Soluciones del examen extraordinario

EXAMEN EXTRAORDINARIO

RESISTENCIA DE MATERIALES,

ELASTICIDAD Y PLASTICIDAD

29 DE NOVIEMBRE DE 2011

Apellidos ............................................................................. Nombre ..................................................... Nº..................... 3er Curso

Ejercicio 2 (se recogerá a las 18:00h)

En la viga de la figura, de sección constante, para una carga puntual unitaria hacia abajo que puede ocupar

cualquier posición de la misma, se pide:

a) Representación gráfica acotada de la línea de influencia del esfuerzo cortante a la izquierda del apoyo B.

(1,2 puntos)

b) Valor del esfuerzo cortante en la misma sección cuando una carga puntual de 10 kN está aplicada en C.

(0,5 puntos)

c) Pésimo valor del cortante negativo en dicha sección para una carga puntual de 250 kN. (0,8 puntos)

A B C D E

10,0 7,0 3,0 10,0

Articulación 1 kN

x

EI=2x106 kNm

2

1

La viga continua de la figura tiene sección constante, con rigidez EI a flexión. En la sección C existe una rótula.

Se pide dibujar la línea de influencia del esfuerzo cortante en la sección situada justo a la izquierda del apoyo B,

cuando una carga vertical puntual unitaria descendente recorre la viga.

Solución

Se obtendrá la línea de influencia mediante aplicación de la definición. Hay que ubicar la carga unidad en cada

uno de los vanos, luego hay que hacer tres cálculos análogos. La viga es una vez hiperestática. Se libera el esfuerzo

cortante en la articulación C. El estado (1) es el mismo para los tres cálculos.

La condición de compatibilidad impone que el movimiento vertical en C ha de ser el mismo para los dos tramos

en que se ha separado la viga:

[

]

[

]

Carga unidad entre A y B

Estado (0): estructura sometida a la acción exterior

El tramo CDE no está sometido a cargas, luego no se deforma.

El tramo ABC está sometido a una carga puntual. Las reacciones y la distribución de momentos flectores se

indican en la figura siguiente:

Movimiento vertical de C como perteneciente al tramo ABC:

[ ]

[ ]

[ ]

Esfuerzo cortante a la izquierda de B:

Estado (1): estructura isostática sometida a la incógnita liberada

Se aplica el esfuerzo cortante (que tiene dos componentes) como acción exterior en C.

Ejercicio 2

A B C D E

10,0 7,0 3,0 10,0

Articulación 1 kN

x

A B C

D E

10,0 3,0

𝑥 𝑥

1 kN x

7,0 10,0

𝑥

𝑥

C

A B

C

D E

10,0 3,0

7Q

Q

7,0 10,0

C

𝑄

𝑄

𝑄

Q

7𝑄 7𝑄

2


[

]

[ ]

[

]

[ ]


Movimiento vertical de C como perteneciente al tramo CDE:

[

]

[7]

77

[

7]

7

[7]

operando

[

]

Condición de compatibilidad

[ ]


[1]

Carga unidad entre B y C


[ ]

[

]

[ ]

operando:

[ ]


El estado (0) es diferente si la carga unidad está a la derecha de la rótula C, pues no se producen movimientos en

el tramo ABC, sino en el CDE:

A B C

D E

10,0 3,0

Carga unidad en el segundo vano, entre B y C: estado (0)

1 kN x

7,0 10,0

𝑥

𝑥

C

𝑥

A B C

D E

10,0 3,0

Carga unidad en el segundo vano entre C y D: estado (0)

1 kN

7,0 10,0

𝑥

𝑥

C

𝑥 x

3


[7]

[7

]

[7]

operando:

[ ]

El esfuerzo cortante a la izquierda de B es nulo.

El estado (1) ya está calculado antes.

Condición de compatibilidad:

Se distinguen dos situaciones, según la posición de la carga:

Carga puntual entre B y C ( :

[ ]

[ ]

Cortante a la izquierda de B:

7 7

[2]

Carga puntual entre C y D ( :

[

]

Cortante a la izquierda de B:

7 7 7

[3]

Carga unidad entre D y E

Estado (0): estructura sometida a la acción exterior

El tramo ABC no está sometido a cargas, luego no se deforma.

El esfuerzo cortante a la izquierda de B es nulo en este estado.


[7]

[7]

7

El estado (1) está resuelto anteriormente.

A B C

D E

10,0 3,0

Carga unidad en el tercer vano: estado (0)

1 kN x

7,0 10,0

𝑥

𝑥

C

𝑥 𝑥

4

Condición de compatibilidad

7


( )

[4]

Las ecuaciones [1], [2], [3], [4] expresan la línea de influencia buscada.

A B

C

D E 1

-0,0425

0,2631 4,226

Línea de influencia del esfuerzo cortante a la izquierda de B

Examen extraordinarioResistencia de Materiales,Elasticidad y Plasticidad29 de noviembre de 2011

Apelli dos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Nombre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Nº.....................Curso 3º Alumnos de Adaptación marcad X aquíÚ *

Ejercicio 3 (Se recogerá a las 20 h aproximadamente.)

La ménsula de la figura a) está sometida a la carga puntual P que se muestra en la misma figura.Su sección es la doble-T de la figura b). El diagrama de tensión-deformación del material es elindicado en la figura c), con una deformación de rotura ��r = 0,005. El diagrama de momento-curvatura de la sección se linealiza de la forma indicada en la figura d), con los tres puntoscaracterísticos definidos por:

— ±: momento y curvatura elásticos, Me, 3e ; — ²: momento que plastifica el ala superior y curvatura correspondiente, Ma, 3a ; y — ³: momento que rompe la sección y curvatura correspondiente, Mr, 3r.

Se pide:

a) Determinar las coordenadas (3, M) de los puntos 1,2 y 3. (1,0 punto)

b) Dibujar y acotar la ley de curvaturas para la carga P inmediatamente anterior a la de roturaPr��, ��0. (0,5 puntos)

c) Dibujar y acotar la ley de curvaturas residuales tras la retirada de la carga P anterior.(0,5 puntos)

d) Calcular la flecha remanente tras la descarga. (0,5 puntos)

"Solución del Ejercicio 3 (Plasticidad) del examen de 29/11/2011

a 0.2 E 2 107. ε p 10 3 ε r 5 10 3. σ p 20000 L 100 a L 20=

I1

125 a 10 a.( )3. 4 a 8 a.( )3.. I 0.394= M e

I

5 a.σ p

. M e 7.872 103= χ e

ε p

5 a.χ e 1 10 3=

M p5 a. 10 a.( )2. 4 a 8 a.( )2.

4σ p

. M p 9.76 103= λM p

M eλ 1.24=

M a 2 5. a. a. 4.5. a. a 8 a( )2.

6σ p

. M a 8.907 103= χ a

ε p

4 aχ a 1.25 10 3=

y e

ε p

5 a

ε ry e 5 a

ε p

ε r

. y e 0.2= M r M p 21

2. a. y e

. σ p.

y e

3. M r 9.707 103=

χ r

ε r

5 a.χ r 5 10 3= x e L

M e

M r

. x e 16.22= x a LM a

M r

. x a 18.352=

χ a_res χ aM a

E I.χ a_res 1.186 10 4= χ r_res χ r

M r

E I.χ r_res 3.767 10 3=

χ 1 χ a_resL x e

x a x e

. χ 1 2.102 10 4=

v res1

2χ 1

. L x e. L

L x e

3. 1

2χ r_res χ 1 L x a

. LL x a

3. v res 0.064=

3res

3r_res

3a_res

31

xexa xL

3

3 r

3 a 3 e

x a x e x

C urvaturas residuales

L

Ley de curvaturas residualesLey de curvaturas debida a Pr

1

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