Soluciones Factibles y Soluciones básicas factibles

Investigación de Operaciones2017

Contenido• Variables de Holgura

• Variables de Exceso

• Forma estándar

• Forma matricial

• Variables básicas y no básicas

• Forma Base

• Solución Básica

• Solución Básica Factible

• Variable de entrada y de salida

Variable de HolguraCuando se tiene una restricción en forma

𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 +⋯+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛 ≤ 𝑏1

Se convierte en igualdad sumando una variable llamada de holgura:

𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 +⋯+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛 + 𝑠1 = 𝑏1

Representa la cantidad que falta para llegar a la igualdad y debe ser ≥ 0.

Ejemplo:

4𝑥1 + 6𝑥2 ≤100

Se vuelve igualdad:4𝑥1 + 6𝑥2 + 𝑠1 = 100

Variable de ExcesoCuando se tiene una restricción en forma

𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 +⋯+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛 ≥ 𝑏1

Se convierte en igualdad restando una variable llamada de exceso:

𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 +⋯+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛 − 𝑠1 = 𝑏1

Representa la cantidad que se sobrepasa la igualdad y debe ser ≥ 0.

Ejemplo:

4𝑥1 + 6𝑥2 ≥100

Se vuelve igualdad:4𝑥1 + 6𝑥2 − 𝑠1 = 100

Forma Estándar

Ejemplo:

Se agregan variables de

holgura

Se agregan variables de

exceso

Forma Estándar

Cuando todas las restricciones del modelo original se convierten en igualdad se llama forma estándar

𝑀𝑎𝑥 𝑍 = 2𝑥1 + 5𝑥24𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 105𝑥1 + 𝑥2 ≥ 15𝑥1, 𝑥2 ≥ 0

Modelo original

𝑀𝑎𝑥 𝑍 = 2𝑥1 + 5𝑥24𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑠1 = 105𝑥1 + 𝑥2 − 𝑠2 = 15𝑥1, 𝑥2, 𝑠1, 𝑠2 ≥ 0

Forma estándar

Estas

variables

no

aparecen

en la fo

Forma matricialEl modelo en forma matricial es:

0

,1

1

j

ij

n

j

ij

n

j

jj

x

miibxa

xCZMax

Max z=cxAx≤bx≥0

c: vector de coeficientes de costo

A: matriz de coeficientes tecnológicos

b: vector de recursosx: vector de variables

Forma matricialEl modelo en forma matricial en forma estándar es:

0

, 1

1

j

iij

n

j

ij

n

j

jj

x

miibsxa

xCZMax Max z=(c,0)𝑥𝑠

(A, I)𝑥𝑠

=b𝑥𝑠

≥0

𝑀𝑎𝑥 𝑍 = 2𝑥1 + 3𝑥2𝑥1 + 𝑥2 + 𝑠1 = 12−2𝑥1 + 𝑥2 + 𝑠2 = 0𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑠3 = 30𝑥1, 𝑥2, 𝑠1, 𝑠2, 𝑠3 ≥ 0

Ejemplo:

Max z= (2 3 0 0 0)

𝑥1𝑥2𝑠1𝑠2𝑠3

1 1 1 0 0−2 1 0 1 01 3 0 0 1

𝑥1𝑥2𝑠1𝑠2𝑠3

=12030

𝑥1𝑥2𝑠1𝑠2𝑠3

≥0

Variables básicas y no básicasSi un modelo tiene n variables y m restricciones donde n ≥ m, para encontrar un solución se deben darle valores de cero a n-m variables y resolver el sistema que será cuadrado mxm.

Variables básicas

Se tendrán m variables básicas

Son las que se utilizan para resolver el sistema de

ecuaciones. Generalmente son mayores iguales a 0

Variables no básicas

Se tendrán n-m variables no básicas

Son variables que valen 0 en una solución del

problema.

Variables básicas y no básicasEjemplo:

𝑀𝑎𝑥 𝑍 = 2𝑥1 + 3𝑥2𝑥1 + 𝑥2 ≤ 12−2𝑥1 + 𝑥2 ≤ 0𝑥1 + 3𝑥2 ≤ 30𝑥1, 𝑥2 ≥ 0

Modelo original

𝑀𝑎𝑥 𝑍 = 2𝑥1 + 3𝑥2𝑥1 + 𝑥2 + 𝑠1 = 12−2𝑥1 + 𝑥2 + 𝑠2 = 0𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑠3 = 30𝑥1, 𝑥2, 𝑠1, 𝑠2, 𝑠3 ≥ 0

Forma Estándar

Variables básicas y no básicasEjemplo:

𝑀𝑎𝑥 𝑍 = 2𝑥1 + 3𝑥2𝑥1 + 𝑥2 + 𝑠1 = 12−2𝑥1 + 𝑥2 + 𝑠2 = 0𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑠3 = 30𝑥1, 𝑥2, 𝑠1, 𝑠2, 𝑠3 ≥ 0

Forma Estándar

Este problema tiene 5 (n) variables y tres (m) restricciones. Por tanto tendrá n-m v. no básicas (con valor de cero) y m variables básicas. 2 no básicas y 3 básicas

Analicemos

los puntos

extremos en

rojo

La gráfica es:

Variables básicas y no básicasEjemplo:𝑀𝑎𝑥 𝑍 = 2𝑥1 + 3𝑥2𝑥1 + 𝑥2 + 𝑠1 = 12−2𝑥1 + 𝑥2 + 𝑠2 = 0𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑠3 = 30𝑥1, 𝑥2, 𝑠1, 𝑠2, 𝑠3 ≥ 0

Punto 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒔𝟏 𝒔𝟐 𝒔𝟑 z

O 0 0 12 0 30 0

A 0 12 0 -12 -6 36

B 12 0 0 12 18 24

C 4 8 0 0 10 32

D 3 9 0 -3 0 33

E 30/7 60/7 -6/7 0 0 240/7

F 0 10 2 -10 0 30

g 30 0 -18 60 0 60

Variables básicas y no básicas

Punto 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒔𝟏 𝒔𝟐 𝒔𝟑 z V. B. V. No B.

O 0 0 12 0 30 0 s1, s2, s3 x1, x2

A 0 12 0 -12 -6 36 x2, s2, s3 x1, s1

B 12 0 0 12 18 24 x1, s2, s3 x2,s1

C 4 8 0 0 10 32 x1, x2, s3 s2,s1

D 3 9 0 -3 0 33 x1, x2, s2 s3, s1

E 30/7 60/7 -6/7 0 0 240/7 x1, x2, s1 s3, s2

F 0 10 2 -10 0 30 s2, x2, s1 s3,x1

G 30 0 -18 60 0 60 s2, x1, s1 s3, x2

Para identificar en cada solución las variables básicas y no básicas se consideran los valores.

Variables básicas y no básicasPara el punto O se puede observar que hay tres valores iguales a cero, y que hay una variable básica que vale 0 (S2) a esta variable se le llama variable degenerada y por tanto la solución es degenerada.

Gráficamente indica

que más de dos rectas

pasan por el mismo

punto

Forma BaseCuando se eliminan las variables no básicas(valen cero) en una solución queda un sistema:

𝐵𝑥𝐵 = 𝑏donde B se conoce como la matriz base de m x m.

La matriz base debe ser

linealmente

independiente, es

decir, que su

determinante es ≠0 y su

inversa existe 𝐵−1

𝑥𝐵 es vector columna de

variables básicas con m

componentes. Se busca 𝑥𝐵:

𝐵𝑥𝐵 = 𝑏𝐵−1𝐵𝑥𝐵 = 𝐵−1𝑏𝑥𝐵 = 𝐵−1𝑏

Para encontrar z será:Z=𝑐𝐵𝑥𝐵

donde 𝑐𝐵 es un vector renglón con los

coeficientes de las variables básicas de 𝑥𝐵

Forma BaseEjemplo:

Supongamos la solución O (origen) y forma matricial:

Max z= (2 3 0 0 0)

𝑥1𝑥2𝑠1𝑠2𝑠3

1 1 1 0 0−2 1 0 1 01 3 0 0 1

𝑥1𝑥2𝑠1𝑠2𝑠3

=12030

𝑥1𝑥2𝑠1𝑠2𝑠3

≥0

Para tener B, eliminamos 𝑥1, 𝑥2(variables no básicas) de la forma

matricial, B y 𝑥𝐵 son:

B= 1 0 00 1 00 0 1

𝑥𝐵 =

𝑠1𝑠2𝑠3

Forma BaseEjemplo:

Sabemos que 𝑐𝐵 = 0 0 0 de la fo en la

forma matricial de las variables básicas.

Para encontrar z será:

z=𝑐𝐵𝑥𝐵

z= 0 0 012030

=0

Para encontrar 𝑥𝐵 = 𝐵−1𝑏:

En este caso 𝐵−1 es muy sencillo ya que B es la matriz identidad por tanto lainversa sigue siendo la identidad. Para otra solución será necesario encontrar lamatriz inversa para encontrar la solución.

𝐵−1= 1 0 00 1 00 0 1

𝑥𝐵 =1 0 00 1 00 0 1

12030

=12030

Solución BásicaUna solución es básica si cumple con tener al menos n-m variables igual a cero.

En este caso

todos los puntos

de intersección

ya sea entre

rectas o con los

ejes son

soluciones

básicas

gráficamente.

No es necesario

que las variables

sean mayores

iguales a cero.

Solución Básica FactibleUna solución básica factible es una solución básica con todas las variables mayores iguales a 0.

Gráficamente

se esta

hablando de

los puntos

extremos de la

región factible

Tendrá al menos n-m

variables igual a cero y

todas serán mayores

iguales a cero

Solución Básica Factible

Punto 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒔𝟏 𝒔𝟐 𝒔𝟑 z Factible No

Factible

O 0 0 12 0 30 0

A 0 12 0 -12 -6 36

B 12 0 0 12 18 24

C 4 8 0 0 10 32

D 3 9 0 -3 0 33

E 30/7 60/7 -6/7 0 0 240/7

F 0 10 2 -10 0 30

G 30 0 -18 60 0 60

Ejemplo: Todas las soluciones son básicas. Sin embargo unas son factibles y las otras no(no es factible cuando hay valores negativos):

Variable de Entrada y Salida

Variable de entrada

• Una variable no básica en una solución factible

• En la siguiente solución factible adyacente es variable básica.

Variable de salida

• Una variable básica en una solución factible.

• En la siguiente solución factible adyacente es no básica.

Variable de Entrada y Salida

Ejemplo: Si nos quedamos con las soluciones básicas factibles:

Punto 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒔𝟏 𝒔𝟐 𝒔𝟑 z V. B. V. No

B.

O 0 0 12 0 30 0 s1, x2, s3 x1, s2

B 12 0 0 12 18 24 x1, s2, s3 s1,x2

C 4 8 0 0 10 32 x1, x2, s3 s1,s2

Punto V. E. V. S.

O x1 s1

B x2 s2

Referencias

Hadley, G., Linear programming, Addison Wesley, E.U.A., 1988

Hillier y Lieberman, Investigación de operaciones, McGraw Hill,

México, 2002

Moskowitz y Wright, Investigación de operaciones, Prentice Hall,

México, 1985

Prawda, W., Métodos y modelos de ínvestigación de operaciones,

Vol. 1 Modelos determinísticos, Limusa, México, 1991

Simonnard, M., Programación lineal, Paraninfo, México, 1978

Taha, H., Investigación de operaciones, una introducción, Pearson,

México, 1998

Bazaraa y Jarvis, Programación lineal y flujo en redes, Limusa,

México, 1998

Mckeown, D., Modelos cuantitativos para administración,

Iberoamérica, México, 1995

Winston, W., Investigación de Operaciones, Thomson, México, 2005