los lados. Este punto se llama el incentro del triángulo y es el centro de la circunferencia inscrita al

triángulo. Esta circunferencia es tangente a cada uno de los lados del triángulo.

Demostración: Dos bisectrices del triángulo no pueden ser paralelas. Sea O la intersección de las

bisectrices D y D' (ver figura). Como O pertenece a D, es equidistante de las rectas (A,B) y (A,C). Como

O pertenece a D', entonces también equidista de las rectas (AB) y (BC). Por transitividad de la igualdad,

es equidistante de (A,C) y (B,C), y pertenece a la bisectriz (interior) del ángulo C, es decir a D". Al ser

equidistante a los tres lados. Se sigue que la circunferencia cuyo radio sea justamente la distancia

común del punto O a los lados del triángulo es tangente a cada uno de los lados.

Propiedades en un triángulo inscrito

Page 30: Sucesión de Fibonacci

Considere el triángulo A,B,C y la circunferencia circunscrita. La mediatriz M,N, del lado B,C corta el arco

B,M,C en su punto medio. Como el ángulo inscrito B,A,C subtiende dicho arco, los ángulos B,A,M y

M,A,C son iguales y la recta A,M resulta ser la bisectriz del ángulo B,A,C. Las rectas A,N y A,M son

ortogonales, porque el lado M,N del triángulo A,M,N es diámetro de la circunferencia y el vértice A se

halla sobre dicha circunferencia. La recta A,N es bisectriz del ángulo exterior al triángulo A,B,C en el

vértice A.

Por lo anteriormente expuesto: La mediatriz de un lado de un triángulo y las bisectrices del ángulo

opuesto se intersecan sobre la circunferencia circunscrita

Este hecho se usa en la discusión de la circunferencia de los nueve puntos.

Véase también

Teorema de la bisectriz

Mediatriz

Enlaces externos

Bisectriz de un ángulo, en wikiEducared

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Page 31: Sucesión de Fibonacci

Comple

CircunferenciaLa circunferencia es una línea curva, plana y cerrada, cuya definición más usual es:

Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de

un plano que equidistan de otro punto fijo y coplanario llamado centro en una cantidad

constante llamadaradio.

A la distancia entre cualquiera de sus puntos y el centro se le denomina radio. El segmento de recta

formado por dos radios alineados se llama diámetro. Es la mayor distancia posible entre dos puntos que

pertenezcan a la circunferencia. La longitud del diámetro es el doble de la longitud del radio. La

circunferencia sólo posee longitud. Se distingue del círculo en que éste es el lugar geométrico de los

puntos contenidos en una circunferencia determinada; es decir, la circunferencia es el perímetro del

círculo cuya superficie contiene.

Puede ser considerada como una elipse de excentricidad nula, o una elipse cuyos semiejes son iguales.

También se puede describir como la sección, perpendicular al eje, de una superficie cónica o cilíndrica,

o como un polígono de infinitos lados, cuya apotema coincide con su radio.

La circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio 1 se denomina circunferencia

unidad o circunferencia goniométrica.1 2 3 4 5

Contenido

  [ocultar]

1 Elementos de la circunferencia

2 Posiciones relativas

Page 32: Sucesión de Fibonacci

o 2.1 La circunferencia y un punto

o 2.2 La circunferencia y la recta

o 2.3 Dos circunferencias

3 Ángulos en una circunferencia

4 Longitud de la circunferencia

o 4.1 Área del círculo delimitado por una circunferencia

5 Ecuaciones de la circunferencia

o 5.1 Ecuación en coordenadas cartesianas

o 5.2 Ecuación vectorial de la circunferencia

o 5.3 Ecuación en coordenadas polares

o 5.4 Ecuación en coordenadas paramétricas

6 Circunferencia en topología

7 Circunferencia en un plano de ejes de referencia no ortogonales

o 7.1 Construcción de una circunferencia

8 Otras propiedades

9 Véase también

10 Referencias

11 Enlaces externos

[editar]Elementos de la circunferencia

Secantes, cuerdas y tangentes.

Page 33: Sucesión de Fibonacci

La mediatriz de una cuerda pasa por el centro de la circunferencia.

Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en la circunferencia:

Centro, el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia;

Radio , el segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia;

Diámetro , el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia (necesariamente pasa por el

centro);

Cuerda , el segmento que une dos puntos de la circunferencia; (las cuerdas de longitud máxima son

los diámetros)

Recta Secante, la que corta a la circunferencia en dos puntos;

Recta Tangente  o simplemente Tangente, la que toca a la circunferencia en un sólo punto;

Page 34: Sucesión de Fibonacci

Punto de tangencia, el de contacto de la recta tangente con la circunferencia;

Arco , el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia;

Semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro.

[editar]Posiciones relativas

[editar]La circunferencia y un punto

Un punto en el plano puede ser:

Exterior a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es mayor que la longitud del radio.

Perteneciente a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es igual a la longitud del radio.

Interior a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es menor a la longitud del radio.

[editar]La circunferencia y la recta

Una recta, respecto de una circunferencia, puede ser:

Exterior, si no tienen ningún punto en común con ella y la distancia del centro a la recta es mayor

que la longitud del radio.

Tangente, si la toca en un punto (el punto de tangencia) y la distancia del centro a la recta es igual a

la longitud del radio. Una recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que une el

punto de tangencia con el centro.

Secante, si tiene dos puntos comunes, es decir, si la corta en dos puntos distintos y la distancia del

centro a la recta es menor a la longitud del radio.Cuerda que pasa por el centro de la circunferencia

Segmento circular, es el conjunto de puntos de la región circular comprendida entre una cuerda y el

arco correspondiente

[editar]Dos circunferencias

Dos circunferencias, en función de sus posiciones relativas, se denominan:

Exteriores, si no tienen puntos comunes y la distancia que hay entre sus centros es mayor que la

suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio. (Figura 1)

Tangentes exteriormente, si tienen un punto común y todos los demás puntos de una son

exteriores a la otra. La distancia que hay entre sus centros es igual a la suma de sus radios. No

importa que tengan igual o distinto radio. (Figura 2)

Page 35: Sucesión de Fibonacci

Secantes, si se cortan en dos puntos distintos y la distancia entre sus centros es menor a la suma

de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio. Dos circunferencias distintas no pueden

cortarse en más de dos puntos. Dos circunferencias son secantes ortogonalmente si el ángulo entre

sus tangentes en los dos puntos de contacto es recto. (Figura 3)

Tangentes interiormente, si tienen un punto común y todos los demás puntos de una de ellas son

interiores a la otra exclusivamente. La distancia que hay entre sus centros es igual al valor absoluto

de la diferencia de sus radios. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra. (Figura 4)

Interiores excéntricas, si no tienen ningún punto común y la distancia entre sus centros es mayor

que 0 y menor que el valor absoluto de la diferencia de sus radios. Una de ellas tiene que tener

mayor radio que la otra.

Interiores concéntricas, si tienen el mismo centro (la distancia entre sus centros es 0) y distinto

radio. Forman una figura conocida como corona circular o anillo. Una de ellas tiene que tener mayor

radio que la otra. (Figura 5)

Coincidentes, si tienen el mismo centro y el mismo radio. Si dos circunferencias tienen más de dos

puntos comunes, necesariamente son circunferencias coincidentes.

[editar]Ángulos en una circunferencia

Ángulos en la circunferencia.

Page 36: Sucesión de Fibonacci

Arco capaz: los cuatro ángulos inscritos determinan el mismo arco y por tanto son iguales.

Un ángulo, respecto de una circunferencia, pueden ser:

Ángulo central, si tiene su vértice en el centro de esta. Sus lados contienen a dos radios.

La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca.

Ángulo inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen dos cuerdas.

La amplitud de un ángulo inscrito en una semi circunferencia equivale a la mayor parte del

ángulo exterior que limita dicha base. (Véase: arco capaz.)

Ángulo semi-inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen una

cuerda y una recta tangente a la circunferencia. El vértice es el punto de tangencia.

La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la mitad de la del arco que abarca.

Ángulo interior, si su vértice está en el interior de la circunferencia.

La amplitud de un ángulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que

abarcan sus lados más la del arco que abarcan sus prolongaciones.

Ángulo exterior, si tiene su vértice en el exterior de la circunferencia

[editar]Longitud de la circunferencia

La longitud   de una circunferencia es:

donde   es la longitud del radio.

Pues   (número pi), por definición, es el cociente entre la longitud de la

circunferencia y el diámetro:

Page 37: Sucesión de Fibonacci

[editar]Área del círculo delimitado por una circunferencia

Área del círculo = π × área del cuadrado sombreado.

El área del círculo delimitado por la circunferencia es:

[editar]Ecuaciones de la circunferencia

[editar]Ecuación en coordenadas cartesianas

En un sistema de coordenadas cartesianas x-y, la circunferencia con

centro en el punto (a, b) y radio r consta de todos los puntos (x, y) que

satisfacen la ecuación

.

Cuando el centro está en el origen (0, 0), la ecuación anterior se

simplifica al

.

Page 38: Sucesión de Fibonacci

La circunferencia con centro en el origen y de radio la unidad,

es llamada circunferencia goniométrica, circunferencia unidad o

circunferencia unitaria.

De la ecuación general de una circunferencia,

se deduce:

resultando:

Si conocemos los puntos extremos de

un diámetro:  ,

la ecuación de la circunferencia es:

[editar]Ecuación vectorial de la

circunferencia

La circunferencia con centro en el

origen y radio R, tiene por

ecuación vectorial: 

.

Donde   es el parámetro de la

curva, además cabe destacar

que  . Se puede

deducir fácilmente desde la

ecuación cartesiana, ya que la

componente X y la componente Y,

al cuadrado y sumadas deben dar

por resultado el radio de la

circunferencia al cuadrado. En el

espacio esta misma ecuación da

Page 39: Sucesión de Fibonacci

como resultado un cilindro, dejando

el parámetro Z libre.

[editar]Ecuación en

coordenadas polares

Cuando la circunferencia tiene

centro en el origen y el radio es c,

se describe en coordenadas

polares como 

Cuando el centro no está en el

origen, sino en el punto   

y el radio es  , la ecuación se

transforma en:

[editar]Ecuación en

coordenadas

paramétricas

La circunferencia con

centro en (a, b) y

radio c se parametriza con

funciones trigonométricas

como:

Page 40: Sucesión de Fibonacci

y con funciones

racionales como

[

editar]Circunferencia en topología

En topología, se

denomina

circunferencia a

cualquier curva

cerrada que

sea homeomorfa 

a la circunferencia

usual de la

geometría (es

decir, la esfera 1–

dimensional). Se

la puede definir

como el espacio

cociente determin

ado al identificar

los dos extremos

de

un intervalo cerra

do.6

Los geómetras

llaman 3-esfera a

la superficie de

la esfera. Los

topólogos se

refieren a ella

como 2-esfera y

Page 41: Sucesión de Fibonacci

la indican

como  .7

[

editar]Circunferencia en un plano de ejes de referencia no ortogonales

Este artículo o sección debería estar en Wikiversidaduna guía de aprendizaje en vez de un verdadero artículopágina en WikiversidadSi modificas este artículo dándole una orientación enciclopédica, por favor quita este aviso.

Plano oblicuo,

Construcción

de la

Circunferencia.

Para construir

una

circunferencia en

Page 42: Sucesión de Fibonacci

el plano oblicuo,

no se puede usar

la misma

ecuación que se

usa en un plano

ortogonal, por lo

que es necesario

introducir algunos

conceptos que

nos ayudarán a

entender la

construcción de

tal ecuación.

Tales conceptos

son los

de trigonometría.

Se debe tener

presente que en

este plano una

ecuación de

circunferencia se

llamará así si se

ve como tal. Es

por esta razón

que se descarta

la ecuación

anterior, porque

en el plano

oblicuo no

parecerá

circunferencia,

sino una elipse.

[

editar]Constru

cción de una

Page 43: Sucesión de Fibonacci

circunferenci

a

Usaremos el

mismo

razonamiento

usado

anteriormente y

nos guiaremos

por la figura

adjunta. Dijimos

que en el plano

ortogonal, la

ecuación de la

circunferencia

cumplía con que

todos los puntos

de la función

equidistan de un

punto

llamado centro

de la

circunferencia.

En este plano, las

distancias siguen

siendo las

mismas, no es un

plano en

perspectiva, sólo

es un plano

inclinado, por lo

tanto el Teorema

de Pitágoras

sigue siendo

válido si se aplica

Page 44: Sucesión de Fibonacci

de manera

correcta.

Razonamient

o

 la distancia

entre los

puntos   y 

 la distancia

entre los

puntos   y  ,

es

decir 

 la distancia

entre los

puntos   y  , es

decir, 

.

Por el Teorema

del

coseno tenemos

que la distancia   

entre los

puntos   y   

viene dada por la

siguiente relación

luego,

Page 45: Sucesión de Fibonacci

Deben

destacarse dos

cosas en este

procedimiento

Se prescinde

del uso del

valor

absoluto en

la raíz. Es un

número

positivo

porque está

al cuadrado

Nótese que

si definimos

las

pendientes

negativas

para las

rectas que

intersecan al

eje   con un

ángulo mayor

que  , se

cumple esta

relación. Si el

ángulo de

intersección

con el eje   

es menor, el

signo menos

que

acompaña

Page 46: Sucesión de Fibonacci

al   será

positivo. (se

puede

demostrar)

Conlcluímos

entonces que en

esta relación no

hay pérdida de

generalidad.

Con esta relación,

podemos

encontrar la

ecuación de una

circunferencia,

basándonos en el

hecho de que la

distancia desde el

centro, hasta

cualquier parte de

la frontera o

borde será la

misma. Fijaremos

un centro con las

coordenadas

cartesianas 

 (fijo). Así,

si   e   varían,

todo el conjunto

de pares   

para cada   e   

reales, formarán

la frontera de

nuestra

circunferencia de

centro  .

Page 47: Sucesión de Fibonacci

Luego, si la

distancia

constante del

centro a la

cirunferencia la

llamamos  ,

podemos decir

que   será

nuestro radio de

circunferencia.

Entonces,

será la ecuación

de la

circunferencia en

un plano con un

ángulo de

inclinación  .

Un caso particular

de esta ecuación

es

cuando  .

En este caso

volvemos al plano

ortogonal y la

ecuación de la

circunferencia es

la misma que

habíamos

demostrado. Se

puede decir

entonces, que la

Page 48: Sucesión de Fibonacci

ecuación de la

circunferenca en

el plano ortogonal

es un caso

particular de éste.

El área es la

misma en este

caso, ya que el

área sólo está en

función del radio

y no del ángulo

de inclinación del

plano al que

pertenece.

[editar]Otras propiedades

Potencia de

un punto: si

dos cuerdas

se

intersecan, el

producto de

los

segmentos

Page 49: Sucesión de Fibonacci

formados en

la una, es

igual al

producto de

los

segmentos

formados en

la otra

cuerda, 

.

El

segundo teor

ema de

Tales muestr

a que si los

tres vértices

de un

triángulo

están sobre

una

circunferenci

a dada,

siendo uno

de sus lados

el diámetro

de la

circunferenci

a, entonces,

el ángulo

opuesto a

éste lado es

un ángulo

recto (véase 

arco capaz).

Page 50: Sucesión de Fibonacci

Triángulos

rectángulos

inscritos en una

semicircunferen

cia.

Dados tres

puntos

cualesquiera

no alineados,

existe una

única

circunferenci

a que

contiene a

estos tres

puntos (esta

circunferenci

a

estará circun

scrita al

triángulo

definido por

estos

puntos).

Dados tres

puntos no

Page 51: Sucesión de Fibonacci

alineados en

el plano

cartesiano 

, la ecuación

de la

circunferenci

a está dada

de forma

simple por la

determinante

matricial:

[

editar]Véase también

Círculo

REFERENCIA RÁPIDA DE FÓRMULAS GEOMÉTRICAS

FORMA

ELEMENTOS

FÓRMULA

PERÍMETRO

FÓRMULA

ÁREA

Page 52: Sucesión de Fibonacci

TRIÁNGULO

b: Base

h: Altura

l: Lado1

m: Lado2

n: Lado3

P = l + m + n

A =

b x h

2

CUADRADO

a: Lado

P = 4a

A = a2

RECTÁNGULO

Page 53: Sucesión de Fibonacci

b: Base

h: Altura

P = 2b + 2h

A = b x h

ROMBO

a: Lado

d: Diagonal menor

D: Diagonal mayor

P = 4a

A =

D x d

2

ROMBOIDE

b: Base

h: Altura

P = 2b + 2h

A = b x h

Page 54: Sucesión de Fibonacci

TRAPECIO

l: Lado1

m: Lado2

n: Lado3

o: Lado4

b: Base menor

B: Base mayor

h: Altura

P = l + m + n + o

A =

h ( B + b )

2

PENTÁGONO

a: Apotema

b: Base

P = 5 b

A =

P x a

2

HEXÁGONO

Page 55: Sucesión de Fibonacci

a: Apotema

b: Base

P = 6 b

A =

P x a

2

CÍRCULO

¶: 3.1416

d: Diámetro

r: Radio

P = d x ¶

A = ¶ x r2

ELIPSE

¶: 3.1416

s: Semieje menor

S: Semieje mayor

A = ¶ x S x s

POLÍGONO

Page 56: Sucesión de Fibonacci

IRREGULAR

l: Lado1

m: Lado2

n: Lado3

o: Lado4...

P = l + m + n + o ...

Fórmulas de la circunferencia

1.Longitudes

Longitud de una circunferencia

Longitud de un arco de circunferencia

2.Áreas

Área del círculo

Page 57: Sucesión de Fibonacci

Área del sector circular

Área de la corona circular

Área del trapecio circular

Área del segmento circular

Page 58: Sucesión de Fibonacci

Área del

segmento circular

AB = Área del

sector circular AOB

− Área del

triángulo AOB

Área de la lúnula

3.Ángulos en la circunferencia

Central

Inscrito

Page 59: Sucesión de Fibonacci

Semiinscrito

Interior

Exterior

Frtdtrffffffffffffff

fffffffffffffffgggggggg

ggggrr……………………

Page 60: Sucesión de Fibonacci

…….

Ejercicios resueltos

 

El máximo común

divisor de dos números

de Fibonacci es otro

número de Fibonacci.

Más específicamente

Esto significa que   y   son primos relativos y que   divide exactamente a 

Los números de Fibonacci

aparecen al sumar las

diagonales del triángulo de

Pascal. Es decir que para

cualquier 

y más aún

Si  , tal que

entonces   también es un número primo, con

una única excepción,

número primo, pero 4 no lo es.

Buscar

Page 61: Sucesión de Fibonacci

La suma infinita de los términos de la

sucesión   es exactamente

La suma de diez números Fibonacci

consecutivos es siempre 11 veces superior al

séptimo número de la serie.

El último dígito de cada número se repite

periódicamente cada 60 números. Los dos

últimos, cada 300; a partir de ahí, se repiten

cada 

[editar]Generalización

Gráfica de la sucesión de Fibonacci extendida al campo de

los números reales.

El concepto fundamental de la sucesión de

Fibonacci es que cada elemento es la suma de

los dos anteriores. En este sentido la sucesión

puede expandirse al conjunto de los

enteros como 

de manera que la suma de cualesquiera dos

números consecutivos es el inmediato siguiente.

Para poder definir los índices negativos de la

sucesión, se despeja

donde se obtiene

Page 62: Sucesión de Fibonacci

De esta manera, 

y   si 

La sucesión se puede expandir al campo de

los números reales tomando la parte real de la fórmula

explícita (ecuación (6

real. La función resultante

tiene las mismas características que la sucesión de

Fibonacci:

cualquier número real

Una sucesión de Fibonacci generalizada

sucesión 

(9)

Es decir, cada elemento de una sucesión de Fibonacci

generalizada es la suma de los dos anteriores, pero no

necesariamente comienza en 0 y 1.

Una sucesión de fibonacci generalizada muy importante, es

la formada por las potencias del número áureo.

.

La importancia de esta sucesión reside en el hecho de que se

puede expandir directamente al conjunto de los números reales.

.

...y al de los complejos.

.

Una característica notable es que, si

de Fibonacci generalizada, entonces

Page 63: Sucesión de Fibonacci

Por ejemplo, la ecuación (

Esto significa que cualquier cálculo sobre una sucesión de Fibonacci generalizada

se puede efectuar usando números de Fibonacci.

[editar]Sucesión de Lucas

Gráfica de la sucesión de Lucas extendida al campo de los números reales.

Un ejemplo de sucesión de Fibonacci generalizada es la

descrita por las ecuaciones

La sucesión de Lucas tiene una gran similitud con la sucesión de Fibonacci y

comparte muchas de sus características. Algunas propiedades interesantes

incluyen:

La proporción entre un número de Lucas y su sucesor inmediato se aproxima

al número áureo. Es decir

La fórmula explícita para la sucesión de Lucas es

Page 64: Sucesión de Fibonacci

La suma de los primeros

posición 

Cualquier fórmula que contenga un número de Lucas puede expresarse en términos de

números de Fibonacci mediante la igualdad

Cualquier fórmula que contenga un número de Fibonacci puede expresarse en términos de

números de Lucas mediante la igualdad

[editar]Algoritmos de cálculo

Calculando   usando el algoritmo

Para calcular el  -ésimo elemento de la sucesión de Fibonacci existen varios

definición misma puede emplearse como uno, aquí expresado en

Usando técnicas de análisis de algoritmos

algoritmo 1 requiere efectuar

Page 65: Sucesión de Fibonacci

sucesión  crece tan rápido

este algoritmo es muy lento. Por ejemplo, para calcular

20.365.011.073 sumas.

Para evitar hacer tantas cuentas, es común recurrir a una calculadora y utilizar la ecuación (

embargo, dado que 

aproximación de   y obteniendo en consecuencia un resultado aproximado pero incorrecto. Por

ejemplo, si se usa una calculadora de 10 dígitos, entonces la fórmula anterior arroja como

resultado 

es 

Un método más práctico evitaría calcular las mismas sumas más de una vez. Considerando un

par   de números consecutivos de la sucesión de Fibonacci, el siguiente par de la sucesión

es  , de esta manera se divisa un algoritmo donde sólo se requiere considerar dos números

consecutivos de la sucesión de Fibonacci en cada paso. Este método es el que usaríamos normalmente

para hacer el cálculo a lápiz y papel. El algoritmo se expresa en pseudocódigo como:

Esta versión requiere efectuar sólo

considerablemente más rápido que el algoritmo

50 sumas para calcular

Page 66: Sucesión de Fibonacci

Calculando   usando el algoritmo

Un algoritmo todavía más rápido se sigue partiendo de la ecuación (

es posible calcular 

De esta manera se divisa el algoritmo de tipo

aproximadamente, 

cuatro valores de cada matriz dado que cada una tiene la forma

De esta manera, cada matriz queda completamente representada por los valores

calcular como

Page 67: Sucesión de Fibonacci

Por lo tanto el algoritmo queda como sigue:

A pesar de lo engorroso que parezca, este algoritmo permite reducir enormemente el número de operaciones que se

necesitan para calcular números de Fibonacci muy grandes. Por ejemplo, para calcular

573.147.844.013.817.084.100 sumas del algoritmo

sólo 9 multiplicaciones matriciales.

[editar]La sucesión de Fibonacci en la cultura popular

Page 68: Sucesión de Fibonacci

Sucesión de Fibonacci in art,

Jake uno de los protagonistas de la serie

En la pág. 61 de la novela de

ocho números de Fibonacci (56.9.65808735), que funcionan como una pista dejada por el conservador del museo

del Louvre, Jacques Saunière.

En el álbum Lateralus

"Lateralus" siguen la Sucesión de Fibonacci del número 13 (número de pistas del disco):

1,1,2,3,5,8,13,1,1,2,3,5,8,13,1,1,...

En la miniserie Taken

extraterrestres, en ejemplos como que sus naves tienen 5 tripulantes, sus manos 3 dedos y un pulgar, 1597

avistamientos ovnis en año anterior, se siguieron a 55 parejas para descubrir la híbrida humano-extraterrestre

Allie, y que finalmente el número de abducidos era de 46368. Incidentalmente se habla en de un hombre que fue

abducido 13 veces. 1, 3, 5, 13, 55, 1597, 46368, todos números Fibonacci.

En el filme de Darren Aronofsky

en números en la cual el personaje Max Cohen relaciona esta última teoría con la secuencia de Fibonacci llegando

en conclusión que todo esta basado en la ley del orden y el caos.

En un lateral de la cúpula de la antigua sinagoga ahora convertida en el Museo Nazionale del Cinema, más

conocida como Mole Antonelliana, en Torino (Italia), se puede observar una instalación luminosa de la sucesión de

números de Fibonacci.

El Dr. Walter Bishop de la serie de televisión

sus cajas de seguridad. Capítulo 10 de la primera temporada.

En el videojuego de

Fibonacci para poder resolverlo.

Page 69: Sucesión de Fibonacci

En el juego móvil Doom RPG hay una habitación secreta que requiere de los primeros 7 dígitos de la sucesión de

Fibonacci (11235813) para poder desbloquearla.

En el videojuego de

sucesión de Fibonacci.

En Criminal Minds un criminal deja una secuencia Fibonacci como pista para encontrar a sus próximas víctimas

cautivas.

En la serie touch del canal Fox, es mencionada cuando se explica la interconexión que hay entre todas y cada una

de las personas en el mundo.

[editar]La sucesión de Fibonacci en la naturaleza

Los machos de una colmena de abejas tienen un árbol genealógico que cumple con esta sucesión. El hecho es que

un zángano (1), el macho de la abeja, no tiene padre, pero sí que tiene una madre (1, 1), dos abuelos, que son los

padres de la reina (1, 1, 2), tres bisabuelos, ya que el padre de la reina no tiene padre (1, 1, 2, 3), cinco tatarabuelos

(1, 1, 2, 3, 5), ocho trastatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5, 8) y así sucesivamente, cumpliendo con la sucesión de Fibonacci.

[editar]Dígitos en la sucesión de Fibonacci

Una de las curiosidades de dicha serie, son los dígitos de sus elementos:

Empezando en 1 dígito y "terminando" en infinitos, cada valor de dígito es compartido por 4,5, o 6 números de la

serie. Siendo 6 solo en el caso de 1 dígito.

En los elementos de posición n, n^10, n^100,..., El numero de dígitos aumenta en el mismo orden. Dando

múltiples distintos para cada n