ESPINTRÓNICAProblemas Resueltos

Jonnathan A. LópezMecánica Cúantica II

UNAH-CU, 27-Abril-11

NOTAS

Se pretende a continuación exponer la resolución de problemas relacionados a la espintrónica extraídos de distintos libros de texto que tratan tal materia.

Esta presentación contiene muchos hipervínculos asociados con conceptos, personajes, etc. para una fácil lectura y acceder a información ampliada al respecto.

Las operaciones matemáticas están vinculadas a Wolfram Alpha, el cúal se encarga de computarlas en una interfaz similar a un buscador tradicional. 2

SPIN

. Pro

ble

mas re

suelto

s. Escu

ela

de

física, U

NA

H.

ECUACIONES DE LA MECÁNICA CUÁNTICA

Ecuación de

Schrodinger

Ecuación de Dirac

Ecuación de Klein Gordon

Ecuación de Pauli

1926

No relativista

No toma en cuenta espín

1927

No relativista

Partículas espín ½ (e.g. electrón)

1927

Relativista

No toma en cuenta espín (e.g. pión)

1928

Relativista

Partículas spin ½ (e.g. electrón)

Línea de tiempo 3

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. Pro

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física, U

NA

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ECUACIONES DE LA MECÁNICA CUÁNTICA

4

Irwin Schrödinger Wolfgang Pauli

Paul DiracOscar Klein

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ela

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física, U

NA

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PROBLEMA I [1]

Mostrar que los operadores , y satisfacen las siguientes ecuaciones:

xS yS zS

5

x y y x zS S S S i S

2 2 2 2 23| | [ ]

4x y zS S S S I

SPIN

. Pro

ble

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suelto

s. Escu

ela

de

física, U

NA

H.

SOLUCIÓN

Los componentes del espín podemos expresarlos en función de tres matrices adimensionales ,

y como sigue:

2

2

2

x x

y y

z z

S

S

S

0 1

1 0

0

0

1 0

0 1

x

y

z

i

i

6

x y

z

SPIN

. Pro

ble

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suelto

s. Escu

ela

de

física, U

NA

H.

SOLUCIÓN

A este punto, es importante mencionar que las matrices , y son llamadas matrices de Pauli cuyos valores propios son . Los vectores propios correspondientes a éstos se les conoce como espinores y se denotan como .

Matemáticamente y mostrando la analogía con algún operador con vector propio y valor propio :

7

x zy1

A v v

1 , ,i i ii x y z

i

vA

SPIN

. Pro

ble

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suelto

s. Escu

ela

de

física, U

NA

H.

SOLUCIÓN

Por ejemplo, los vectores propios para son:

De modo que debe cumplirse (haz encima para verificarlo en Wolfram):

8

x

11

12x

11

12x

1 10 1 2 2

11 0 1 1

2 2

1x x x 1x x x

1 10 1 2 2

11 0 1 1

2 2

SPIN

. Pro

ble

mas re

suelto

s. Escu

ela

de

física, U

NA

H.

SOLUCIÓN

Entonces, por sustitución directa:

2 2

2

2 2 2 2

0 1 0 0 0 1

1 0 0 0 1 04 4

0 1 0 0 0 1

1 0 0 0 1 04

x y y x x y y xS S S S

i i

i i

i i

i i

sigue….

9

SPIN

. Pro

ble

mas re

suelto

s. Escu

ela

de

física, U

NA

H.

SOLUCIÓN

…continúa:

2

2 2

0 0

0 04

2 0 1 0

0 2 0 14 2

1 0

0 12 2

x y y x

z

i iS S S S

i i

i i

i

i i

x y y x zS S S S i S 10

SPIN

. Pro

ble

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suelto

s. Escu

ela

de

física, U

NA

H.

SOLUCIÓN

Para corroborar la segunda identidad procedemos de forma similar:

2 2 2

2 2 2 2

2 2 22 2 2

2 2 22

0 1 0 1 0| |

1 0 0 0 12 2 2

0 1 0 1 0

1 0 0 0 14 4 4

0 1 0 1 0

1 0 0 0 14

x y z

iS S S S

i

i

i

i

i

sigue….

11

SPIN

. Pro

ble

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suelto

s. Escu

ela

de

física, U

NA

H.

SOLUCIÓN

…continúa:

2 2 22

2 22

2 2

0 1 0 1 0 0 1 0 1 0| |

1 0 1 0 0 0 0 1 0 14 4 4

1 0 1 0 1 0 3 0 1 03

0 1 0 1 0 1 0 3 0 14 4 4

3| | [ ]

4

i iS

i i

S I

12

SPIN

. Pro

ble

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suelto

s. Escu

ela

de

física, U

NA

H.

PROBLEMA II [2]

Suponga que un electrón se prepara en el espinor del vector propio de , con valor propio y mediciones repetitivas se realizan del componente de su momento angular intrínseco, calcular el valor promedio y la desviación estándar de estas mediciones.

0zS 2

x

xS

xS

13

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. Pro

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suelto

s. Escu

ela

de

física, U

NA

H.

SOLUCIÓN

Podemos expresar (y cualquier operador) de una forma conveniente llamada descomposición espectral, dado por [3] :

Esta forma es de gran utilidad ya que nos permite calcular las probabilidades de obtener una valor propio en particular.

0 1

1 02 2 2x x x x xS

14

xS

ˆj j j jQ e e e

2 2| | | | | | |n n n ne e e

SPIN

. Pro

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suelto

s. Escu

ela

de

física, U

NA

H.

SOLUCIÓN

Para nuestro caso específico

Y respecto al valor esperado

1 1 11 1| 1 0 1 1 1 1

1 1 02 2 2 2

1 1{1 0}{1 0} {1 0}{1 0}

2 2 2 2

1

2 2

x xz z

x

x

S S

S

S

1 0

2 2

15

SPIN

. Pro

ble

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suelto

s. Escu

ela

de

física, U

NA

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1 11 11 1 1 1

1 12 2 2 2xS

SOLUCIÓN

Pero hay un método más fácil. Recordemos que el valor esperado lo podemos obtener como sigue:

Esto es:

Precisamente es lo que esperábamos ya que el electrón se encuentra en el está polarizado [1]

16

0 1 10 | | 0 1 0 0

1 0 02x xS S

|Q Q

z

SPIN

. Pro

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s. Escu

ela

de

física, U

NA

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SOLUCIÓN

Por último, la desviación la podemos calcular por definición:

2 2 2

1 2

1 2

( )

0 1 0 10 | | 0

1 0 1 02

0 1 0 1 11 0

1 0 1 0 02 2

x x x xS S S S

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s. Escu

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física, U

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BIBLIOGRAFÍA

1. Bandyopadhyay, S., & Cahay, M. (2008). Introduction to Spintronics. In S. Bandyopadhyay, & M. Cahay, Introduction to Spintronics (p. 33). CRC Press.

2. Bandyopadhyay, S., & Cahay, M. (2008). Introduction to Spintronics. In S. Bandyopadhyay, & M. Cahay, Introduction to Spintronics (p. 40). CRC Press.

3. Griffiths, D. Introduction to Quantum Mechanics. In D. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics (pp. 105, 119). New Jersey: Prentice Hall.

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