Soluciones Mediante Series de Potencia Ec de Hermite

5/11/2018 Soluciones Mediante Series de Potencia Ec de Hermite - slidepdf.com

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TEMA 11:

SOLUCIONES MEDIANTE SERIES DE POTENCIAS

Se ha visto en temas anteriores cómo resolver algunas ecuaciones lineales de 2º orden: las de

coeficientes constantes y algunas de coeficientes variables, como las de Euler o aquellas de

las que se conoce una solución particular de la correspondiente homogénea.

Pero, en general, no se ha visto cómo resolver las ecuaciones lineales con coeficientes

variables, algunas de las cuales aparecen ligadas a importantes problemas de la Física, como

las ecuaciones de Legendre, Hermite, Airy, Bessel, etc. que son de coeficientes polinómicos.

Además, las ecuaciones hasta ahora vistas, generalmente tienen soluciones expresables en

términos de un nº finito de funciones elementales (polinomios, exponenciales,

trigonométricas, etc., o inversas de éstas). Otras veces, aún sabiendo resolver la ecuación,

había que expresar la solución por medio de una integral. Pero en general, las soluciones no

pueden expresarse tan fácilmente.

Es necesario por tanto, buscar otros modos de expresar las soluciones de ecuaciones lineales

de 2º orden, que propicien a su vez nuevos métodos de resolución de las mismas.

En este tema se estudiará un método de resolución basado en la representación de soluciones

mediante series de potencias. Y en los dos siguientes, mediante series de Frobenius.

SOLUCIÓN MEDIANTE SERIES DE POTENCIAS EN EL ENTORNO

DE UN PUNTO ORDINARIO

Se va a considerar el caso de la ecuación diferencial lineal homogénea de 2º orden :

0 y ) x R( y ) x Q( y ) x P( = [1]

ó en forma canónica :

0 y ) x q( y ) x p( y =[1´]

1



Definiciones.

Un punto x0 se llama punto ordinario de [1] o [1´ ] si las funciones p( )Q( )

P( )

x x

x

= y

q( )R( )

P( ) x

x

x= son analíticas en x0 (es decir, si p( x) y q( x) tienen desarrollos en serie de

Taylor en torno a x0 con radios respectivos de convergencia R 1 y R 2 no nulos)

Si P(x), Q(x), R(x) son polinomios, entonces x0 es punto ordinario de [ 1 ] si y sólo si P(x0

) ≠ 0

( siendo [1] no simplificable ).

Si x0 no es punto ordinario, se llama punto singular de la ecuación [1] ó [1´ ].

______________

Según el estudio de las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas, la simple continuidad

de p( x) y q( x) en un entorno I de un x0, es suficiente para garantizar la existencia de dos

soluciones linealmente independientes de la ecuación [1´] en dicho entorno, así como para

garantizar la existencia y unicidad de solución del problema de valor inicial definido por [1´]

y las condiciones: y(x0) = y0 , y´(x0) = b0 con x0 ∈ I

Pero si además es x0 un punto ordinario de [1] ó [1´], las p( x) y q( x) no sólo son continuas en

I , sino analíticas. Y cabe preguntarse entonces si las soluciones de tal ecuación heredarán

dicha propiedad. Por tanto, si x0 es un punto ordinario de [1] , surgen las preguntas siguientes:

• ¿Existen soluciones analíticas de [1] en un entorno de x 0 , es decir, soluciones de la

forma :

... ) x x ( a ... ) x x ( a ) x x ( aa yn

0n2

02010 + [2]

En caso afirmativo :

• ¿Cómo se obtienen los coeficientes an?

• ¿Dónde converge la serie [

2] ?

Es importante poder responder a estas preguntas, pues sería absurdo intentar buscar

soluciones de la forma [2], si no existen. Si existen en I, pueden además derivarse término a

término en I.

2



Las respuestas a estas preguntas las da el siguiente teorema, que será enunciado, pero no

demostrado.

Teorema:

Si x 0 es un punto ordinario de [1] ( ó [1’ ] ) entonces la solución general de [1] en un

cierto entorno de x 0 puede escribirse en la forma [2] y a su vez :

) x ( ya ) x ( ya ) x x ( a y 2110

0n

n0n +∑

∞

=

siendo a0 , a1 ctes arbitrarias e y1(x), y2(x) analíticas en un entorno I de x 0 , y

linealmente independientes en I.

El radio de convergencia de las series y1(x) e y2(x) es al menos tan grande como el mínimo

de los radios de convergencia de los desarrollos en serie de p(x) y q(x) en torno a x 0 (es

decir, al menos igual a la distancia de x 0 al punto singular más próximo de la ecuación

[1] , sea dicho punto real o complejo)

Los coeficientes an de la serie [

2] se obtienen en términos de a0 y a1 , sustituyendo la

serie genérica ∑∞

=

−

0n

n0n ) x x ( a y en [1] , (así como los desarrollos de p(x) y q(x) si P(x),

Q(x), R(x) no son polinomios) y procediendo por coeficientes indeterminados.

Observaciones:

a) La serie solución puede converger con radio mayor que el indicado en el teorema.

b) Si el punto ordinario es x0 ≠ 0, pueden simplificarse las notaciones trasladando x0 al

origen, mediante el cambio x - x0 = t .

c) Según el teorema de existencia y unicidad, cada solución está determinada de manera única

por los valores y(x0) e y’(x0), es decir por a0 y a1 . Por eso, todos los coeficientes se obtienen

en términos de a0 y a1.

d) El método para resolver una ecuación completa : ′′ + ′ + = y x y x y x p( ) q( ) h( ), siendo x0

punto ordinario y h(x) analítica en x0, es análogo. En este caso, también hay que desarrollar

h( x) en serie de potencias en torno a x0 , antes de proceder por coeficientes indeterminados.

3



También podría resolverse en primer lugar la ecuación homogénea y actuar luego por

variación de constantes, o por reducción de orden.

e) Es claro que podría usarse un método semejante para ecuaciones diferenciales lineales, de

primer orden.

EJEMPLOS

Ejemplo 1

Hallar la solución general de la ecuación diferencial0yyxy =

, determinandodos soluciones linealmente independientes en serie de potencias de x . Campo de validez

de las mismas. En particular obtener la solución tal que y(0) = 1 y´(0) = 0.

_____________

Es

p ()

q ()

x x

x

= −

= −

1

. Ambas analíticas en x0 = 0, con radios de convergencia de sus respectivos

desarrollosR

R

1

2

= ∞

= ∞

, es decir x0 = 0 es punto ordinario..

Luego, según el teorema anterior, existe solución de la ecuación en serie de potencias de x,

válida para todo x ∈ R .

Sea y a xnn

n

==

∞

∑0

. Por tanto : ′ = −

=

∞

∑ y n a xnn

n

1

1

, ′ ′ = − −

=

∞

∑ y n n a xnn

n

( )1 2

2

En la ecuación diferencial :

n n a xnn

n

( )−−

=

∞

∑ 1 2

2

- n a xnn

n=

∞

∑1

- a xnn

n=

∞

∑0

≡ 0 en ℜ

Término independiente : 2 1 02 0⋅ ⋅ − =a a ⇒ =aa

20

2

Coeficiente de x : 3 2 03 1 1⋅ ⋅ − − =a a a ⇒ =aa

31

3

............................ ................................. .................

Coeficiente de xn : ( ) ( ) ( )n n a n an n+ + − + =+2 1 1 02 ⇒ =

++

aa

nn

n

22

4



Ley de recurrencia : aa

nn

n

n= ≥− 2 2

Luego a0 y a1 son libres y

aa

n

aa

n

n

n

20

2 11

2

2 1

=

=+

+

( )! !

( )! !

Por tanto :

y x a x x x

na x

x x x

n

a y x a y x x

n n

( )!! !!

...( )!!

...!! !!

...( )!!

...

( ) ( )

= + + + + +

+ + + + +

++

= + ∀ ∈ ℜ

+

02 4 2

13 5 2 1

0 1 1 2

12 4 2 3 5 2 1

Solución particular:

y

y

a

a

( )

( )

0 1

0 0

1

0

0

1

=

′ =

⇒

⇒

=

=Luego y x

x

n

n

( )( )!!

=∑2

0 2 ⇒ = =

⇒∑ ∑ y xx

n

x

n

n

n

n

( )! !

2

0

2

02

2 2

x2

e)x(y =

Ejemplo 2

Hallar, por el método de series de potencias en torno a x0 = 0, la solución general de la

ecuación diferencial: 0y2yx2y)x1( 2=

_____________

5



Es

p ( )

q ( )

x x

x

x x

=+

=−

+

2

1

2

1

2

2

Ambas analíticas en x0 = 0 con R 1 = R 2 = 1

Luego existe solución analítica en x0 = 0, válida al menos para x <1 .

Sustituyendo y a xn

n

n

==

∞

∑0

en la ecuación diferencial:

n n a xnn

n

( )−−

=

∞

∑ 1 2

2

+ n n a xnn

n

( )−=

∞

∑ 12

+2 n a xnn

n=

∞

∑1

- 2 a xnn

n=

∞

∑0

≡ 0

Término independiente : 2 2 02 0a a− = ⇒ =a a2 0

Coeficiente de x : 6 2 2 03 1 1a a a+ − = ⇒ =a3 0

............................ ................................. .................

Coeficiente de xn : ( ) ( ) ( )n n a n n a n a an n n n+ + + − + ⋅ − =+2 1 1 2 2 02

Luego a0 y a1 libres, a2 = a0 , a3 = 0,

an n n

n na

n n

n nan n n+ = −

− + −+ +

= −− ++ +

⇒2

1 2 2

1 2

1 2

1 2

( )

( )( )

( )( )

( )( )a

n

nan n= −

−− −

3

12 n ≥ 2

Como a3 = 0 ⇒ a5 = a7 = ... = a2n+1 = ... = 0

a n2 = −−−

= = −−−

⋅−−

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −

=−

2 3

2 11

2 3

2 1

2 5

2 3

3

5

1

3

1

12 2 0

n

na

n

n

n

nan

n... ( ) ...( )−

−

+1

2 1

1

0

n

na

Por tanto :

y = ax x x

n x a x x

nn

0

2 4 6 12

111 3 5

1

2 11+ − + + +

−−

+

+ <

+

...( )

...

En este caso puede sumarse la serie :

y = a xx x x x

a x0

3 5 7

111 3 5 7

+ − + − +

+ ⇒.. . [ ] xaxarctgx1ay 10 +

6



Nota

En los dos primeros ejemplos, la relación de recurrencia ha consistido únicamente en dos

términos y además podía deducirse fácilmente de ella, la forma general de an . Pero, pueden

aparecer relaciones con dos o más términos (Con 3 en el Ejemplo 3), que sean más

complicadas, tales que no pueda determinarse la forma general de los coeficientes an.

Entonces sólo podrán obtenerse algunos términos.

Ejemplo 3

Hallar por el método de series de potencias en torno a x0 = 1 los términos hasta la

potencia de grado 4, correspondientes a la solución general de la ecuación diferencial:

0yyxy2 =

Se efectúa el cambio de variable : x - 1 = t ó x = t + 1.

Entonces yy,yxd

td

td

yd

xd

ydy =′′===′ 2 1 0 ( ) y t y y+ + + = , t0 = 0

p ()

q ( )

t t

t

=+

=

1

2

12

Ambas analíticas en t = 0 con R 1 = R 2 = ∞

Luego existe solución analítica en t = 0, válida para todo t .

Sustituyendo y a t nn

n

==

∞

∑0

en la ecuación diferencial :

2 1 2

2

n n a t nn

n

( )−−

=

∞

∑ + n a t nn

n=

∞

∑1

+ n a t nn

n

−

=

∞

∑1

1

+ a t nn

n=

∞

∑0

≡ 0

Término independiente : 2 2 1 02 1 0⋅ ⋅ + + =a a a ⇒ = −+

aa a

20 1

4

Coeficiente de t : 2 3 2 2 03 1 2 1⋅ ⋅ + + + =a a a a ⇒ = −+

aa a

31 2

6

............................ ................................. ..........................

Coeficiente de t n : ( ) ( )2 2 1 1 02 1n n a n a n a an n n n+ + + + + + =+ +( )

an a n a

n n

a a

n

aa a

n

nn n n n

nn n

+

+ + − −= −

+ + +

+ +

= −+

+

⇒ = −+

21 1 2 11 1

2 1 2 2 2 2

( ) ( )

( )( ) ( )

7



Luego : aa a

20 1

4= −

+

;a

aa a

a a

3

10 1

1 04

6

3

24= −

−+

= −−

aa a

a a a a

a a a a a a4

2 3

0 1 1 0

0 1 1 0 0 1

8 4

3

248

6 6 3

192

5 9

192= −

+

= +

++

−

=

+ + −

=

+

x...)1x(192

9

8

)1x(

4

)1x()1x(a

...)1x(192

5

24

)1x(

4

)1x(1a)x(y

432

1

432

0

∀

+−−

++−

Ejemplo 4

Hallar, por el método de series, la solución del problema de valor inicial:

y’’ – 2xy’ + 8y = 0 ; y(0) = 3 , y’(0) = 0.

Son p(x) = -2x y q(x) = 8 , ambas analíticas en xo = 0 , con R 1 = R 2 = ∞

Por tanto, existe solución y = y(x), analítica en xo = 0, válida para todo x.

Sustituyendo y a xn

n

n

==

∞

∑0

en la ecuación diferencial:

n n a xnn

n

( )−−

=

∞

∑ 1 2

2

- 2 n a xnn

n=

∞

∑1

+ 8 a xnn

n=

∞

∑0

≡ 0

Término independiente : 0a8a2 02 =+ 02 a4a −=⇒

Coeficiente de x : 0a8a2a6 113 =+− 13 aa −=⇒

............................ ................................. .................

Coeficiente de xn : ( ) ( ) 0a8an2a1n2n nn2n =+⋅−++ +

Luego : n2n a )2n )( 1n(

)4n( 2a

++

−=+ .De donde: 2nn a

)1n( n

)6 n( 2a −−

−= n ≥ 2

Se pide la solución tal que : y(0) = 3 e y’(0) = 0 , es decir, tal que ao = 3 y a1 = 0.

8



Luego:

===⇒=

=−=

===−===

0.....aa0a

412

a4a

0......aa

12a

0a

3a

1086

24

53

2

1

0

Por tanto: y = 3 – 12 x2 + 4 x4

Ejemplo 5: Ecuación y polinomios de Legendre (1752-1833)

La ecuación de Legendre de parámetro m ≥ 0 es :

0y)1m(myx2y)x1(2 = [3]

Se trata de hallar soluciones en serie de potencias de x, es decir en torno a x0= 0.

Es

−

+=

−−=

2

2

x1

)1m(m)x(q

x1

x2)x( p

Ambas analíticas en x0 = 0 con radio de convergencia de los respectivos

desarrollos : R 1 = R 2 = 1

Luego x0 = 0 es punto ordinario, existiendo solución en serie de potencias de x, válida, al menos para x <1 .

Sea ∑∞

=

=

0n

nn xay . Sustituyendo en la ecuación :

∑∞

=

−−2n

2nn xa)1n(n - ∑

∞

=

−

2n

nnxa)1n(n -2∑

∞

=1n

nnxan +∑

∞

=

+

0n

nn xa)1m(m ≡ 0

Habrán de ser nulos los coeficientes de todas las potencias de x.

9



x0 : 0a)1m(ma12 02 =++⋅⋅ 02 a12

)1m(ma

⋅

+−=⇒

x1 : 0a)1m(ma2a23 113 =++−⋅⋅ 113 a!3

)2m)(1m(a

23

2)1m(ma

+−−=

⋅

−+−=⇒

..... ............................................................................................

xn : ( )( ) ( ) 0a)1m(man2a1nna1n2n nnn2n =++⋅−−−++ +

⇒++

++−−=+ n2n a

)1n)(2n(

)1nm)(nm(a

2na)1n(n

)1nm)(2nm(a 2nn ≥

−

−++−−= −

Luego :

1x...x!5

)4m)(2m)(1m)(3m(x

!3

)2m)(1m(xa

...x!4

)3m)(1m(m)2m(x

!2

)1m(m1ay

531

420

<

−

++−−+

+−−

−

++−+

+−=

Es decir : )x(ya)x(yay 2110 +=

Si m = 0, 1, 2, ... una de las dos series es un polinomio de grado m. Dichos polinomios p n( x) son

respectivamente :

p0 = 1 p1( x) = x p2( x) = 1 - 3 x2 p3( x) = x -3

5 x3 ......

Se llama polinomio de Legendre de orden m y se designa con Pm( x), a la solución polinómica de la

ecuación de Legendre de parámetro m ( o sea, el múltiplo de pn( x), tal que Pm(1) = 1.

Será:

P0( x) = 1 P1( x) = x2

1x

2

3)x(P 2

2 −= x2

3x

2

5)x(P 3

3 −= .........

Algunas propiedades : (Sin demostraciones)

• Los polinomios de Legendre pueden darse mediante la fórmula de Rodrigues :

n2

n

n

n )1 x ( x d

d

! )!n2(

1 ) x ( P −

• O mediante una función generadora, debida a Legendre :

10



( ) ...t ) x ( P t ) x ( P ) x ( P t xt 212

2102 2

1

+−

También mediante fórmulas de recurrencia :

n1n1n

1nn1n

P )1n( 2 P P

) x ( P 1n

n ) x ( P x

1n

1n2 ) x ( P

+

+−

+

+=

−

−

• Cumplen la relación de ortogonalidad :

=+

≠=∫ − nm

1n2

2nm0

xd ) x( P ) x( P 1

1nm

[4 ]

La ecuación de Legendre aparece en varios problemas de la Física dotados de simetría esférica.

Ejemplo 6: Ecuación y polinomios de Hermite (1822 -1901)

La ecuación de Hermite es :

0 y2 y x 2 y =λ [5]

Aparece esta ecuación, por ejemplo en la mecánica cuántica, a partir de la ecuación de Schrödinger para un

oscilador armónico.

Se trata ahora de obtener su solución por el método de series, en torno a x 0= 0.

El x0 = 0 es un punto ordinario de la ecuación [5], pues p( x) = -2 x y q( x) = 2λ son analíticas en x = 0.

Además los radios de convergencia de los respectivos desarrollos, son ambos infinitos. Luego existe solución

de [5] , de la forma ∑∞

=

=

0n

nn x a y , válida para todo x real.

Sustituyendo en la [5] :

11



ℜ∈∀=−−− ∑∑∑∞

=

∞

=

∞

=

− x 0 xa2 xna2 xa )1n( n

2n

nn

2n

nn

2n

2nn λ

Luego :

Coeficiente de 1 : 0a2a2 02 =+ λ 02 aa λ −=⇒

--------------------------------------------------------------------------------------

Coeficiente de xn-2 : n(n-1)an-2(n-2)an-2+2λan= 0

Relación de recurrencia : )1n( n

a )n2( 2a

2nn

−

−=

−n≥ 2

Luego :

x ... x !7

)5 )( 3 )( 1( 2 x

!5

)3 )( 1( 2 x

!3

)1( 2 x a

... x !6

)4 )( 2( 2 x

!4

)2( 2 x

!2

21a ) x ( y

7 3

5 2

31

6 3

4 2

20

∀

+−+−

+−+

λ

λ

Para λ = 0,1,2, ... una de las dos series es un polinomio. Dichos polinomios hn( x), para λ = n =

0,1,2,... son respectivamente :

... , x3

2- x= ) x( h , x2-1= ) x( h , x ) x( h ,1 ) x( h

33

2210 ==

Se llama polinomio de Hermite de grado n , y se designa H n(x)

, a la solución polinómica de la ecuación de

Hermite de parámetro λ = n ( o sea el múltiplo de hn( x)), cuyo coeficiente de xn es 2n. Será por tanto :

... , x12- x8= ) x( H 2,- x4= ) x( H , x2 ) x( H ,1 ) x( H 3

32

210 ==

Algunas propiedades: (sin demostración)

• Los polinomios de Hermite pueden darse mediante la fórmula de Rodrigues :

22 x

n

n x n

n ee x d

d )1( ) x ( H

−−

• También por medio de la función generadora :

12



∑∞

=

− =

0n

nnt tx 2t

!n

) x ( H 2

e

• O mediante las fórmulas de recurrencia :

) x ( H n2 ) x ( H

) x ( H n2 ) x ( H x 2 ) x ( H

1n' n

1nn1n

−

−

=

−

• Cumplen la relación de ortogonalidad:

=

≠=∫

∞

∞−

nm!n2nm 0 xd ) x( H ) x( H

nnm x2e

π

13

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