Sombras y Algo Mas ALaCiMa Matemáticas – Nivel 7-9.

Sombras y Algo MasSombras y Algo Mas

ALaCiMaALaCiMa

Matemáticas – Nivel 7-9Matemáticas – Nivel 7-9

ObjetivosObjetivosAl finalizar la actividad los estudiantes: Al finalizar la actividad los estudiantes: Utilizarán triángulos semejantes para determinar Utilizarán triángulos semejantes para determinar

la altura de un objeto indirectamente. la altura de un objeto indirectamente. Establecerán correctamente la relación Establecerán correctamente la relación

proporcional entre los lados correspondientes de proporcional entre los lados correspondientes de triángulos semejantes.triángulos semejantes.

Resolverán proporciones correctamente para Resolverán proporciones correctamente para estimar la altura de un objeto.estimar la altura de un objeto.

Calcularán la razón para diferentes ángulos de Calcularán la razón para diferentes ángulos de elevación.elevación.

Describirán el nivel de inclinación de una Describirán el nivel de inclinación de una escalera utilizando el ángulo de elevación y la escalera utilizando el ángulo de elevación y la razón .razón .

MATERIALES Y EQUIPO:MATERIALES Y EQUIPO: Hoja de Trabajo 1 - 6 para cada estudianteHoja de Trabajo 1 - 6 para cada estudiante Proyector vertical y/o proyector de computadoraProyector vertical y/o proyector de computadora Cada grupo cooperativo necesitará:Cada grupo cooperativo necesitará:

Marcadores permanentesMarcadores permanentes Reglas: de 12”, de 6” y de 1 m o 1 yda Reglas: de 12”, de 6” y de 1 m o 1 yda TransportadorTransportador Cinta métricaCinta métrica Opcional: calculadorasOpcional: calculadoras Caja rectangular o libro de texto grande Caja rectangular o libro de texto grande

(tamaños diferentes para diferentes grupos)(tamaños diferentes para diferentes grupos) Un espacio abierto y SOLEADO en los predios Un espacio abierto y SOLEADO en los predios

escolares en el cual se encuentran objetos como escolares en el cual se encuentran objetos como canasta de baloncesto, asta para la bandera, canasta de baloncesto, asta para la bandera, árboles, u otro objetos de una altura similar.árboles, u otro objetos de una altura similar.

EXPLORACIÓN DE CONOCIMIENTO EXPLORACIÓN DE CONOCIMIENTO PREVIO:PREVIO:

LOS TRIANGULOSLOS TRIANGULOSSi A, B y C son tres puntos no alineados, entonces la Si A, B y C son tres puntos no alineados, entonces la unión de los segmentos AB, AC y BC, se llama unión de los segmentos AB, AC y BC, se llama triángulotriángulo, y se indica con la notación , y se indica con la notación ∆ABC∆ABC. Los . Los puntos A, B y C, se llaman los puntos A, B y C, se llaman los VÉRTICESVÉRTICES del triángulo del triángulo

y los segmentos AB, AC y BC se llaman los y los segmentos AB, AC y BC se llaman los LADOS LADOS ..

B

CA

CONOCIMIENTO PREVIO: ContinuaciónCONOCIMIENTO PREVIO: Continuación

Todo triángulo determina tres ángulos Todo triángulo determina tres ángulos internos: en el triángulo ABC que se internos: en el triángulo ABC que se presenta abajo, los tres ángulos presenta abajo, los tres ángulos internos se pueden nombrar utilizando internos se pueden nombrar utilizando tres letras y el símbolo de ángulo , : tres letras y el símbolo de ángulo , : BACBAC, , ABC ABC y y BCABCA, o simplemente , o simplemente

EB

C FDAX

Y

Z

., CyBA


En la figura, el ángulo A del ∆ABC mide 90En la figura, el ángulo A del ∆ABC mide 90 . . Entonces, ∆ABC es un triángulo Entonces, ∆ABC es un triángulo RECTORECTO. Si . Si los tres ángulos de ∆DEF tienen la misma los tres ángulos de ∆DEF tienen la misma medida entonces cada ángulo tiene que medida entonces cada ángulo tiene que medir medir 6060 grados porque la suma de las grados porque la suma de las medidas de los tres ángulos internos de un medidas de los tres ángulos internos de un triángulo es triángulo es 180180..

EB

C FDAX

Y

Z


Además, ∆DEF se puede clasificar como un Además, ∆DEF se puede clasificar como un triángulo triángulo EQUIANGULOEQUIANGULO y también como un y también como un triángulo triángulo EQUILATEROEQUILATERO porque porque

los lados opuestos a ángulos los lados opuestos a ángulos congruentes son congruentescongruentes son congruentes. .

En ∆XYZ, el ángulo Y mide más de 90En ∆XYZ, el ángulo Y mide más de 90, por , por lo tanto ∆XYZ se clasifica como un triángulo lo tanto ∆XYZ se clasifica como un triángulo obtusoobtuso..

EB

C FDAX

Y

Z

Repaso de TriRepaso de Triángulosángulos Semejantes Semejantes

BANCO DE NOTASBANCO DE NOTAS El símbolo ~ significa “es semejante a”. El símbolo ~ significa “es semejante a”. Si dos triángulos son semejantes, entonces Si dos triángulos son semejantes, entonces

los ángulos correspondientes (ángulos en la los ángulos correspondientes (ángulos en la misma posición) son congruentes (tienen la misma posición) son congruentes (tienen la misma medida).misma medida).

Si los ángulos correspondientes de dos Si los ángulos correspondientes de dos triángulos son congruentes, entonces los triángulos son congruentes, entonces los triángulos son semejantes.triángulos son semejantes.

Si dos triángulos son semejantes, entonces Si dos triángulos son semejantes, entonces los lados correspondientes (lados en la los lados correspondientes (lados en la misma posición) de ambos triángulos son misma posición) de ambos triángulos son proporcionales.proporcionales.

EjemplosEjemplos

En la figura que se ofrece, ∆En la figura que se ofrece, ∆MNP MNP ~ ∆ ~ ∆ KLQKLQ. .

a) Por definición, ¿qué sabemos sobre las medidas a) Por definición, ¿qué sabemos sobre las medidas de los ángulos y los lados de los triángulos?de los ángulos y los lados de los triángulos?

Como el ejemplo nos dice que los dos triángulos Como el ejemplo nos dice que los dos triángulos son semejantes, sabemos que los ángulos son semejantes, sabemos que los ángulos correspondientes son congruentes y que los lados correspondientes son congruentes y que los lados

son proporcionales.son proporcionales.

Al ser triángulos semejantes, sabemos que m < QKL = m < PMN, m < KLQ = m < MNP, m < LQK = m < NPM

MN

PN

KL

QL

MN

KL

PM

QK yTambién

Ejemplos Cont.Ejemplos Cont.En la figura que se ofrece, En la figura que se ofrece,

∆∆MNP MNP ~ ∆ ~ ∆ KLQKLQ..b) b) Escribe una proporción Escribe una proporción que que se puede utilizar para se puede utilizar para

determinar el valor de determinar el valor de xx..

c)c) Resuelve la proporción de Resuelve la proporción de la parte b para encontrar el la parte b para encontrar el valor de valor de xx..

xMN

KL

PM

QK 10

12

5

5 10 120, 5 120, , 24

12 5x x x

x

PrácticaPráctica∆∆ABC ABC ~ ∆~ ∆DEF. Usa los dos DEF. Usa los dos triángulos para contestar cada triángulos para contestar cada una de las siguientes preguntas.una de las siguientes preguntas.

1.1.Encontrar b si e = 4, Encontrar b si e = 4, a = 9, y d = 12. a = 9, y d = 12.

2. Encontrar c si f =9, 2. Encontrar c si f =9, b = 8, y e = 12.b = 8, y e = 12.

3. Encontrar d si a =6,3. Encontrar d si a =6,f = 7, y d c = 5.f = 7, y d c = 5.

34

129 b

be

d

b

a

612

9

8 c

c

e

f

b

c

25

5 6 42, , 8 8.4

7 5

c ad

f d d

Actividad I: Paso a PasoActividad I: Paso a Paso

Un método para determinar indirectamente las Un método para determinar indirectamente las medidas de objetos altos es utilizar sombras. medidas de objetos altos es utilizar sombras.

Este método está basado en la teoría de Este método está basado en la teoría de triángulos semejantes. triángulos semejantes.

Los alumnos, trabajando en grupos de dos, miden Los alumnos, trabajando en grupos de dos, miden su altura y el largo de su pie. su altura y el largo de su pie.

Luego determinan la razón de altura al largo del Luego determinan la razón de altura al largo del pie.pie.

Al final, cada alumno puede pasar su información Al final, cada alumno puede pasar su información en la tabla en la pizarra.en la tabla en la pizarra.

Estudiaremos la tabla para observar patrones.Estudiaremos la tabla para observar patrones.

Actividad I. cont.Actividad I. cont.

AlumnAlumno o númernúmeroo

AlturaAltura (cm)(cm)

Largo Largo del Piedel Pie

(cm)(cm)

Razón: Razón:

(Altura/Largo del Pie)(Altura/Largo del Pie)

(fracci(fracción y decimal)ón y decimal)

11

22

33

44

55

Promedio:Promedio:

Tabla 1: Razón de altura a la longitud del pie.

Actividad I Cont.Actividad I Cont.

1.1. Basándote en la información de la tabla, Basándote en la información de la tabla, describe la relación que hay entre la altura de describe la relación que hay entre la altura de una persona de tu grupo y la longitud de su pie.una persona de tu grupo y la longitud de su pie.

Una persona cualquiera tiene una altura Una persona cualquiera tiene una altura equivalente a 6 pies propiosequivalente a 6 pies propios

2. Basándote en la información de la tabla, ¿cuán 2. Basándote en la información de la tabla, ¿cuán alto es una persona si su pie mide 23 cm?alto es una persona si su pie mide 23 cm?

Preguntas de discusión sobre la tabla de datos.

Altura Altura6, 6, Altura 6 23 138 cm 66 in 5ft 6 in

Longitud del pie 23

Actividad I Cont.Actividad I Cont.

4.4. ¿Crees que la razón promedio que se obtuvo en ¿Crees que la razón promedio que se obtuvo en la tabla sería diferente para un grupo de la tabla sería diferente para un grupo de personas más jóvenes? para un grupo de personas más jóvenes? para un grupo de personas mayores? Justifica tus conclusiones.personas mayores? Justifica tus conclusiones.

Respuestas pueden variarRespuestas pueden variar. .

5.5. Trata de confirmar tu hipótesis sobre la Trata de confirmar tu hipótesis sobre la pregunta número 3, buscando una persona en pregunta número 3, buscando una persona en tu escuela de edad diferente y tomando la tu escuela de edad diferente y tomando la medida de su altura y de su pie. Presenta y medida de su altura y de su pie. Presenta y discute tus resultados.discute tus resultados.

Respuestas pueden variarRespuestas pueden variar

Preguntas de discusión sobre la tabla de datos.

Nota: El hecho de que la altura de una persona cualquiera es aproximadamente 6 pies propios es importante para hacer las medidas indirectas de la altura de objetos muy altos en la próxima actividad.

Actividad II:Actividad II: Escondidos Tras Las Sombras Escondidos Tras Las Sombras

1.1. Cada pareja de estudiantes debe salir al patio de la Cada pareja de estudiantes debe salir al patio de la escuela y encontrar un objeto grande, como un árbol, escuela y encontrar un objeto grande, como un árbol, una canasta de baloncesto, un poste del encendido una canasta de baloncesto, un poste del encendido eléctrico, etc. eléctrico, etc.

2.2. Miden la longitud de la sombra del objeto Miden la longitud de la sombra del objeto aseguraseguráándose de que la sombra se encuentra plana ndose de que la sombra se encuentra plana sobre el suelo.sobre el suelo.

3.3. Anotan la longitud de la sombra del objeto.Anotan la longitud de la sombra del objeto.4.4. Miden y anotan la longitud de la sombra que tira el Miden y anotan la longitud de la sombra que tira el

compañero sobre el suelo.compañero sobre el suelo.5.5. Al regresar al salón, construyen un dibujo del objeto Al regresar al salón, construyen un dibujo del objeto

con su sombra y la de su compañero con su sombra. con su sombra y la de su compañero con su sombra. 6.6. Construyen un triángulo recto utilizando al Construyen un triángulo recto utilizando al

compañero y su sombra como los catetos del compañero y su sombra como los catetos del triángulo recto. triángulo recto.

7.7. Repiten el paso 6 para el objeto. Repiten el paso 6 para el objeto.

Procedimiento:


1.1. ¿Por qué son semejantes ¿Por qué son semejantes estos triángulos? estos triángulos? Son semejantes porque ángulos correspondientes son congruentes. El ángulo que se forma entre el objeto o su amigo y el suelo es un ángulo recto. El ángulo que se forma entre la sombra del objeto o de tu amigo y los rayos solares mide lo mismo en ambos casos porque los rayos solares son líneas paralelas que chocan con el suelo a un mismo ángulo.

PREGUNTAS DE DISCUSIÓN:


2. Si sabemos que los triángulos son semejantes, 2. Si sabemos que los triángulos son semejantes, escribe algunas proporciones que se pueden escribe algunas proporciones que se pueden utilizar parautilizar para determinar la altura del objeto. determinar la altura del objeto.

a) AB/DE = BC/EF a) AB/DE = BC/EF BC = (AB • EF)/DEBC = (AB • EF)/DE

b) AB/BC = DE/EFb) AB/BC = DE/EF BC = (AB • EF)/DEBC = (AB • EF)/DE


3. 3. ¿Por qué podemos considerar la altura del ¿Por qué podemos considerar la altura del objeto una medida indirecta?objeto una medida indirecta?

Es una medida indirecta por que se determina Es una medida indirecta por que se determina mediante cómputos utilizando otras medida.mediante cómputos utilizando otras medida.

4.4. Imagina que tienes un árbol en el patio de tu Imagina que tienes un árbol en el patio de tu casa que debe ser derribado. Quieres asegurar casa que debe ser derribado. Quieres asegurar que el árbol no caerá encima de tu casa. ¿Cómo que el árbol no caerá encima de tu casa. ¿Cómo puedes determinar esto?puedes determinar esto?

Se podría utilizar los métodos practicado en Se podría utilizar los métodos practicado en esta actividad para determinar la altura del esta actividad para determinar la altura del árbol indirectamente utilizando sombras.árbol indirectamente utilizando sombras.

Actividad III:Actividad III: No Te Recuestes Tanto No Te Recuestes Tanto

En esta actividad, exploraremos la trigonometría En esta actividad, exploraremos la trigonometría del triángulo recto porque nos provee otro método del triángulo recto porque nos provee otro método para derivar ángulos y longitudes que no podemos para derivar ángulos y longitudes que no podemos medir directamente. medir directamente. En lugar de utilizar triánEn lugar de utilizar triángulos semejantes, la gulos semejantes, la trigonometría se basa en las razones que existen trigonometría se basa en las razones que existen entre los lados de un triángulo recto para un ángulo entre los lados de un triángulo recto para un ángulo con una medida dada. con una medida dada. En esta actividad solamente utilizaremos la En esta actividad solamente utilizaremos la razón razón trigonométrica de tangentetrigonométrica de tangente para hacer medidas para hacer medidas indirectas.indirectas.

INTRODUCCIÓN:


El siguiente dibujo muestra dos escaleras El siguiente dibujo muestra dos escaleras recostadas de diferentes paredes. recostadas de diferentes paredes.


a) Describe las diferencias a) Describe las diferencias entre las posiciones de las entre las posiciones de las dos escaleras.dos escaleras.Una escalera está más Una escalera está más inclinada sobre la pared inclinada sobre la pared que la otra.que la otra.

b) ¿Cuáles problemas pueden b) ¿Cuáles problemas pueden surgir si la escalera está surgir si la escalera está muy inclinada?muy inclinada?Si la escalera está muy Si la escalera está muy inclinada, puede ser muy inclinada, puede ser muy difícil para subir, y hay una difícil para subir, y hay una buena posibilidad de que la buena posibilidad de que la escalera se caiga hacia escalera se caiga hacia atrás.atrás.


c) ¿Cuáles problemas pueden c) ¿Cuáles problemas pueden surgir si la escalera no está lo surgir si la escalera no está lo suficiente inclinada?suficiente inclinada?Si la escalera no tiene inclinación suficiente, puede ser muy difícil para subir y tal vez no logre alcanzar la altura suficiente para ser útil.

d) ¿Cuáles medidas cambian d) ¿Cuáles medidas cambian cuando cambia la inclinación cuando cambia la inclinación de la escalera sobre la pared?de la escalera sobre la pared?Cambia: la altura sobre la pared que se alcanza en el tope de la escalera, la distancia entre la parte inferior de escalera y la pared, el ángulo entre la escalera y el suelo (ángulo (ángulo de elevación).de elevación).

Actividad IV:Actividad IV: ¿Cuál Es Tu Mejor Ángulo?¿Cuál Es Tu Mejor Ángulo?

En esta actividad se exploran diferentes grados En esta actividad se exploran diferentes grados de inclinación de una regla (que representa una de inclinación de una regla (que representa una escalera) sobre un libro o una caja (que escalera) sobre un libro o una caja (que representa una pared). representa una pared). Tratamos de encontrar medidas que describen Tratamos de encontrar medidas que describen el nivel de la inclinación de una escalera. el nivel de la inclinación de una escalera. Se explora la relación que hay entre el ángulo Se explora la relación que hay entre el ángulo de elevación de la regla y la razón entre altura y de elevación de la regla y la razón entre altura y distancia. distancia.

NOTA: Se sugiere que diferentes grupos tengan reglas o NOTA: Se sugiere que diferentes grupos tengan reglas o pedazos de madera y libros o cajas de diferentes pedazos de madera y libros o cajas de diferentes tamaños.tamaños.


1.1. Coloca un libro o una caja verticalmente sobre una Coloca un libro o una caja verticalmente sobre una mesa plana (en posición de pared) y recuesta la mesa plana (en posición de pared) y recuesta la regla contra el libro o la caja, siguiendo el ejemplo regla contra el libro o la caja, siguiendo el ejemplo ilustrado en el dibujo de arriba. ilustrado en el dibujo de arriba.

Procedimiento

RECUERDA: El ángulo entre la altura y la distancia tiene que ser 90 grados.RECUERDA: El ángulo entre la altura y la distancia tiene que ser 90 grados.


AlturaAltura

(h en (h en cm)cm)

Distancia Distancia (d en (d en cm)cm)

Razón (fracción) Razón (fracción) (Altura/ (Altura/ Distancian)Distancian)

Razón Razón

(en (en decimal)decimal)

Ángulo de Ángulo de elevación en elevación en gradosgrados

2. Llena la tabla que sigue con 5 conjuntos de medidas diferentes.

Cambia la distancia de la base de la regla al libro. Esto a su vez cambia la altura que alcanza el tope de la regla y el ángulo de elevación entre el suelo y la regla.

3. Copia tu tabla de forma agrandada sobre una cartulina o papelote. Coloca tu cartulina sobre la pizarra. Recuerda hacerle una marca para distinguir tu trabajo del de los demás grupos.


Una vez hayan terminado todos los grupos, compara los datos que recogiste con los datos de los demás.a) ¿Cuáles patrones puedes observar entre la razón y los ángulos de elevación? Distancia

Altura

Cuando el ángulo es 45 grados, la altura y la distancia son iguales, y la razón es exactamente uno. Cuando el ángulo es mayor de 45 grados, la razón es mayor que uno y cuando el ángulo es menor que 45 grados, la razón es menor que uno.

b) ¿Cómo cambian los ángulos cuando la razón aumenta? Distancia

Altura

A medida que aumenta la razón el ángulo de elevación aumenta, pero siempre será menor que 90 grados.


c) Otros grupos utilizaron reglas y libros de diferentes tamaños. Busca en las otras tablas tres ángulos de elevación que aparecen en tu tabla. ¿Qué observas sobre la razón que obtuvieron otros grupos para esos mismos ángulos?

Distancia

Altura

Deben haber observado que si los otros grupos obtuvieron los mismos ángulos, las razones eran iguales. Es importante destacar que la razón depende del ángulo de elevación y no del largo de la escalera (o regla). O sea que la razón es constante para un ángulo de elevación dado.


5. Podemos utilizar el ángulo de elevación y la razón para

describir cuán inclinada está una escalera. Llena la siguiente tabla.

Distancia

Altura

Distancia

Altura

Distancia

AlturaDistancia

Altura

Una escalera muy Una escalera muy inclinada es difícil inclinada es difícil para subir.para subir.

Una escalera es Una escalera es más fácil para subir más fácil para subir sisi su inclinación ni su inclinación ni es muy alta ni muy es muy alta ni muy bajitabajita

Una escalera con Una escalera con muy poca muy poca inclinación no es inclinación no es muy útil.muy útil.

El ángulo de El ángulo de elevación es: elevación es: más más cercano a 90cercano a 90

El ángulo de El ángulo de elevación elevación cerca de cerca de 45 grados45 grados

El ángulo de El ángulo de elevación es elevación es pequeñopequeño

razón es : razón es :

más grande más grande

razón esrazón es

cerca de 1cerca de 1

razón es razón es

pequeñapequeña


6) Utiliza los datos de las tablas para estimar el ángulo de elevación de una regla si:

(i) 65.0Distancia

Altura

Como están estimando, están buscando un ángulo en las tablas con una razón cercana a 0.65. Puesto la razón es menor que uno, por respuestas a preguntas anteriores, deben saber que el ángulo es menor que 45 grados. Debe estar cerca de 33 grados.

(ii) 75.3Distancia

Altura

Como están estimando, están buscando un ángulo en las tablas con una razón cercana a 3.75. Puesto que la razón es mayor que uno, por respuestas a preguntas anteriores, deben saber que el ángulo es mayor que 45 grados. Debe estar cerca de 75 grados.


7. Calcula la altura sobre el piso a la cual se recuesta una escalera, si la escalera se encuentra a 2.5 pies de la pared y el ángulo de elevación es 60 grados. Describe tus procedimientos y muestra tu trabajo.

Si el ángulo 60 no salió en ninguna tabla, deben estimar la

razón más cercana. La razón debe estar cerca de 1.73.

Para resolver,

Distancia

Altura

Altura1.73, Altura (2.5)(1.73), Altura 4.33 pies

2.5

CierreCierre

a) ¿En cuáles situaciones puede a) ¿En cuáles situaciones puede hacer falta tomar una medida hacer falta tomar una medida indirecta?indirecta?b) Diferentes formas de hacer b) Diferentes formas de hacer medidas indirectasmedidas indirectasc) ¿Cuándo es útil hacer medidas c) ¿Cuándo es útil hacer medidas indirectas?indirectas?

CierreCierre Discutir: El director de tu escuela les ha Discutir: El director de tu escuela les ha

pedido a algunos compañeros de tu clase pedido a algunos compañeros de tu clase crear un mural en una de las paredes de tu crear un mural en una de las paredes de tu escuela. Necesitan calcular la altura del escuela. Necesitan calcular la altura del edificio para determinar la cantidad de edificio para determinar la cantidad de pintura que necesitarán. Para estimar la pintura que necesitarán. Para estimar la altura del edificio, midieron la longitud de la altura del edificio, midieron la longitud de la sombra de una vara de un metro de largo y sombra de una vara de un metro de largo y la longitud de la sombra del edificio. La la longitud de la sombra del edificio. La longitud de la sombra del edificio fue 4.5 y la longitud de la sombra del edificio fue 4.5 y la de la sombra 0.3 m. Calcula la altura del de la sombra 0.3 m. Calcula la altura del edificio. edificio.

¿Dé qué otra forma pudieron haber ¿Dé qué otra forma pudieron haber determinado la altura del edificio?determinado la altura del edificio?

CierreCierre En la exploración con el libro y la regla, surgen En la exploración con el libro y la regla, surgen

triángulos como los siguientes:triángulos como los siguientes:

d

h

Vimos que si tiene una cierta medida, entonces la razón de es constante.

Por ejemplo si <A = 45o, entonces 1. Por otro lado, si la razón de una

escalera = 1, entonces sabemos que el ángulo de elevación es 45o.

Si la razón de una escalera = 2, sabemos que es una escalera más inclinada que la anterior.

A

adyacente lado

opuesto lado

d

h

Sombras y Algo Mas ALaCiMa Matemáticas – Nivel 7-9.

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