Elteorema de Stokesengeometra diferenciales una proposicin sobre laintegracindeformas diferencialesque generaliza variosteoremasdelclculo vectorial. Se nombra as porGeorge Gabriel Stokes(1819-1903), a pesar de que la primera formulacin conocida del teorema fue realizada porWilliam Thomsony aparece en una correspondencia que l mantuvo con Stokes fechada el 2 de julio de 1850.123Stokes puso el teorema como una pregunta en el examen de 1854 delPremio de Smith, lo que dio como resultado que ahora lleve su nombre.Introduccin[editar]Elteorema fundamental del clculoestablece que laintegralde una funcinfen elintervalo[a,b] puede ser calculada por medio de unaantiderivadaFdef:

El teorema de Stokes es una generalizacin de este teorema en el siguiente sentido: Para laFelegida,. En el lenguaje de lasformas diferencialeses decir quef(x)dxes laderivada exteriorde la 0-forma (como por ejemplo una funcin)F:dF = fdx. El teorema general de Stokes se aplica a formas diferenciales mayoresen vez deF. En un lenguaje matemtico, el intervalo abierto (a,b) es unavariedadmatemtica unidimensional. Su frontera es el conjunto que consiste en los dos puntosayb. Integrarfen ese intervalo puede ser generalizado como integrar formas en una variedad matemtica de mayor orden. Para esto se necesitan dos condiciones tcnicas: la variedad matemtica debe ser orientable, y la forma tiene que ser compacta de manera que otorgue una integral bien definida. Los dos puntosaybforman parte de la frontera del intervalo abierto. Ms genricamente, el teorema de Stokes se aplica a variedades orientadasMcon frontera. La frontera MdeMes una variedad en s misma y hereda la orientacin natural deM. Por ejemplo, la orientacin natural del intervalo da una orientacin de los dos puntos frontera. Intuitivamenteahereda la orientacin opuesta ab, al ser extremos opuestos del intervalo. Entonces, integrandoFen los dos puntos fronteraa,bes equivalente a tomar la diferenciaF(b)F(a).Por lo que el teorema fundamental relaciona la integral de una funcin sobre un intervalo, con una integral o suma de la primitiva de la funcin en los lmites que encierran dicho intervalo:

Por otro lado elteorema de Greenhace algo similar en dos dimensiones, relaciona la integral a lo largo de una curva simple con la integral de una combinacin de derivadas sobre un rea limitada por la curva simple:

Similarmente elteorema de la divergenciarelaciona la integral de una funcin sobre una superficie con la integral de una combinacin de derivadas sobre el interior del conjunto:

El teorema de Stokes generaliza todos estos resultados, relacionando la integral sobre una frontera con la integral de una funcin "derivada" sobre el interior de la regin limitada por la frontera.Formulacin general[editar]SeaMuna variedad de dimensinndiferenciable por trozos orientada compacta y sea una forma diferencial enMde gradon-1 y de clase C. Si Mdenota el lmite deMcon su orientacin inducida, entonces

aqudes laderivada exterior, que se define usando solamente la estructura de variedad. El teorema debe ser considerado como generalizacin delteorema fundamental del clculoy, de hecho, se prueba fcilmente usando este teorema.El teorema se utiliza a menudo en situaciones dondeMes una subvariedad orientada sumergida en una variedad ms grande en la cual la forma se define.El teorema se extiende fcilmente a lascombinaciones linealesde las subvariedadesdiferenciables por trozos, las, as llamadas, cadenas. El teorema de Stokes demuestra entonces que las formas cerradas definidasmdulounaforma exactase pueden integrar sobre las cadenas definidasmduloborde. sta es la base para el apareamiento entre losgrupos de homologay lacohomologa de de Rham.Casos especiales[editar]El clsico teorema de Kelvin-Stokes[editar]

El clsico teorema de Kelvin-Stokes relaciona la integral de superficie delrotacionaldelcampo vectorialsobre una superficie en el 3-espacio euclidiano a la integral de lnea del campo vectorial sobre su borde, es un caso especial del teorema de Stokes generalizado (conn= 2) una vez que identifiquemos el campo vectorial con una 1-forma usando la mtrica en el 3-espacio euclidiano.Otra forma de escribir el mismo teorema es la siguiente:

Dondees un campo vectorial cualquiera.Establece que la integral de superficie delrotacionalde uncampo vectorialsobre una superficie abierta es igual a la integral (curvilnea) cerrada delcampo vectoriala lo largo del contorno que limita la superficie.Teorema de Green[editar]El teorema de Green esun caso especial del clsico teorema de Kelvin-Stokescuando es aplicado a una regin en el plano-xy.Teorema de la divergencia[editar]Asimismo el teorema de Ostrogradsky-Gauss oTeorema de la divergencia:

es un caso especial si identificamos un campo vectorial con lan-1 forma obtenida contrayendo el campo vectorial con la forma de volumen euclidiano.Ms casos[editar]Elteorema fundamental del clculoy elteorema de Greenson tambin casos especiales del teorema de Stokes generalizado.La forma general del teorema de Stokes que usa formas diferenciales es de ms alcance que los casos especiales, por supuesto, aunque los ltimos son ms accesibles y a menudo son considerados ms convenientes por fsicos e ingenieros.Elteorema de Stokesengeometra diferenciales una proposicin sobre laintegracindeformas diferencialesque generaliza variosteoremasdelclculo vectorial. Se nombra as porGeorge Gabriel Stokes(1819-1903), a pesar de que la primera formulacin conocida del teorema fue realizada porWilliam Thomsony aparece en una correspondencia que l mantuvo con Stokes .Sea S una superficie orientada y suave a segmentos, esta acotada por una curva frontera C suave a segmentos cerrada y simple cuya orientacion es positiva.El Teorema de Stokes establece que el clculo de la integral de lnea del campo vectorial F en la direccin tangencial de la curva C, es igual a la integral sobre la superficie S de la circulacin del campo F alrededor de la frontera, en la direccin de la componente normal unitaria a la superficie, siendo la curva C es una curva orientada positivamente, de tal manera que es la frontera de la superficie orientada positivamente S,En pocas palabras el teorema de Stokes en una definicin fsica se utiliza para convertir una integral de curva a una integral de superficie.

Sea F uncampo vectorialcuyas componentes tengan derivadas parciales continuas sobre una region abierta de r^3 que contiene a S encones el integral.

Ejemplo 1Evalue eldondedonde C es la curva de la interceccion del planocon el cilindroorientado en sentido contrario a las manesillas del reloj cuando se ve desde arriba.

SolucinPrimero se calcula el rotF

rot=A pesar de que son muchas las supercifies que tiene acomo frontera, lo ms cmodo es considerar la region elpticadel planoque est limitado por. Si orienta moshacia arriba, entonces inducimos enuna orientacin positiva. La proyeccindesobre el planoes el disco.===Ejemplo 2Utilice el teorema de Stokes para calcular la integraldondey S es la parte de la esferaque se encuentra dentro del cilindroy arriba del plano.

SolucinPara hallar la curva frontera C resolvemos las ecuacionesy. Restando, obtenemosy por tanto. Asi C es el circulo dado por las ecuaciones. La ecuacion vectorial de C es:por lo cual:Del mismo modo, tenemos:En consecuencia, por el teorema de Stokes: = =Busca mas temas

Lee mas en :Teorema de Stokes, por WikiMatematica.orgwikimatematica.orgFollow us:@wikimatematica on Twitter|wikimatematica on Facebook