SOLUCIONES DE LA ENTREGA 5.- PROCESOS ESTOCÁSTICOS. CURSO 2017-2018

Problema 1.-

Obsérvese que el proceso X(t) no es estacionario en sentido amplio porque la función de autocorrelación del proceso depende de t

También se puede razonar de la siguiente manera para obtener la distribución de X(1) + 2X(5):

al ser una combinación lineal de normales, la variable tiene que ser normal con media E[X(1) + 2X(5)] y varianza V(X(1) + 2X(5)).

Calculamos estos valores, que serían

[ ] [ ] [ ]( ) ( ) ( ) ( )2

(1) 2 (5) (1) 2 (5) 0 2 0 0

(1) 2 (5) (1) 2 (5) 2 1 2 (1), (5)

E X X E X E X

V X X V X V X Cov X X

+ = + = + ⋅ =

+ = + + ⋅ ⋅

Para calcular la covarianza entre las dos variables, recurrimos a la relación entre covarianza y función de autocorrelación en procesos estocásticos,

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )

, , [ ] [ ] 1

1 , 5 1 1 5 6XCov X t X t R t t E X t E X t t t

Cov X X

t t t t+ = + − ⋅ + = + ⋅ +

= + ⋅ =

Ya podemos terminar el cálculo de la varianza

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2(1) 2 (5) (1) 2 (5) 2 1 2 (1), (5) (1 1 ) 4 (1 5 ) 4 6 130V X X V X V X Cov X X+ = + + ⋅ ⋅ = + + ⋅ + + ⋅ = .

La distribución de X(1) + 2X(5) es normal de media 0 y varianza 130.

Calculamos ahora la probabilidad pedida:

( ) ( ) ( )15(1) 2 (5) 15 1.32 1 1.32 1 0.90658 0.09342130

P X X P Z P Z P Z + > = > = > = − ≤ = − =

c)

Problema 2.-

PROBLEMA 3